正多边形概念
正多边形的特征与性质
正多边形的特征与性质正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形。
它的特征和性质让人不禁为之着迷。
在这篇文章中，我们将探讨正多边形的一些有趣的特征与性质。
首先，正多边形的边数与内角数是相等的。
这是因为每个内角都是由中心点向多边形的两个相邻顶点所形成的，而边数就是指顶点的数量。
所以，一个正五边形就有五个边和五个内角，一个正六边形就有六个边和六个内角，以此类推。
其次，正多边形的内角可以通过简单的公式计算。
假设正多边形的边数为n，那么每个内角的度数可以用公式180°×(n-2)/n来表示。
例如，一个正五边形的每个内角度数为180°×(5-2)/5=108°，一个正六边形的每个内角度数为180°×(6-2)/6=120°。
这个公式的推导过程相对复杂，但它为我们计算正多边形的内角提供了便利。
除了内角，正多边形的外角也有一些特殊性质。
外角是指由多边形的一条边和其相邻边所形成的角。
对于任意一个正多边形，它的外角度数等于360°/n，其中n是边数。
这意味着正多边形的每个外角都是相等的。
例如，一个正五边形的每个外角度数为360°/5=72°，一个正六边形的每个外角度数为360°/6=60°。
这个性质有时被用于解决一些几何问题。
正多边形的对角线也有一些有趣的性质。
对角线是指连接多边形中不相邻顶点的线段。
对于正多边形来说，它的对角线数量可以通过公式n×(n-3)/2来计算，其中n是边数。
例如，一个正五边形有5×(5-3)/2=5条对角线，一个正六边形有6×(6-3)/2=9条对角线。
这个公式的推导过程也相对复杂，但它为我们计算正多边形的对角线数量提供了便利。
除了数量，正多边形的对角线还有一些有趣的性质。
首先，对于任意一个正多边形，它的对角线长度都是相等的。
这是因为正多边形的对角线可以分为两类：从一个顶点出发的对角线和从中心点出发的对角线。
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
正多边形的内角和外角
正多边形的内角和外角正多边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多有趣的特性。
其中之一就是正多边形的内角和外角的关系。
在本文中，我将为大家详细介绍正多边形的内角和外角的性质和计算方法。
一、正多边形是指所有边相等、所有内角相等的多边形。
在正多边形中，每个内角都相等，记为α，每个外角也相等，记为β。
我们可以通过以下公式计算正多边形的内角和外角：内角和：S = (n - 2) × 180°外角和：T = n × 180° - S其中，n代表正多边形的边数。
根据这两个公式，我们可以得出以下结论：1. 内角和：正多边形的内角和等于(n - 2) × 180°。
这个公式的推导可以通过将正多边形分割成n个三角形，然后计算每个三角形的内角和得到。
例如，一个正五边形的内角和为(5 - 2) × 180° = 540°。
2. 外角和：正多边形的外角和等于n × 180° - 内角和。
这个公式的推导可以通过将正多边形的内角和与每个内角的补角相加得到。
例如，一个正五边形的外角和为5 × 180° - 540° = 900°。
二、内角和和外角和的性质正多边形的内角和和外角和具有一些重要的性质，我们可以通过以下例子来说明：例子1：考虑一个正六边形，每个内角为120°。
根据内角和的公式，我们可以计算出内角和为(6 - 2) × 180° = 720°。
根据外角和的公式，我们可以计算出外角和为6 × 180° - 720° = 720°。
可以看出，正六边形的内角和和外角和相等。
例子2：考虑一个正四边形，每个内角为90°。
根据内角和的公式，我们可以计算出内角和为(4 - 2) × 180° = 360°。
正多边形的性质与定理
正多边形的性质与定理正多边形是一个经过严格定义和规定的几何形状，它具有一些独特的性质和定理。
本文将探讨正多边形的性质和一些相关的定理。
1. 定义正多边形是一种具有相等边长和相等内角的多边形。
其中，边长表示多边形的边的长度，内角表示多边形内部两条边之间的夹角。
2. 性质（1）边数与内角数的关系：正多边形的边数n决定了它的内角数。
根据数学定理，正多边形的内角数等于(n-2)×180度。
因此，正三角形的内角数为180度，正四边形为360度，正五边形为540度，以此类推。
（2）内角的大小：由于正多边形的内角数相等，所以每个内角的大小等于总的内角和除以内角数。
举例来说，正六边形的内角等于720度除以6，即每个内角为120度。
（3）外角的大小：与内角相对应的是正多边形的外角。
正多边形的外角等于360度除以内角数。
以正五边形为例，它的内角数为540度，所以每个外角为360度除以5，即72度。
3. 定理（1）正多边形的对角线：正多边形的对角线是指连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。
根据需要，根据多边形的边数，我们可以对正多边形的对角线进行分类讨论。
对于正三角形，它只有三条边，没有对角线。
对于正四边形，它有两条对角线，且两条对角线相等且互相垂直。
对于正五边形，它有五条对角线，且五条对角线相等。
对于正六边形，它有九条对角线，且三条对角线相等且互相平行，另外六条对角线相等且交于中心点。
（2）正多边形的面积：正多边形的面积可以通过不同的公式计算，具体的公式取决于已知的信息。
对于正三角形，它的面积等于边长的平方乘以根号3除以4。
对于正四边形，它的面积等于边长的平方。
对于正五边形，它的面积等于(边长的平方乘以根号5乘以(5+根号5)除以4)。
对于正六边形，它的面积等于(3乘以边长的平方乘以根号3除以2)。
4. 结论正多边形具有以上所述的性质和定理。
这些性质和定理奠定了正多边形在几何学中的重要地位，并且在实际应用中也具有广泛的意义。
中考数学复习----《正多边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正多边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正多边形的概念：每一条边都相等且每个角都相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形的内角度数：正多边形的每个内角度数为：()nn︒⨯−1802。
（n表示多边形的边数）3.正多边形的外角度数：正多边形的每个外角度数为：n ︒360。
（n表示多边形的边数）4.正多边形内外角的关系：正多边形的每一个内角与它每一个外角互补。
即()︒=︒+︒⨯−1803601802nnn练习题1、（2022•江西）正五边形的外角和为度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解答】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．2、（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．3、（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4 B．6 C．7 D．5【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，方法二：设多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，解得n＝5，所以，这个多边形的边数为5．故选：D．4、（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），故选：C．5、（2022•南充）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以AB为边向内作正△ABF，得出∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，从而选择正确选项．【解答】解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意；∵以AB为边向内作正△ABF，∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，∵AE＝AB，∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，∴A、B不符合题意；∴∠F≠∠EAF，∴C符合题意；故选：C．6、（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为．【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．7、（2022•菏泽）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝．【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，则2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角为2x＝72°，∵正n边形外角和为360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案为：5．8、（2022•泰州）正六边形的一个外角的度数为°．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60．9、（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．10、（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为．【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，故答案为：4．11、（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．12、（2022•西宁）若正n边形的一个外角是36°，则n＝．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案为：10．13、（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．14、（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．22mm C．23mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．。
