时间序列分析-第三章-滑动平均模型和自回归滑动平均模型
第3章自回归滑动平均模型
3.3.3 因果性定理
请回忆一个过程被称为因果的，如果它可以用噪音过程的现在和过
去值{Zt , Zt 1, Zt 2, }来表示。正式地，我们有如下定义：
定义 3.3 称过程{Yt}是因果的，如果存在满足 j 0 j
{ j} 使得Yt
。 Z j 0 j t j
对于 AR(p)模型 (B)Yt Zt ，我们记
Yt Yt 1 Zt , Zt WN(0, 2 )
迭代这个方程，有Yt Zt Zt 1
。 Y k 1 t k1
(3.4)
Байду номын сангаас
问题 1. 我们可以找到满足方程(3.4)的平稳过程吗？
首先，假如这样的过程 {Yt } 的确存在，它会是怎样的呢？
·既然 {Yt } 满足方程(3.4)，它必须有如下形式：
k
Yt
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
Zt Yt 1Zt 1 Yt 1(Yt 1 1Zt 2 )
Yt
1Yt 1
Y2
1 t2
(3.2)
对于数据集 { X t } ，残差{Z t } 可以写为
1
Zt Xt
Zt 1
1
1
1
Xt
Xt 1
2
i i k,
统计学中的时间序列和滑动平均
统计学中的时间序列和滑动平均时间序列分析是统计学中重要的研究领域之一，它用于研究随时间
变化的数据。在时间序列中，数据点按时间顺序排列，以反映数据的
演变趋势和周期性特征。滑动平均是时间序列分析中常用的一种方法，用于平滑数据、消除噪声和揭示趋势。
一、时间序列分析的基本概念
时间序列分析是研究时间序列数据的变化规律、趋势、周期性、季
节性等的统计学方法。时间序列的数据可以来自经济、气象、股市等
各个领域。
时间序列分析主要有以下几个方面的内容：
1. 趋势分析：通过观察时间序列数据的长期趋势，了解数据的发展
方向。
2. 周期性分析：分析时间序列数据中是否存在规律的周期性变化。
3. 季节性分析：检测时间序列数据是否受季节性因素的影响，如销
售量在某个季节会出现高峰。
4. 随机性分析：检验时间序列数据是否具有随机性，如白噪声过程。
二、时间序列分析的方法
在时间序列分析中，常用的方法包括：
1. 平均法：计算一段时间内的均值，用以表示该时间段的趋势。
2. 移动平均法：通过计算一系列连续时间段的均值，用以平滑数据
和揭示趋势。
3. 加权移动平均法：在移动平均法的基础上，对不同时间段的数据
赋予不同的权重，以突出某些时间段的重要性。
4. 指数平滑法：通过对时间序列数据进行权重调整，将较近的数据
赋予更高的权重，较远的数据赋予较低的权重，以适应数据的变动。
5. 自回归模型：根据过去一段时间内的数据，预测未来的数据。
三、滑动平均的应用
滑动平均是一种常用的平滑数据的方法，可以有效消除数据中的噪
声和异常波动，揭示数据的趋势。滑动平均的原理是通过计算一系列
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法
（Movingaverage，MA）
原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012
什么是移动平均法?
