空间力系的简化与平衡
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所求结果如下：
45
FCE
FBC
x
FAB 34.6 kN
FAC 10.4 kN
FCD FCE 15.9kN
二、空间的力矩 力偶矩
1.力对点的矩 (1).定义: 设空间一力F作用在点A,则定义力F对 空间任一点O的矩为矢量
z
B F
mo ( F ) r F 的大小方向 mo ( F )
C
Fx 0, FBC FCD cos 45 FCE cos 45 0
由此解得
FCE
FAC
FCD
FCD
45
FBC sin 60 FCE 15.9 kN 2 sin 50.2 cos 45
A
y
FAC 2 FCD cos 50.2 FBC cos 60 10.4 kN
B E y
W C W O x A
Fy 0, Fz 0,
Fx 0,
解：以点D为研究对象，受力如图所示。
(S B S A )cos60 sin60 0, S B S A
A B (S A S B )cos2 60 (SC SP )cos60 0 SC 25.8kN (S A S B SC SP )sin60 W 0
解得
FAB cos 60 FBC cos 30 0
FAB sin 60 FBC sin 30 G 0
FAB 3G 34.6 kN
60
FBC
30
FBC G 20 kN,
G
FAB
2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。
z
这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
F 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 FOA sin 45 P 0 Fz 0
解得FOA 1414N （压） （拉） FOB FOC 707N
B
C
30
D
60
5m
45
G E
45
A
B C
30
1. 解： 先取滑轮B为研究对象。注意，起
重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，
它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，
D
60
5m
G E
45 45
A
y B x
Fx 0,
Fy 0,
BC sin AB cos 0.4472
sin cos CD BC BD BC 4 4 3 3
2 2 2
对F3 应采用二次投影法
z
60
0
4m
4 2 32 4 3 2.5
2 2 2
0.8944
F1
x
F2 F3
3 m
2. 5m
y
0.8 0.6
平衡条件
n
FR Fi 0
i 1
平衡方程
F F F
0 y 0 z 0
x
z SA SB
SC D
例题3－1 三根直杆AD，BD， CD在点D处互相联结构成支架如 图所示，缆索ED绕固定在点D处 的滑轮提升一重量为500 kN的载 荷。设ABC组成等边三角形，各 杆和缆索ED与地面的夹角均为 60°，求平衡时各杆的轴向压力。
αα β
A
D
z y C
O
x
F
取O点为研究对象，受力分析如图所示， 解：
D B
A
F3
β αα
列平衡方程： z
y C
O
F
X
0
0
F2
x
F F
Y
F1
Z
0
联立求解可得：
F
习题 已知：P=1000N ,BCO是同一水平面内的等腰直角三角形，
各杆重不计.求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。 由 Fx 0
FBC
x
AD 6 arctan arctan 50.2 AC 5
FBC FBC sin 60
FCD FCD sin 50.2
FCE sin 50.2 FCE
z
列平衡方程
FCD
60
FBC
Fx 0, FCE sin 45 FCD sin 45 0
S S 525 .8kN
例题3－2 杆OD的顶端作用有三个力F1，F2，F3，其方向如图 3-4 所示，各力大小为F1＝100 N，F2＝150 N，F3＝300 N。求 三力的合力。 z 解：求出三个力在 坐标轴上的投影和
FRx Fix 183 .3N
i 1 3 3
D F3 3
Y 0 FAD cos sin 60o FCD cos 0
O 150°
Z 0
FAD sin FBD sin FCD sin P 0
解出得
A
FAD
FCD P F BD θ B
θ
θ
C
O
60° x
y
FAD=10.56 kN , FBD=5.28 kN ,FCD=9.14 kN
Fz
o
A( x, y, z )
Fy F
y
M y F zFx xFz M z F xFy yFx
同理
x
(3).力对点的矩和力对轴的矩 之间的关系比较力对点的矩和 力对于轴的矩的关系式得 投影关系
M o (F ) M x (F ) M o (F ) M y (F ) M o (F ) M z (F ) y z x
Fy1 0 Fz1 F1 500 N
Fx 2 Fy 2
0
F1
x
F2 F3
3 m
2. 5m
y
3 F2 sin 60 1000 866 N 2 F2 cos 60 0 500 N
Fz 2 0
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
空 间 力 系 实 例
本章重点、难点 本章重点、难点
⒈重点 ⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 常见的空间约束及约束反力。
⒉难点 ⒉难点
空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 空间力系平衡方程的应用。 图。
4 3
2
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
（二）.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) n FR FR F1 F2 Fn Fi Fy i 1 cos( FR , j ) X i i Yi j Z i k FR Fz cos( FR , k ) FR
60 0
F1
F2
450
3
3 4 y B
34
O
3 4 A
FRy Fiy 67 .5 N,
i 1 3
C x
FRz Fiz 407 .7 N,
i 1
FR FR2 FR2 FR2 452 .1N x y z
F cos Rx 0.4055, FR
cos
mo ( F )
o
r
A
与矩心的选择有关,因 此力对点的矩应画在 矩心处.
