福建省四地六校2016届高三第三次联考数学(理)试卷
2016年福建省综合质检理科数学答案
2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分60分. (1)B (2)C (3)D (4)A (5)B (6)C (7)B (8)C (9)D (10)D (11)A (12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分20分. (13)0.3 (14)3- (15)5- (16)263三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分12分. 解法一:(Ⅰ)因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ······················ 2分 又因为3B π=,1BD =,所以4BC = . ················································· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得,2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··········· 5分 即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=,解得CD =. ······························ 6分 (Ⅱ)在△ACD 中,DA DC =,可设A DCA θ∠=∠=,则ADC θ=π-2∠,又AC =sin 2sin AC CDθθ=, ······································ 7分所以2cos CD θ=. ·········································································· 8分在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-, 由正弦定理得,sin sin CD BDB BCD =∠,即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-, ··········· 10分化简得2cos sin(2)3θθπ=-, 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-. ························································ 11分 因为02θπ<<,所以220,222333θθπππππ<-<-<-<, 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或,故=618DCA DCA ππ∠∠=或. ······························ 12分解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为DA DC =, 所以A DCA ∠=∠. 取AC 中点E ,连结DE ,所以DE AC ⊥. ··············································································· 7分 设DCA A θ∠=∠=,因为AC =2EA EC ==. 在Rt △CDE中,cos CE CD DCA ==∠ ····································· 8分以下同解法一.(18)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. 解法一:(Ⅰ)连结1AB ,在1ABB △中,111,2,60AB BB ABB ==∠=,由余弦定理得,22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=,∴1AB =,…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+,∴1AB AB ⊥.………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形,且AB AC =, ∴AC AB ⊥, 又∵1ACAB A =,∴AB ⊥平面1AB C . ········································································· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ,∴AB ⊥1B C .·················································································· 5分(Ⅱ)∵111,2AB AB AC BC ====,1B∴22211B C AB AC =+,∴1AB AC ⊥. ················································ 6分如图,以A 为原点,以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, ······································································································ 7分 则()(()()1000,0,100010A B B C ,,0,,,,,,∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-. ···················································· 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ,由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =,得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n . ……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-,……………………………………………………………………………10分∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>===n n n ,….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35. ······································ 12分 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)过点A 作AH ⊥平面1BCB ,垂足为H ,连结1HC ,则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角. ·············································· 6分 由(Ⅰ) 知,1AB AB ⊥,1AB =1AB AC ==,12B C =,∴22211AB AC B C +=,∴1AB AC ⊥,又∵ABAC A =,∴1AB ⊥平面ABC , ············································ 7分 ∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ······················· 8分 取BC 中点P ,连结1PB ,∵112BB B C==,∴1PB BC ⊥.又在Rt ABC △中,1AB AC ==,∴BC=2BP =, ∴12PB ===, ∴1112B BC S BC B P =⨯=△. ···························································· 9分11∵11A BCB B ABC V V --=,∴1136BCB S AH ⋅=△,即13AH =7AH =. ············ 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴1AB BC ⊥, 三棱柱111ABC A B C -中,11//BC B C ,112B C BC ==, ∴111AB B C ⊥,∴1AC == ···································· 11分 在1Rt AHC △中,11sin AH AC H AC ∠===所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35. ································ 12分 (19)本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想.满分12分. 解:(Ⅰ) 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ,则220210019()495C P M C ==. ····································································· 4分(Ⅱ)(ⅰ)设乙公司送餐员送餐单数为a ,则 当38a =时,384152X =⨯=; 当39a =时,394156X =⨯=; 当40a =时,404160X =⨯=; 当41a =时,40416166X =⨯+⨯=; 当42a =时,40426172X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172. ······································· 6分 故X 的分布列为:······································································································ 8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以. ······ 9分 (ⅱ)依题意, 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ············· 10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元. ·························· 11分 由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为162元.因为149162<,故推荐小明去乙公司应聘. ········································· 12分(20)本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等.满分12分. 解法一:(Ⅰ)将2p x =代入22y px =,得y p =±,所以2ST p =, ··················· 1分 又因为90SPT ∠=,所以△SPT 是等腰直角三角形, 所以SF PF =,即32p p =-, 解得2p =,所以抛物线2:4E y x=,…………………………………………3分此时圆P =所以圆P 的方程为()2238x y -+=. ···························································· 4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,依题意()220038x y -+=,即2200061y x x =-+-. ··········································· 5分(ⅰ)当直线l 斜率不存在时,()3M ±, ①当3x=+24y x =,得()2y =±.不妨设()()32,32A B ++-, 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥.②当3x =-AF BF ⊥.………………….6分 (ⅱ)当直线l 斜率存在时,因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点,所以直线l 斜率不为零,01x ≠且00y ≠. 因为l MF ⊥,所以1l MF k k =-,所以001l x k y -=,…………………………………………………..7分直线()00001:x l y x x y y -=-+.由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得,2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- , ················ 8分 即200004204011y x y y x x --+=--,所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--, ············· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭······················· 10分 ()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-,所以AF BF ⊥. ··················································································· 12分 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设()00,M x y ,依题意()220038x y -+=,即2200061y x x =-+-, (*) ······ 5分设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ········································ 6分 由于FM AB ⊥,//MA MB ,所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ································ 7分 注意到12y y ≠,()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ························ 8分 由(1)知,若01x =,则00y =,此时不满足(*),故010x -≠,从而(1),(2)可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--. ························· 9分 以下同解法一.(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解法一:(Ⅰ)因为()()111f x a x x '=->-+,()e 1x g x '=-, ···························· 2分 依题意,()()00f g ''=,解得1a =, ························································ 3分 所以()111f x x '=-+1xx =+,当10x -<<时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为()1,0-, 单调递增区间为()0,+∞. ···················· 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当0x =时,()f x 取得最小值0.所以()0f x ≥,即()ln 1x x +≥,从而e 1x x +≥. 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k kF x k x k x x '=+-+++-+++≥, ····································· 6分 (ⅰ)当1k =时,因为0x ≥,所以()11201F x x x '++-+≥≥(当且仅当0x =时等号成立), 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增,从而()()00F x F =≥,即()()g x kf x ≥. ······ 7分 (ⅱ)当1k <时,由于()0f x ≥,所以()()f x kf x ≥. ································ 8分 由(ⅰ)知()()0g x f x -≥,所以()()()g x f x kf x ≥≥,故()0F x ≥,即()()g x kf x ≥. ······································································································ 9分(ⅲ)当1k >时, 令()()e 11x kh x k x =+-++,则()()2e 1x k h x x '=-+,显然()h x '在[)0,+∞上单调递增,又())1010,110h k h ''=-<=->,所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x , ··········································· 10分 当()00,x x ∈时,()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减, 从而()()00h x h <=,即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减,从而当()00,x x ∈时,()()00F x F <=,即()()g x kf x <,不合题意.·········· 11分 综上, 实数k 的取值范围为(],1-∞. ··················································· 12分 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当0x =时,()f x 取得最小值0.所以()0f x ≥,即()ln 1x x +≥,从而e 1x x +≥. 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11xx k x =+-+, ··············· 6分(ⅰ)当1k ≤时,()0F x '≥在[)0,+∞恒成立,所以()F x 在[)0,+∞单调递增. 