移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。移动平均法适⽤于即期预测。当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同
移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类
移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
⼀、简单移动平均法
简单移动平均的各元素的权重都相等。简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中，
·Ft–对下⼀期的预测值；
·n–移动平均的时期个数；
·At-1–前期实际值；
·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。
⼆、加权移动平均法
加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。加权移动平均法的计算公式如下：
计量经济学试题时间序列分析与ARIMA模型
计量经济学试题时间序列分析与ARIMA模
型
计量经济学试题：时间序列分析与ARIMA模型
1. 引言
时间序列分析是计量经济学中重要的分析方法之一，能够揭示变量
随时间变化的规律，并为未来趋势的预测提供依据。ARIMA模型（差
分自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一，具有较
强的建模和预测能力。本文将介绍时间序列分析方法以及ARIMA模型的理论基础，并通过试题案例讲解其具体应用。
2. 时间序列分析方法概述
时间序列是按时间顺序排列的一系列数据点，其特点是数据之间存
在一定的时间关联性和趋势性。时间序列分析方法可用于研究时间序
列的规律，并对未来的变化进行预测。常用的时间序列分析方法包括：平稳性检验、自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析、
白噪声检验、差分运算等。
3. ARIMA模型的基本原理
ARIMA模型是一种广义的线性时间序列模型，它结合了自回归（AR）模型、差分（I）运算和滑动平均（MA）模型。ARIMA模型
的建立一般包括以下几个步骤：确定时间序列的平稳性、确定模型的
阶数、拟合模型参数、模型检验与预测。
4. 时间序列分析与ARIMA模型的应用案例
以某工业品生产量的时间序列数据为例，我们来演示时间序列分析与ARIMA模型的具体应用过程。
4.1 数据准备与描述性分析
首先，我们收集了过去36个月的某工业品生产量数据，用于进行时间序列分析和ARIMA建模。通过对数据的描述性统计分析，我们可以了解数据的分布特征、趋势以及季节性等信息。
4.2 平稳性检验
为了应用ARIMA模型，首先需要检验时间序列的平稳性。我们可以使用单位根检验（ADF检验）等方法判断时间序列是否平稳。若时间序列不平稳，需要进行差分操作，直至得到平稳序列。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析
时间序列分析
21212123,,,;,,,;4p q a ϕϕϕθθθσ↓
↓
⋅⋅⋅⋅⋅⋅↓
．模型建立（特点、条件、性质）
．模型识别（确定模型的类别、阶数，所用工具：自相关函数、偏相关函数）
．模型参数估计（如何用样本作估计）
．平稳随机序列的预报（递推，直接）
ARMA 模型的建立（2课时）
一．自回归模型
1. 定义：
设{t X }为零均值的平稳时间序列。阶数为P 的自回归模型定义为：
1122...t t t p t p t X X X X a ϕϕϕ---=++++ AR （p ）模型
其中（1）[]0t E a =
2
[]0
a t s t s E a a t s
σ⎧==⎨
≠⎩
[]0,s t E a X s t =>
（注：{,0,1, 2...}t a t =±±是白噪声，亦称新信息序列，在时间序列分析预报理论中有重要应用。） （2）常数p （正整数）叫做阶数；
（3）{,1,2...}k k p ϕ= 称为自回归系数。 2. 引入延迟算子概念：
1t t BX X -= B ：一步延迟算子
212()t t t t B X B BX BX X --===
k t t k B X X -= k B ：k 步延迟算子
AR （p ）模型引入延迟算子：
()t t B X a ϕ=
其中，1()1...P P B B B ϕϕϕ=---
（1）()0B ϕ=的根全在单位圆外即所有的根的模大于1，称此条件为AR （p ）模型的平稳性条件。 （2）在满足平稳性条件时，1()B ϕ-存在且一般为B 的幂级数，则1()t t X B a ϕ-=为AR （p ）模型的逆转形式。AP （p ）模型可以看作是把相关的{t X }变为一个不相关序列{t a }的系统。
时间序列中的ARIMA模型
时间序列中的ARIMA模型
时间序列指的是一组按时间顺序排列的数据，这些数据通常都
带有某种趋势、周期或季节性变化。时间序列经常用于分析股票
市场、商品价格、销售量等等。因为随时间变化的规律性，使得
时间序列分析成为了一种非常有效的预测方法。而ARIMA模型则是对时间序列进行分析和预测的重要工具之一。
ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）又称为差分自回归滑动平均模型，是一种以时间序列自身的滞后
值和移动平均值为基础，对时间序列进行拟合和预测的统计模型。ARIMA模型是其他一些时间序列分析工具的基础，比如自回归移
动平均模型（ARMA）和指数平滑模型等等。
通常情况下，一个时间序列中包含以下三个方面的变化情况：
1.趋势变化（Trend）：即随着时间变化呈现的长期趋势，比如
一个公司销售量的增长或下降趋势。
2.季节性变化（Seasonality）：即固定周期性的变化，比如圣诞节或节假日前后销售量的高峰期。
3.不规则变化（Residual）：即与时间没什么关系的随机波动，比如房价因为某些非时间相关的事件而突然上涨或下跌。
基于这些变化情况， ARIMA模型主要有以下三个参数：
1.p：表示时间序列的滞后（Lag）阶数，即AR模型的自回归项数。p越大，模型就会考虑越多的过去数据，但是过度拟合也会带来过多的噪音。
2.d：表示进行差分（隔期间差异）的次数，即使时间序列具有平稳性（Stationary）的一阶差分系列，d=1；否则，需要再进行差分，直到为平稳性。
时间序列分析-移动平均法
移动平均法又称滑动平均法、滑动平均模型法（Moving average，MA）
什么是移动平均法?
