理论力学-空间力系(机械11)
理论力学论文-机械6-11汇总
理论力学论文学院：电子科技大学成都学院导师：杨峰学号：1440840611班级：机械六班姓名：卢剑飞2015 年10 月 6 日摘要理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科。
力学的一个分支。
它是一般力学各分支学科的基础。
理论力学通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。
静力学研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件；运动学只从几何角度研究物体机械运动特性而不涉及物体的受力；动力学则研究物体机械运动与受力的关系。
动力学是理论力学的核心内容。
理论力学的研究方法是从一些由经验或实验归纳出的反映客观规律的基本公理或定律出发，经过数学演绎得出物体机械运动在一般情况下的规律及具体问题中的特征。
理论力学中的物体主要指质点、刚体及刚体系，当物体的变形不能忽略时，则成为变形体力学（如材料力学、弹性力学等）的讨论对象。
AbstractTheoretical mechanics is a subject that studies the basic law of the mechanical movement. One branch of mechanics. It is the foundation of general mechanics. Theoretical mechanics is usually divided into three parts: statics, kinematics and dynamics. The simplified theory and force equilibrium conditions of the force system of the object are studied. The kinematics of the object is not related to the mechanical motion of the object. Dynamics is the core content of theoretical mechanics. The research method of theoretical mechanics is based on the basic axioms or laws of the objective laws, which are derived from experience or experiments. The objects in the theory mechanics mainly refers to the particles, rigid bodies and rigid bodies. When the deformation of the object can not be ignored, it becomes the subject of the deformation body mechanics (such as material mechanics, elastic mechanics, etc.).目录目录第一章理论力学发展以及重要人物................................. V.. 1.1概述 (V)1.2发展历史 (VI)1.3 重要人物 ................................................... V...I.I I 第二章力学发展 ............................................................... X...第三章理论力学学习规划........................................ X..I II 第四章理论力学要提高的能力 (XIV)第一章理论力学发展以及重要人物1.1 概述力学是最古老的科学之一，它是社会生产和科学实践长期发展的产物。
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
理论力学-空间力系
第三章空间力系一、是非题1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。
（）2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。
（）3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。
（）4．一个空间力系向某点简化后，得主矢’、主矩o，若’与o平行，则此力系可进一步简化为一合力。
（）5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。
（）6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（）7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。
（）8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。
（）9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。
（）10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。
（）二、选择题1．已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力，则该力在X1轴上的投影为。
①0；②F/2；③F/6；④－F/3。
2．空间力偶矩是。
①代数量；②滑动矢量；③定位矢量；④自由矢量。
3．作用在刚体上仅有二力A、B，且A+B=0，则此刚体；作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为M A、M B，且M A+M B=0，则此刚体。
①一定平衡；②一定不平衡；③平衡与否不能判断。
4．边长为a的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD边作用另一力，其大小为3P/3，此力系向O点简化的主矩大小为。
①6Pa；②3Pa；③6Pa/6；④3Pa/3。
5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。
①Σmx（）=0，Σmy（）=0，Σmz（）=0；②ΣX=0，ΣY=0，和Σmx（）=0；③ΣZ=0，Σmx（F）=0，和Σm Y（）=0。
理论力学空间力
理论力学空间力————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第三章空间力系一、是非题1．一个力沿任一组坐标轴分解所得的分力的大小和这力在该坐标轴上的投影的大小相等。
（）2．在空间问题中，力对轴的矩是代数量，而对点的矩是矢量。
（）3．力对于一点的矩在一轴上投影等于该力对于该轴的矩。
（）4．一个空间力系向某点简化后，得主矢R’、主矩M o，若R’与M o平行，则此力系可进一步简化为一合力。
（）5．某一力偶系，若其力偶矩矢构成的多边形是封闭的，则该力偶系向一点简化时，主矢一定等于零，主矩也一定等于零。
（）6．某空间力系由两个力构成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最后结果必为力螺旋。
（）7．一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程只有5个。
（）8．一个空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。
（）9．某力系在任意轴上的投影都等于零，则该力系一定是平衡力系。
（）10．空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别等于零，则该汇交力系一定成平衡。
（）二、选择题1．已知一正方体，各边长a，沿对角线BH作用一个力F，则该力在X1轴上的投影为。
①0；②F/2；③F/6；④－F/3。
2．空间力偶矩是。
①代数量；②滑动矢量；③定位矢量；④自由矢量。
3．作用在刚体上仅有二力F A、F B，且F A+F B=0，则此刚体；作用在刚体上仅有二力偶，其力偶矩矢分别为M A、M B，且M A+M B=0，则此刚体。
①一定平衡；②一定不平衡；③平衡与否不能判断。