2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积【含答案】
2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积【知识要点】知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）知识点二求弧长与扇形面积设⊙ria MO的半径为R，圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）180扇形面积公式：母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（l为母线）备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积【考查题型】考查题型一求多边形中心角典例1．（2020·福建模拟）将下列四个正多边形同时绕中心开始旋转，且旋转角相等，则最先与原图形重合的是（）A．B．C．D．【答案】D【提示】由于正多边形是旋转中心对称图形，分别求出各个正多边形的中心角底数，比较大小即可得到结论.【详解】正方形中心角的度数=360=904︒︒；正五边形中心角的度数=360=725︒︒；正六边形中心角的度数=360=606︒︒；正八边形中心角的度数=360=458︒︒；∵457290︒︒︒︒＜60＜＜， ∴最先与原图形重合的是正八边形. 故选：D.变式1-1．（2020·富顺县一模）正六边形的边长为4，则它的面积为（ ） A ．3B ．3C ．60D ．123【答案】B【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB 的度数及OG 的长，再由△OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG ⊥AB 于G ∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB =3606︒=60°； ∵OA =OB ，∠AOB =60°,OG ⊥AB ∴△OAB 是等边三角形，1302AOG AOB ∠=∠=︒ ∴OA =AB =4， ∴OG =OA 33 ∴S △OAB =12×AB ×OG =12×4×33 ∴S 六边形=6S △OAB =6×33 故选：B ．变式1-2．（2020·天津和平区模拟）如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（ ）A ．(2,23B ．()2,2-C ．(2,23-D ．(3-【答案】C【提示】连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt∠GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可． 【详解】 解：连接OF ，在Rt∠OFG 中，∠GOF=13603026⨯=，OF=4． ∠GF=2，3 ∴F （-2，3． 故选C ．变式1-3．（2020·河北唐山市二模）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，若连接BM ，则MBC ∠的度数是（ ）A．12︒B．15︒C．30D．48︒【答案】A【提示】连接BM，OA，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，求出∠BOM，从而得到∠MOC，再根据圆周角定理得出∠MBC.【详解】解：连接BM，OA，OC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB=∠BOC=3605︒=72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM=3603︒=120°，∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，∴∠MOC=∠BOC-∠BOM=72°-48°=24°，∴∠MBC=12∠MOC=12°，故选A.考查题型二已知正多边形中心角求边数典例2．（2020·江苏南通市模拟）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【答案】C【提示】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360︒，用360︒除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10︒÷︒．则这个多边形是正十边形．故选：C．变式2-1．（2020·福建模拟）一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【提示】先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．【详解】设圆内接正n边形的中心角的度数为x︒由弧长公式得：33 1804 xππ⋅=解得45x=即圆内接正n边形的中心角的度数为45︒则360845n︒==︒故选：B．考查题型三正多边形与圆典例3．（2020·四川中考真题）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】A【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形,BOH利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R ，如图，,,,OB R OH a OH BC ==⊥ 由ABC 为圆O 内接正三角形，60,BOH ∴∠=︒则正三角形的边心距为a ＝R ×cos60°＝12R ． 如图，四边形ABCD 为圆O 的内接正方形，,,,OB R OH b OH BC ==⊥ 45,BOH ∴∠=︒四边形的边心距为b ＝R ×cos45°＝22R ， 如图，六边形ABCDEF 为圆O 的正内接六边形，,,,OB R OH c OH BC ==⊥30,BOH ∴∠=︒正六边形的边心距为c ＝R ×cos30°＝32R ． ∵12R 22<R 32<R ， ∴a ＜b ＜c ， 故选：A ．变式3-1．（2020·湖北随州市·中考真题）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．34r =D ．3R =【答案】C 【提示】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ． 【详解】如图所示,标上各点∠AO 为R∠OB 为r ∠AB 为h， 从图象可以得出AB=AO+OB∠即h R r =+∠A 正确∠∵三角形为等边三角形∠ ∴∠CAO=30°∠根据垂径定理可知∠ACO=90°∠ ∴AO=2OC∠即R=2r ∠B 正确∠在Rt △ACO 中，利用勾股定理可得∠AO 2=AC 2+OC 2∠即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∠ 由B 中关系可得∠()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得3=r ∠则3R =∠所以C 错误，D 正确； 故选：C ．变式3-2．（2020·山东德州市·中考真题）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=， 故选：A ．考查题型四 利用弧长公式求弧长、圆心角、半径典例4．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =2BC =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则DE⏜的长为（ ）A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【提示】先根据矩形的性质可得2,90AD BC BAD B ==∠=∠=︒，再根据圆的性质可得2AE AD ==，然后利用余弦三角函数可得30BAE ∠=︒，从而可得60DAE ∠=︒，最后利用弧长公式即可得． 【详解】四边形ABCD 是矩形，3AB =2BC =2,90AD BC BAD B ∴==∠=∠=︒由圆的性质得：2AE AD == 在Rt ABE △中，3cos AB BAE AE ∠==30BAE =∴∠︒60DAE BAD BAE ∴∠=∠-∠=︒则DE ⏜的长为60221803ππ⨯⨯=故选：C ．变式4-1．（2020·内蒙古）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD⏜的长为（ ）A ．2πB ．4πC 2πD 2π【答案】D【提示】 根据::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=求出COD ∠的度数，根据4CD =得到半径，运用弧长公式计算即可．