y
mo ( F ) 2SABC
x
(2). o ( F ) 的解析表达式 m r OA xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
z
wenku.baidu.com
F
B
A
o
d
x
A Fxy
B
y
Fxy F cos mz ( F ) Fxy d
其正负由右手螺旋规则 来确定,拇指方向与该轴方 mz ( F ) 2SOAB 向一致为正,反之为负
(2).力对轴的矩表达式
z
M x F yFz zFy
FCD
60
FBC
把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。 先列出对Az轴的投影方程
C
FCE
FAC
F
y
z
0,
FBC cos 60 FAC FCD cos FCE cos 0
FCD
45
A
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交 力系，其中：
45
FCE
习题 桅杆式起重机可简化为如图所示结构。 AC 为立柱， BC ， CD 和 CE 均为钢索， AB 为起重杆。 A 端可简化为球铰链约束。设 B 点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN， AD=AE=6 m，其余尺寸如图。 起重杆所在平面 ABC 与对称面 ACG 重合。不计立柱和起重杆的自 重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。
FRy FR
0.1493,
cos
FRz 0.9018 FR
66.1,
81.4,
154 .4
例题3－3 已知：物重P=10kN，EB与 CD垂直,CE=EB=DE； ＝30o，求：杆 受力及绳拉力 解：画受力图如图，列 平衡方程
C
z E
D F2
F1 FA
M o (F ) r F x Fx i j y Fy k
z ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
Fz
2.力对轴的矩 (1).定义 空间力对轴的矩是个代数量,它等于这个力在垂直于 该轴的平面内的投影对于这平面与该轴交点的矩.
x
0
C F OC 45 y
D
B
FOB 45 FOA 45 A
O
G P
z
习题 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，
三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量 不计。求：各杆的所受的力。
D
B
解：取销钉D为研究对象
A
120° z D
90°
C
FAD cos cos 60o FBD cos 0 X 0
B
F
F F
x
0
A x P y
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
例题3－4 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F， 它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。
Fz F cos
z
Fz Fz
Fy
z
Fx
o
F
y
Fx
o
F
Fy
y
Fxy
x
x
习题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，求：各力在坐
标轴上的投影。
解： F1 、F2 可用直接投影法 z 4m
60
0
Fx F cos Fy F cos Fz F cos Fx1 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
习题 空气动力天平如图所示为空
气动力天平上测定模型所受阻力用 的一个悬挂节点O，其上作用有铅 直载荷F。钢丝OA和OB所构成的 平面垂直于铅直平面Oyz，并与该 平面相交于OD，而钢丝OC则沿水 平轴y。已知OD与轴z 间的夹角为 ，又∠AOD = ∠BOD = ，试 求各钢丝中的拉力。 B
第一节 空间力系
一、空间汇交力系
（一）.力在空间的表示 1.直接投影法 2.二次投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
力的解析表示可写为
F Fx i Fy j Fz k
45
FCE
FBC
x
FAB 34.6 kN
FAC 10.4 kN
FCD FCE 15.9kN
二、空间的力矩 力偶矩
1.力对点的矩 (1).定义: 设空间一力F作用在点A,则定义力F对 空间任一点O的矩为矢量
z
B F
mo ( F ) r F 的大小方向 mo ( F )
C
Fx 0, FBC FCD cos 45 FCE cos 45 0
由此解得
FCE
FAC
FCD
FCD
45
FBC sin 60 FCE 15.9 kN 2 sin 50.2 cos 45
A
y
FAC 2 FCD cos 50.2 FBC cos 60 10.4 kN
B E y
W C W O x A
Fy 0, Fz 0,
Fx 0,
解：以点D为研究对象，受力如图所示。
(S B S A )cos60 sin60 0, S B S A
A B (S A S B )cos2 60 (SC SP )cos60 0 SC 25.8kN (S A S B SC SP )sin60 W 0
解得