4．边长为a的立方框架上，沿对角线AB作用一力，其大小为P；沿CD边作用另一力，其大小为3P/3，此力系向O点简化的主矩大小为。
①6Pa；②3Pa；③6Pa/6；④3Pa/3。
5．图示空间平行力系，设力线平行于OZ轴，则此力系的相互独立的平衡方程为。
理论力学重点总结
理论力学重点总结理论力学重点总结绪论1.学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建设服务。
2.学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实际问题；另一方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。
此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。
第一章静力学的基本公理与物体的受力分析1-1静力学的基本概念1.刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。
这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。
2.质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。
1-3约束与约束力1.自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。
2.非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。
3.约束：力学中把事先对于物体的运动（位置和速度）所加的限制条件称为约束。
约束是以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。
4.约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承受物体的作用力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。
5.单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的约束称为单面约束；否则称为双面约束。
单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向还决定于物体的运动趋势。
6.柔性体约束：为单面约束。
只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软体的轴线而背离物体，常用符号F T表示。
（绳索、胶带、链条）7.光滑接触面（线）约束：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。
光滑接触面（线）的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号F N表示。
理论力学-空间力系
空间 力矩 三要 素
力矩在该平面内的转向 力矩大小
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-5三要素可用这样一个矢量表示：矢量的模
表示力对点之矩的大小；矢量的方位与该力和矩心构
成平面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则
确定，该矢量称为力对点之矩矢，简称力矩矢，记作
MO(F )
MO(F) Fh 2AOAB
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
4.1.2 间接投影法
若力F 与坐标轴x、y间的夹角不易确定，可 将力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力F 在坐标 平面Oxy上的投影Fxy，然后再将Fxy投影到x、y
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-2所示，已知力F与z轴正向的夹角为γ，投影Fxy 与x轴正向的夹角为φ，则由二次投影法，力F在三个坐标轴
x
y
z
cosα=Fx/F
cosβ=Fy/F
cosγ=Fz/F (4-3)
4.3 空间力系的平衡方程
例4-2
设力F 作用于长方体的顶点C，其作用线沿长方体对角线，
如图4-4所示。若长方体三个棱边长为AB=a，BC =b，BE
=c，试求力在图示直角坐标轴上的投影。
解:F 在z Fz=Fcosγ=
c
F
a2 b2 c2
采用二次投影法，得F在x、y
F x=F sinγcosφ= F y=F sinγsinφ=
F a2 b2
b
b
F
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
a2 b2
a
a
F
a2 b2 c2 a2 b2
a2 b2 c2
4.3 空间力系的平衡方程
4.2.1 空间力对点之矩矢 力与矩心构成平面的方位
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
理论力学重点总结
理论力学重点总结绪论1.学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建设服务。
2.学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实际问题；另一方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。
此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。
第一章静力学的基本公理与物体的受力分析1-1静力学的基本概念1.刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。
这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。
2.质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。
1-3约束与约束力1.自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。
2.非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。
3.约束：力学中把事先对于物体的运动（位置和速度）所加的限制条件称为约束。
约束是以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。
4.约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承受物体的作用力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。
5.单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的约束称为单面约束；否则称为双面约束。
单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向还决定于物体的运动趋势。
6.柔性体约束：为单面约束。
只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软体的轴线而背离物体，常用符号F T表示。
（绳索、胶带、链条）7.光滑接触面（线）约束：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。
光滑接触面（线）的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号F N表示。
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
理论力学第三章 空间力系汇总
Pxy Pcos45
Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
P 6 Pi 2 P j 2 Pk
4
4
2
r 0.05 i 0.06 j 0 k
MO(F) r F
i
j
k
0.05 0.06 0
6P 2P 2P
4
4
2
84.8 i 70.7 j 38.2 k
称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐 标轴上的投影的代数和分别为零.
