河北省保定市2017届高三下学期第一次模拟考试(理数)

河北省保定市2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知全集U R =，集合1{|0},{|1}x A x B x x x-=<=≥，则{|0}x x ≤等于 A ．AB B ．A BC ．()u C A BD ．()u C A B2、在复平面内，若(2,1),(0,3)A B -，则OACB 中，点C 对应的复数为 A ．22i + B ．22i - C ．1i + D ．1i -3、已知{}n a 为等差数列，若1594a a a π++=，则5cos a 的值为A ．12-B ．CD ．124、若直线0x y +=与圆22()1x y a +-=相切，则a 的值为A ．1B ．1±CD ．5、命题:p 若a b <，则22,c R ac bc ∀∈<；命题0:0q x ∃>，使得001ln 0x x -+=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6、为了得到函数2log y =2log 3xy =的 图象上所有的点的A ．纵坐标缩短到12（横坐标不变），再向左平移1个单位 B ．纵坐标缩短到12（横坐标不变），再向左平移13个单位C 倍（横坐标不变），再向左平移13个单位D ．横坐标缩短到2倍（横坐标不变），再向右平移1个单位 7、执行如图所示的程序框图，若输入的2017x =，则输出的i =A ．2B ．3C ．4D ．58、中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了278里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走了 里？ A ．76 B ．96 C ．146 D ．1889、平面直角坐标系中，O 为原点，,,A B C 三点满足3144OC OA OB =+，则BC AC=A ．1B ．2C ．3D ．3210、64(1)(1)x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则(3,0)(0,3)f f +=A ．9B ．16C ．18D ．2411、某三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰 直角三角形，则该棱锥的棱长为 A ．32BCD12、已知函数()2log (1),(1,3)4,[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，则()[()]1g x f f x =-函数的零点A ．1B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、设()cos ,[0,]1,(,2]x x f x x πππ∈⎧=⎨∈⎩ ，则20()f x dx π=⎰14、已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是15、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且2AB BC AC ===，则此三棱锥外接球的表面积是 16、已知数列{}n a 中，111,,(2,)n n a a a n n n N +-=-=≥∈，设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ，若对任意的正整数n ，当[1,2]m ∈时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知()(sin ,cos ),(3cos ,cos ),2a x x b x x f x a b =-=-=⋅ . （1）求的()f x 解析式；（2）在ABC ∆中，,,a b c分别是内角,,A B C 的对边，若()2,1,f A b ABC ==∆的面积为2，求a 的值.18、（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -倍，P 为侧棱SD 上的点，且SD PC ⊥. （1）求二面角P AC D --的大小；（2）在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ？若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的22⨯列联表（单位：人）（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？ （2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在5—7分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在6—8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；（3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们点答题情况进行全程研究，记A 、B 两人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）.20、（本小题满分12分）设椭圆2228x y +=与y 轴相交于A 、B 两点，（A 在B 的下方），直线4y kx =+与该椭圆相较于不同的两点M 、N ，直线1y =与BM 交于G. （1）求椭圆的离心率； （2）求证：,,A G N 三点共线.已知函数()1(ln )x f x e x x -=+.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）试比较()f x 与1的大小.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:(4C x y +=，曲线2C 的参数方程为22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），并以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出1C 的极坐标方程，并将2C 化为普通方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为2(),3R C πθρ=∈与3C 相交于,A B 两点，求1ABC ∆的面积（1C 为圆1C 的圆心）.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()1()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤的解集为{|21}x x -≤≤. （1）求a 的值；（2）若函数()()1g x f x x =-+，求()g x 的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题：DAADC ABBCD AC 二、填空题：13. π；14. 15. 8π； 16. 1t < 三、解答题217.()cos 2cos f x x x x=+解：………………………………………2分2cos 212sin(2)16x x x π=++=++…………………………5分（2）()2sin(2)126f A A π=++=,∴1sin(2)62A π+=(0,)A π∈ 132(,)666A πππ∴+∈ 5266A ππ∴+=3A π∴=…………8分11sin 1sin 223ABCSbc A c π==⋅⋅⋅= 2c ∴=…………………………10分 2222cos 3a b c bc A ∴=+-=a ∴=分18. 解法一：(1)连接BD 交AC 于点O ,连接,SO OP AC ⊥平面SBD SD AC ∴⊥又SD PC ⊥ SD ∴⊥面APC O P S D∴⊥……………………………2分 设SD 的中点为Q ,连接BQ ,SBD 为等边三角形BQ SD ∴⊥ P QD ∴为的中点 P D ∴为S 的四等分点,1,4PD SD =12OD BD =，又AC OP AC DO ⊥⊥POD ∴∠即为二面角P AC D --的平面角 ……………………………4分114sin 122SDPD POD OD BD ∠=== 由图可知二面角P AC D --为锐二面角，∴所求二面角大小为30…………………………………………………………6分 （2）存在点E 且:=2:1SE EC ，使得//BE PAC 面 ………………………7分 证明如下：在平面SCD 内作//QE CP //QE PAC ∴面 又//BQ OP //BQ PAC ∴面………9分 又QEBQ Q = //EBQ PAC ∴面面 B E E B Q ⊂面 //BE PAC ∴面::2:1SE EC SQ QP ∴==…………………………………………………………12分解法二：连接BD 交AC 于点O ,以,,OB OC OS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系……………1分 （１）设底面边长为1，AC ⊥易知平面SBD S D A C ∴⊥又SD PC ⊥ SD ∴⊥面APC 。

……………………………3分由勾股定理易知OS =, S,(,0,0)2D -,(0,2CB,OS=(SD =-,∴OS SDCOS OS SDθ==-由图可知，所求二面角P AC D --为锐二面角,所以所求二面角大小为6πθ=……………6分（２）存在点Ｅ，当:=2:1SE EC 时，BE //面PAC ……………………………7分2(2DS=(0,2CS =-(22BC =-………………9分设,CE tCS =则(),BE BC CE BC tCS t =+=+=-- 而0,BE DS =13t ∴=，2SE EC ∴=, ∴存在点Ｅ，当:=2:1SE EC 时，BE //面PAC. ……………………………12分19. 解:（1）由表中数据得2K 的观测值()250221288505.556 5.024********9k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………3分 所以根据统计有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关. ………4分(2)设小明和小刚解答这道数学应用题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) ……………………………6分设事件A 为“小刚比小明先解答完此题” 则满足的区域为x y >xz∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即小刚比小明先解答完此题的概率为18.……………………8分 （3）X 可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X ==…………10分X 的分布列为：151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.-………………………………………………………………12分20. 解：（1）2228x y +=化为标准方程可得2212,284x y a b c +=∴===，……3分所以e =.……………………………………………………4分 （2）直线代入椭圆方程得：22(12)16240k x kx +++=…………………………5分设(,4)M M M x kx +，(,4)N N N x kx +，(,1)G G x ， 由韦达定理得：21612M N k x x k +=-+ ①， 22412M N x x k=+ ② ………7分 法1：MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则3(,1)6MM x G kx +， …………………9分 212242()3336N M N NA GA M N N M M N M kx x x k k k k k x x x x x x kx ++--=-=+++=++将①②代入上式得：0NA GA k k -= ,,A G N ∴三点共线…………………………12分2.(,6),(,3),3(6)36(,2),(,1),46()3(2)(2)669M M G M M G MG M N N G N M N M MN G N N N M M BM x kx BG x BMBGx kx x x x kx AN x kx AG x kx x x x x kx x x kx x kx kx ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+=∴=+∴=+=+=-++∴++⋯⋯=+⨯+=++分法 将①②代入上式得：(2)N G N kx x x ++=0 所以AN AG ,,A G N ∴三点共线…………………………12分21. 解：（1）(1)f e = ∴切点为(1,)e'221()(ln )x f x e x x x =+- '(1)f e ∴= ……………………2分 ∴切线方程为(1)y e e x -=- 即y ex =……………………………4分（2）(1)1f e =>,所以猜想()1f x >.……………………………5分理由如下：因为1()1(ln )1ln 1xx xf x e x x x x e->⇔+>⇔+>……………………………8分 【或：要比较()f x 与1的大小，只需比较11ln x x x e -+与的大小，即比较ln 1x x +与x xe的大小……8分】令()ln 1g x x x =+，()x xh x e='()ln 1g x x =+ 令'1()0,g x x e >>； '1()0,0g x x e<<<()g x ∴在1(0,)e单调递减，在1(,)e+∞单调递增m i n 11()()1g x g e e ∴==-…………………9分'1()x x h x e-=令'()0,01h x x ><<；'()0,1h x x <> ()h x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减max 1()(1)h x h e∴==………………………11分min max ()()g x h x > ()()g x h x ∴>恒成立()1f x ∴> (12)分22.解：（1）1C的极坐标方程为：2cos 10ρθ-=………………3分2C 化为普通方程为:22(2)4x y -+= …………………………6分（2）直线3C的普通方程为y =，显然曲线2C 与3C 相交于原点，不妨设,A O 重合…8分||2AB ∴=,1||AC 1120BAC ∠=， 1113||||sin12022ABC SAB AC ==…………………………10分 23.解：（1）()3|1|342f x ax ax ≤⇔+≤⇔-≤≤ ……………2分显然0a >（或分类谈论得）2142aa⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=-⎪⎩2a ∴=…………………………5分（2）依题意可得：,11()32,121,2x x g x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩……………………8分∴当12x =-时，min 1()2g x =-…………………………10分。