所以()()00F x F =≥,即()()g x kf x ≥. ··················································· 9分 (ⅱ)当1k >时,由(Ⅰ)知,当1x >-时,e1xx +≥(当且仅当0x =时等号成立), 所以当01x <<时,e1xx ->-+,1e 1x x<-. 所以1()e 1(1)e 111xx kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kxx x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-. ··············· 10分于是当101k x k -<<+时,()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减.故当101k x k -<<+时,()(0)0F x F <=,即()()g x kf x <,不合题意. ······ 11分 综上, 实数k 的取值范围为(],1-∞. ··················································· 12分 解法三:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)(ⅰ)当0k ≤时,由(Ⅰ)知,当0x =时,()f x 取得最小值0. 所以()0f x ≥,即()ln 1x x +≥,从而e 1x x +≥,即()0g x ≥.所以()0kf x ≤,()0g x ≥,()()g x kf x ≥. ················································ 6分 (ⅱ)当0k >时,设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x kF x k x '=+-++, 令()()h x F x '=,则()()2=e 1x kh x x '-+.显然()h x '在[)0,+∞上单调递增. ·························································· 7分 ①当01k <≤时,()()'010h x h k '=-≥≥,所以()h x 在[)0,+∞上单调递增,()()00h x h =≥; 故()0F x '≥,所以()F x 在[)0,+∞上单调递增,()()00F x F =≥,即()()g x kf x ≥. ······································································································ 9分 ②当1k >时,由于())1'010,'110h k h =-<=->,所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x , ··········································· 10分 当()00,x x ∈时,()0,h x '< ()h x 单调递减,从而()()00h x h <=,即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减,从而当()00,x x ∈时,()()00F x F <=,即()()g x kf x <,不合题意.·········· 11分 综上, 实数k 的取值范围为(],1-∞. ··················································· 12分请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.(22)选修41-:几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分10分.解法一:(Ⅰ)连结DE ,因为,,,D C E G 四点共圆,则ADE ACG ∠=∠. ········· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线, 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点,故DEAB . ············································ 3分 所以BAD ADE ∠=∠, ················································································ 4分 从而BAD ACG ∠=∠. ················································································ 5分 (Ⅱ)因为G 为AD 与BE 的交点,故G 为△ABC 的重心,延长CG 交AB 于F ,则F 为AB 的中点,且2CG GF =. ······························································· 6分 在△AFC 与△GFA 中,因为FAG FCA ∠=∠,AFG CFA ∠=∠,所以△AFG ∽△CFA , ······································································· 7分 所以FA FGFC FA=,即2FA FG FC =⋅.………………………………………………………9分 因为12FA AB =,12FG GC =,32FC GC =, 所以221344AB GC =,即AB =, 又1GC =,所以AB =. ········································································ 10分 解法二:(Ⅰ)同解法一. ······································································· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,BAD ACG ∠=∠,因为,,,D C E G 四点共圆,所以ADB CEG ∠=∠, ·········································· 6分所以ABD △∽CGE △,所以AB ADCG CE=, ……………………………………………7分 由割线定理,AG AD AE AC ⋅=⋅, ······························································ 9分又因为,AD BE 是ABC △的中线,所以G 是ABC △的重心, 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC , 所以222=23AD EC,所以AD CE= FABCDEG。
福建省四地六校2016届高三化学第三次联考试卷
“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三化学试题(考试时间:90分钟总分:100分)可能用到的原子量:Al:27 S:32 N:14 H:1 O:16 Ba:137 C:12 Cl:35.5第一卷选择题(共47分)一、选择题(本题1-13每题2分,14-20每题3分,共 47分。
每题只有一个选项符合题意。
)1.化学与生产、生活、环境等社会实际密切相关.下列叙述正确的是( ) A.绿色食品是生产时不使用化肥农药,不含任何化学物质的食品B.加强化石燃料的开采利用,能从根本上解决能源危机C.化学反应能够制造出新的物质,同时也能制造出新的元素D.减少机动车尾气的排放,可以降低雾霾的发生2.下列现象或事实可用同一原理解释的是 ( )A.浓硫酸和浓盐酸长期暴露在空气中浓度均降低B.SO2能使品红溶液和溴水均褪色C.氯水和浓硝酸均要盛装在棕色试剂瓶中D.NaCl固体中混有NH4Cl或I2,均可用加热法除去3.下列说法中正确的是( )A.用明矾对自来水进行杀菌消毒B.钠长期放置在空气中,最终将变成碳酸氢钠C.CCl4、Cl2及HF中的原子都满足最外层8电子稳定结构D.质子数为53、中子数为78的碘原子:4、用固体样品配制一定物质的量浓度的溶液,需经过称量、溶解、转移溶液、定容等操作。
下列图示对应的操作规范的是()A.称量 B.溶解 C.转移 D.定容5.下列金属防腐的措施中,使用外加电流的阴极保护法的是()A.地下钢管连接镁块B.金属护拦表面涂漆C.汽水底盘喷涂高分子膜D.水中的钢闸门连接电源的负极6.吸进人体内的氧有2%转化为氧化性极强的活性氧,这些活性氧能加速人体衰老,被称“生命杀手”。
中国科学家尝试用Na2SeO3清除人体内的活性氧,Na2SeO3的作用是()A.还原剂 B.氧化剂C.既是氧化剂又是还原剂D.既不是氧化剂又不是还原剂7.设NA 为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是()A .标准状况下,0.1molCl 2溶于水,转移的电子数目为0.1N AB .常温下,22gCO2和N 2O 混合气体中,含有的原子数目为 1.5N AC .标准状况下, 2.24L 水中含有O —H 键的数目为0.2N AD .1molNa 被完全氧化生成Na 2O 2,失去2NA 电子8.某小组设计电解饱和食盐水的装置如图,通电后两极均有气泡产生,下列叙述正确的是()A .铜电极附近观察到黄绿色气体B .石墨电极附近溶液呈红色C .溶液中的Na +向石墨电极移动D .铜电极上发生还原反应9、分类方法在化学学科的发展中起到了非常重要的作用。
2016年4月2016届高三第三次全国大联考(新课标III卷)理数卷(解析版)
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={x |2x -4x <0,x ∈*N },B ={x |81x *∈-N ,x ∈*N },则A R ð B 中元素的 个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【命题意图】考查集合概念及运算,意在考查学生的运算能力.【解析】解不等式2x -4x <0可得0<x <4,所以A R ð={x |x ≤0或x ≥4,x ∈*N }={x |x ≥4,x ∈*N }.由81x *∈-N ,x ∈*N ,知x 可以为2,3,5,9,所以B ={2,3,5,9},所以A R ð B ={5,9},即A R ð B 中元素的个数为2.故选B.2.已知复数z =2i1i-++ (i 为虚数单位),z 的共轭复数为z ,则在复平面内i z 对应的点的坐标为 ( ) A.(1,23-) B.(25,23-) C.(21,23-) D.(21,2) 【答案】C【命题意图】考查复数概念及运算,意在考查学生的运算能力.3.命题“任意x ∈[41,3],2x -a -2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a ≥9 B.a ≤8 C.a ≥6 D.a ≤11 【答案】A【命题意图】考查命题及充要条件,意在考查学生的逻辑思维能力. 【解析】命题“任意x ∈[41,3],2x -a -2≤0”为真命题的充要条件是a ≥7,故充分不必要条件是集合[7,+∞)的真子集,故选A.4.一个盒内有5个月饼,其中两个为果浆馅、三个为五仁馅,现从盒内随机取出两个月饼,若事件A =“取到的两个月饼为同一种馅”,B =“取到的两个月饼都是五仁馅”,则概率()A B P = ( ) A.51 B.53 C.41 D.43【答案】D【命题意图】考查排列、组合的应用及条件概率的求法,意在考查学生的计算能力.5.已知()x f 是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,()x f =-2x +2x ,若实数a 是由不等式()()a f a f 282-≥-获得的解中的最大整数,则()121d ax x --⎰的值为( )A.6B.10C.14D.20【答案】B【命题意图】考查函数的性质:利用函数的奇偶性确定函数解析式、利用函数的单调性解不等式以及求定积分.【解析】∵()x f 是奇函数,∴当x >0时,()x f =2x +2x .作出函数()x f 的大致图象如图中实线所示,结合图象可知()x f 是R 上的增函数,由()()a f a f 282-≥-,得8-2a≥-2a ,解得-2≤a ≤4,故a=4,因此()121d ax x --⎰=()4121d x x --⎰=()412--xx=10.故选B.6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S 的值为( )A.1B.21C.41D.81 【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的读图、数列求值.意在考查学生的运算能力和识图能力.【解析】依题意得,运行程序后输出的是数列{n a }的第 2 017项,其中数列{n a }满足:1a =1,12111.8n n n n n a a a a a +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,,,注意到2a =81,3a =41,4a =21,5a =1,6a =81,…,该数列中的项以4为周期重复出现,且2 017=4×504+1,因此201711a a ==,即运行程序后输出的S 的值为1.故选A. 7.将函数3π4sin(6)5y x =+图象上所有点的横坐标变为原来的3倍,再向右平移π5个单位长度得 到函数()x g y =的图象,则函数()x g y =图象的一条对称轴方程可以是( ) A.=x 2π9 B.=x 5π24 C.=x 3π20 D.=x 7π10【答案】C【命题意图】考查三角函数的图象与性质:图象平移及对称性.8.某校高三在一轮复习完成以后,为了巩固学生的复习成果,就一轮复习中暴露出来的问题连续 对学生进行了九次跟踪测试,考试成绩统计如下表:A.8B.26C.58D.526【答案】B【命题意图】考查回归直线、两条平行直线间的距离,意在考查学生的计算能力.【解析】因为120,5==y x ,所以回归直线ˆy =bx +a 过点(5,120),则5b +a =120,由此可得点(a ,b )在直线x +5y -120=0上.于是两条平行直线x +5y -94=0与x +5y -120=0间的距离即为点(a ,b )到直线x +5y -94=0的距离,而两条平行直线x +5y -94=0与x +5y -120=0间的距离为262626519412022==+-.故选B.9.设x ,y 满足约束条件222x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩,,且z =x +a y 的最小值为6,则a =( )A.-3B.2C.-3或2D.3或-2【答案】B【命题意图】本题考查线性规划,意在考查学生利用数形结合思想解答问题的能力和计算能力.10.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正 方形).若削去的几何体中原正方体的顶点到截面的距离为h ,且削去的几何体中内切球的半径为R ,则Rh的值为 ( )A.26 B.23 C.1+3 D.321+【答案】C【命题意图】本题考查三视图、球的内切问题以及多面体的体积问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【解析】由题设所给的三视图,可知削去的几何体是一个以原正方体的顶点为顶点,正方体的三条棱为侧棱的三棱锥,且底面是一个以正方体面对角线为边的等边三角形,于是该三棱锥内切球球心到各面的距离为R .以内切球球心为顶点,三棱锥各面为底面把三棱锥分割为四个小三棱锥,于是有222131331⨯⨯⨯⨯=R hS +RS 31,即RS R hS +=6(其中S 为三棱锥的底面面积),又S = 60sin 222221⨯⨯⨯=23,所以R h =S S +6==+323261+3.故选C.11.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线2y =8x 的准线相交于B A ,两点.若AOB △的面积为6,则双曲线的离心率为( ) A.213 B.2 C.3 D.324 【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的离心率的求法,意在考查学生的计算能力.12.已知()x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若()1f <5,()11f =m ma ma +-2-1(m ≠0), 其中a ∈[1,3],则实数m 的取值范围是 ( )A.6{|00}7m m m <<<或 B.1{|10}3m m m <<<或 C.5{|010}3m m m <<-<<或 D.11{|20}26m m m <<<<或 【答案】A【命题意图】本题是一个考查函数性质的综合性的函数与不等式题型,综合了函数的周期性、奇偶性、单调性以及利用恒成立不等式求解参数的取值范围问题,意在考查学生综合解决问题的能力.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(每小题5分,满分20分.将答案填在答题纸上)13.已知9(a x -的展开式中,3x 的系数为83,则常数a 的值是_________.【答案】23【命题意图】考查二项式,利用二项展开式中项的系数确定参数值.【解析】919C ()(r r r r a T x -+=99922299C (1)()()C (1)22r r rr r r r r r rx a a x x-+---=-=-,当392=-+r r ,即r = 8时,888293C (1)28a --⋅=,解得 23a =.14.若平面向量,a b 满足|3|1-≤a b ,则·a b 的最小值是______. 【答案】112-【命题意图】本题考查平面向量、最小值,意在考查学生的计算能力. 【解析】由|3|1-≤a b ,得()2222|3|39|||61-=-=+-⋅≤a b a b a b |a b ,又229|||6||||6+≥⋅≥-⋅a b |a b a b ,则166+⋅≥-⋅a b a b ,所以112⋅≥-a b ,故当3||=||a b 且a,b 方向相反时,⋅a b 的最小值为112-. 15.已知函数()x f x x x 2sin 2cos 2++=,π()3a f '=,则过曲线x x y 2343-=上一点()b a P ,的切线方程为_________. 【答案】2890x y --=【命题意图】本题考查导数的运算,导数的几何意义,意在考查学生的计算能力.16.在△ABC 中,C ∠=2A ∠,25tan =A ,且27 BA · CB =-176,则AC 的长度为______________.【命题意图】本题考查解三角形,其中涉及的知识点为三角恒等变换、正弦定理及向量数量积的应用,意在考查学生公式熟记能力及计算能力. 