[例]三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰支座B、C、
D固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。
结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求
（2）何时MZ (F) 0
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
z
F
Fz
Fxy o
h
P
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
（3) 解析表达式
M Z (F) MO (F xy ) MO (F x ) MO (F y )
xFy yFx
M x (F) yFz zFy
空间力偶的三要素
（1） 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积； （2） 力偶矩方向：右手螺旋； （3） 作用面：力偶作用面。
转向：右手螺旋；
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而 改变。
M x (P) 84.8(N.m) M y (P) 70.7(N.m) M x (P) 38.2(N.m)
理论力学----第六章 空间力系
3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即 X F sing cos Fxy cos F cos cos
对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 又由于 mO ( F )r F [mO ( F )]x i [mO ( F )]y j [mO ( F )]z k
mx ( F )i my ( F ) j mz ( F )k
所以力对点O的矩为：
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
§6-2
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量！
由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
12
m m1 m2 m3 mn mi
i 1
n
m
2 m 2 m 2 ;cos mx y z
my mx mz ,cos ,cosg m m m
my (F ) mx ( F ) m (F ) cos ,cos ,cosg z mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
19
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力对点的矩的解析表达式 （略）
2.力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效 应的度量，称为力对该轴 的矩。
15
1.力对轴的矩的定义
◆ 力对轴之矩大小等于该 力在垂直于该轴的平面上 的投影对该平面与该轴交 点的矩
M z (F ) M O ( Fxy )
Fxy h
力对轴之矩是代数量。 正负号规定
z
42
2.空间约束类型举例
FAz
FAy
43
FAz
FAz
FAx
FAy
FAx
FAy
44
45
3.空间力系平衡问题举例
求皮带张力及 轴承A、B的约束反力。 T1 / T2 2
46
FAz
FBz
FAx
FBx
X
0
Z 0
FAx FBx (T1 T2 ) cos 30 0
FAz FBz (T1 T2 ) sin 30 G 0
2 2
2
FRy FRx cos , cos , FR FR
FRz cos FR
7
空间汇交力系的平衡条件 受空间汇交力系作用的刚体，平衡
FR 0
空间汇交力系
的平衡方程
而
FR 0
X 0 Y 0 Z 0
空间汇交力系有3个独立的平衡方程，可解3个 未知量。
8
z
B 60º
45º
45º 45º
FT
x’
FAC
C
15º 45º
Q
y x
A
x 0
D
FT sin 15 Q sin 45 0 FT 54.6 kN
10
2) 取B铰链 为研究对象， 受力如图。
设角如图 列平衡方程： E
z
FE FD
45º 45º
B 60º
FT’
FT
FAC
C
FAB
空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最 一般的形式。
其它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平 衡方程的特例。
空间平行力系的平衡方程
设各力平行z轴，则在空间 任意力系的六个方程中
Z 0 X 0 Y 0 则平衡方程仅 M x ( F ) 0 M (F ) 0
?问题：
24
所以：
力偶作用面的方位也是决定力偶作用效果的要素.
空间力偶三要素： 力偶矩的大小， 力偶的转向， 力偶作用面的方位.
力偶矩矢量
ห้องสมุดไป่ตู้
大小： M =F d
M
方位： 沿力偶作用面的法线 转向： 由右手法则决定
25
研究表明，力偶对刚体的作用完全 可以由力偶矩矢量决定。
力偶矩矢量是自由矢量。 力偶对空间中任一点的矩都等于其力偶矩矢量。
Y
X
Fxy
18
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩在过该点的任一轴上的投影, 等于该力对同一轴的矩(参看教材）
将矢量运算转变成代数运算
19
这样，力对点的矩的计算
可以利用力对轴的矩来计算。