【详解】∠:7:11∠∠=AOD DOB ，+180∠∠=︒AOD DOB ， ∠71807018AOD ∠=︒⨯=︒， 又∠:2:7∠∠=AOC AOD ，∠20AOC ∠=︒ ，∠90COD ∠=︒，又∠4CD =， ∠16222OD == ∴CD ⏜=90222180180n ODπππ⨯⨯⨯⨯==． 故答案选D ．变式4-2．（2020·江苏苏州市·九年级二模）一个扇形的圆心角为120︒，扇形的弧长等于4,π则该扇形的面积等于（ ）A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π【答案】C【提示】根据弧长公式180n r l π=，代入求出r 的值，即可得到结论． 【详解】解：由题意得，4π＝120180r π， 解得：r ＝6，∴S ＝1642π⨯⨯＝12π． 故选：C.变式4-3．（2020·黑龙江哈尔滨市模拟）若扇形的圆心角是150︒，且面积是2240cm π，则此扇形的弧长是（ ）A ．10cm πB ．20cm πC ．30cm πD ．40cm π【答案】B 【提示】 先根据S 扇形=2360n R π求出该扇形的半径R ，然后再根据S 扇形=12lR 即可求得弧长l ． 【详解】解：由S 扇形=2360n R π，n=150°，可得240π=2150360R π，解得R=24； 又由S 扇形=12lR 可得240π=1242l ⨯，解得l =20π． 故答案为B ．变式4-4．（2020·辽宁盘锦市一模）一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A ．80°B ．90°C ．100°D ．120° 【答案】B【提示】 直接由弧长公式180n r l π=，结合题意可得出扇形圆心角的度数． 【详解】解：∵弧长是π，半径是2， ∴2180n ππ=， 解得：90n =︒变式4-5．（2020·扬州二模）如图，将等边△ABC 的边AC 逐渐变成以B 为圆心、BA 为半径的AC⏜，长度不变，AB 、BC 的长度也不变，则∠ABC 的度数大小由60°变为（ ）A ．（60π）° B ．（90π）° C ．（120π）° D ．（180π）°【答案】D【提示】设∠ABC 的度数为n ，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【详解】解：设∠ABC 的度数大小由60变为n ，则AC=180n AB π，由AC=AB ， 解得n=180π故选D ．变式4-5．（2020·广西中考真题）如图，已知AB 的半径为5，所对的弦AB 长为8，点P 是AB⏜的中点，将AB⏜绕点A 逆时针旋转90°后得到AB ′⏜，则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是（ ）A 5πB 5C ．5πD ．2π【答案】B【提示】根据已知AB⏜的半径为5，所对的弦AB 长为8，点P 是AB ⏜的中点，利用垂径定理可得AC ＝4，PO ⊥AB ，再根据勾股定理可得AP 的长，利用弧长公式即可求出点P 的运动路径长．如图，设AB⏜的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP, AB′, AP′,∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，根据垂径定理，得AC＝12AB＝4，PO⊥AB，OC22OA AC-＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP22AC PC+5∵将AB⏜绕点A逆时针旋转90°后得到AB′⏜，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴L PP′＝905180π⨯5．则在该旋转过程中，点P5π．故选：B．考查题型五扇形面积的相关计算典例5．（2020·江苏南通市·中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）． 故选：B ．变式5-1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π【答案】A【提示】 本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题．【详解】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示：由已知得：四边形DCEO 为矩形．∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积．2290105410==10360360AOB AOC S S S πππ••••--=阴影扇形扇形． 故选：A ．变式5-2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在⊙O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．22πB ．2πC ．22π- D ．2π-【答案】D【提示】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB 算出结果.【详解】解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-， 故选D.变式5-3．（2020·山东日照市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝3AE ＝9，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π932B ．12π﹣3C ．3π934D ．3【答案】A【提示】根据垂径定理得出CE=DE=12CD ＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝3 设⊙O 的半径为r ，在直角△OED 中，OD 2＝OE 2+DE 2，即222(9)(33)r r =-+，解得，r ＝6，∴OE ＝3，∴cos ∠BOD ＝3162OE OD ==， ∴∠EOD ＝60°， ∴13666BOD S ππ=⨯=扇形，19333322RT OED S =⨯⨯=， 根据圆的对称性可得： ∴9=632S π阴影 故选：A ．变式5-4．（2020·西藏中考真题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．433πB ．4233π-C ．833πD ．8233π-【答案】D【提示】 根据垂径定理得到AE⏜＝CE ⏜，AD ＝CD ，解直角三角形得到OD ＝12OA ＝2，AD ＝32OA ＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝90°，AE⏜＝CE ⏜，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝32＝3 ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO ＝2604360π⋅⨯﹣1232⨯＝83π﹣3 故选：D ．变式5-5．（2020·宁夏中考真题）如图，等腰直角三角形ABC 中，90,2C AC ∠=︒=C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．14π-B ．14π-C ．24π- D ．14π+ 【答案】A【提示】连接CD ，并求出CD 的值，再分别计算出扇形ECF 的面积和等腰三角形ACB 的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接CD ，如图，∵AB 是圆C 的切线，∴CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD=12AB ， ∵90,2C AC ∠=︒=AC=BC ，∴AB=2，∴CD=1， 21901=22123604ABC ECFS S S ππ∆⨯∴-==-阴影扇形 故选：A ． 考查题型六 圆锥侧面积的相关计算典例6．（2020·湖南中考真题）一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ） A ．3πB ．3C ．5D ．5 【答案】C【提示】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】 221020+5， 这个圆锥的侧面积＝1255． 故选：C ．变式6-1．（2020·山东东营市·中考真题）用一个半径为3,面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A．πB．2πC．2D．1【答案】D【提示】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得12•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D．变式6-2．（2020·青海中考真题）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．3.6B．1.8 C．3D．6【答案】A【提示】先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径．【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°-252°=108°阴影部分的弧长为：1081236= 1805ππ⋅设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则3625rππ=，即183.65r==故选：A．