【解析】∵25tan =A ,∴49451tan 12=+=+A ,即94cos 2=A ,又025tan >=A ,故32cos =A ,∵C ∠=2A ∠,∴281cos cos 22cos 1199C A A ==-=-=-,∴sin C =954,sin A =35. cos B =-cos()A C +=A sin ·sin C -A cos ·C cos =2722. ∵在△ABC 中,sin AB C =ABC sin ,∴AB =34BC .∵27BA ·CB =- 176,cos B =2722,∴| BA || CB |=8,∴BC =6,AB =364,∴AC =B AB BC AB BC cos 222⋅⋅-+=2722364623326⨯⨯⨯-+.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和23231++-=n n S ,数列{}n b 满足()n n a n b 3log 11+=.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .【命题意图】本题考查利用数列的前n 项和公式求通项公式,运用裂项相消法求数列的前n 项和,意在考查学生的计算能力,分类讨论思想.18.(本小题满分12分)为了了解高中学生在校期间身体发育状况,某市对其120 000名在校男生进行身高统计,且所有男生的身高服从正态分布N (168,16).统计人员从市一中高二的男同学中随机抽取了80名进行身高测量,所得数据全部介于160 cm 和184 cm 之间,并将测量数据分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],然后按上述分组方式绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)评估市一中高二年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (2)求这80名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数;(3)在这80名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取3人,将该3人中身高排名(从高到低)在全市前156名的人数记为X ,求X 的数学期望.参考数据:若X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.【命题意图】本题主要考查统计与离散型随机变量分布列知识的交汇问题,意在考查学生识图和计算能力.19.(本小题满分12分)如图所示,正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB =2AD =2. (1)若点E ,H 分别为AB ,DC 的中点,求证:平面H BD !∥平面DE A 1; (2)在线段AB 上是否存在一点E ,使二面角1D -EC -D 的大小为π3?若存在,求出AE 的长;若不存在,请说明理由.【命题意图】本题考查了空间几何体中的平行关系以及利用空间向量求角,意在考查学生的空间想象能力及计算能力.【解析】(1)证明:四边形ADD 1A 1为正方形,连接AD 1,设A 1D ∩AD 1=F ,则F 是AD 1的中点,又点E 为AB 的中点,连接EF ,则EF 为△ABD 1的中位线,所以EF ∥BD 1.又BD 1⊄平面A 1DE ,EF ⊂平面A 1DE , 所以BD 1∥平面A 1DE .因为BH //DE ,且DE ⊂平面A 1DE ,BH ⊄平面A 1DE ,所以BH ∥平面A 1DE ,又BD 1 BH =B ,所以平面H BD !∥平面DE A 1.(2)根据题意,得DD 1⊥DA ,D 1D ⊥DC ,AD ⊥DC ,则以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系D -xyz ,则D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0).20. (本小题满分12分)已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为12F F ,,且离心率e =31,点P 在该椭圆上满足2PF =c 38(c 为焦半距).(1)是否存在点P ,使12PF F △的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列,若存在,求出实数c 的值;若不存在,请说明理由;(2)当c =1时,A 是椭圆C 的左顶点,且M ,N 是椭圆C -+MN 是否过定点?若是,求出定点的坐标;否则说明理由.【命题意图】本题考查了椭圆要素的确定以及直线与圆锥曲线位置关系的探究,意在考查学生的计算、推理能力.由0=⋅AN AM 得()()0332121=+++y y x x ,整理可得()()()0931221212=++++++m x x km x x k . 将(ⅰ)(ⅱ)代入上式得()()098918389729122222=++++-+-+m k km km k m k , 化简可得09541722=+-k km m ,则k m 3=或173k m =,此时,对于方程()07291889222=-+++m kmx x k ,均有0Δ>. 当k m 3=时,直线MN 过定点(-3,0),不符合要求; 当173k m =时,直线MN 过定点(173-,0).综上所述,直线MN 过定点(173-,0). 21. (本小题满分12分) 已知()x f =e x [3x +()21x a --2x +2]. (1)假设a =3,求()x f 的极大值与极小值;(2)是否存在实数a ,使()x f 在[]1,4--上单调递增?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,请说明理由.【命题意图】本题考查了利用导数探究极值、最值、单调区间以及求解参数取值范围,意在考查学生的分析计算能力.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知在△ABC 中,D 是BC 边的中点,且AD =AC ,DE ⊥BC ,DE 与AB 相交于点E ,EC 与AD 相交于点F .(1)求证:△ABC ∽△FCD ;(2)若S △FCD =5,BC =10,求DE 的长.【命题意图】该题考查了相似三角形的证明以及利用边角关系求解边长,意在考查学生的证明相似的能力及计算能力.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x (α是参数),直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设点P 为曲线C 上任意一点,求点P 到直线l 的距离的最大值.【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标方程化普通方程,利用参数方程求解最值问题,意在考查学生计算能力和转化思想及数形结合能力.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()x f =|2x +1|+|2x -3|. (1)若关于x 的不等式()x f <|1-2a |的解集不是空集,求实数a 的取值范围;(2)若关于t的一元二次方程()20t f m ++=有实根,求实数m 的取值范围. 【命题意图】本题考查了绝对值不等式的应用,意在考查学生的运算能力和转化能力.【解析】(1)∵()x f =|2x +1|+|2x -3|≥|(2x +1)-(2x -3)|=4,∴|1-2a |>4,∴a <-32或a >52, ∴实数a 的取值范围为35(,)(,)22-∞-+∞ .(2)对于方程()20t f m ++=,Δ=24-4(|2m +1|+|2m -3|)≥0, 即|2m +1|+|2m -3|≤6,∴不等式等价于()()3,221236m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或()()13,2221236m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或()()1,221236,m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩∴3131212222 m m m<≤-≤≤-≤<-或或,∴实数m的取值范围是[1,2]-.:。
福建省福州市2016届高三普通高中毕业班3月质量检查数学(理)试题 含答案
2016年三月福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷(完卷时间120分钟;满分150分)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.) 1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈,若z 的虚部为2,则z =( ). A .2 B .22 C .5 D .32.已知命题:p “,10xx ex ∃∈--≤R ”,则p ⌝为 ( ) A .,10x x e x ∃∈--≥RB .,10xx e x ∃∈-->RC .,10xx ex ∀∈-->RD .,10x x e x ∀∈--≥R3.阅读算法框图,如果输出的函数值在区间[1,8]上,则输入的实数x 的取值范围是( )A .[0,2)B .[2,7]C .[2,4]D . [0,7]4.若2cos 2sin()4παα=-,且()2παπ∈,,则cos 2α的值为( )A .78- B .15C .1D 155.若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2,则实数a 的值是( )A . ﹣2B .2C .1D .66.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A . 321++B .322++C .323++D .324++7.64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是( )A .4-B .3-C .3D .48.已知抛物线2:8C yx =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点,F为C 的焦点,若2FA FB =,则k = ( ) A .223B .13C .23D 239.已知32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若函数()()g x f x k =-有两个零点,则两零点所在的区间为( ).A .(,0)-∞B .(0,1)C .()1,2D .(1,)+∞10。
福建省四地六校2015-2016学年上学期第三次联考(12月)高二数学(文)试卷
“四地六校”联考(华安一中、永安一中、龙海二中、泉港一中使用) 2015-2016学年上学期第三次月考 高二数学试题(文科) (考试时间:120分钟总分:150分) 命题人:华安一中审题人:华安一中 第Ⅰ卷 (选择题共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、下列命题是真命题的为() A.,则 B.,则 C.,则 D.,则 2、双曲线的一个焦点坐标是()A.(0,3)B.(3,0)C. (0,1)D. (1,0) 3、如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是() A. B. C . D. 4、下列求导运算正确的是() A. B. C. D. 5、某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人,则样本容量为 ( ) A.7 B.15 C.25 D.35 6、200辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如右下图所示,则时速在 [50,70)的汽车大约有( ) A.60辆 B.80辆C.70辆D.140辆 7、在半径为1的圆中随机地撒一大把豆子,则豆子落在圆内接正方形中的概率为() A. B. C. D. 8、抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为() A. B. C. D.0 9、如图所示为的图像,则下列判断正确的是( ) ①在上是增函数 ②是的极小值点③在上是减函数,在上是增函数④是的极小值点A.①②③B.①③④ C.③④ D.②③ ”是“”的充要条件; (3) “”是“”的必要不充分条件; (4)命题“”的否定是“”若函数在区间内是增函数,则实数的取值范围是 B.C. D. 12、设、是双曲线的左、右两个焦点,在双曲线右支上取一点P, 使(O为坐标原点)且,则实数的值为 ( ) A. B.C.D.或 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置. 13、甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球,分别从两袋中取一个球,恰有一个红球的概率是 . 14、下面程序框图输出的结果是 . 15、已知函数的图像在点处的切线方程是, 则 . 16、若双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点在“上”区域内,则双曲线的离心率的取值范围是. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分10分)已知,设p:函数在R上单调递减;命题q:方程表示的曲线是双曲线,如果“pq”为真,“pq”为假,求的取值范围。
2016届高三六校第三次联考(理数)
2016届高三六校第三次联考数学(理科)第一部分 选择题(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合(){}10,ln 1x M x R N x R y x x ⎧-⎫=∈≤=∈=-⎨⎬⎩⎭,则M N = ( ) A .∅ B. {}1x x ≥ C. {}1x x > D. {}10x x x ≥<或 2.已知两条直线,m n ,两个平面,αβ,给出下面四个命题:①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是( )A .①③B .①④C .②④D .②③ 3.下列四个条件中,p 是q 的必要不充分件的是( )A .:p a b >,22:q a b >B .:p a b >,:22a b q >C .:p 非零向量a 与b 夹角为锐角,:0q a b ⋅>D .2:0p ax bx c -+>,2:0c bq a x x-+> 4.设函数()4ln ,03f x x x x =-->则函数()y f x =( ) A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C .在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点 .D .在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点.5.要得到函数2y x =的图象,只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的( )A .横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π个单位长度;B .横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度;C .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π个单位长度; D .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动8π个单位长度.6.已知{}n a 是等比数列,251,42a a ==,则13221++++n n a a a a a a = ( ) A .()1218n - B .()12124n + C. ()14124n - D. ()14216n-7.如果点P 在平面区域2202030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上,点Q 在曲线22(2)1x y ++=上,那么PQ 的最小值为( ) A1-B.1C .2D18.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≤时()21x m f x -+=-(m R ∈),记()()42log 5,(log 3),a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为( )A .a b c <<B .b a c <<C .c a b <<D .c b a <<9.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若AD DB λ= ,()1,3CD CA CB R μλμ=+∈,则λ=( ) A .2-B .1-C .1 D .210.已知函数()()()12121f x f x x f x dx '=++⎰在区间(),12a a -上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) A. B .433 C . 43 D . 3312.已知定义在(0,)+∞上的连续函数()y f x =满足:()()x xf x f x xe '-=且()()13,20f f =-=.则函数()yf x =( )A .有极小值,无极大值B .有极大值,无极小值C .既有极小值又有极大值D .既无极小值又无极大值第二部分 非选择题(共90分)二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,满分20分13.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知223a c b -=,且sin cos 2cos sin ,A C A C = 则b = .14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()21n n S a n N *=-∈,则数列{}n na 项和n T = .15.已知某个几何体的三视图如下图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的表面积是 2cm .16. 若不等式()1na -⋅<()1911n n n +⋅-++对任意n N +∈恒成立,则实数a 的取值范围是.三、 解答题:包括必做题和选做题,第17题到第21题为必做题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. (1)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数()f x 在区间[,]62ππ-上的最值.18.(本小题满分12分)等差数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和为n S ,2375a S =且1413,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)若数列{}n a 为递增数列,求证:13≤11S +21S +……+nS 1<43.19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,底面ABC 是直角三角形,4PA AB BC ===,O 是棱AC 的中点,G 是AOB ∆的重心,D 是PA 的中点. (1)求证:BC ⊥平面PAB ;(2)求证:DG PBC ∥平面; (3)求二面角A PC B --的大小.正视图侧视图俯视图POCDA20.(本小题满分12分)已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点,过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,延长QP 到点M ,使QP PM = .(1)求点M 的轨迹E 的方程;(2)过点(),0C m 作圆O 的切线l ,交(1)中曲线E 于,A B 两点,求AOB ∆面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数()()()2ln 1f x x ax x a R =++-∈. (1)若12a =,求曲线()yf x =在点()()00f ,处的切线方程;(2)讨论函数()y f x =的单调性;(3)若存在[)00,x ∈+∞,使()0f x <成立,求实数a 的取值范围.请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题做答。