M O ( F ) M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
40
§3-5
空间任意力系的平衡方程
受空间任意力系作用的刚体， 平 衡
1.平衡方程
M M M
X 0 Y 0 Z 0
x
FR 0 MO 0
空间任意力系有 六个独立的平衡 方程，可解六个 未知量。 平衡方程也有四 矩式、五矩式、 六矩式。
41
(F ) 0 y (F ) 0 z (F ) 0
FE
FT’ B 60º
z
FT FAC
C
E
FD
FAB 45º
Q
45º 45º A D x
y
z 0:
因为
FAB FT cos 60 2FD sin 0 FAB 22.9 kN
12
sin 3 5
§3-2
力对点的矩和力对轴的矩
1.力对点的矩用矢量表示—力矩矢
力对点之矩
31
空间任意力系
O
空间汇交力系
合力 作用于O点
+
空间力偶系
合力偶 M0 M M 0 (F )
32
+
结论
空间任意力系向一点O简化，可得一力和一 力偶，该力的大小和方向等于力系的主矢，作用 于简化中心；该力偶的力偶矩等于力系对O点的 主矩。 向不同的点简化时，所得的主矢的大小、方向同； 向不同的点简化时，所得的主矩一般不同。
16
什么情况下 M ( F ) 0 z M z (F ) M O ( Fxy )
讨论
Fxy h
(1) Fxy = 0
平行于 z 轴
(2) h=0 的作用线通过 z 轴
平行于 z 轴
的作用线通过 z 轴
与 z 轴共面
17
力对轴的矩的解析式
M x (F ) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
例题1 已知： Q=20 kN， AB = 3 m, AE=AD=4m, ABC在yAz平 面内，角度如 图，杆重不计。
z B 60º E
45º 45º 45º
FT
FAC
C
Q
A x
y
D
求：BE, BD绳中张力及AB杆的受力。
1) 解： 取C铰链为研究对象，
受力如图
9
建立x’(垂直AC） 坐标轴 如图。 列平衡方程： E
M o ( FR ) M o ( F ) 合力矩定理 M z ( FR ) M z ( F ) 对轴的合力矩定理
39
力系简化结果小结
力系简化的可能结果： 1 平衡 2 合力偶 只有当主矢为零 时，才可能为合力偶。 3 合力 只有当主矢不为零 时，才可能为合力。 如主矢和主矩都不为零，则只有当主矢与主 矩垂直时，才能合成为合力。 4 力螺旋 当主矢和主矩都不为零，且不垂直时，简化 结果为力螺旋。这是最一般的情况。
空间力偶系 的平衡方程
而
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间力偶系有3个独立的平衡方程，可解3个 未知量。
29
§3-4 空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩
空间任意力系的简化方法与平面任意力系的简 化方法相同。 力的平移定理中的附加力偶用矢量表示。
空间任意力系的简化 任选一个 简化中心O O
20
§3-3
空间力偶系
本节的主要内容有： 1. 空间力偶用矢量表示，空间力偶等效定理； 2. 空间力偶系的合成与平衡。
21
1.力偶矩以矢量表示-力偶矩矢
由平面力偶理论知： 力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩；
同平面内的两个力偶等效的条件是：两力偶的力偶矩 的代数值相等；
力偶的力偶矩的大小和力偶的转向不变条件下，力偶 可在力偶平面内任意移转；可同时改变力偶中力的大小 和力偶臂的长短，不改变原力偶对刚体的作用效应。
M x M ix , M y M iy , M z M iz
2 2 2 M M x M y Mz ,
Mx cos , M
My cos , M
Mz cos M
28
空间力偶系的平衡条件
受空间力偶系作用的刚体，平衡
M 0
对于空间力偶，各力偶的作用面可以不同，所 以,需讨论力偶作用面对力偶作用效果的影响。
22
性质
空间力偶除了具有平面力偶的性质外，还有如下
的性质; 空间力偶的作用面可以平行移动，而不改变其对刚 体的作用效果。
23
实例：
开门拧门把手，在门内或门外拧，效果相同； 用螺丝刀拧螺丝，效果与起子柄的长短无关。 在不平行的平面之间，力偶可否等效移动？
33
2. 空间任意力系的简化结果分析
1）.
此时，原力系与一个力偶等效，合成为合力偶。 在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。
2）.
此时，原力系与一个力等效，合成为合力。
34
3.
这时，需进一步讨论。
(1)
d
Mo FR
35
3）. (1) (2)
右手力螺旋 此时无法再进一步简 化，这种共线的一个 力与一个力偶的集合 称为力螺旋。 左手力螺旋
26
2.力偶等效定理
由平面力偶等效定理和上面介绍的性质，可以
得到一般情况下的力偶等效定理。
两力偶等效
两力偶矩矢量相等
3.空间力偶系的合成与平衡条件
空间力偶系的合成
力偶矩矢量是自由矢量。所以: 空间力偶系的合成与空间汇交力系的合成的方法相同。
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力偶系合成的结果仍然是一个力偶，合力偶矩矢 量等于力偶系各力偶矩矢量的矢量和。
2 2 2 M O ( F ) [ Mx( F )] [ My ( F )] [ Mz ( F )]
Mx ( F ) My ( F ) cos , cos , M 0 (F ) M 0 (F )
Mz ( F ) cos M 0 (F )
FR F1 F2 Fn Fi
由合力投影定理，合力的投影为：
FRx X ,
FRy Y ,
FRz Z
6
合力的投影为：
FRx X , FRy Y , FRz Z