2018届高三数学每天一练半小时：第33练平面向量的数量积 Word版含答案

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2018年高考数学(理)一轮复习文档第四章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例 Word版含答案

第讲平面向量的数量积及应用举例．向量的夹角．向量数量积的运算律 ()·＝·；()(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； ()(＋)·＝·＋·.．平面向量数量积的有关结论已知非零向量＝(，)，＝(，)，与的夹角为θ.．辨明三个易误点()①与实数的区别：＝≠，＋(－)＝≠，·＝≠；②的方向是任意的，并非没有方向，与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． ()·＝不能推出＝或＝，因为·＝时，有可能⊥.()·＝·(≠)不能推出＝，即消去律不成立．．有关向量夹角的两个结论()两个向量与的夹角为锐角，则有·>，反之不成立(因为夹角为时不成立)；()两个向量与的夹角为钝角，则有·<，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．．(·高考全国卷甲)已知向量＝(，)，＝(，－)，且(＋)⊥，则＝( )．－．－．．由向量的坐标运算得＋＝(，－)，由(＋)⊥，得(＋)·＝－(－)＝，解得＝，故选.．(·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠＝( )．°．°．°．°由两向量的夹角公式，可得∠＝＝＝，则∠＝°.．在边长为的等边△中，设＝，＝，＝，则·＋·＋·＝( )．－．．依题意有·＋·＋·＝＋＋＝－，故选.已知＝，＝，与的夹角θ＝°，则向量在向量方向上的投影为．由数量积的定义知，在方向上的投影为θ＝×°＝－.－．平面向量，的夹角为°，＝(，)，＋＝，则＝．因为＝(，)，所以＝，把＋＝两边平方可得＋·＋＝，即＋·〈，〉＋＝，代入数据可得＋××＋＝，整理可得＋－＝，解得＝.平面向量数量积的运算()设向量＝(－，)，＝(，)，如果向量＋与－平行，那么与的数量积等于( )．－．－。

高三数学平面向量的数量积及应用习题及答案

总复习：平面向量的数量积及应用一、选择题1.已知向量1331(,),(,)2222BA BC →→== , 则()ABC ∠=.(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12002.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA OB ⋅，I 2=OB OC ⋅，I 3=OC OD ⋅，则（）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a =（2，0），1=b ，则2+=a b （）A ．3B ．23C ．4D ．124. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1B ．2C ．2D ．45. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（）A ．6B ．―6C ．12D ．―126. 对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*sin θ=⋅⋅m n m n ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（）A ．若**=a b a c ，则=b cB ．*()*=-a b a bC ．(*)(*)=a b c a b cD ．()***+=+a b c a c b c7.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 二、填空题8.已知向量a ，b 的夹角为60°，a =2，b =1，则2a b += ．9．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA 的取值范围是 .10.已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||= ．11. 若平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于________三、解答题12. 已知向量()()sin ,cos ,3cos ,cos a x x b x x ==且0b ≠,若a b ⊥，求x 的最小正值.13. 已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ，若0⋅=a b ，求实数k 的值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sin x ，cos x ），x ∈（0，）．（1）若⊥，求tan x 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值． 15．设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c .（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒.故答案为300.2.【答案】C【解析】∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA OB ⋅＞OC OD ⋅，OB OC ⋅＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选：C ． 3.【答案】B【解析】∵2=a ，∴22222+=+⋅+a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223+=a b .4.【答案】C【解析】2(3,n)-a b =，若2-a b 与b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅=a b b =-，即2n 3=，2n 12=+a5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221()62OB OA =-=-. 故选B. 6.【答案】B 【解析】根据定义，由**=a b a c 得12sin sin θθ⋅⋅=⋅⋅a b a c ，显然得不到=b c ；对于B ，()*sin ,sin()sin *πθθ-=-⋅⋅<->=⋅⋅-=⋅⋅=a b a b a b a b a b a b ，B 正确，容易验证C 、D 不正确. 故选B.7.【答案】A【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ）， ∵，∴P （1，4）， ∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t ﹣4）， ∴=﹣（﹣1）﹣4（t ﹣4）=17﹣（+4t ），由基本不等式可得+4t ≥2=4， ∴17﹣（+4t ）≤17﹣4=13，当且仅当=4t 即t=时取等号， ∴的最大值为13，故选：A ．8.【答案】23 【解析】∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()2222=+4+4a b a a b b +⋅=22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴2=23a b +．故答案为：23．9. 【答案】[1,2]-【解析】由题意，设(cos ,sin ),[0,]P αααπ∈,，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++=可得2()0AB BC CA ++=，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-12.【解析】03sin 21cos20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++=12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒= 13. 【解析】由题意0⋅=a b 即有1212(2)()0k -⋅+=e e e e ， ∴221122(12)20k k +-⋅-=e e e e ，又121==e e ，122,3π〈〉=e e ， ∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =. 14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ， ∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x =+=． 15. 【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=. （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ， 22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为42（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .。