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数学(理)试题第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知平面向量→a =(1,1),→b =(1,-1),则向量12→a -32→b = ( )A .(-1,2)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-2,-1)2.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为( ) A .53i + B .15i + C .15i -- D .53i --3. 在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A . 4-B . 4±C . C 2-D . 2± 4.已知a ,b 都是实数,那么“22b a >”是“b a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分与不必要条件56.曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 ( )A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y 7.若()()()()236log 6f x x f x x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()1f -的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.若θθθπθ2cos ,22cos sin ),2,0(则=-∈等于 ( )A .23 B .—23 C .±23 D .21±9.记等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若18,263==S S ,则510S S 等于( ) A .3- B .33 C .31- D .510.已知()()()1()f x x a x b a b =---<,,m n 是)(x f 的零点,且n m <,则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是( ) A .n b a m <<< B .b n m a <<<C .n b m a <<<D .b n a m <<<11.已知简谐振动()sin()f x A x ωφ=+()2πφ<的振幅为32,图象上相邻最高点与最低点之间的距离为5,且过点3(0,)4,则该简谐振动的频率与初相分别为 ( ) A .1,66π B .1,86π C .,46ππ D . 1,63π12.已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( )A .1个B .8个C .9个D .10个第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分. 在答题卡上的相应题目的答题区域内作答). 13.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 14. 在等差数列{}n a 中,3104,a a +=则12S 的值为____________15.函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为16.对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -a )·f ′(x )≥0,则f (x )与f (a )的大小关系是__________. 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (1)求角B 的大小; (2)若3c a =,求tan A 的值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知334,9a S ==。
2016年全国卷3理科数学理科综合试卷与答案
2016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析绝密 ★启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3理科数学注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明1.设集合 S= Sx | ( x 2)(x 3) 0 , T x | x,则 S I T=(A ) [2,3]( B )( -, 2] U [3,+ )(C )[3,+ )( D )( 0, 2] U [3,+ )【答案】 D【解析】试题分析:由 ( x 2)( x 3) 0 解得 x3 或 x 2 ,所以S { x | x 2或 x 3},所以 S T { x | 0 x 2或x 3} ,故选 D .考点: 1、不等式的解法; 2、集合的交集运算.2.若 z 1 2i 4i,则1 zz(A ) 1 ( B ) -1 (C ) i( D ) -i 【答案】 C【解析】4i4i i ,故选C .试题分析:1 (1 2i )(1 2i ) 1 zz 考点: 1、复数的运算; 2、共轭复数.uuv (1, uuuv( 3 , 1 ), 则 ABC= 3.已知向量 BA3) , BC 2 2 2 2 (A ) 300( B ) 450( C )600( D )1200【答案】 A【解析】BA BC 1 3 3 13试题分析:由题意,得cos2 2 2 2ABC1 1,所以| BA || BC | 2ABC 30 ,故选A .考点:向量夹角公式.12016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。
图中 A 点表示十月的平均最高气温约为150C , B 点表示四月的平均最低气温 约为 50C 。
下面叙述不正确的是(A )各月的平均最低气温都在 (B )七月的平均温差比一月的平均温差大 (C )三月和十一月的平均最高气温基本相同【答案】 D 【解析】试题分析:由图可知 0 C 均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在 0℃以上, A 正确; 由图可在七月的平均温差大于 7.5 C ,而一月的平均温差小于 7.5 C ,所以七月的平均温 差比一月的平均温差大, B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 5 C , 基本相同, C 正确;由图可知平均最高气温高于 20℃的月份有 3 个或 2 个,所以不正确. 故 选 D .考点: 1、平均数; 2、统计图5.若tan3 ,则 cos 2 2sin 24 (A ) 64 ( B ) 48 ( C ) 1(D ) 1625 2525【答案】 A【解析】试 题 分 析 : 由tan 3 , 得 sin3,cos 4 或 sin3,cos 4 , 所 以 4 55 55 cos 2 2sin2 16 4 12 6400C 以上25 2525,故选 A .考点: 1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.4 2 16.已知 a 23,b 45,c 253,则(A ) ba c ( B) abc (C)b c a ( D) c a b【答案】 A【解析】22016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析4 2 2 1 2 2试题分析:因为 a234345 b , c 2535343a ,所以 bac,故选A .考点:幂函数的图象与性质.7.执行下图的程序框图,如果输入的a 4, b 6 ,那么输出的 n(A )3 (B )4 ( C)5 ( D)6【答案】 B 【解析】试题分析:第一次循环,得 a 2, b 4, a 6, s 6, n 1 ;第二次循环,得a2, b 6, a 4, s 10 , n 2 ;第三次循环,得a 2, b4, a6,s16, n 3 ;第四次循环,得a 2, b 6,a 4, s 20 16, n4 ,退出循环,输出n4 ,故选B .考点:程序框图.8.在△ABC 中,B = π, BC 边上的高等于1 BC ,则 cosA = 4 3(A )3 10( B)10( C) -10( D)-31010 10 10 10 【答案】 C【解析】试题分析:设 BC 边上的高线为AD ,则BC AD3,所以AC AD 2DC 25AD,AB2 AD.由余弦定理,知cos A AB2AC 2BC 22AD25AD29 AD 210,故选C.2 AB AC 2 2 AD 5AD 10考点:余弦定理.32016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A ) 18 36 5 ( B) 54 18 5 (C) 90 ( D )81【答案】 B【解析】试题分析:由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积S 2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 5418 5 ,故选B.考点:空间几何体的三视图及表面积.10.在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为V 的球,若ABBC , AB6 ,BC 8,AA1 3 ,则 V 的最大值是(A ) 4π( B)9( C) 6π( D)322 3 【答案】 B【解析】试题分析:要使球的体积V 最大,必须球的半径R 最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值3 ,此时球的体积为 4 R34( 3 )39,故选B.2 3 3 2 2考点: 1、三棱柱的内切球; 2、球的体积.x2y 21(a b 0) 的左焦点, A ,B 分别为C 的11.已知 O 为坐标原点, F 是椭圆C:b2a2左,右顶点 .P 为 C 上一点,且PF x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为(A )1( B )1( C)2( D)33 2 34 【答案】 A【解析】试题分析:由题意设直线 l 的方程为 yk ( x a) ,分别令 x c 与 x 0 得点42016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析1| OE| | OB || FM | k(a c) , | OE | ka , 由 O B E C B , 得 2 , 即| FM | | BC |k a a,整理,得 c1 ,所以椭圆离心率为e 1 ,故选 A .2k (a c ) a c a 3 3 考点:椭圆方程与几何性质.12.定义 ―规范 01 数列 ‖ {an} 如下:{a n} 共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k2m ,a 1, a 2 , , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的 ―规范 01 数列 ‖共有(A ) 18 个( B ) 16 个( C )14 个( D ) 12 个 【答案】 C 【解析】试题分析:由题意,得必有 a 1 0 , a 8 1 ,则具体的排法列表如下: 0 1 1 1 0110 1 111 0 01 1 01 0111 00 10 1 11 00 1 110 11 01 0 111 0考点:计数原理的应用.52016 年全国卷 3 理科数学试题及答案解析第 II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题(题型注释)x y 1 013.若 x, y 满足约束条件x 2y 0 则 z x y 的最大值为_____________.x 2y 2 0 【答案】32【解析】试题分析:作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数z x y 经过点 A(1,1 ) 时取得最大值,即z max 1 1 3 .2 2 2 考点:简单的线性规划问题.14.函数y sinx3cos x 的图像可由函数y sin x3cos x 的图像至少向右平移_____________ 个单位长度得到.【答案】3【解析】试题分析:因为y sin x3 cos x 2sin(x ) , y sin x3cosx2sin( x)=3 32sin[( x ) ] ,所以函数 y sinx3cos x 的图像可由函数y sin x 3cos x 的33图像至少向右平移个单位长度得到.3考点: 1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.15.已知f x 为偶函数,当 x 0 时, f( x) ln( x) 3x ,则曲线 y f x 在点 (1, 3)处的切线方程是_______________ 。
福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题(福州一中、福州三中、福安二中理科)Word版含答案
2016届高三数学(理科)模拟试卷(完卷时间120分钟 满分150分) 福州一中(执笔) 福州三中 福安二中注意事项: (满分:150分 考试时间120分钟)1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若复数12a iz i+=-(a R ∈,i 是虚数单位)是纯虚数,则2a i +等于( )(A ) 2 (B ) (C )4 (D )8 (2)已知集合}06|{2≤--∈=x x x XZ ,},1|{2R ∈-==x x y y Y ,则X Y =( )(A ){3,2,1,0}--- (B ){2,1,0}--(C ){3,2,1,0,1}---(D ){2,1,0,1}--(3)已知命题R ∈∀x p :,1e >x ;命题R ∈∃0:x q ,020log 2x x >-,则下列命题中为真命题的是( ) (A )q p ∧ (B )q p ∧⌝(C )q p ⌝∧(D )q p ⌝∧⌝(4)()()34121x x +-展开式中x 项的系数为( )(A )10(B )10- (C )2 (D )2-(5)《张丘建算经》是我国古代数学著作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其意思为:“有个女子织布,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织390尺,问:每天多织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,估算出每天多织的布约有( ) (A )055.尺 (B )053.尺 (C )052.尺 (D )050.尺 (6)某程序框图如下图所示,若输出的57S =,则判断框内为( )(A )4?k > (B )5?k > (C )6?k > (D )7?k >(7)(7)设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=(a ﹥0,b ﹥0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使得()022=⋅+P F OF OP ,其中O 为坐标原点,且122PF PF =,则该双曲线的离心率为( )A.31C.2(8)在ABC ∆中,6=⋅,7=⋅,那么=BC ( ) (A )13(B )6 (C )7(D )13(9)已知正三棱锥P -ABC 中,E ,F 分别是AC ,PC 的中点,若EF ⊥BF ,2=AB ,则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )(A )4π (B )6π (C )8π (D )12π (10)已知函数()()2f x sin x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立,()f x 的单调递增区间是()(A(B (C )()263k ,k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(D (11)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线和虚线画出的是某四面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度是( )(A )52(B )24(C )6(D )34(12)已知定义在()0,+∞上的函数()y f x =满足:()()xxf x f x xe '-=(e 为自然对数的底数)且()13f =-,()20f =,则函数()y f x =( ) (A )有极小值,无极大值 (B )有极大值,无极小值 (C )既有极小值又有极大值 (D )既无极小值,又无极大值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016届高三六校第三次联考(理数参考答案)
六校第三次联考试题2016届高三六校第三次联考 数学(理科)参考答案一、选择题(共12小题,每题5分共60分)二、填空题 13.9; 14.()121n n-+; 15.6+ 16.2114a -<<-.三、解答题17.解:(1)()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =+-sin(2)6x π=- ……3分2T 2ππ==周期∴ …………………………4分由2,62x k k Z πππ-=+∈得,,32k x k Z ππ=+∈ ∴对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈ …………………………6分(2)5[,],2[,]62626x x πππππ∈-∴-∈- ……………………7分 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]63ππ-上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减 …9分所以 当3x π=时,max ()1f x = ………………………………10分又 1()1()622f f ππ-=-<= ,∴当6x π=-时,min ()1f x =- ……12分 18.解:(1)设数列{}n a 的公差为()0d d ≥,则有232113475a S a a a =⎧⎨=⎩即2221134375a a a a ⎧=⎨=⎩0,n a >∴ 2211345a a a a =⎧⎨=⎩即()()121115123a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得150a d =⎧⎨=⎩或132a d =⎧⎨=⎩ 5n a ∴=或21n a n =+…………………………5分(2) 数列{}n a 为递增数列,∴由(1)知21n a n =+∴)2(22)1(3+=⋅-+=n n n n n S n,n ∈N* ∴)211(21)2(11+-=+=n n n n S n ,n ∈N*………………7分 ∴…………………………………………………………10分记1231111n n T S S S S =++++ 由10,n n N S *>∈ ,则n T 关于n 递增.11113n T T S ∴≥==综上可得:12311111334n S S S S ≤++++≤ ………………12分19.解(1)证明:PA ABC PA BCABC AB BC BC PABAB BC PA AB A ⊥⇒⊥⎫⎪∆⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎭⎪⎪=⎭平面为直角三角形平面 ……3分(2)证明:连结OG 并延长交AB 于点E ,连结DO ,DEG 是AOB ∆的重心,∴ OE 为AB 边上的中线, ∴E 为AB 边上的中点,又有D 为PA 边上的中点, ∴DE PB ∥, 同理可得DO PC ∥,且DE DO D =∴DOE PBC 平面∥平面, 又有DG DOE ⊂平面∴DG PBC ∥平面 ………………………………7分 (3)过点O 作OQ PC ⊥于点Q ,连结BQ ,AB BC =且O 是棱AC 的中点,∴BO AC ⊥ PA ⊥平面ABC , ∴平面PAC ⊥平面ABC又有平面PAC 平面ABC =AC ,且BO ABC ⊂平面,∴BO PAC ⊥平面,又有OQ PC ⊥, ∴由三垂线定理得BQ PC ⊥,OQB ∴∠为二面角A PC B --的平面角. ………………10分由已知得12OB AC OC =====1211111111111(1)()()2322422111131113[(1)()]()221242124n S S S n n n n n n +++=-+-++-+=+-+=-+<++++ D OACP B GE QPC====PAC OQC ∆∆∽,∴OQ PA OQ OC PC===∴tanOBOQBOQ∠==2OQBπ≤∠≤3OQBπ∴∠=即二面角A PC B--的大小为3π.………………12分(注:其它解法酌情给分.)20.解:(1)设点(),M x y,,QP PM=P∴为QM中点,又有PQ y⊥轴,∴,2xP y⎛⎫⎪⎝⎭, 点P是圆22:1O x y+=上的点,∴有2212xy⎛⎫+=⎪⎝⎭,即点M的轨迹E的方程为:2214xy+=.…………………………4分(2)由题意可知直线l不与y轴垂直,故可设l:,x ty m t R=+∈,()11,A x y,()22,B x y, l与圆22:1O x y+=相切,1=即221m t=+ ①……………………5分由2214xyx ty m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x并整理得:()2224240t y mty m+++-=……6分其中()()()()2222224441664480mt t m t m∆=-+-=-+=>又有12221222444mty ytmy yt⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②……………………………………7分∴AB===将①②代入上式得AB==,1m≥…………9分∴1111322AOBS ABmm∆=⋅==≤=+…………11分当且仅当3mm=即m=∴()max 1AOB S ∆= ……………………12分21.解:(1)当12a =时,()()()211ln 1,121f x x x x f x x x '=++-∴=+-+∴()()00,00,f f '==∴切点为()0,0,切线斜率()00k f '==,∴在点()()00f ,处切线方程为:0y = ……………………2分(2)由已知得()()221121,111ax a x f x ax x x x +-'=+-=>-++ 当0a ≤时,()1,10,22121110xx ax a a x >-∴+>∴+-=+-≤-< ,∴(1,0)x ∈-时,()0f x '>,(0,)x ∈+∞时,()0f x '<,此时,()f x 在()1,0-上单调递增,在()0,+∞上单调递减. …………4分当0a>时,由()0f x '=得12120,2ax x a-==0,a > ∴2122a x a-=1112a =-+>- ………………5分若1,2a =则1202a a-=,∴()()2011x f x x x '=≥>-+ , 此时,()f x 在()1,-+∞上单调递增; …………………6分若10a <<,则12x x <,()f x ,()f x '的变化如下表此时()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减. ……7分若1,2a >则12x x >,()f x ,()f x '的变化如下表此时()f x 在()21,x -和()1,x +∞上单调递增,在()21,x x 上单调递减 ……8分综上所述:当0a ≤时,()f x 在()1,0-上单调递增,在()0,+∞上单调递减;当102a <<时,()f x 在()1,0-和12,2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减; 当12a =时,()f x 在()1,-+∞上单调递增;当12a >时,()f x 在121,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增,在12,02a a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减;…9分(3)“存在[)00,x ∈+∞,使()0f x <成立”的非命题为“对任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥成立”由(2)得,当12a ≥时,()f x 在[)0,+∞上单调递增,当12a <时,一定存在区间()[)()0,0,0m m ⊆+∞>,有()f x 在()0,m 上单调递减 又有()00f =∴当且仅当对12a ≥时,“任意[)0,x ∈+∞,都有()()00f x f ≥=成立”即若对任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥成立,则实数a 的取值范围是12a ≥∴若存在[)00,x ∈+∞,使()0f x <成立,实数a 的取值范围是12a <…………12分22.解:(1)证明:连结BE ,由题意知ABE ∆为直角三角形. 因为90ABE ADC ∠=∠=0,AEB ACB ∠=∠,ABE ∆∽ADC ∆,所以AB AEAD AC=,即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =,所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分(2)因为FC 是圆O 的切线,所以2FC FA FB =⋅,又22,2==CF AF ,所以2,4=-==AF BF AB BF , 因为ACF FBC ∠=∠,又CFB AFC ∠=∠,所以AFC ∆∽CFB ∆.所以AF ACFC BC =,得2AF BC AC BC AB⋅==== cos sin sin ,ACD ACD AEB ∠=∴∠==∠由余弦定理得7144sin =∠=∴AEB AB AE……… 10分 23.解:(1)由32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l ……… 2分C即5. ……… 5分(2)得,故可设12,t t是上述方程的两实数根,……………………7分又有直线l A、B两点对应的参数分别为12,t t所以1,PA t=所以1212121111+=4t tPA PB t t t t++==………… 10分24.解:(1)因为函数()f x的定义域为R.所以|2||6|x x m++-≥恒成立;设()|2||6|g x x x=++-,则min()g x m≥.又|2||6||(2)(6)|8x x x x++-≥++-=,当且仅当26x-≤≤时,min()8g x=所以8m≤.……… 5分(2)有(1)可知,8n=,∴82832a b a b+=++,即41432a b a b+=++,有由于,a b均为正数,所以()14143(43)()432141[(3)(2)]()432421319[5](54)43244a b a ba b a ba b a ba b a ba b a ba b a b+=⋅+⋅+++=⋅+++⋅+++++=⋅++≥+=++……… 8分当且()223a b a b+=+,即9320a b==时,上式等号成立. ……… 9分所以43a b+的最小值是94.……… 10分。
福建省四地六校2014届高三上学期第三次月考数学理试题 Word版含答案
“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考高三数学(理)试题(考试时间:120分钟 总分:150分)★友情提示:要把所有答案都写在答题卷上,写在试卷上的答案无效。
一、选择题(每题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-,若M N ⋂≠∅,则实数m 的值为( ) A .3或3- B .3 C . 3或1- D .1-2.在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S =( )A .7B .15C .20D .253.“22a b >”是“22log log a b >”的( )A .充分不必要条件B .既不充分也不必要条件C .充要条件 D. 必要不充分条件4.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则|AB|等于( )mathschinaA .10B .8C .6D .45.三角形ABC 中,a=15,b=10,A=︒60,则=B cos ( )mathschinaA .322±B .-36 C .36±D .36 6. 已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为( )mathschinaA .34y x =±B .43y x =±C .3y x =±D .4y x =±7.将函数1sin 222y x x =的图象向_________单位可得到函数cos(2)3y x π=+的图象。
A .向左平移4π B .向右平移2πC .向右平移3πD .向左平移8π8.已知函数,sin )(x x x f -= R x ∈,则)4(π-f 、)1(f 、)3(πf 的大小关系( )A .)3(πf >)4(π-f >)1(f B . )4(π-f >)1(f >)3(πfC .)1(f >)3(πf >)4(π-f D .)3(πf >)1(f >)4(π-f mathschina9.已知、是非零向量且满足⊥⊥,((22则ABC ∆的形状是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形 10. 2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域}0,0|),{(≥≥y x y x 内植树,第一棵树在)1,0(1A 点,第二棵树在)1,1(1B 点,第三棵树在)0,1(1C 点,第四棵树在)0,2(2C 点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树,那么,第2014棵树所在的点的坐标是( ) A.(9,44) B. (10,44) C.(10.43) D. (11,43)二、填空题(每小题4分,共20分,.将答案填入答卷指定位置).11. 已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{}221|<<x x ,则0)2(>x f 的解集为 . 12.若函数f(a)=⎠⎛0a (2+sin x)dx ,则f ⎝⎛⎭⎫π2等于13 .设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1,则ba 11+的最小值为_________.mathschina 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________. mathschina15. 对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0a ≠),给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数,()f x ''是函数()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心. 给定函数32115()33212f x x x x =-+-,请你根据上面探究结果,计算)20141(f +)20142(f …+)20142012(f +)20142013(f = __________ . 三、解答题。
福建省四地六校高三数学第三次联考(12月)试卷 文
“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三数学(文科)试题(考试时间:120分钟 总分:150分)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|-5≤2x-1≤3,x ∈R},B={x|x(x-8)≤0,x ∈Z},则A ∩B=( ) A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}2. 经过点(2,2)P -,且离心率e= 3 的双曲线方程是( )A .12422=-y xB .13222=+y xC .14222=-y x D .12422=-x y3若x +2y =4,则2x+4y的最小值是( ) A.4 B.8 C.22 D.424、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为( )5.若错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=0,则△ABC 必定是( )A. 直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 6. 数列{(-1)n·n}的前2016项的和S 2016为( ) A.-2016 B.-1008 C.2016 D.10087. 不等式组,x y 满足2300,2x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩所围成的平面区域面积是( )A .3B .32 C .52 D .5 8. 若33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα,则=+)2cos(βα( )A33 B 33- C .935 D .96-9、定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A. f(5)<f(8)<f(2) B. f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8)D.f(8)<f(2)<f(5)10. 已知命题p:函数y=log a (ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1); 命题q:函数y=|sin x|的最小正周期为2π,则( )(A)“p∧q”为真 (B)“p∨q”为假(C)p 真q 假 (D)p 假q 真11.己知曲线322()13f x x x ax =-+-存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零, 则实数a 的取值范围为(A)(3,+∞) (B)[ 3,72) (C) (一∞,72] (D)(0,3)12.已知向量a =(2cos α,2sin α),b =(3cos β,3sin β),a 与b 的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α+错误!未找到引用源。
2016届福建省四地六校高三上学期第一次联考(10月)理科数学试题及答案
∴a的取值范围为{a|-1≤a<- }.………12分
18.解:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).………1分
∵f(0)=1,∴c=1.把f(x)的表达式代入f(x+1)-f(x)=4x,有
a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=4x.………3分
“四地六校”联考2015-2016学年上学期第一次月考
高三理科数学参考答案
一、选择题:1-12 CDCAB, BBDBD CA
二、填空题:13. (1,1) 14.2 15. 16. (2,2016)
17.解:p为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,即a> 或a<-1.………4分
q为真时,2a2-a>1,即a>1或a<- .………8分
“四地六校”联考
2015-2016学年上学期第一次月考
高三数学(理科)试题
(考试时间:120分钟总分:150分)
命题人:华安一中吴玉条审题人:华安一中汤炜国
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、已知集合 ,集合 ,则集合 ()
A.0 B. C. D.