移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测未来一期或几期内公司产品的需求量、公司产能等的一种常用方法。移动平均法适用于即期预测。当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是非常有用的。移动平均法根据预测时使用的各元素的权重不同
移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
[编辑]
移动平均法的种类
移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
[编辑]
一、简单移动平均法
简单移动平均的各元素的权重都相等。简单的移动平均的计算公式如下：Ft=(At-1+At-2+At-3+…+At-n)/n式中，
∙Ft--对下一期的预测值；
∙n--移动平均的时期个数；
∙At-1--前期实际值；
∙At-2,At-3和At-n分别表示前两期、前三期直至前n期的实际值。
[编辑]
二、加权移动平均法
加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以相等的权重。其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作用是不一样的。除了以n为周期的周期性变化外，远离目标期的变量值的影响力相对较低，故应给予较低的权重。加权移动平均法的计算公式如下：
数理统计学中的时间序列分析方法研究
数理统计学中的时间序列分析方法研究
时间序列分析是数理统计学中的重要研究领域，它用于研究随时间变化的现象，并预测未来的趋势。本文将以时间序列分析方法为主线，从基本概念、模型建立、预测方法等方面进行详细介绍。
第一章：时间序列基本概念
1.1 什么是时间序列
时间序列是按照时间先后顺序排列的一系列观测数据，通常用于分析和预测具有时间特征的经济、金融、气象等各个领域的数据。
1.2 时间序列的特征
时间序列具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。趋势性表明序列随时间变化呈现出一定的趋势；季节性指的是序列在一年内出现周期性的波动；周期性表示序列在长期内存在着周期性的变动；随机性则是序列的不确定性和随机波动。
第二章：时间序列模型建立
2.1 经典时间序列模型
经典时间序列模型主要包括自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)、自回归滑动平均模型(ARMA)和自回归积分滑动平均模型
(ARIMA)等。这些模型都是基于序列的自相关性和滑动相关性来
建立的，可以很好地拟合和描述时间序列的动态变化。
2.2 非线性时间序列模型
除了经典模型外，非线性时间序列模型也被广泛应用于时间序
列的建模和预测。其中，ARCH、GARCH、EGARCH等模型能够
考虑序列的波动性和异方差性，能够更好地应对金融领域的序列。
2.3 多元时间序列模型
多元时间序列模型可以同时考虑多个相关变量之间的关系。VAR模型是应用较为广泛的多元时间序列模型，通过计量经济学
中的协整关系来分析变量间的长期均衡和短期动态调整。
第三章：时间序列预测方法
3.1 移动平均法
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
0 1
2 (1 2b
b
2
)
k
0,k
2
1
1
b b
2
k 0 , k 2
谱密度
f()2|1 b e i|2 2( 1 b 2 2 b c o s), [,]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
(b)k(1b2) ak,k (1b2k2) ,k1
t (b) j Xt j j0
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
f()22|1b1eib2ei2|2
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{ X t } 有自协
方差函数{ k } ，则{ X t } 是MA(q)序列的充 分必要是
q0,k0,|k|q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{ c j } 使得 c q 0 和
g()21 jqqcjeij0,[,].
则有唯一的实系数多项式：
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0Hale Waihona Puke Baidu
时间序列分析模型
时间序列分析模型
时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）
移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。该模型表示为：
y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)
其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）
自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。自回归模型表示为：
y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t
其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）
自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。自回归移动平均模型表示为：
y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +
θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)
应用时间序列分析总结归纳
应用时间序列分析总结归纳
时间序列分析是一种用来研究时间序列数据的统计方法，通过观察
和分析时间序列的规律和趋势，可以对未来的趋势进行预测。时间序
列分析广泛应用于经济学、金融学、气象学、市场研究等领域。本文
将对时间序列分析的应用进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应
用这一方法。
一、时间序列分析的基本概念
时间序列是指按照时间顺序记录的一组数据。时间序列分析的基本
概念包括平稳性、周期性、趋势性和季节性。
1. 平稳性：时间序列在统计特性上没有明显的变化，均值和方差保
持稳定。
2. 周期性：时间序列数据具有周期性的规律，可以按照一定的时间
间隔重复出现。
3. 趋势性：时间序列数据呈现出明显的变化趋势，可以是上升趋势、下降趋势或波动趋势。
4. 季节性：时间序列数据受到季节因素的影响，呈现出周期性的波动。
二、时间序列分析的方法
时间序列分析的常用方法包括平滑法、趋势法、季节性分解法和ARIMA模型。
1. 平滑法：通过计算一定时间段内的均值或加权平均值，消除时间
序列中的随机波动，从而更好地观察到趋势和周期性。
2. 趋势法：通过拟合回归模型，对趋势进行预测和分析。
3. 季节性分解法：将时间序列数据分解为趋势、周期和随机波动三
个分量，以便更好地分析和预测季节性变化。
4. ARIMA模型：自回归滑动平均模型是一种包含自回归和滑动平
均项的时间序列预测模型，可以用于分析非平稳的时间序列数据。
三、时间序列分析的应用
时间序列分析在实际应用中有许多重要的用途，下面将介绍其中几
个典型的应用领域。
1. 经济学应用：时间序列分析可以帮助经济学家研究经济指标的趋
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用
案例分析
时间序列分析是一种从历史数据中提取信息并预测未来趋势的方法，它在金融、经济、气象等领域有广泛的应用。而ARIMA模型则是时间序列分析中最常用的一种模型。本文将介绍ARIMA模型的原理及应用案例。
一、ARIMA模型的原理
ARIMA模型全称为AutoRegressive Integrated Moving Average Model，即自回归积分滑动平均模型。它是一种将自回归模型和滑动平均模型结合在一起的时间序列模型，用于对非平稳时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型可以表示为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示滑动平均项数。如果时间序列是平稳的，可以使用ARMA模型，而非平稳时间序列则需要使用ARIMA模型。
ARIMA模型的建立一般有三个步骤：确定阶数，估计系数，检验模型。
首先，我们需要通过观察时间序列的自相关图和偏自相关图来确定p和q的值。自相关图可以反映时间序列的自相关性，即同一时间点前后的样本值之间的相关性。而偏自相关图是指当与其他滞后时期的影响被移除后，两个时期之间的相关性。如图1所示：
图1 自相关图和偏自相关图
在确定p和q的值之后，我们需要进行差分运算，将非平稳序列转换为平稳序列，以确保ARIMA模型的有效性。当d=1 时，表示进行一次一阶差分运算，将原来时间序列的差分序列变为平稳序列。当然也有可能需要进行多阶差分。
最后，我们需要通过最大似然估计法或最小二乘法来估计ARIMA模型的系数，进而用模型进行预测。
时间序列分析 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
即
j 1
j 0
p
q
k aj kj bjE(tj l tkl )
j1
j0
l0
p
q
aj kj bj jk.kZ
j1
j0
当 q k 时 j k0 ,j0 ,1 ,K ,q .上式为
p
k aj kj,k q1 j1
总之
p k aj
kj
2
b q
jmax(0,k) j
C ( )X tD ( )t,t Z
成立。则 C ( z ) 的阶数 p,D(z) 的阶数 q 。
ARMA序列的Y-W方程
ARMA模型的ห้องสมุดไป่ตู้稳解为
所以
X t
j t j
j0
E (tkX t)0,k0
（1）
两边同乘以 X t k 求期望得
p
q
E (X t jX t k) E (X t jX t k) b jE (t jX t k)
(aTp ,bqT ,2) 相互惟一决定。
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
时间序列分析-读书笔记
）
时间序列分析模型
~
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
-
=
-
⎩
⎨
⎧
∑
∑
-
可变权数选点法
固定权数选点法
选点法
曲线
曲线
如修正指数曲线
曲线的模型参数
主要用于估计一些增长
三段求和法
差分指数平法滑
高次指数平滑法
双参数线性指数平滑法
单参数线性指数平滑法
一次指数平滑法
指数平滑法
二次移动平均法
一次移动平均法
移动平均法
折扣最小二乘法
普通最小二乘法
最小二乘法
分段平均法
全列平均法
平均数法
istic
Gompertz
Holt
Brown
y
y
y
y
i
i
i
t
log
,,
,,
,
:
min
ˆ
:
min
ˆ
:
2
2
α
1. 时间序列作用：描述系统运行规律
预测
对特殊政策或事件的影响加以估计
2. ~
3. 时间序列分类：确定时间序列，随机时间序列
4. 确定时间序列的分析方法：
它不计算时间序列的随机变动值，建模的目的是要消除随机变动的影响，揭示预测对象随时间变动的规律性用于预测，这是确定性时间序列和随机时间序列分析的区别。
趋势外推法：有明显上升或下降趋势，没有明显季节变动，能用函数表示
移动平均法：一次移动平均：大体成水平变动，平滑公式，预测公式
两次移动平均：线性上升或下降，预测公式
指数平滑法：一次指数平滑法:水平变动，平滑公式，预测公式
Brown 单参数线性指数平滑法:线性上升或下降，平滑公式，预测公式 ？
Holt 双参数线性指数平滑法: 线性上升或下降，平滑公式，预测公式 参数选择主观性较强，不能提供置信区间信息
季节调整术：试图度量序列中的季节变动，并利用这些指数剔除序列中的季节变动。
计量学1-自回归移动平均模型分析
型才是可逆的。
19
2、MA(q)模型
（1）平稳性
根据MA(q)的定义得到 ：
E(Yt )
0
Var(Yt )
2
(1
12
2 q
)
k
Cov(Yt ,Ytk )
(
k
0
k 1 1 k 2 2
k q
q
qk
)
2
k 1, , q
20
（2）可逆性
MA(q)模型 Yt t 1t 1 2t 2 qt q
根据各种时间序列模型的理论特征，对时间序 列数据进行分析，确定适当的初步模型，包括 模型类型及其阶数，就是找出ARMA模型适当
的p、q值；
2、估计 用适当的参数估计方法，估计初步设定模型的 相关参数值，包括自回归和移动平均系数和白 噪声的方差等；
6
3、诊断 对模型进行校验，包括检验模型的拟合程度， 检验设定模型的合理性和阶数是否正确等，并 进一步调整修改模型，确定模型和精确估计参 数；
32
性质
1 1 2
k 1 k 1 2 k 2
0
11
2 2
2
wenku.baidu.com
(1
2
)
2
(1 2 )[(12 )2
12
]
(1
2
)
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 (b1 b1b2 ), k 0, k 2
1
1
b1 b12
b1b2 b22
, 2
1
b2 b12
b22
, k
0, k
2.
谱密度
f
()
2 2
|1 b1ei
b2ei2
|2
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
Xt t 0.36t1 0.85t2
特征根为 1.084652ei1.374297 。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0 1
0
0
k
k 1
,
qk1
1
c
0
0 q1
1
q
2Biblioteka Baidu
q
(1.11)
则有：
其中
bq
1
2
(
q
AC), 2 0 CT C,
(1.12)
lim
k
k k1Tk
.
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t bt1,t WN (0, 2 ),| b | 1
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{Xt}的自协方差函数 是q步截尾的：
q 2bq 0, k 0,| k | q.
并且有谱密度
(1.6)
(1.7) f
()
2 2
|
B(ei ) |2
1
2
q
keik , [ , ].
k q
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{Xt} 有自协
第三章
滑动平均模型与 自回归滑动平均模型
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关
平稳序列{Xt}的自协方差函数若满足 q 0， k 0, k q ，则称{Xt} 是q步相关的。
MA(2)序列
可逆MA(2)
X t t b1t1 b2t2 , t Z
B(z) 1 b1z b2z 0,| z | 1.
可逆域：
{(b1,b2 ) : B(z) 0,| z | 1} {(b1, b2 ) : b2 b1 1,| b2 | 1}
自协方差
0 2 (1 b12 b22 ), 2 2b2
B1(z) j z j ,| z | 1 ( 0) j0
所以 t B1() X t j X t j j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b0 1 ，则对MA(q)序列有 EXt 0 ，
2
qk
j0 bjbjk ,0k q
E(X X ) k
t tk
0, k q
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
(1, 2 ) (0.3596, 0.4589).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
ARMA模型
定义2.1 设{t}是WN (0, 2 ) 。实系数多项 式 A(z) 和B(z) 没有公共根。满足
b0 1, apbq 0
以及：
p
A(z) 1 a j z j 0,| z | 1, j 1
q
B(z) bj z j 0,| z | 1, j0
(2.1)
就称差分方程：
使得
j 1
g() 2 | B(ei ) |2 . 2
(1.8)
这里 2 为某个正常数。(注：cj c j )
定理1.3的证明
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
f
()
1
2
q
k eik
k q
由引理，
f () 2 | B(ei ) |2 . 2
B(z) 单位圆内没有根
如果 B(z) 在单位圆上都没有根，则可定 义 t B1()X1 ，用线性滤波的谱密度公式 可得{t} 的谱密度是白噪声谱密度。
自协方差和自相关
0 1
2 (1 2b
b2
)
k 0, k 2
1
b 1 b2
k 0, k 2
谱密度
f () 2 |1 bei |2 2 (1 b2 2b cos ), [ , ]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
ak ,k
(b)k (1 b2 ) (1 b2k2 )
,k
1
t (b) j X t j j0
如果进一步要求多项式 B(z) 在单位圆周 上也没有零点：Bz 0, 当 | z |1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t , t Z
(1.3)
对于可逆MA，B1(z) 有Taylor 展式
单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算
MA(q)序列的系数 (b1,b2, ,bq )及 2可以被
数 0 ,1, , q 唯一确定。 可以用文献 [5]方法计算模型参数。
MA(q)系数的计算
记
0 1 0
0
0
1
A
0
0
0
0 0 0
1 2
定义1.1 设{t }是 WN(0, 2) ，如果实数
b1, b2 , bq (bq 0) 使得
则称
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, j 1
q
X t t bjt j , t Z
(1.2)
j 1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 {Xt} 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt ,t 1, 2, 197}。
一阶差分得
yt xt xt1,t 2, ,197
{yt}的样本自相关系数列呈现截尾性。
可以拟合
^
Yt t b t1, t Z
模型特点是k } 1步截尾
(1.1)
MA(q)模型和MA(q)序列
方差函数{ k} ，则{Xt} 是MA(q)序列的充 分必要是
q 0, k 0,| k | q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{c j} 使得 cq 0和
g()
1
2
q
c jeij
jq
0, [ , ].
则有唯一的实系数多项式：
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, bq 0.