变式6-3．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，有一块半径为1m，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．154D 3 【答案】C【提示】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r πππ⨯⨯==m ， 则圆锥的底面半径是：()1224ππ÷=m ， 22115144⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 故选：C ．变式6-4．（2020·山东德州市·九年级三模）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的直径为10cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是( )A ．150°B ．200°C ．180°D ．240°【答案】B【提示】 因为展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长，根据弧长公式列方程即可．【详解】 解：•910180n ππ=， 解得n=200°．故选B ．变式6-5．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级一模）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．180° 【答案】C【详解】解:设母线长为R ，底面半径为r ，可得底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=12lr=πrR ， 根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得3πr 2=πrR ，即R=3r.根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n ，有2180n R r ππ=， 即32180n r r ππ⋅=. 可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数n=120°．故选C ．。
正多边形和圆
正多边形和圆【基础知识精讲】一、基本概念(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心：正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心.(3)正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.(4)正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距.(5)正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于n ︒360.二、定理(1)把圆分成n(n≥3)等份：①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.(2)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.三、值得注意的问题(1)正多边形的定义中的两个条件“各边都相等”，“各角都相等”缺一不可.(2)正n边形每一个中心角和每一个外角都相等，都等于n ︒360.(3)边数相同的正多边形相似，与相似三角形性质类似.【重点难点解析】本节的重点是正多边形的概念及正多边形和圆的关系的两个定理.难点是对正多边形和圆关节的理解和证明.〔例1〕求证：以正多边形的内切圆的切点为顶点的多边形是正多边形.以正五边形为例证明.如图7-36所示，已知正五边形ABCDE 的各边切⊙O 于点A′、B′、C′、D′、E′.求证：五边形A′B′C′D′E′为正五边形.〔证明〕连结OA′、OE′、OB′.则OE′⊥AE，OA′⊥AB，OB′⊥BC， 即∠AE′O＝∠AA′O＝∠BA′O＝∠BB′O＝90° ∵∠A＝∠B，而在四边形AA′OE′和A′BB′O 中， 有∠A＝∠A′OE′，∠B＝∠A′OB′，∴∠A′OE′＝∠A′OB′，∴⌒''E A ＝''B A ⌒同理有''B A ⌒＝''C B ⌒＝''D C ⌒＝''E D ⌒即A′、B′、C′、D′、E′五点把⊙O 五等份. ∴五边形A′B′C′D′E′为正五边形.〔例2〕如图7-37所示，已知正五边形ABCDE，求作正五边形ABCDE的内切圆.〔作法〕(1)分别作BC、CD两边的垂直平分线，交点为O.(2)以O为圆心，以O到CD的距离(OM的长)为半径作圆，则⊙O 就是五边形ABCDE的内切圆.【难题巧解点拨】〔例1〕求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形.已知：如图7-38，五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.边AB，BC，CD，DE，EA分别与⊙O相切于点A′，B′，C′，D′，E′.求证：五边形ABCDE是正五边形.〔证明〕连结OA′，OB′，OE′，则OA′⊥AB，OB′⊥BC，OE′⊥AE.由∠A＝∠B ⇒∠E′OA′＝∠A′OB′⇒''E A ⌒＝''B A ⌒，同理，''B A ⌒＝''C B ⌒＝''D C ⌒＝''E D ⌒＝''A E ⌒，即切点A′，B′，C′，D′，E′是⊙O 的五等分点.由“把圆分成n 等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形”知，五边形ABCDE 是正五边形.〔例2〕如图7-39，已知：六边形ABCDEF 中∠A＝∠B＝∠C＝∠D ＝∠E＝∠F，边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 与⊙O 分别相切于点A′、B′、C′、D′、E′、F′，求证：六边形ABCDEF 为正六边形(即各角相等的圆外切六边形是正六边形)证明：作⊙O 的半径OA′，OC′，OB′ ∴OA′⊥AB，OB′⊥BC，OC′⊥CD， ∠B＝∠C，∴∠1＝∠2∴''C B ⌒＝''D C ⌒＝''E D ⌒＝''F E ⌒＝''A F ⌒即切点A′、B′、C′、D′、E′、F′为⊙O 六等分点 ∴六边形ABCDEF 为正六边形【课本难题解答】例.如图7-40，正五边形的对角线AC 和BC 相交于点M.求证：(1)ME ＝AB ；(2)ME 2＝BE·BM(1)提示：根据正多边形都有外接圆和同圆中圆周角与圆心角的关系.可知∠AEM＝25a ＝36°，∠EAM＝α5＝72°由三角形内角和定理可得∠EMA＝72° 所以ME ＝EA ＝AB(2)提示：△ABE∽△MAB ⇒AB 2＝MA·BE ⇒ME 2＝BE·BM【命题趋势分析】正多边形和圆是各类考试所要考查内容，其考查题型一般是选择题，填空题.【典型热点考题】例1.正十五边形的中心角等于 度.(2000年上海)分析：运用“正n 边形每个中心角都等于n︒360”求解，应填24。
正多边形的特点和性质
正多边形的特点和性质一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。
二、正多边形的性质1.正多边形的所有边相等。
2.正多边形的所有角相等。
3.正多边形的对角线互相平分，且对角线将正多边形分成若干个全等的小三角形。
4.正多边形的中心角等于其所对的外角，且中心角和外角的和为180度。
5.正多边形的内角和为(n-2)×180度，其中n为正多边形的边数。
6.正多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
三、正多边形的特点1.正多边形的边数必须是正整数。
2.正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
3.正多边形的面积可以通过其边长和中心角来计算。
4.正多边形的外接圆半径等于其边长乘以根号2除以2。
5.正多边形的内切圆半径等于其面积除以边长。
四、正多边形与圆的关系1.正多边形的中心即为外接圆的圆心。
2.正多边形的边长等于外接圆的直径。
3.正多边形的内切圆半径等于其中心到边的距离。
五、正多边形的分类1.根据边数，正多边形可以分为正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等。
2.根据对称性，正多边形可以分为正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。
六、正多边形的应用1.在建筑中，正多边形的形状常用于设计美观和结构稳定。
2.在艺术中，正多边形的形状常用于图案设计和装饰。
3.在数学中，正多边形的研究可以帮助理解多边形的性质和几何学的基本概念。
七、正多边形的证明1.欧几里得证明了正多边形的中心角等于其所对的外角。
2.欧拉证明了正多边形的对角线互相平分。
3.哈密顿证明了正多边形的中心到边的距离等于内切圆半径。
八、正多边形的拓展1.正多边形可以扩展为正多面体，即所有面都是正多边形的三维图形。
2.正多边形的对称性可以扩展到正多面体的对称性。
3.正多边形的性质和应用也可以扩展到正多面体。
习题及方法：1.习题：一个正八边形的边长是8厘米，求它的面积。
答案：首先，正八边形的中心角是360°/8 = 45°。
九年级数学专题18 正多边形与圆(知识点串讲)(解析版)