二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡相应位置).K*S&5#U.C^OM
13. 过定点____
14.已知函数 ,则
15、已知函数 在 上是增函数,则实数 的最大值是
16.设函数 若a,b,c互不相等,且 ,则 的取值范围为
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
22.在直角坐标平面内,直线l过点P(1,1),且倾斜角α= .以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
福建省四地六校2016届高三物理第三次联考试卷
推荐学习K12资料“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三物理试题(考试时间:120分钟总分:100分)第Ⅰ卷(选择题共45分)一、选择题(共15题,每小题3分,共45分,每小题给出的四个选项中,1-10小题只有一个选项正确,11-15小题有多个选项正确,全部选对的得3分,选对但不全的得1分,有错的得0分)1.在物理学发展史上,伽利略、牛顿等许许多多科学家为物理学的发展做出了巨大贡献。
以下选项中符合伽利略和牛顿的观点的是()A .两物体从同一高度做自由落体运动,较轻的物体下落较慢B .人在沿直线加速前进的车厢内,竖直向上跳起后,将落在起跳点的后方C .两匹马拉车比一匹马拉车跑得快,这说明:物体受力越大则速度就越大D .一个运动的物体,如果不再受力了,它总会逐渐停下来,这说明:静止状态才是物体不受力时的“自然状态”。
2.如图所示,在直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,正、负离子分别以相同的速度从原点O 进入磁场,进入磁场的速度方向与x 轴正方向夹角为30°。
已知正离子运动的轨迹半径大于负离子,则可以判断出 ( )A .正离子的比荷大于负离子B .正离子在磁场中运动的时间等于负离子C .正离子在磁场中受到的向心力大于负离子D .正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子3.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v 。
假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体,物体静止时,弹簧测力计的示数为F 。
已知引力常量为G ,则这颗行星的质量为 ( )A .GFmv2B .GmFv4C .GFmv4D .GmFv24.如图所示,平行板电容器连接在电池两极上,A 板接地,在两板间的P 点固定一个负电荷.充电完成后断开开关K ,将B 板平移到虚线位置,下列说法中正确的是()A .电容器极板的带电量Q 变大B .电容器两极板间的电场强度不变C .P 点的电势将升高D .P 点负电荷的电势能将增大5.如图所示,两根细线p 、q 的一端固定在同一根竖直杆上,另一端拴住同一个小球。
2016届福建省四地六校高三上学期10月联考理科数学试卷
2016届福建省四地六校高三上学期10月联考理科数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题 1.已知集合,集合,则集合( )A .0B .C .D .2.命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是( ) A .若α≠4π,则tanα≠1 B .若α=4π,则tanα≠1 C .若tanα≠1,则α≠4π D .若tanα≠1,则α=4π 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A . B .C .D .4.若对于任意实数恒有,则( )A .2B .0C .1D .-1 5.已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 6.已知则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .b >a >c7 ) A . B .C.D.8.函数是偶函数且满足,当时,,则不等式在上的解集为()A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-2,-1)∪(0,1)9.方程的解所在的区间是()A. B. C. D.10.用表示a,b,c 中的最小值,设则的最大值是()A.4 B.6 C.3 D.511.若[]表示不超过的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知(),,则函数的零点个数是()A.2016 B.2015 C.2014 D.201312.已知是在R上的可导函数,且都有则()A.B.C.D.二、填空题13.过定点____.14.已知函数,则.15.已知函数在(0,1)上是增函数,则实数a的最大值是.16.设函数若a,b,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则a+b+c 的取值范围为 .三、解答题17.(本题满分12分)命题p :关于的不等式的解集为,命题q :函数为增函数.若为真,为假,求的取值范围.18.(本题满分12分)已知二次函数满足且(1)求二次函数的解析式.(2)求函数的单调增区间和值域 .19.(本题满分12分)已知函数(1)若,求在点处的切线方程; (2)若,求函数在上的最大值和最小值.20(1)若3log t x =,求取值范围;(2)求()f x 的最值,并给出最值时对应的x 的值. 21.(本题满分12分)已知为实数,函数.(1)是否存在实数,使得在处取得极值?证明你的结论; (2)设,若,使得成立,求实数的取值范围.22.在直角坐标平面内,直线l 过点P (1,1),且倾斜角α以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求|P A |·|PB |的值. 23.已知.(1)解不等式;(2)若关于的不等式对任意的恒成立,求的取值范围.参考答案1.C 【解析】试题分析:由题M={0,-1},所以{0},故选C .考点:集合的运算 2.C 【解析】因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,所以 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力. 3.C 【解析】试题分析:A 不是偶函数;B 在给定定义域上不单调,C 显然正确,D 没有奇偶性,故选C . 考点:函数的基本性质 4.A 【解析】试题分析:由题令x=1或-1可以得到关于f (1)和f (-1)的方程,联立不难求得f (1)=2,故选A .考点:函数值;方程组法求解析式 5.A 【详解】,p ⌝:31x -≤≤;22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<,q ⌝:23x x ≤≥或,因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,选A. 6.B 【解析】试题分析:由题a>1,b<0,0<c<1,所以选B .考点:指数、对数式子的大小比较 7.B 【分析】通过函数在2x =处函数有意义,在2x =-处函数无意义,可排除A 、D ;通过判断当1x >时,函数的单调性可排除C ,即可得结果. 【详解】A ; D ;C ; 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力,属于中档题. 8.D 【解析】试题分析:根据函数的奇偶性和周期性求出函数f (x )的解析式,利用不等式的性质即可得到结论.若x ∈[-2,0],则-x ∈[0,2],此时f (-x )=-x-1,∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=-x-1=f (x ),即f (x )=-x-1,x ∈[-2,0], 若x ∈[2,4],则x-4∈[-2,0],∵函数的周期是4,∴f (x )=f (x-4)=-(x-4)-1=3-x , ,作出函数f (x )在[-1,3]上图象如图,若0<x<1,则不等式xf (x )>0等价为f (x )>0,此时0<x <1, 若-2<x<0,则不等式xf (x )>0等价为f (x )<0,此时-1<x <0, 综上不等式xf (x )>0在[-1,3]上的解集为(0,3)∪(-2,0),故选D .考点:函数奇偶性9.B【解析】试题分析:由题设,,故选B.考点:幂函数性质;函数的零点10.D【解析】试题分析:画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.由题根据所给条件不难得到,其图像如图所示所以最大值为5.故选D.考点:函数的图像与性质11.C【解析】试题分析::依题意画出的图象如图所示,当x>0时与有两个交点,因为,则函数的零点个数为2014.考点:函数的零点12.A【解析】试题分析:令即函数g(x)为R上的减函数,∴g(-2015)>g(0)>g(2015),即∴e2015f(-2015)>f(0),∴f(2015)<e2015f(0).故选A.考点:导数的运算;利用导数研究函数的单调性.13.(1,1)【解析】试题分析:由题根据指数函数性质令|x-1|=0可得x=1,此时y=1,所以函数经过定点(1,1).考点:指数函数的性质14.2【解析】试题分析:由题设易知,所以2.考点:函数的基本性质15.【解析】试题分析:由题在(0,1)上,,故a的最大值为.考点:利用导数研究函数的性质;恒成立问题16.(2,2016)【解析】试题分析:作出函数的图象,由已知f(a)=f(b)=f(c),且a≠b≠c,结合函数的图象可得0<a<1,0<b<1,1<c<2015,且,从而可求由已知f(a)=f(b)=f(c),且a≠b≠c,结合函数的图象可得0<a<1,0<b<1,1<c <2010,且即a+b=1,∴a+b+c=1+c∈(2,2016).考点:函数与方程17.{a|-1≤a<-}【解析】试题分析:由已知得p假q真,然后根据条件求得对应的a的范围即可.试题解析:p为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,即a>或a<-1.q为真时,2a2-a>1,即a>1或a<-.由已知得p假q真,-1≤a<-,∴a的取值范围为{a|-1≤a<-}.考点:复合命题的真假18.(1)f(x)=2x2-2x+1;(2)单调增区间为,函数的值域为【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可求f(x)的解析式;(2)设t=f(x),利用复合函数单调性之间的关系即可,求函数g(x)的单调增区间.试题解析:(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1.把f(x)的表达式代入f(x+1)-f(x)=4x,有a(x+1)2+b (x+1)+1-(ax2+bx+1)=4x.∴2ax+a+b=4x.∴a=2,b=-2.∴f(x)=2x2-2x+1.(2)的单调增区间为,函数的值域为.考点:19.(1);(2)f(x)min= f(x)max=.【解析】试题分析:(1)利用导数的几何意义求切线方程;(2)求函数的导数,利用导数求函数的最大值和最小值. 试题解析:(1)∵a=1,,∴,. ∴在点处的切线方程即(2)由于函数f (x )的定义域为(0,+∞), 当a =-2时,,令f′(x )=0,得x = 或x = (舍去).当x ∈(1,)时,函数f (x )单调递减,当x ∈时,函数f (x )单调递增,所以f (x )在x =处取得最小值,最小值为f (1)=,,∵∴f (x )min = f (x )max=考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 20.(1);(2)39x =时,,x=9时,【详解】试题分析:(1)根据给出的函数的定义域,直接利用对数函数的单调性求t 得取值范围;(2)把f (x )=log 3(9x )•log 3(3x )利用对数式的运算性质化为含有m 的二次函数,然后利用配方法求函数f (x )的最值,并由此求出最值时对应的x 的值. 试题解析:(1)31log ,,99t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,;(2)233()log 3log 2f x x x =++;令3log t x =,则,;当即3233log ,32x x -=-=时,当2,9t x ==即时,;考点:21.(1)不存在实数a ,使得在x =1处取极值;(2)[-1,+∞)【解析】试题分析:(1)由题根据极值的定义假设存在极值,得到函数单调递增与存在极值矛盾,从而解决问题;(2)由题可得,记,x ∈[,e]根据存在性问题的性质不难得到只需a ≥G (x )min ,结合函数单调性求解即可. 试题解析:(1)函数定义域为(0,+∞),=+2x -4=假设存在实数a ,使在x =1处取极值,则,∴a =2,此时,,当时,恒成立,∴在(0,+∞)递增.∴x =1不是的极值点.故不存在实数a ,使得在x =1处取极值.(2)法一:由f (x 0)≤g (x 0)得:(x 0-lnx 0)a ≥x 02-2x 0 记F (x )=x -lnx (x >0),∴=(x >0),∴当0<x <1时,<0,F (x )递减;当x >1时,>0,F (x )递增.∴F (x )≥F(1)=1>0. ∴,记,x ∈[,e]∴∵x ∈[,e],∴2-2lnx =2(1-lnx )≥0,∴x -2lnx +2>0 ∴x ∈(,1)时,<0,G (x )递减;x ∈(1,e )时,>0,G (x )递增∴G (x )min =G (1)=-1 ∴a ≥G (x )min =-1. 故实数a 的取值范围为[-1,+∞). 考点:利用导数研究函数的性质;函数的极值 22.(1)x 2+y 2-4y =0.(2)2 【解析】试题分析:(1)根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程(2)设直线参数方程,与圆方程联立,根据参数几何意义以及韦达定理得|P A |·|PB |=|t 1t 2|=2.试题解析:(1)∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ,则x 2+y 2-4y =0,即圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0. (2)由题意,得直线l 的参数方程为(t 为参数).将该方程代入圆C 的方程x 2+y 2-4y =0, 得+-4=0,即t 2=2,∴t 1=,t 2=-.即|P A |·|PB |=|t 1t 2|=2. 23.(1);(2)【解析】试题分析:(1)不等式即|x-1|+|x+2|≥7,由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x 对应点到-2和1对应点的距离之和,而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5,由此求得不等式的解集.(2)若关于x 的不等式f (x )>a 2-2a 对于任意的x ∈R 恒成立,故f (x )的最小值大于a2-2a.而由绝对值的意义可得f(x)的最小值为3,可得,由此解得a的范围.试题解析:(1)当时由解得当时,不成立当时,解得综上有的解集是(2)因为,所以的最小值为3要使得关于x的不等式对任意的恒成立,只需解得,故a的取值范围是.考点:绝对值不等式的解法;恒成立问题。
福建省四地六校高三数学第三次联考(12月)试卷 理-人教版高三全册数学试题
“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三数学(理科)试题(考试时间:120分钟 总分:150分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、已知集合{}(){}222230,log 1,=A x x x B x x x A B =--≤=->⋂则( )A.(]23,B.()23,C.()32--,D.[)32--,2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,4ie 表示的复数在复平面中位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知函数()2af x x x=++的值域为(][)-4+∞⋃∞,0,,则a 的值是()1.2A 3.2B .1C .2D4.在等比数列{}n a 中,378a a =,466a a +=,则28a a +=( ) A .-9 B. -6 C.6 D.95、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球体积为() A .83π82.3B π.32C π.8D π6、在矩形ABCD 中,AB =22,BC =4,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=22,则AE →·BF →的值是( )A.2 2 B . 2 C .0 D .1 7. 若函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则实数a 的取值X 围是( ) A .[)0,+∞B .(],0-∞C .(),0-∞D .()0,+∞8.若ln 2,5a b ==01,sin 4c xdx π=⎰,则,,a b c 的大小关系( ) A .a b c << B .b a c << C .c b a <<D .b c a <<9、已知ω>0,函数()sin()42f x x ππωπ=+在(,)上单调递减.则ω的取值X 围是( )-121.02A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,13.24B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,15.24C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,(].02D , 10.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a n }的前2015项和2015S =( )2016.22A -2016.21B -2016.2C 2016.21D +11. 定义行列式运算:12142334a a a a a a a a =-.若将函数()f x=sin 2cos 21x x 的图象向左平移m (0)m >个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m 的最小值是( ) A .32πB .6πC .π65 D .3π12.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,且tanA 28,1tanB cb c b+=+=, 则△ABC 的面积最大值为( ).4AB 3C 3D二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。
福建省四地六校高三上学期第二次联考(11月)——数学理数学理