FAB cos 60 FBC cos 30 0
FAB sin 60 FBC sin 30 G 0
FAB 3G 34.6 kN
60
FBC
30
FBC G 20 kN,
G
FAB
2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。
z
这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，
y
FOB sin 45 FOC sin 45 0
F 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 FOA sin 45 P 0 Fz 0
解得FOA 1414N （压） （拉） FOB FOC 707N
B
C
30
D
60
5m
45
G E
45
A
B C
30
1. 解： 先取滑轮B为研究对象。注意，起
重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，
它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，
D
60
5m
G E
45 45
A
y B x
Fx 0,
Fy 0,
BC sin AB cos 0.4472
sin cos CD BC BD BC 4 4 3 3
2 2 2
对F3 应采用二次投影法
z
60
0
4m
4 2 32 4 3 2.5
2 2 2
0.8944
F1
x
F2 F3
3 m
2. 5m
y
0.8 0.6
平衡条件
n
FR Fi 0
i 1
平衡方程
F F F
0 y 0 z 0
x
z SA SB
SC D
例题3－1 三根直杆AD，BD， CD在点D处互相联结构成支架如 图所示，缆索ED绕固定在点D处 的滑轮提升一重量为500 kN的载 荷。设ABC组成等边三角形，各 杆和缆索ED与地面的夹角均为 60°，求平衡时各杆的轴向压力。
αα β
A
D
z y C
O
x
F
取O点为研究对象，受力分析如图所示， 解：
D B
A
F3
β αα
列平衡方程： z
y C
O
F
X
0
0
F2
x
F F
Y
F1
Z
0
联立求解可得：
F
习题 已知：P=1000N ,BCO是同一水平面内的等腰直角三角形，
各杆重不计.求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。 由 Fx 0
FBC
x
AD 6 arctan arctan 50.2 AC 5
FBC FBC sin 60
FCD FCD sin 50.2
FCE sin 50.2 FCE
z
列平衡方程
FCD
60
FBC
Fx 0, FCE sin 45 FCD sin 45 0
S S 525 .8kN
例题3－2 杆OD的顶端作用有三个力F1，F2，F3，其方向如图 3-4 所示，各力大小为F1＝100 N，F2＝150 N，F3＝300 N。求 三力的合力。 z 解：求出三个力在 坐标轴上的投影和
FRx Fix 183 .3N
i 1 3 3
D F3 3
Y 0 FAD cos sin 60o FCD cos 0
O 150°
Z 0
FAD sin FBD sin FCD sin P 0
解出得
A
FAD
FCD P F BD θ B
θ
θ
C
O
60° x
y
FAD=10.56 kN , FBD=5.28 kN ,FCD=9.14 kN
Fz
o
A( x, y, z )
Fy F
y
M y F zFx xFz M z F xFy yFx
同理
x
(3).力对点的矩和力对轴的矩 之间的关系比较力对点的矩和 力对于轴的矩的关系式得 投影关系
M o (F ) M x (F ) M o (F ) M y (F ) M o (F ) M z (F ) y z x
Fy1 0 Fz1 F1 500 N
Fx 2 Fy 2
0
F1
x
F2 F3
3 m
2. 5m
y
3 F2 sin 60 1000 866 N 2 F2 cos 60 0 500 N
Fz 2 0
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
空 间 力 系 实 例
本章重点、难点 本章重点、难点
⒈重点 ⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 常见的空间约束及约束反力。
⒉难点 ⒉难点
空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 空间力系平衡方程的应用。 图。
4 3
2
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
（二）.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) n FR FR F1 F2 Fn Fi Fy i 1 cos( FR , j ) X i i Yi j Z i k FR Fz cos( FR , k ) FR
60 0
F1
F2
450
3
3 4 y B
34
O
3 4 A
FRy Fiy 67 .5 N,
i 1 3
C x
FRz Fiz 407 .7 N,
i 1
FR FR2 FR2 FR2 452 .1N x y z
F cos Rx 0.4055, FR
cos
mo ( F )
o
r
A
与矩心的选择有关,因 此力对点的矩应画在 矩心处.