专题18 正多边形与圆【重点突破】知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）【考查题型】考查题型一求正多边形的中心角典例1．（2019·南京市期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】B【提示】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．【详解】解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°．故选B．【名师点拨】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．变式1-1．（2020·淮安市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O半径为2，则六边形的边心距OM 的长为（）A．2 B．3C．4 D3【答案】D【提示】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出3=OM OB即可求解．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴333 OM故选：D．【名师点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．变式1-2．（2019·宿迁市期末）正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．93B．332C3D．33【答案】B【提示】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC 的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC=16×360°=60°， ∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∵正六边形ABCDEF 的周长为6， ∴BC=6÷6=1， ∴OB=BC=1， ∴BM=12BC=12， ∴2222131()22OB BM -=-=， ∴S △OBC =12×BC×OM=1331224⨯⨯= ， 3336=． 故选：B ． 【名师点拨】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1-3．（2020·东台市期末）在一块半径为2cm 的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（ ） A ．1cm B 3cm C ．2cm D ．3cm【答案】D 【提示】画出图形，作OC AB ⊥于点C ，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC 的长即可得出AB 的长. 【详解】解：依题意得3603120AOB ∠=︒÷=︒， 连接OA ，OB ，作OC AB ⊥于点C ， ∵OA OB =，∴2AB AC =，60AOC ∠=︒， ∴sin 603cm AC OA =⋅︒=， ∴223cm AB AC ==． 故选：D ．【名师点拨】本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.变式1-4．（2019·宿迁市期中）如图，已知正六边形ABCDEF ，则∠ADF ＝_____度．【答案】30 【提示】找到AD 的中点O ，连接OF ，由多边形是正六边形可求出∠AOF 的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF 的度数． 【详解】解：由题意知：AD 是正六边形的外接圆的直径， 找到AD 的中点O ，连接OF ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOF ＝3606︒＝60°， ∴∠ADF ＝12∠AOF ＝12×60°＝30°．故答案为：30．【名师点拨】此题考查的是圆与正六边形，掌握圆的内接正六边形的性质和同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键．变式1-5 （2019·房县期末）若用αn表示正n边形的中心角，则边长为4的正十二边形的中心角是____．【答案】30º【提示】根据正多边形的中心角的定义，可得正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．故答案为：30º．【名师点拨】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．考查题型二已知正多边形的中心角求边数典例2．（2018·东台市期末）如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是（）．A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】÷=．试题提示：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725变式2-1．（2020·宿豫区期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【提示】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【名师点拨】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．变式2-2．（2019·赣榆区期中）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .【答案】15.【提示】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行提示即可得. 【详解】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15.【名师点拨】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．考查题型三正多边形和圆典例3．（2020·浔阳区期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是23cm，则这个正六边形的周长是（）A．12 B．63C．36 D．123【答案】D【提示】由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA，即可得出答案【详解】设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=60°，AO=BO=23cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=23cm，∴正六边形ABCDEF的周长=6AB=123cm.故选D【名师点拨】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键. 变式3-1．（2018·射阳县期末）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定【答案】B【解析】设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n︒，正多边形的一个外角等于360n︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．故选B．变式3-2．（2018·合肥市期末）如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是弧AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【提示】首先连接OB，OC，由O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BEC的度数．【详解】连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=12∠BOC=45°．故选B．变式3-3（2020·泉州市期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【提示】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．【详解】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，∴360°÷36°＝10，∴排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个五边形．故选：B．【名师点拨】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．变式3-4．（2020无锡市期中）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则SS阴影空白的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C【详解】解：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即SS阴影空白=5．故选C．【名师点拨】本题考查正多边形和圆．变式3-5．（2019·临川市期中）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【提示】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【名师点拨】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.变式3-6．