福建省四地六校2016届高三上学期第二次联考数学理试题(考试时间:120分钟 总分:150分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 1. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==1122x y y B ,则 ( ) A. B. C. D. 2.已知,函数的值恒为正,则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.设,向量,,且则( )A. B. C. D.10 4.已知且,则( )A. B. C. D.5.直线与抛物线所围成的封闭图形的面积是( ) A. B. C. D.6.若))(12()(a x x xx f +-=为奇函数,则( )A. B.1 C.-1 D. 7.已知,则的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4 8.若,则( )A. B. C. D.9.在中,若且,则角( ) A. B. C. D.10.若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f ,,且在区间有最小值,无最大值,则( ) A. B. C. D.12.已知方程在上有两个不同的解,则下列的四个命题正确的是( ) A. B. C. D.二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡相应位置). 13.若)0(cos 2)cos (sin )(22>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为,则= 14.在中,已知︒=∠==30,1,3B AC AB ,则面积为 15.在平行四边形ABCD 中,,若, 则=16.规定记号“*”表示一种运算,即,设函数,且关于的方程()ln 1(1)f x x x =+≠-恰有4个互不相等的实数根,则三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知(1,),(sin ,cos )a a b x x ==.函数的图象经过点. (1)求实数的值;(2)求函数的最小正周期与单调递增区间.18.(本小题满分12分)已知函数()log (2)log (4)(01)a a f x x x a a =++->≠且. (1)求函数的定义域;(2)若函数在区间的最小值为,求实数的值.19. (本小题满分12分)已知函数()cos (sin )()f x x x x x R =∈ (1)求函数的最大值以及取最大值时的取值集合;(2)在中,角的对边分别为且()3,22Af a b c =-=+=.20.(本小题满分12分)已知函数()32693f x x x x =-+-.(1)求函数的极值;(2)是否存在实数同时满足以下两个条件①②函数在区间上的取值范围为若存在,求出所有符合条件的;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()1,xf x ae x a R =--∈. (Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若时,恒成立,求所有实数的值; (Ⅲ)对任意的,证明:1111ln(1)23n n++++>+请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. 22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的圆心,半径. (1)求圆的极坐标方程;(2)若过点且倾斜角的直线交圆于两点,求的值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设(1)当13,()3x f x -≤≤≤时,求错误!未找到引用源。
福建高三第三次联考数学试题有答案
2016届闽粤联合体第三次联考高三数学试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若R a p ∈:,且1||<a ;:q 关于x 的一元二次方程:()0212=-+++a x a x 的一个根大于零,另一个根小于零,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分条件也不必要条件2.下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为:“若x 2=1,则x≠1”B .已知()y f x =是R 上的可导函数,则“0()0f x '=”是“0x 是函数()y fx =的极值点”的必要不充分条件C .命题“存在x ∈R ,使得x 2+x +1<0”的否定是:“对任意x ∈R ,均有x 2+x +1<0” D .命题“角α的终边在第一象限角,则α是锐角”的逆否命题为真命题 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于 (B)2(C) (D)6 4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为 (A) 22126x y -= (B) 22162x y -= (C)2213yx -=(D)2213x y -=5.某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的p 为24,则输出的,n S 的值分别为(A) 4,30n S == (B) 4,45n S ==(C)5,30n S == (D) 5,45n S ==6.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)(A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74% 7. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若262,14S S ==,则8S =(A)16 (B)20 (C)26 (D)30 8. 圆心在曲线2(0)y x x=>上,且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为 (A)22(1)(2)5x y -+-= (B)22(2)(1)5x y -+-= (C)22(1)(2)25x y -+-= (D)22(2)(1)25x y -+-= 9.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且其图像关于y 轴对称,则函数()y f x =的一个单调递减区间是 (A )0,2π⎛⎫⎪⎝⎭ ()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()D3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭10.P 是ABC ∆所在的平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=,若12ABC S ∆=,则PAB ∆的面积为(A)3 (B)4 (C)6 (D)8 11. 右图可能是下列哪个函数的图象 (A)221x y x =-- (B)ln x y x=(C)2sin 41x xx y =+ (D)2(2)x y x x e =- 12.若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=,且[]1,1x ∈-时,()21f x x =-,()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为(A)5(B)7 (C)8 (D)10第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.甲乙两人从4门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同...的选法共有___ 14.已知62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中常数项为160-,则常数a = __________15. 已知(,)M x y为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩,所确定的平面区域上的动点,若点)A,则z OM OA =⋅的最大值为___________. 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S .且()1111,1,2,3,2n n n a a a n +=+==,则21n S+=_________.三、解答题(共5小题,70分,须写出必要的解答过程) 17.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且3a =2c sin A . (1)确定角C 的大小;(2)若c =7,且△ABC 的面积为332,求a +b 的值. 18.(本小题满分12分)如图1在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,36BC AC ==,.D 、E 分别是AC AB 、上的点,且//DE BC ,将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置,使1A D CD ⊥,如图2.(Ⅰ)求证: BC ⊥平面1A DC ;(Ⅱ)若2CD =,求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值;19.(本小题满分12分)汽车租赁公司为了调查A ,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:((图1) (图2)A 1B CDEI)从出租天数为3天的汽车(仅限A ,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A 型车的概率;(Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率;(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A ,B 两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.20.(本小题满分12分)已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点,经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B两点(不同于点E ),直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N .(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;(Ⅱ)已知O 为原点,求证:MON ∠为定值.21.(本小题满分12分) 设函数()()0ax f x x e a =->.(I )求()f x 的单调区间;(II )若存在实数1212,()x x x x <,使得12()()0f x f x ==,求a 的取值范围,并证明:12x ae x <.四、选做题(本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分)22.选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 的半径为6,线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ,=4AC ,BOD A ∠=∠,OB 与⊙O 相交于点E .(Ⅰ) 求BD 长; (Ⅱ)当CE⊥OD 时,求证:AO AD =.23.选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系. 设曲线C参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ-=.(Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.24.选修4-5:不等式选讲 设函数()f x x a=-.(Ⅰ)当2a =时,解不等式()41f x x ≥--;(Ⅱ)若()1f x ≤的解集为[]0,2,()110,02a m n m n+=>>,求证:24m n +≥.数学试题(理科)参考答案一、选择题:ABAC CBDA CBDC二、填空题:13、30;14、1;15、4;16、141134n +⎛⎫- ⎪⎝⎭(等价形式也给分). 三、17.解:(1)由3a =2c sin A 及正弦定理得,3sin A =2sin C sin A .-------2分∵sin A ≠0,∴sin C =32, ∵△ABC 是锐角三角形, ∴C =π3.--------------6分(2)∵C =π3,△ABC 面积为332,∴12ab sin π3=332,即ab =6.①-------------------8分 ∵c =7,∴由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=7,即a 2+b 2-ab =7.②------10分由②变形得(a +b )2=3ab +7.③将①代入③得(a +b )2=25,故a +b =5.-------------------12分 18.(Ⅰ)证明: 在△ABC 中,90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.--------------4分由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………6分(Ⅱ)如图,以C 为原点,建立空间直角坐标系.1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A .设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量,因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =所以30240y x z =⎧⎨+=⎩,令2x =,得=0,=1y z -.所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量. ……………………10分设BE 与平面1A BC 所成角为θ.则4sin =cos 5BE θ<⋅>==n .所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45. …………………12分19.解:(I)这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 (II)设“事件i A 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i 天”,“事件j B 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j 天”,其中,1,2,3,...,7i j =则该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++520102030149100100100100100100125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125……8分 (Ⅲ)设X 为A 型车出租的天数,则X 的分布列为设Y 为B 型车出租的天数,则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48…10分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天,B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天,选择A 类型的出租车更加合理 . ………………12分20.解:(Ⅰ)将()2,2E 代入22y px =,得1p =所以抛物线方程为22y x =,焦点坐标为1(,0)2………………3分(Ⅱ)设211(,)2y A y ,222(,)2y B y ,(,),(,)M M N NM x y N x y , 设直线l 方程为2x my =+ 与抛物线方程联立得到222x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得:2240y my --=则由韦达定理得:12124,2y y y y m =-+= ………………5分直线AE 的方程为:()12122222y y x y --=--,即()12222y x y =-++,令2x =-,得11242M y y y -=+,同理可得:22242N y y y -=+ …………8分 又4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-,12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 4(444)4444m m --+=+-++ 0= ………11分所以OM ON ⊥,即MON ∠为定值π2………………12分21.解:(Ⅰ))0()(>-=a e x x f ax ,则ax ae x f -='1)(--------------------1分 令01)(=-='ax ae x f ,则aa x 1ln1=-------------------------2分)(x f )1ln 1,(a a -∞),1ln 1(+∞aa 分 --------4分(Ⅱ)当0x <时,()()00,ax f x x e a =-<>当x →+∞时,()0,f x <----------------6分若函数)(x f 有两个零点,只需011ln 1)1ln 1(>-=aa a a a f ,即e a 1<,--------------8分 而此时,01)1(>-=e a a f ,由此可得211ln 11x aa a x <<<, 故a a a x x 11ln 112->-,即)1ln 1(121a a x x -<-,---------------------------10分又0)(,0)(212211=-==-=ax ax e x x f e x x f11212211[((1ln )]()ln()12ax a ax ax a x x ae a a ax x e e e e e ae x e---∴===<==. ·················· 12分 22.证明(1)∵OC =OD ,∴∠OCD =∠ODC ,∴∠OCA =∠ODB , ∵∠BOD =∠A ,∴△OBD ∽△AOC .∴ACOD OC BD =, ∵OC =OD =6,AC =4,∴466=BD,∴BD=9.…………………5分 (2)证明:∵OC =OE ,CE ⊥OD .∴∠COD =∠BOD =∠A . ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO . ∴AD =AO ……………………10分 23.解:⑴由sin()26πρθ-=得cos )4ρθθ-=,∴:l 40x +=……………2分由cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得:C 2213y x +=.………………5分 ⑵在C上任取一点(cos )P θθ,则点P 到直线l的距离为|cos 3sin 4|2d θθ-+==………………7分其中cos ϕ=,sin ϕ=∴当cos()=θϕ+1,max2d =+分24.解:(1)当2a =时,不等式为214x x -+-≥,不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭; ---------------- 5分(2)()1f x ≤即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤解集是[]0,2,∴1012a a -=⎧⎨+=⎩,解得1a =,所以()1110,02m n m n +=>> 所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭.----------------- 10分。
福建省四地六校2015-2016学年高二上学期第三次联考(12月)数学试卷(理)
“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高二数学试题(理科)(时间:120分钟 总分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只且仅有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p : () 0 sin 0,,q p q "?,则( )A .():0 sin 0p θπθ⌝∃∈>,,B .:p Ø() 0 sin 0,,q p q "危C .():0 sin 0p θπθ⌝∃∈≤,,D .():0,sin 0p θπθ⌝∃∈<, 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是 ( ) A.28y x =- B. 24y x =- C. 24y x = D. 28y x = 3.如图,空间四边形ABCD 中,M 、G 分别是BC 、CD 的中点, 则AB 2121++等 于( )A .B .C .D .4.墙上挂有一边长为a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为2a的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上 每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是( )A .41π-B .4π C .81π- D .与a 的取值有关5.“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A .充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 6.某厂节能降耗技术改造后,在生产过程中记录了产量x (吨) 与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如右表所示,根据右表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+, 那么a 的值等于( ) A .0.35B .3.15C .3.5D .0.47. 直线l :y=kx+1与双曲线2x 2-y 2=1有且仅有一个公共点,则直线l 条数为( ) A .2B .4C .6D .38.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 9. 下列结论错误的...是( )A .命题“若p ,则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题;B .命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥,命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; C .“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;D .若q p ∨为假命题,则p 、q 均为假命题. 10.程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S =1320,那么判断框中应填入 ( )A .11?k >B .10?k >C .11?k <D . 10?k <11.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2,则曲线r 的离心率等于( ) A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 12.设[]t 表示不超过实数t 的最大整数,则在坐标平面xoy 上,满足22[][]149x y +=的 点(,)P x y 所形成的图形的面积为( )A .2B .4C .6D .8第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置. 13.某公司共有员工500名,现须新设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取50人,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的工人数是 14.右图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 15.F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点,A 是抛物线E 上任意一点。
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“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三数学(理科)试题(考试时间:120分钟 总分:150分) 命题人:华安一中 审题人:华安一中一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、已知集合{}(){}222230,log 1,=A x x x B x x x A B =--≤=->⋂则( )A. (]23,B. ()23,C. ()32--,D. [)32--,2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,4ie 表示的复数在复平面中位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知函数()2af x x x=++的值域为(][)-4+∞⋃∞,0,,则a 的值是( )1.2A 3.2B .1C .2D 4.在等比数列{}n a 中,378a a =,466a a +=,则28a a +=( ) A .-9 B. -6 C.6 D.9 5、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球体积为( )A .83πB .32C π .8D π6、在矩形ABCD 中,AB =22,BC =4,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF→=22,则AE →·BF →的值是( )A.2 2 B . 2 C .0 D .1 7. 若函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A .[)0,+∞B .(],0-∞C .(),0-∞D .()0,+∞8.若ln 2,5a b == 01,sin 4c xdx π=⎰,则,,a b c 的大小关系( ) 12A .a b c <<B .b a c <<C .c b a <<D .b c a << 9、已知ω>0,函数()sin()42f x x ππωπ=+在(,)上单调递减.则ω的取值范围是( )1.02A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 13.24B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 15.24C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, (].02D ,10.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n ,则数列{a n }的前2015项和2015S =( )2016.22A - 2016.21B - 2016.2C 2016.21D +11. 定义行列式运算:12142334a a a a a a a a =-.若将函数()f xcos 21x 的图象向左平移m (0)m >个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m 的最小值是( ) A .32π B .6π C .π65 D .3π 12.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,且tanA 28,1tanB cb c b +=+=,则△ABC 的面积最大值为( ).4ABCD 二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡相应位置).13.已知等差数列{}n a 中,34a π=,则126cos()a a a ++= 14直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的正弦值为15. 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的最大值为 16. 在数列{a n }中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =1.记S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 200=三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本题满分12分) 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S ,n a ,21成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log 2n n b a =+,设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ,证明112n T ≤<18、(本题满分12分)如图,多面体ABCDEF 中,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直,已知//AB CD ,AD CD ⊥,2AB =,4CD =,直线BE 与平面ABCD(1)求证:平面BCE ⊥平面BDE ;(2)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值.19. (本题满分12分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示,P 是图象的最高点,Q 为图象与x 轴的交点,O 为坐标原点.若OQ =4,OP =5,PQ =13. (1)求函数y =f (x )的对称轴方程;(2)将函数y =f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y =g (x )的图象,当x ∈[0,3]时,求函数h (x )=f (x )·g (x )的值域.20. (本题满分12分)已知函数3213()2532f x x x x =-++. (1)求函数()f x 3(3))f 的图像在点(,处的切线方程。
(2)若曲线()y f x =与2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.21.(本题满分12分)设函数2()ln a f x x x=+,32()3g x x x =--.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)如果对于任意的121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有112()()x f x g x ⋅≥成立,试求a 的取值范围.请考生从22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. 选修4—4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C :ρsin 2θ=2cos θ,过点P (-2,-4)的直线l :⎩⎨⎧x =-2+22ty =-4+22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ,N 两点.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; (2)证明|PM |,|MN |,|PN |成等比数列.选修4—5:不等式选讲23、设函数1()11()2f x x x x R =++-∈的最小值为a . (1)求a ;(2)已知两个正数,m n 满足22,m n a +=求11m n+的最小值.“四地六校”联考2015-2016学年上学期第三次月考高三理科数学参考答案一、选择题:1-12 ACCDB ACDCA BB 二、填空题:13.5216.5100 17.解:(1)由题意n S ,n a ,21成等差数列,122n n a S =+,当1n =时11111222a S a =+∴=……………………1分当2n ≥时11112,222n n n n S a S a --=-=-……………………2分两式相减得11222(2)n n n n n a a a a a n --=-∴=≥由{}n a 为正项数列102(2)nn n a a n a -≠∴∴=≥,……………………4分 因此数列{a n }是以12为首项,以2为公比的等比数列.即22n n a -=……………6分 (2)证明由(1)知222log 2log 22n n n b a n -=+=+=……………………7分11111n n b b n n +=-+……………………8分则1111111122311n T n n n =-+-++-=-++ ,……………………11分 即112n T ≤<……………………12分 18(1)证明:∵平面ADEF ⊥平面ABCD , 平面ADEF 平面ABCD AD =,ED AD ⊥,ED ADEF ⊂平面,∴ED ⊥平面ABCD ,……………………1分 又BC ⊂平面ABCD ,BC ED ⊥∴.ED ⊥∵平面ABCD ,EBD ∠∴为BE 与平面ABCD 所成的角, 设ED a =,则AD a DB ==,,在Rt EDB △中,tan ED EBD DB ∠===,2a =∴,……………………3分 在直角梯形ABCD中,BC ==, 在DBC △中,4BD BC CD ===,222BD BC CD +=∴,BC BD ⊥∴,……………………4分又BD ED D = ,BC ∴⊥平面BDE ,又BC BCE ⊂平面,∴平面BCE ⊥平面BDE .……………………6分(2)解:由题知,DA ,DC ,DE 两两垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,……………………7分则(000)(2,0,0),(220)(202)(040)(002)D A B F C E ,,,,,,,,,,,,,,,取平面CDE 的一个法向量(200)DA =,,,……………………8分 设平面BDF 的一个法向量()x y z =,,n ,则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,,n n 即00x y x z +=⎧⎨+=⎩,,令1x =,则1y z ==-,所以(111)=--,,n .………………10分、 设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ,则cos |cos |DA θ=〈〉== ,n 1分 所以平面BDF 与平面CDE.……………………12分 19.解:(1)由条件,cos ∠POQ =42+(5)2-(13)22×4×5=55,……………………1分所以P (1,2).所以A =2,周期T =4×(4-1)=12,又2πω=12,则ω=π6.将点P (1,2)代入f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +φ,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+φ=1,……………………3分因为0<φ<π2,所以φ=π3,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +π3.……………………4分函数y =f (x )的对称轴方程为632x k ππππ+=+即对称轴方程是16x k =+(k z ∈)……………………6分 (2)由题意,可得g (x )=2sin π6x . …………………7分所以h (x )=f (x )·g (x )=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x +π3·sin π6x=2sin2π6x +23sin π6x ·cos π6x =1-cos π3x +3sin π3x=1+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x -π6.……………………9分当x ∈[0, 3]时,π3x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1.……………………11分所以函数h (x )的值域为[0,3].……………………12分 20解:(Ⅰ)∵函数,∴f'(x )=x 2﹣3x+2,……………………1分 f'(3)=2,13(3)2f =……………………3分 ()f x 在(3,(3))f 处的切线方程是132(3),2y x -=-…………………4分 即4210x y -+=…………………5分 (Ⅱ)令f (x )=2x+m ,即,∴,设g (x )=,……………………7分∵曲线y=f (x )与y=2x+m 有三个不同的交点, ∴函数y=g (x )与y=m 有三个不同的交点, 令g'(x )=0,解得x=0或x=3, 当x <0或x >3时,g'(x )>0, 当0<x <3时,g'(x )<0,∴g(x )在(﹣∞,0),(3,+∞)单调递增,在(0,3)单调递减,………9分∵,即1()=5()=2g x g x 极大值极小值,,……………………11分画出函数g (x )的大值图象如右图,∴实数m 的取值范围为.……………………12分21.(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,23321()a x a f x x x x-'=-+=,………………1分当0a ≤时,()0f x '≥,函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增;…………2分当a>0时,若x ≥()0f x '≥,函数()f x 单调递增;……………3分若0x <<,则()0f x '<,函数()f x 单调递减;………………4分所以,函数()f x 在区间上单调递减,在区间)+∞上单调递增.………………5分(Ⅱ)22()323()3g x x x x x '=-=-,1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可见,当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '≥,()g x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,……6分当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '≤,()g x 在区间12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,……7分而831()(2)1327g g =-<=,所以,()g x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1,依题意,只需当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()1xf x ≥恒成立,即ln 1a x x x+≥恒成立,亦即2ln a x x x ≥-;……8分令21()ln (,2)3h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,则()12ln h x x x x '=--,显然(1)0h '=,当)1,13x ⎡∈⎢⎣时,10x ->,ln 0x x <,()0h x '>,即()h x 在区间)1,13⎡⎢⎣上单调递增;……10分当(]1,2x ∈时,10x -<,ln 0x x >,()0h x '<,(]1,2上单调递减;所以,当x=1时,函数()h x 取得最大值(1)1h =,……11分 故1a ≥,即实数a 的取值范围是[)1,+∞……12分22.解:(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θy =ρsin θ代入ρsin 2θ=2cos θ,得y 2=2x ……2分由⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+22t y =-4+22t (t 为参数),消去t 得x -y -2=0,……4分∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2=2x ,x -y -2=0. …5分(2)证明将⎩⎪⎨⎪⎧x =-2+22t y =-4+22t (t 为参数)代入y 2=2x ,整理得t 2-102t +40=0. ……7分设t 1,t 2是该方程的两根,则t 1+t 2=102,t 1·t 2=40,∵|MN |2=(t 1-t 2)2=(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=40……8分|PM |·|PN |= t 1·t 2=40,∴|MN |2==PM |·|PN |……9分 ∴|PM |,|MN |,|PN |成等比数列……10分23解:(I )函数3-,2211()11=2,21223,12x x f x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=++--+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩,……3分当x∈(﹣∞,1]时,f(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增,……4分所以当x=1时,f(x)的最小值a=32.……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=32,由m2+n2≥2mn,得mn≤34,∴≥43……7分故有+≥2时取等号.……9分所以+10分11。