必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案

必修4《平面向量的数量积》一、填空题1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 .解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 .解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1⋅e 2＋8 e 1⋅e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12)＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 .解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16.4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2.解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π4. ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0，即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π2. 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形．解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形．7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ．解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为82．解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )，∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2.9．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线 ⇔λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°.④若向量a 、b 满足|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝13，则a ，b 的夹角为60°. 以上命题中，错误命题的序号是 ①②④．解：①错，∵ |a·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |. ②错．∵ A 、B 、C 共线，∴ AB ＝k AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，λ2k ＝1，∴ λ1λ2 ＝1. ④错，∵ |a ＋b |2＝13，∴ |a |2＋|b |2＋2a·b ＝13，即a·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴ cos θ＝－12，∴ θ ＝120°.二、解答题13．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．解：(1)∵ P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |，∴ AP ＝2PB ，即有OP －OA ＝2(OB －OP )，∴OP ＝13OA ＋23OB . (2)由(1)知OP ＝13OA ＋23OB ，∴ OP ·AB ＝(13OA ＋23OB )·(OB － OA )＝－13OA 2－13OA ·OB ＋23OB 2＝－13×9－13×3×2×cos60°＋23×4＝－43. 14．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴ α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝ 30°或α＝210°.15．。

高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数第33讲平面向量的数量积练习理含解析新人教A版

高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数第33讲平面向量的数量积练习理含解析新人教A 版1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝(B) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·汕头模拟)若两个非零向量a ，b 满足|b|＝2|a|＝2，|a ＋2b|＝3，则a ，b 的夹角是(D)A.π6B.π3C.π2D ．π 因为|b|＝2|a|＝2，|a ＋2b|＝3，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，得a·b ＝－2. 所以cos θ＝a·b |a||b|＝－22×1＝－1，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.3．(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为(B)A ．4B ．－4 C.94 D ．－94因为n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，所以t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，所以t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.4．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的(C) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝－2 .因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2，所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，所以m ＋2＝0，所以m ＝－2..6．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为 311.由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 7．已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a|2－|b|2＝12，又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22.设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，所以θ＝45°.(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，所以|a－b|＝22.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，所以|a＋b|＝102.设a＋b与a－b的夹角为α，则cos α＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.8．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB ＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为(A)A.2116B.32C.2516D．3如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)．设E(0，y )(0≤y≤3)，则AE →＝(－1，y)，BE →＝(－32，y －32)，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝(y －34)2＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116. 9．(2018·深圳一模)在△ABC 中，AB⊥AC，|AC|＝2，BC →＝3BD →，则AD →·AC →＝__233__．因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)，所以AD →·AC →＝AB →·AC →＋13(AC →2－AB →·AC →)，＝13AC →2＝23＝233.10．(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈[π6，7π6]，从而－1≤cos(x ＋π6)≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.。

【高考复习】2018年高考数学平面向量的数量积与平面向量应用举例(含答案详解)