（2020·吴江区期末）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．22B．2C．22D．1【答案】B【解析】试题解析：如图所示，连接OA、OE，∵AB 是小圆的切线，∴OE ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AE =OE ，∴△AOE 是等腰直角三角形， 2 2.2OE OA ∴== 故选B. 变式3-7．（2019·徐州市期末）已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ） A ．43 B ．23 C ．33 D ．322【答案】C【提示】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角形的边长为3，高为32，从而可得出面积． 【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，∵△ABC 为正三角形，AO=1，AD BC ⊥，BD=CD ，AO=BO ，∴1DO 2=，32AD =， ∴223BD 2OB OD =-=， ∴BC 3=∴13333224ABC S =⨯=． 故选：C ．【名师点拨】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．考查题型四利用尺规作正多边形典例4．（2019·扬州市期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
27.4正多边形和圆(学生版)
27.4第7讲正多边形和圆目标导航1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.知识精讲知识点01 正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．【微点拨】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).【即学即练1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°知识点02 正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【微点拨】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.【即学即练2】如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°图1 图2知识点03 正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
第四讲 圆与正多边形
正多边形和圆【内容概述】正多边形的定义、正多边形的相关概念、正多边形的性质、正多边形的有关计算、正多边形与圆【知识透析】知识点1：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．知识点2：正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心角；（2）正多边形的中心o；（3）正多边形的半径R；（4）正多边形的边心距r知识点3：正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；（2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心．知识点4：正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒．例1．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是__________边形例2．一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________知识点5：正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆； （2）用尺规等分圆对于一些特殊的正n 边形，可以用圆规和直尺作图．例1：画一个边长为2cm 的正六边形。
如图1，2，以2cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于︒=︒606360的圆心角它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到6个等分点，顺次连接各等分点，即可得出正六边形。
图1 图2 知识点6：圆与正多边形（1）正多边形的外接圆以及相关要素； （2）正多边形的内切圆以及相关要素． 【典型例题】1．填写下列表中的空格错误！未指定书签。
正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长 面积3 234 1 6 2 n2．有一边长为4的正n 边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的半径为_________ 3．正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________4．同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________ 5．正九边形的半径为R ，则它的边长是_____ 6．一个正n 边形的中心角是它的一个内角的15，则n ＝_________. 7．如图，已知⊙O 和⊙O 上一点A①用尺规作正六边形，使得⊙O是这个证六边形的外接圆，且点A是正六边形的一个顶点②若这个证六边形的边长为2cm，这个正六边形的面积是cm2AO8．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形9．正n边形的一个外角等于20°，则n ．10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝°．11．已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．12．已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的边长．13．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．O14．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．OEFA BCDM15．已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点， =CDBD ，AC 是四边形ABCD 的对角线。
正多边形的性质
思考: 过正五边形ABCDE的顶点A、B、C
作⊙O,连接OA、OB、OC、OD、OE，DE
两点在⊙O上吗？
D
证明：如图：∵OB=OC 又∵∠ABC=∠BCD
∴∠1=∠2 E
∴∠3=∠4
∵AB=DC ∴△OAB≌△ODC
∴OA=OD
A
即点D在⊙O上，同理可以证明
点E也在⊙O上.
4C
●
2
O1
3
B
定理：任何正多边形都有一个外接圆和
内角 (n 2) 180 n
正多边形的半径:
.半径R
F
O
中心角
边心距r
C
外接圆的半径
正多边形的中心角:
A
B
正多边形的边心距：
中心角 360
r R2（ a）2
n
2
正多边形的面积： S n(1 ar) 1 Lr
22
三、正多边形的有关计算
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
正多边形的性质及对称性
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外 切正n边形，反过来，是不是每个正多边形都有一 个外接圆与一个内切圆呢？ 我们仍以正五边形为例来进行研究。
则此多边形的边数是
.
• 4．已知圆内接正方形的边长为2，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
• 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
九年级数学上册 3.7《正多边形》
概念学习
一、探究：正多边形
下列图形从边，角的角度来看，分别有什么特征？
正三 角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
正多边形概念:
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
巩固练习
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
不是，因为四条边 相等，但是四个角 不相等。
不是，因为四个角 相等，但是四条边 不相等。
画：
已知正三角形，用直尺和圆规做它的外接圆.
画圆的两个条件？
确定圆心和半径
做法：做正三角形各边 的垂直平分线，其交点 就是圆心，圆心到三角 形顶点的连线就是圆的 半径。
探索新知
思考：
如何画一个边长为2cm的正六边形， 你有什么方法呢？
如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画
日常生活中, 我们经常能看到正多边形的物体,利 用正多边形,我们也可以得到许多美丽的图案,你还 能举出一些这样的例子吗?
探索新知
二、探究：正多边形的性质
108°
每条边都相等 60°
每个角都相等
135°
正n边形内角和：
(n－2)×180°
巩固练习
做一做：
已知一个多边形的内角为176.4°，这个正多 边形是几边形？
作业：
1、用正多边形设计一种你喜欢的图案. 2、完成课本100页第1、2、3题.