y
mo ( F ) 2SABC
x
(2). o ( F ) 的解析表达式 m r OA xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
z
wenku.baidu.com
F
B
A
o
d
x
A Fxy
B
y
Fxy F cos mz ( F ) Fxy d
其正负由右手螺旋规则 来确定,拇指方向与该轴方 mz ( F ) 2SOAB 向一致为正,反之为负
(2).力对轴的矩表达式
z
M x F yFz zFy
FCD
60
FBC
把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。 先列出对Az轴的投影方程
C
FCE
FAC
F
y
z
0,
FBC cos 60 FAC FCD cos FCE cos 0
FCD
45
A
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交 力系，其中：
45
FCE
习题 桅杆式起重机可简化为如图所示结构。 AC 为立柱， BC ， CD 和 CE 均为钢索， AB 为起重杆。 A 端可简化为球铰链约束。设 B 点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN， AD=AE=6 m，其余尺寸如图。 起重杆所在平面 ABC 与对称面 ACG 重合。不计立柱和起重杆的自 重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。
FRy FR
0.1493,
cos
FRz 0.9018 FR
66.1,
81.4,
154 .4
例题3－3 已知：物重P=10kN，EB与 CD垂直,CE=EB=DE； ＝30o，求：杆 受力及绳拉力 解：画受力图如图，列 平衡方程
C
z E
D F2
F1 FA
M o (F ) r F x Fx i j y Fy k
z ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
Fz
2.力对轴的矩 (1).定义 空间力对轴的矩是个代数量,它等于这个力在垂直于 该轴的平面内的投影对于这平面与该轴交点的矩.
x
0
C F OC 45 y
D
B
FOB 45 FOA 45 A
O
G P
z
习题 已知：图示起重三脚架，重物重量为20kN，
三杆各长为2.5m，AO=BO=CO=1.5m。杆的重量 不计。求：各杆的所受的力。
D
B
解：取销钉D为研究对象
A
120° z D
90°
C
FAD cos cos 60o FBD cos 0 X 0
B
F
F F
x
0
A x P y
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
例题3－4 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F， 它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。
Fz F cos
z
Fz Fz
Fy
z
Fx
o
F
y
Fx
o
F
Fy
y
Fxy
x
x
习题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，求：各力在坐
标轴上的投影。
解： F1 、F2 可用直接投影法 z 4m
60
0
Fx F cos Fy F cos Fz F cos Fx1 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
习题 空气动力天平如图所示为空
气动力天平上测定模型所受阻力用 的一个悬挂节点O，其上作用有铅 直载荷F。钢丝OA和OB所构成的 平面垂直于铅直平面Oyz，并与该 平面相交于OD，而钢丝OC则沿水 平轴y。已知OD与轴z 间的夹角为 ，又∠AOD = ∠BOD = ，试 求各钢丝中的拉力。 B
第一节 空间力系
一、空间汇交力系
（一）.力在空间的表示 1.直接投影法 2.二次投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
力的解析表示可写为
F Fx i Fy j Fz k