2018年高考数学平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题：1.已知AB =(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.-223 B.-35 C.223 D.352.已知向量a=(1,m),b=(0,-2),且(a+b)⊥b,则m 等于( ) A.-2B.-1C.1D.23.在直角三角形ABC 中,角C 为直角,且AC=BC=2,点P 是斜边上的一个三等分点,则CP ·CB +CP ·CA =( )A.0B.4C.49 D.-49 4.设向量a,b 满足|a|=1,|a-b|=3,a ·(a-b)=0,则|2a+b|=( ) A.2B.23C.4D.435.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( ) A.55 B.51C.-55D.-51 6.已知非零向量m,n 满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=31.若n ⊥(tm+n),则实数t 的值为( ) A.4 B.-4 C.49 D.-497.已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点P,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R,若⋅=-23,则λ=( ) A.21 B.221± C.2101± D.2223±- 8.若两个非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b 与a-b 的夹角为( )A.6πB.3πC.65πD.32π二、填空题：9.设向量a=(m,1),b=(1,2),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .10.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 . 11.如图,菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM ·AN 的最大值为 .12.如图,平行四边形ABCD 中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M 在AB 边上,且AM=31AB,则DM ·DB 等于 .三、解答题：13.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|.14.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m=(22,22),n=(sin x,cos x),x ∈(0，2π).(1)若m ⊥n,求tan x 的值;(2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.15.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m ·n=sin 2C. (1)求角C 的大小;(2)若sin A,sin C,sin B 成等差数列,且CA ·(AB -AC )=18,求c.16.已知向量a=(ksin3x ,cos 23x ),b=(cos 3x ,-k),实数k 为大于零的常数,函数f(x)=a ·b,x ∈R,且函数f(x)的最大值为212-. (1)求k 的值;(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边,若2π<A<π, f(A)=0,且a=210,求AB ·AC 的最小值.答案全解1.答案为：C ；解析：因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD =(5,5),又AB =(2,1),所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos<AB ,CD >=223. 2.答案为：D ；解析：∵a=(1,m),b=(0,-2),∴a+b=(1,m-2),又(a+b)⊥b,∴0×1-2(m-2)=0,即m=2. 3.答案为：B ；+CA ) 4+31×4+0=4. 4.答案为：B ；解析：由a ·(a-b)=0,可得a ·b=a 2=1,由|a-b|=3,可得(a-b)2=3,即a 2-2a ·b+b 2=3,解得b 2=4. 故(2a+b)2=4a 2+4a ·b+b 2=12,所以|2a+b|=23.5.答案为：A ；解析：由已知得a-c=(3-k,3),∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-3=0,∴k=2,即c=(2,-2),∴cos<a,c>=55. 6.答案为:B;解析：因为n ⊥(tm+n),所以tm ·n+n 2=0,所以m ·n=-tn 2,又4|m|=3|n|, 所以cos<m,n>=31,所以t=-4.故选B. 7.答案为:A ；解析：解法一:BQ =AQ -AB =(1-λ)AC -AB ,CP =AP -AC =λAB -AC . ∵|AB |=|AC |=2,<AB ,AC >=60°,∴AB ·AC =|AB |·|AC |·cos 60°=2,又BQ ·CP =-23,∴[(1-λ)AC -AB ]·(λAB -AC )=-23, 即λ|AB |2+(λ2-λ-1)AB ·AC +(1-λ)·|AC |2=23,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=23,解得λ=21.解法二:以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,3),∴AB =(2,0),AC =(1,3),∴P(2λ,0),Q(1-λ,3(1-λ)),∵·CP =-23, ∴(-1-λ,3(1-λ))·(2λ-1,-3)=-23,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=21. 8.答案为:D ；解析：由|a+b|=|a-b|可知a ⊥b,设AB =b,AD =a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知AC =a+b,BD =a-b,设AC 与BD 的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=3π,∴∠DOC=32π,又向量a+b 与a-b 的夹角为AC 与BD 的夹角,故所求夹角为32π,选D.9.答案:-2;解析由|a+b|2=|a|2+|b|2得a ·b=0,所以a ⊥b,则m+2=0,所以m=-2. 10.答案为：(-∞,-34)∪(0,31)∪(31,+∞); 解析:a 与b 的夹角为锐角,则a ·b>0且a 与b 不共线,则3λ2+4λ>0,2λ-6λ2≠0,解得λ<-34或0<λ<31或λ>31,所以λ的取值范围是(-∞,-34)∪(0,31)∪(31,+∞). 11.答案为：1; 解析:,DB =DA +AB , (DA +AB )=|DA |2+31|AB |2·AB |AB |·cos60°=37-34×1×2×2=1.12.答案为:9;解析：由平面向量的数量积的几何意义知,AM ·AN 等于AM 与AN 在AM 方向上的投影之积, 所以(AM ·AN )max =AM ·AC =(+AD )·(AB +AD )=+AD 2+·AD =9.13.解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a ·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a ·b=-6,∴cos θ=21.又θ∈[0,π],∴θ=32π. (2)|a+b|=13)(2=+b a .同理,|a-b|=37.14.解:(1)∵m ⊥n,∴m ·n=0,故22sin x-22cos x=0,∴tan x=1.(2)∵m 与n 的夹角为3π,∴cos<m,n>=21,故sin(x-4π)=21.又x ∈(0,2π),∴x-4π∈(-4π,4π),则x-4π=6π,即x=125π,故x 的值为125π. 15.解:(1)m ·n=sin A ·cos B+sin B ·cos A=sin(A+B),在△ABC 中,A+B=π-C,0<C<π,∴sin(A+B)=sin C,∴m ·n=sin C,又m ·n=sin 2C,∴sin 2C=sin C,∴cos C=21,则C=3π.(2)由sin A,sin C,sin B 成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.∵CA ·(AB -AC )=18,∴CA ·CB =18,即abcos C=18,ab=36.由余弦弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos C=(a+b)2-3ab,∴c 2=4c 2-3×36,c 2=36,∴c=6. 16.解:(1)由题意知, f(x)=a ·b=(ksin3x ,cos 23x )∙(cos 3x ,-k)=ksin 3x ·cos 3x -kcos 23x=21ksin 32π-k ·232cos1π+=)32cos 32(sin 2x x k --2k =k 2222sin32π-22cos32π)-2k =k 22sin(32x -4π)-2k .因为x ∈R,所以f(x)的最大值为2)12(k -=21-2,则k=1. (2)由(1)知, f(x)=22sin(32x -4π)-21,所以f(A)=22sin(32A -4π)-21=0,化简得sin(32A -4π)=22,因为2π<A<π,所以12π<(32A -4π)<125π,则(32A -4π)=4π,解得A=43π. 因为cos A=-22=bc a c b 2222-+=bc c b 24022-+,所以b 2+c 2+2bc=40,则b 2+c 2+2bc=40≥2bc+2bc(当且仅当b=c 时取等号),所以bc ≤2240+=20(2-2).则AB ·AC =|AB ||AC |cos43π=-22bc ≥20(1-2),所以AB ·AC 的最小值为20(1-2).。

【高三数学试题精选】2018高考数学平面向量的数量积复习课件和检测题(带答案)

[答案] D
[解析]因为∠c＝90°，所以Ac→cB→＝0，所以AB→Ac→＝(Ac→＋cB→) Ac→＝|Ac→|2＋Ac→cB→＝Ac2＝16
(理)(2018天津)如图，在△ABc中，AD⊥AB，Bc→＝3BD→，|AD→|＝1，则Ac→AD→＝( )
A．23 B32 c33 D3
[答案] D
[解析]∵Ac→＝AB→＋Bc→＝AB→＋3BD→，
A．1 B．－1
c12 D．－12
[答案] c
[解析]由2A→＋AB→＋Ac→＝(A→＋AB→)＋(A→＋Ac→)＝B→＋c→＝0得，B→＝－c→，即，B，c三点共线．
又|AB→|＝|A→|＝1，故向量BA→在向量Bc→方向上的射影数量为|BA→|csπ3＝12
5．(2018汕头二检)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A3 B．23
c．4 D．12
[答案] B
[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，
∵|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a b＝2×1×cs60°＝1，
∴|a＋2b|2＝|a|2＋4a b＋4|b|2＝12，
∴|a＋2b|＝23
6．()(2018广西南宁二中模考)在△ABc中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠c所对的边，设向量＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若⊥n，则∠A的大小为( )
＝3－2csπ3－8＝－6
9．已知A→＝(3，－4)，B→＝(6，－3)，c→＝(5－，－3－)．
(1)若点A、B、c能构成三角形，则实数应满足的条为________．
(2)若△ABc为Rt△，且∠A为直角，则＝______
[答案] (1)∈R且≠12；(2)74

(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________.题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 22.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→.(1)求|AB→－AC→|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( )A.－4＋ 2B.－3＋ 2C.－4＋2 2D.－3＋2 2答案(1)2 (2)D解析(1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一设|PA →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝x 2－1x 2＋1.PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝x 2＋12－3x 2＋1＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3. 方法二设∠APB ＝θ，0<θ<π，则|PA →|＝|PB →|＝1tan θ2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(1tan θ2)2cos θ＝cos2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝1－sin 2θ21－2sin2θ2sin2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则PA →·PB →＝1－x1－2xx＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故PA →·PB →的最小值为22－3.方法三以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥PA ⇒OA →·PA →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0，又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而PA →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故PA →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝2a －b ·a ＋2b |2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，所以|2a ＋b |＝2a2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)方法一以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 方法二设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案 233解析因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2答案 D解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D. 3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2，当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB→＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案π2解析由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

2018届高三数学每天一练半小时：第33练平面向量的数量积含答案

一、选择题1．【2016·玉溪月考】若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥【a ＋b 】，则a 与b 的夹角为【】 A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．【2017·淄博月考】已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于【】 A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若【OB →－OC →】·【AB →＋AC →】＝0，则△ABC 是【】 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．【2015·安徽】△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是【】 A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．【4a ＋b 】⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若【c －2a 】·【c －23b 】＝0，则|b －c |的最小值是【】A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．26．【2016·太原五中模拟】已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为【】 A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．【2016·延边期中】点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·错误!＝错误!·错误!；④【错误!＋错误!】·错误!＝【OB →＋OC →】·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的【】 A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于【】A.12B.23C.56D.712二、填空题9．【2016·高安段考】已知向量a ，b 满足a ＋b ＝【5，－10】，a －b ＝【3,6】，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝【cos θ，sin θ】，向量b ＝【3，－1】，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．【2016·开封冲刺模拟】若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t 【t >0】时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC 的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·【PB →＋PC →】的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·【a ＋b 】＝0，即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A 【0,0】，B 【2，0】，C 【2，1】，D 【0,1】，∴AC →＝【2，1】，DB →＝【2，－1】，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝【a ＋b 】·【a －b 】＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [【OB →－OC →】·【AB →＋AC →】＝0⇔CB →·【AB →＋AC →】＝0⇔CB →⊥【AB →＋AC →】，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以【4a ＋b 】·BC →＝【4a ＋b 】·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×【－1】＋4＝0，所以【4a ＋b 】⊥BC →，故选D.]5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝【1，3】，b ＝【3,0】，c ＝【x ，y 】，∴【c －2a 】·【c －23b 】＝0⇒【x －2】2＋y 【y －23】＝0⇒【x －2】2＋【y －3】2＝3，其几何意义为以点【2，3】为圆心，3为半径的圆，故其到点【3,0】的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·错误!＝错误!·错误! 时，O 为△ABC 的内心；④当【OA →＋OB →】·AB →＝【OB →＋OC →】·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A 【－1,0】，B 【0，－3】，C 【1,0】，D 【0，3】．设E 【x 1，y 1】，F 【x 2，y 2】．由BE →＝λBC →，得【x 1，y 1＋3】＝λ【1，3】，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E 【λ，3【λ－1】】．由DF →＝μDC →，得【x 2，y 2－3】＝μ【1，－3】，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F 【μ，3【1－μ】】．又AE →·AF →＝【λ＋1，3【λ－1】】·【μ＋1，3【1－μ】】＝1，① CE →·CF →＝【λ－1，3【λ－1】】·【μ－1，3【1－μ】】＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析根据a ＋b ＝【5，－10】，a －b ＝【3,6】，求得a ＝【4，－2】，b ＝【1，－8】，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝错误!·错误!＝－错误!错误!2－错误!错误!2＋错误!错误!·错误! ＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析因为|xAB →＋yAC →|＝错误! ＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方，得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy 【2cos A －1】≥0，则Δ＝16y 2【2cos A －1】2－16y 2≤0，则cos A 【cos A －1】≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2.当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22【2x ＋y 】满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·【PB →＋PC →】＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×错误!2＝－错误!，即有最小值为－错误!.。

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题平面向量数量积练习题平面向量数量积教学要求学生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )A．－2 B．2C．－12 D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )A．a⊥b B．a∥bC．|a|＝|b| D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，故ab＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30° B．－150°C．150° D．30°或150°解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12，又ab<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于( )A.|a|2|b|2－(ab)2B.|a|2|b|2＋(ab)2C.12|a|2|b|2－(ab)2D.12|a|2|b|2＋(ab)2解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，所以S△OAB＝12|a||b|sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.答案：C6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16解析：解法一：因为cosA＝ACAB，故 cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为| |cosA＝| |，故 cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的`夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴ 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k180°＋90°，即α＝k180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.。

【精品】2018届高三数学第33练平面向量的数量积练习

第33练平面向量的数量积1．(2016·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(c －23b )＝0，则|b －c |的最小值是( ) A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．(2016·延边期中)点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t >0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC 的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·(a ＋b )＝0，即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝(1，3)，b ＝(3,0)，c ＝(x ，y )，∴(c －2a )·(c －23b )＝0⇒(x －2)2＋y (y －23)＝0⇒(x －2)2＋(y－3)2＝3，其几何意义为以点(2，3)为圆心，3为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →| 时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，①CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析因为|xAB →＋yAC →|＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方，得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。

平面向量的数量积(带答案)

专题二平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°．(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0．投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θb |b |＝(a ·b )b |b |2． (2)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．3．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．4．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2．(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．(3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2．考点一求平面向量数量积【方法总结】平面向量数量积的两种求法(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．【例题选讲】[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0答案 B 解析 a·(2a －b )＝2|a|2－a·b ＝2×1－(－1)＝3．(2)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172答案 D 解析由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172． (3)如图，已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且|AB →－AC →|＝23，|AB →＋AC →|＝26，点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·BD →＝________．答案－3 解析由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0得BC →与∠A 的平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →．又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝|AB →||BD →|cos(π－B )＝AD 2＋BD 2·3·(－cos B )＝33×(－33)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118答案 B 解析由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2．因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C 解析连接OA ．在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON→－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6．(6)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A ．16B ．12C ．8D ．－4答案 A 解析以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3)．设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA→＝________．答案 4 解析由题意可建立如图所示的坐标系．可得A (2，0)，B (0，2)，P (1，1)，C (0，0)，则CP →·CB→＋CP →·CA →＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．(8)如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP→＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－12答案 B 解析法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3 OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116．法二：以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0，1)，B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP →＝⎝⎛⎭⎫12，14，AP →＝⎝⎛⎭⎫12，－34，故AP →·OP →＝12×12－34×14＝116．(9)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案 1 解析因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1． (10)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB ＋DC )·(AC ＋BD )＝________．答案 5 解析由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →．(AB→＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5．(11)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，DC ＝2，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，若向量AB →与DC →的夹角为60°，则AB →·EF →的值为________．答案 7 解析 EF →＝EA →＋AB →＋BF → ①，EF →＝ED →＋DC →＋CF → ②，由AD →＝3AE →，BC →＝3BF →，有2EA →＋ED →＝0，，2BF →＋CF →＝0，，①×2＋②得2AB →＋DC →＝3EF →，所以EF →＝23AB →＋13DC →，则AB →·EF →＝AB →·(23AB →＋13DC →)＝23AB →2＋13AB →·DC →＝23×32＋13×3×2cos 60°＝7． (12)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD →·BC →＝m ，AC →·BD →＝n ．若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1答案 D 解析 AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(－AB →＋AD →)＝－AB →2＋AB →·AD →－AB →·BC →＋AD →·BC →＝－AB →2＋AB →·(AD →－BC →)＋m ＝－AB →2＋AB →·(AB →＋BC →＋CD →－BC →)＋m ＝AB →·CD →＋m ．又EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF →＝AB →＋DC →，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB →·DC →，所以AB →·DC →＝－12，则AB →·CD →＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D ． (13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ．记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C 解析如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3．∴I 3<I 1<I 2．(14)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－3 D ．－4答案 C 解析如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点，∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝⎛⎭⎫－12－12×4＝－3．【对点训练】1．已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________．2．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________． 3．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．24．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( )A ．－6B ．10C ．5D ．105．(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．56．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记m i ＝AB 2→·AP i → (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．180B ．603C ．45D ．1538．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C ．23D ．329．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________．10．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________．11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．26912．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A ．23B ．32C ．33D ．3 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．15．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．616．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是 ( )A ．112B ．132C ．6D ．7 17．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________．18．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________．20．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．3C ．2D ．2321．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．1222．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．623．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________． 25．在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO →·AE → ＝8，则AC →·BD →＝( )A ．－9B ．－293C ．－10D ．－32327．设△ABC 的外接圆的圆心为P ，半径为3，若P A →＋PB →＝CP →，则P A →·PB →＝( )A ．－92B ．－32C ．3D ．9 28．如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →＝( )A ．1B ．2C ．tD ．2t考点二已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若BQ ·CP ＝－2，则λ等于( )A ．13B ．23C ．43D ．2 答案 B 解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB→2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23． (2)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( ) A ．12 B ．1±22 C ．1±102 D ．－3±222答案 A 解析 ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ) AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC ＋(1－λ)| AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12． (3)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF ．若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B 解析依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝(12BC →－BA →)(BC →＋1λBA →)＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B ． (4)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP →＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．13 D ．－13答案 A 解析法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos π3＝2，BD →·CP →＝(BA →＋BC →) ·(BP →－BC →)＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →]＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A ．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x ，0)，由BD →·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1．∵AP →＝λAB →，∴λ＝12．故选A ． (5)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C 解析因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．(6)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形答案 C 解析因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB→|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形． (7)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形答案 C 解析因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．(8)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6．则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A ．23 B ．－23 C ．56 D ．－56答案 B 解析由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23．考点三平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．【例题选讲】[例1](1)若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________．答案 1＋2 解析依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．答案 12解析由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ．即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．∴a ·b 的最大值为12． (3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1 答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ． (4)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．∴PB →·PC →的最大值等于13．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．另解：设圆心为O ，AB 的中点为D ，由题得AB ＝2×2×sin π6＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由题得⎩⎪⎨⎪⎧P A →＋PC →＝2PM →，PC →－P A →＝AC →，两方程平方相减并化简得PC →·P A →＝PM →2－14AC →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132 解析因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．在四边形ABCD 中，作AO⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． (7) (2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2，6) B ．(－6，2) C ．(－2，4) D ．(－4，6)答案 A 解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1<x <3．所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6)．另解 AB →的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB →的取值范围是(－2，6)，故选A ．(8)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案－92 解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，∵|PO→|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC→|＝32时，等号成立，故最小值为－92．【对点训练】1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则P A →·PB →的最大值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．252．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤32，2B ．⎝⎛⎭⎫32，2C ．⎣⎡⎭⎫32，2D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 3．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME →·MC →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤716，12B ．⎣⎡⎦⎤716，1C ．⎣⎡⎦⎤12，1 D ．[0，1] 4．在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．5．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－726．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC →·OB →的取值范围是________．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为________；DE ·DC 的最大值为________．8．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．[]0，1 9．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ， AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE →·CD →的取值范围为________．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．11．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．12．如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，1B ．⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1，1] D ．[－1，0]13．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－13214．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．15．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( )A ．1＋2B ．1－2C ．2－1D ．116．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．。

2018版高中数学课时天天提分练18 平面向量数量积习题课北师大版必修4

18 平面向量数量积习题课AB→＋BC→＋CD→，其中AB→与BC→→→→→＋32＝2，b >＝a ·||b 三顶点坐标为A (1,0)b k a k b＝－k2a2＋k2－b28k.(cosα，sinα)，b＝(cosβ1，b2＝1，2＋3k本文档仅供文库使用。

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2018年高考数学总复习课时作业第五章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及其应用 Word版含答案

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.(·兰州诊断考试)已知向量，满足·＝，＝，＝，则－＝( )解析－＝＝＝＝.答案.(·陕西卷)对任意平面向量，，下列关系式中不恒成立的是( )·≤ －≤－.(＋)＝＋.(＋)·(－)＝－解析对于，由·＝，恒成立；对于，当，均为非零向量且方向相反时不成立；对于、容易判断恒成立.故选.答案.已知＝(，－)，＝(，)，且∥，则＝( )解析∵∥，∴＝，解得＝－，∴＝(－，)，∴＝＝.故选.答案.(·广东卷)在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，＝(，－)，＝(，)，则·等于( )解析∵四边形为平行四边形，∴＝＋＝(，－)＋(，)＝(，－).∴·＝×＋(－)×＝，选.答案.(·重庆卷)已知非零向量，满足＝，且⊥(＋)，则与的夹角为( )解析因为⊥(＋)，所以·(＋)＝，得到·＝－，设与的夹角为θ，则θ＝＝＝－，又≤θ≤π，所以θ＝，故选.答案二、填空题.(·全国Ⅰ卷)设向量＝(，＋)，＝(，)，且⊥，则＝.解析由题意，得·＝⇒＋(＋)＝⇒＝－.答案－.(·台州调研)已知向量＝(，－)，＝(，－)，＝(－，－－)，若∠为锐角，实数的取值范围是；若∠为钝角时，实数的取值范围是.解析由已知得＝－＝(，)，＝－＝(－，－).若∥，则有(－)＝－，解得＝.由题设知，＝(－，－)，＝(－－，－).若∠为锐角，则由·＝＋＋>，可得>－；若∠为钝角，则<－.由题意知，当＝时，∥，且与同向.故当∠为锐角时，实数的取值范围是∪，当∠为钝角时，实数的取值范围是.答案∪.(·金华十校联考)已知平面向量，的夹角为，－＝，向量－，－的夹角为，－＝，则与的夹角为，·的最大值为.解析如图，设＝，＝，＝，则＝－＝，＝－＝，又∵∠＝，∠＝，∴，，，共圆，由正弦定理得∠＝∠＝，在△中，∠＝∠＝，由余弦定理得＝＋－∠，即≥－⇒≤(＋)，∴·＝·∠≤＋，当＝＝＋时等号成立，即·的最大值为＋.答案＋三、解答题.已知＝，＝，(－)·(＋)＝，()求与的夹角θ；()求＋；()若＝，＝，求△的面积.解()∵(－)·(＋)＝，∴－·－＝.又＝，＝，∴－·－＝，∴·＝－.∴ θ＝＝＝－.又≤θ≤π，∴θ＝.()＋＝(＋)＝＋·＋＝＋×(－)＋＝，∴＋＝.()∵与的夹角θ＝，∴∠＝π－＝.又＝＝，＝＝，∴△＝∠＝×××＝. .(·湖州一模)在△中，角，，的对边分别为，，，向量＝((－)，(－))，＝( ，－ )，且·＝－.。

2021届高三数学训练题(33)：平面向量的数量积

2018届高三数学训练题（33）：平面向量的数量积学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量a →，b →满足()5a a b →→→⋅-=，||2a →=，1b →=，则向量a →，b →的夹角为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π2．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，1AB BC ==，则AC CB ⋅等于( )A ．1B ．－1CD ．3．已知平面上,,A B C 三点不共线，O 是不同于,,A B C 的任意一点，若()()0OB OC AB AC -⋅+=，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（） A ．1b = B ．a b ⊥C ．1a b ⋅=D ．()4C a b +⊥B5．已知向量,,a b c 满足2,3a b a b ==⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-=，则b c -的最小值是( )A ．2B ．2C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知DEF ∆的外接圆的圆心为O ，半径4R =，如果0OD DE DF ++=，且OD DF =，则向量EF 在FD 方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．23D ．23-7．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1） 0OA OB OC ++=；（2）OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅；（3） ()()0AC AB BC BA OA OB ACABBCBA⋅-=⋅-=；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=.则点O 依次为ABC ∆的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC λ=,DF DC μ=.若21,3AE AF CE CF ⋅=⋅=-，则λμ+等于( ) A ．12B ．23 C ．56D ．712二、填空题9．已知向量,a b 满足(5,10),(3,6)a b a b +=--=，则b 在a 方向上的投影为．10．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =，则2a b -的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=________.三、双空题12．已知ABC ∆中，2,1AB AC ==，当2(0)x y t t +=>时，22x AB y AC +≥恒成立，则ABC ∆的面积为______，在上述条件下，对于ABC ∆内一点P ，()PA PB PC ⋅+的最小值是________.参考答案1．C 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，对等式()5a a b →→→⋅-=进行变形，最后结合平面向量的夹角定义和特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】222()55cos 5221cos 5a a b a a b a a b a b a b →→→→→→→→→→→→→⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅〈⋅〉=⇒-⋅⋅〈⋅〉=，即12cos ,[0,],23a b a b a b ππ→→→→→→〈⋅〉=-〈⋅〉∈∴〈⋅〉=-. 故选：C 【点睛】本题考查了求平面向量的夹角，考查了平面向量的数量积的运算性质和定义，考查了数学运算能力. 2．A 【解析】AB ＝a ，AD ＝b ，则a·b ＝0，∵|a |，|b |＝1，∴AC CB ⋅＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A. 3．A 【解析】试题分析：()?()0?()0()OB OC AB AC CB AB AC CB AB AC -+=⇔+=⇔⊥+,所以ABC ∆是等腰三角形，故选A.考点：1.向量的几何运算；2.向量数量积的几何意义. 4．D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 5．A 【详解】由题意得，,3a b π〈〉=，故如图所示建立平面直角坐标系，设(1,3),(3,0),)(,a b c x y ===，2222(2)0(2)(0(2)(33c a c b x y y x y ⎛⎫∴-⋅-=⇒-+-=⇒-+-= ⎪⎝⎭，其几何意义为以点(2故其到点(3,0)的距离的最小值是2故选A. 6．B 【解析】由OD DE DF ++＝0得，DO ＝DE DF +∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF |＝|OD |＝|DF |＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝∴向量EF 在FD 方向上的投影为|EF |cos 〈EF ,FD 〉＝＝－6，故选B. 点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7．C 【详解】点评：本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．8．C【解析】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C ．考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．9．【解析】试题分析：根据(5,10),(3,6)a b a b +=--=，求得(4,2),(1,8)a b =-=-，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为25a b a ⋅== 考点：向量在另一个向量方向上的投影． 10．4 【解析】试题分析：因为向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =，所以222|2|44a b a b a b -=+-⋅=4+4－4sin θθ+）=8-8sin(3πθ+),其最大值为16，所以2a b -的最大值为4.考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的性质．点评：小综合题，综合考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的性质．涉及模的计算问题，一般要“化模为方”． 11．89-【解析】由于MA ＝CA －CM ＝－1132CB CA +，MB ＝CB －CM ＝2132CB CA -，故22211·942MA MB CB CA CB CA ⋅=--+，＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 58-【解析】试题分析：因为222224xAB yAC x AB y AC xyAB AC x+=++⋅=cos 0A =时，4)xAB y AC x x y +=≥+满足题意，所以此时112ABC S AB AC ∆=⨯⨯=；在直角三角形ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则2PB PC PD +=，即()2PA PB PC PA PD ⋅+=⋅，当,,A P D 三点共线时，0PA PD ⋅<，又此时122AD BC ==，即有2522228PA PD PA PD PA PD ⎛⎫+⎪⋅=-≥-⨯=- ⎪⎝⎭，即有最小值为58-，故应填51,8-. 考点：1、平面向量的数量积的应用；2、基本不等式的应用；。

平面向量的数量积-学易试题君之每日一题君2018学年下学期高一数学人教版(课堂同步系列二)

1 5月24日平面向量的数量积
高考频度：★☆☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
已知向量a =（λ+1，1），b =（2，2），若（a +b ）⊥b ，则λ=
A ．0
B ．6
C ．–6
D ．–12
【参考答案】
C
【解题必备】
1．数量积的概念
已知两个非零向量,a b ，我们把数量||||cos θa b 叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
2．投影的概念
设非零向量a 与b 的夹角是θ，则||cos θa （||cos θb ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量a 在b 方向上的投影的情形，其中1OB =||cos θa ，它的意义是，向量a 在向量b 方向上的投影长是向量1OB 的长度．
3．数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积．。

2018届高三数学每天一练半小时(34)平面向量综合练(有答案)AKKqPM

训练目标 (1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合．训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．解题策略 (1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.1．(2016·福建四地六校联考)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知点O 为△ABC 内一点，∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE →·EA →的值为( ) A.514 B.27 C.314D.3284．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，b ＝(3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2)，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为( ) A.π4B.π3C.23π D.56π 5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，AP →＝25AC →，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于点M ，E ，N .若DM →＝mDA →，DN →＝nDC →(m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是( )A.65B.125C.245D.485二、填空题6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.则函数y ＝f (x )的表达式为________________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 三、解答题10．已知点C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，直线l 与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤45时，求k 的取值范围．答案精析1．B [因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.] 2．B [∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.] 3．D [由∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 120°＝1＋4＋2×1×2×12＝7，即AB ＝7，S △OAB ＝12×1×2×32＝32，则OD ＝32×27＝217，故OE →·EA →＝OD →2·(－AE →)＝－12OD →·AO →＋AD →2＝OA →·OD →4＝|OA →|·|OD →|·cos∠AOD 4＝|OD →|24＝14×2149＝328，故选D.]4．B [因为a ∥b ，所以sin θ2cos θ2－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝sin θ2－32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝12(sin θ－3cos θ) ＝12×2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，θ＝k π＋π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，所以θ＝π3，故选B.]5．C [AP →＝25AC →⇒DP →＝35DA →＋25DC →，设DP →＝xDM →＋yDN →，则x ＋y ＝1，又DP →＝mxDA →＋ynDC →，所以mx ＝35，ny ＝25⇒35m ＋25n ＝1，因此2m ＋3n ＝(2m ＋3n )(35m ＋25n )＝15(12＋9n m ＋4m n ) ≥15(12＋29n m ·4m n )＝245，当且仅当2m ＝3n 时取等号，故选C.] 6．x ＝0解析设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x ＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16解析已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.8．f (x )＝ln(x ＋1)解析由向量共线的充要条件及OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0可得y ＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即y ＝1－2f ′(1)＋ln(x ＋1)，则y ′＝f ′(x )＝11＋x，则f ′(1)＝12，所以y ＝1－2×12＋ln(x ＋1)＝ln(x ＋1)．故f (x )＝ln(x ＋1)． 9．①④解析当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解 (1)由题意知，MQ 为线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22>|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，故点Q 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|b |k 2＋1＝1⇒b 2＝k 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋b⇒(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，则Δ＝16k 2b 2－4(1＋2k 2)×2(b 2－1)＝8(2k 2－b 2＋1)＝8k 2>0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2，OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(2b 2－2)1＋2k 2＋kb ?－4kb ?1＋2k 2＋b 2 ＝2k 2(1＋k 2)1＋2k 2－4k 2(k 2＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝k 2＋11＋2k2，所以34≤k 2＋11＋2k 2≤45⇔13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22⇒－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 所以k 的取值范围为[－22，－33]∪[33，22]．。

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