再见！
请大家想一想有没有内角为100°的正多边形？
探索新知
三、探究：正多边形轴对称性和中心对称性
1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗？都是 中心对称图形吗？ 2.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对 称性，以及轴对称图形的条数。
正多边形对角线与边数的关系。
正多边形对角线与边数的关系。
1. 引言1.1 正多边形定义正多边形是指所有边长度相等且所有内角也相等的多边形。
在正多边形中，每个内角的度数都是固定的，可以通过正多边形的边数来计算。
正多边形的定义可以追溯到古希腊数学家，如欧几里德和毕达哥拉斯。
正多边形是几何学中重要的概念，具有许多特殊性质和规律。
在几何学中，正多边形的每条对角线可以连接多边形中的任意两个非相邻顶点，将多边形分成两个三角形。
对角线的作用是连接多边形中的不同顶点，形成一种内部连接，可以帮助我们研究多边形的性质和结构。
正多边形的对角线数量与边数之间有着特定的关系，这种关系可以通过数学方法进行计算和证明。
通过对正多边形的定义和对角线的概念的理解，我们可以更深入地研究多边形的性质和特点，以及对角线与边数之间的关系。
在接下来的内容中，我们将进一步探讨正多边形对角线数的计算、对角线长度的公式、对角线与边数的关系、正三角形的特殊性质，以及对角线与内角的关系。
这些内容将帮助我们更好地理解正多边形的几何特性。
1.2 对角线的概念对角线是连接多边形两个不相邻顶点的线段，通常在正多边形中由内部的一个点延伸到另一个点。
对角线在正多边形中有重要的作用，它不仅能够帮助我们计算多边形的对角线数量和长度，还能揭示多边形内部各个角之间的关系。
在正多边形中，每个顶点都可以连接到除自身和相邻顶点外的其他顶点，形成一条对角线。
一个正多边形的对角线数量可以通过以下公式计算：n(n-3)/2，其中n为多边形的边数。
这个公式可以帮助我们快速准确地计算出正多边形的对角线数量，而无需一一连接每个顶点。
在正多边形中，对角线的长度可以通过一条边的长度和多边形的中心到顶点的距离来计算。
具体公式为：d=2r*cos(π/n)，其中d为对角线的长度，r为多边形的外接圆半径，n为多边形的边数。
这个公式可以帮助我们求解任意正多边形的对角线长度，从而更好地理解多边形的形状和结构。
2. 正文2.1 正多边形对角线数的计算正多边形是指所有边和所有角均相等的多边形。
九年级数学第三章圆内接正多边形
正多边形和圆【学习目标】1. 了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2 .理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中央角之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形：3 .会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.要点进阶：判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件：(1)各边相等：(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1 .正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.2 .正多边形的有关概念(1) 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中央.(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中央角.(4)正多边形的中央到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.3 .正多边形的有关计算f«-2Y1800(1)正n边形每一个内角的度数是i——L------------------- ；360°(2)正n边形每个中央角的度数是—:n360°(3)正n边形每个外角的度数是—.n要点进阶：要熟悉正多边形的根本概念和根本图形,将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1 .正多边形都只有一个外接圆,圆有无数个内接正多边形.2 .正n边形的半径和边心距把正n边形分成2 n个全等的直角三角形.3 .正多边形都是轴对称图形,对称轴的条数与它的边数相同,每条对称轴都通过正n边形的中央：当边数是偶数时,它也是中央对称图形,它的中央就是对称中央.4,边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆要点进阶：〔1〕各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形：〔2〕各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四.正多边形的画法1 .用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角〔即等分顶点在圆心的周角〕可以等分圆：根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2 .用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形,可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在.0中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份,从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧〔即作NAOB 的平分线交出于E〕就可作出正八边形、正十六边形等,边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在.0中,任画一条直径AB,分别以A、B为圆心,以.0的半径为半径画弧与..相交于C、D和E、F,那么A、C、E、B、F、D是..的6等分点.显然,A、E、F〔或C、B、D〕是..的3等分点.要点进阶：面正n边形的方法：〔1〕将一个圆n等份,〔2〕顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1.如下图,正五边形的对角线AC和BE相交于点M.〔1〕求证：AC/7ED：〔2〕求证：ME=AE.例2.如图,正方形ABCD内接于OO, E为DC的中点,直线BE交.0于点F,假设OO的半径为小云那么BF的长为.举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于〔〕A. 3： 4B. <3： 2C. 2： <3 D・ 1： 2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图,AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线.〔1〕在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中,连接两个顶点,使连接的线段与AG平行,并说明理由：〔2〕两边延长AB、CD、EF、GH,使延长线分别交于点P、Q、M、N,假设AB=2,求四边形PQMN的例4. 如图〔1〕所示,圆内接aABC中,AB=BC=CA, OD、0E为..的半径,OD_LBC于点F, OE±AC于点G,求证：阴影局部四边形OFCG的面积是^畋的面积的3图⑴举一反三：【变式】如下列图,假设NDOE保持120°角度不变,求证：当ND0E绕着0点旋转时,由两条半径和AABC 的两条边围成的图形,图中阴影局部的面积始终是AABC的面积的,.3【稳固练习】一、选择题1 .等边三角形的内切圆半径,外接圆半径和高的比是〔〕A. 1 ： 2：B. 2： 3： 4C. 1 ： 2D. 1： 2： 32 .将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,那么这个正六边形的面积为〔〕A 30 2 D 3有二「3小：n , 二A. -------- c mB. ----------------- cmC. --------- c mD. 3,3cin2 4 83 .如图,4PQR是.0的内接正三角形,四边形ABCD是.0的内接正方形,BC〃QR,那么NA0Q=〔〕4 .周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S,、Si、S6,那么它们的大小关系是〔〕.A. S6>S：>S3B. S5>S I>S GC. S6>S3>S ID.5 .如下图,八边形ABCDEFGH是正八边形,其外接..的半径为点,那么正八边形的面积5为〔〕.A. —B. 4及C. 8D.426 .先作半径为杂的圆的内接正方形,接着作上述内接正方形的内切圆,再作上述内切圆的内接正方形,…,那么按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为〔〕A.〔劣°13.〔挈C. 〔6〕6 口.〔6〕7二、填空题7 . 一个正方形与圆有相等的周长,那么圆面积与正方形的面积比为.8 .如下图,正六边形内接于圆0,圆0的半径为10,那么图中阴影局部的面积为.9 .半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为.10 .如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,点P是其对角线BE上一动点,连接PC、PD,那么△ PCD 的周长的最小值是.11 .如下图,有一个圆.和两个正六边形Ti、L. L的6个顶点都在圆周上,工的6条边都和圆0相切〔我们称兀,T：分别为圆0的内接正六边形和外切正六边形〕.〔1〕设L,O的边长分别为a, b,圆.的半径为r,那么r：a二〔2〕正六边形T,, T二的面r：b=积比SjS二的值是.12 .如下图,正方形ABCD中,边长AB=3,.0与.O'外切且与正方形两边相切,两圆半径为R、r,贝lj R+r=.三、解做题13 .如图,正六边形ABCDEF的边长为2必m,点P为六边形内任一点.那么点P到各边距离之和为多少cm?14 .如图①、②、③,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是..的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M、N分别从点B、C开始,以相同的速度中O0上逆时针运动.〔1〕求图①中NAPB的度数：〔2〕图②中,NAPB的度数是,图③中NAPB的度数是:〔3〕根据前而探索,你能否将此题推广到一般的正n边形情况？假设能,写出推广问题和结论：假设不能,请说明理由.15 .如图,正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异,我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度〞.在研究“接近度〞时,应保证相似图形的“接近度〞相等.〔1〕设正n边形的每个内角的度数为m°,将正n边形的“接近度〞定义为1180-m .于是,18〔Hn 越小,该正n边形就越接近于圆,①假设"20,那么该正n边形的“接近度〞等于:②当“接近度〞等于时,正n边形就成了圆.〔2〕设一个正n边形的半径〔即正n边形外接圆的半径〕为R,边心距〔即正n边形的中央到各边的距离〕为r,将正n边形的“接近度〞定义为|R-r|,于是|R-r越小,正n边形就越接近于圆. 你认为这种说法是否合理？假设不合理,请给出正n边形“接近度〞的一个合理定义.。
正多边形外角和的公式
正多边形外角和的公式正多边形是指所有边和角都相等的多边形，它是一种特殊的多边形。
在正多边形中，每个顶点都可以看作是一个外角，而外角和就是所有外角的总和。
对于任意一个正多边形，我们可以通过以下公式来计算其外角和：外角和 = (n - 2) × 180°其中，n代表正多边形的边数。
这个公式的推导过程也是非常有趣的。
我们知道一个多边形的内角和公式为：(n - 2) × 180°。
多边形的内角和指的是所有内角的总和。
在正多边形中，每个内角都是相等的，所以每个内角的度数为：[(n - 2) × 180°] ÷ n。
而外角等于360°减去内角。
所以每个外角的度数为：360° - [(n - 2) × 180°] ÷ n。
接下来，我们来验证一下这个公式。
以正六边形为例，我们可以计算每个外角的度数：360° - [(6 - 2) × 180°] ÷ 6 = 360° - 720° ÷ 6 = 360° - 120° = 240°正六边形的每个外角的度数为240°，而外角和就是每个外角度数的总和：240° × 6 = 1440°可以看到，使用公式计算得到的外角和为1440°，与实际结果相符。
同理，对于其他的正多边形，我们也可以使用这个公式来计算外角和。
例如，正三角形的外角和为180°，正四边形的外角和为360°，正五边形的外角和为540°，以此类推。
通过这个公式，我们可以更方便地计算正多边形的外角和，而不必一个个角度相加。
这对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义。
除了正多边形的外角和公式，还有一些与之相关的性质也值得一提。
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正多边形概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形：边数大于等于3)。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形的外接圆的半径叫做半径。
中心到圆内切正多边形各边的距离叫做边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角
内角
正n边形的内角和度数为：（n－2)×180度;
正n边形的一个内角是(n-2)×180°÷n.
外角
正n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°
所以正n边形的一个外角为：360÷n.
所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180°-360÷n.
对角线
在一个正多边形中，一个点可以与除了与他相邻的所有点连线，就成了点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。
而正多边形的点数与边数相同，所以有边数减2个三角形。
三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和对角线
对角线数量的计算公式：n(n-3)÷2。
面积
设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为r n，则αn=360°÷n，an=2Rsin(180°÷n)，r n=Rcos(180°÷n)，R^2=r n^2+(an÷2)^2，周长pn=n×an，面积Sn=pn ×rn÷2。
对称轴
正多边形的对称轴——
奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴；
偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。
正N边形边数为N。
正N边形角数为N。
正N边形对称轴数，奇数为N；偶数为2N。
镶嵌规律
在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形、正六边形。
因为正三角形的每一个角等于60度，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360度；正方形的每个角等于90度，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度；正六边形的每个角等于120度，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和也等于360度，如果用别的正多边形，就不能达到这个要求。
例如正五边形的每只角等于108度，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。
而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108度*4=432度，大于360度。
正四边形外接圆
把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边
形，也就是正n边形的外接圆。
正多边形的内切圆
把圆分为m(m≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆。