八上全等三角形证明方法归纳经典

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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的,公共角常是对应角.(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法:(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法:(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法:①延长中线构造全等三角形;②利用翻折,构造全等三角形;③引平行线构造全等三角形;④作连线构造等腰三角形。

八年级上册三角形全等的判定

八年级上册三角形全等的判定

八年级上册三角形全等的判定
摘要:
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
4.两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
5.直角三角形全等条件:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
正文:
在八年级上册的数学课程中,我们学习了三角形全等的判定方法。

全等三角形的判定有多种方法,包括SSS、SAS、ASA、AAS 和HL。

下面我们将逐一介绍这些判定方法。

1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS):当两个三角形的三组对应边分别相等时,这两个三角形就是全等的。

这一条判定方法也说明了三角形具有稳定性的原因。

2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS):当两个三角形有两边及其夹角对应相等时,这两个三角形就是全等的。

3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA):当两个三角形有两角及其夹边对应相等时,这两个三角形就是全等的。

4.两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS):当两个三角形有两角及其一角的对边对应相等时,这两个三角形就是全等的。

5.直角三角形全等条件:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL):当两个直角三角形的斜边及一直角边对应相等时,这两个直角三角形就是全等的。

以上五种判定方法可以帮助我们判断两个三角形是否全等。

在实际应用中,我们需要根据已知条件选择合适的判定方法来证明两个三角形全等。

初二数学上册全等三角形五大判定方法

初二数学上册全等三角形五大判定方法

全等三角形5大判定一、边边边(SSS)学习全等三角形判定法则时,第一条就是边边边。

内容:它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

理解:若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系),即可确定出的三角形形状,大小。

若给出三条线段长度 AB=c, BC=a, AC=b,确定过程如下:①先确定一边AB;②分别以AB为圆心,分别做半径为b,a长的圆,交于C点;③最后连接AC,BC。

这样三角形的大小,形状就都被确定出来了。

二、边角边(SAS)内容:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

理解:若确定两条公共端点线段的长度,及它们的夹角,即可确定出的三角形形状,大小。

若给出AB=c BC=a ∠B=α,确定过程如下:①画∠EAD=α;②在射线AE上截取AC=c,在射线AD上截取AB=c;③连接BC。

这样,三角形的.大小形状同样被确定了。

三、角边角(ASA)内容:两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。

理解:若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了,即可确定出的三角形形状,大小。

若有AB=c,∠CAB=α,∠CBA=β,确定过程如下:①先确定一边AB=c;②在AB同旁画∠DAB=α,∠EBA=β,AD,BE交于点C。

这样,三角形的大小形状同样被确定了。

四、角角边(AAS)内容:两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

理解:若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了,即可确定出的三角形形状,大小。

若有AB=c,∠CAB=α,∠ACB=β,确定过程如下:由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数,这样,利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。

相关定理:三角形内角和为180度五、斜边,直角边(HL)内容:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

(HL)理解:若确定一个三角形为直角三角形,同时得到其一个直角边和斜边的长度,即可确定出三角形的形状大小。

若确定三角形为直角三角形,还得到其一直角边和斜边,则可勾股定理得出剩下一边,再通过SSS或SAS即可确定三角形形状大小。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的,公共角常是对应角.(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法:(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法:(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法:①延长中线构造全等三角形;②利用翻折,构造全等三角形;③引平行线构造全等三角形;④作连线构造等腰三角形。

沪科版八年级数学上册《全等三角形》知识总结和经典例题

沪科版八年级数学上册《全等三角形》知识总结和经典例题

沪科版八年级上册数学全等三角形复习[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形判定 边角边(SAS )、角边角(ASA ) 角角边(AAS )、边边边(SSS ) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL ) 性质对应边相等,对应角相等对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等② 全等三角形面积相等. 2.证题的思路:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

(SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。

3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角,用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。

概念深入理解:(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

(外观长的像)(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化)2、全等三角形的表示方法:若△ABC 和△A′B′C′是全等的,记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中,“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质:全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。

(2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等。

(3)全等三角形周长,面积相等。

4、寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;图3图1 图2(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转;5、全等三角形的判定:(深入理解)①边边边(SSS)②边角边(SAS)③角边角(ASA)④角角边(AAS)⑤斜边,直角边(HL)注意:(容易出错)(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等);(2)不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。

人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用

人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用
Rt△ODE≌Rt△OCE(AAS),∴DE=CE
类型三:证明两直线平行
4.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:AB∥CD.
解:在△DOC 与△BOA 中,O∠CD=OOC= A,∠BOA, OD=OB,
∴△DOC≌△BOA(SAS),∴∠D=∠B,∴AB∥CD
类型四:证明两直线互相垂直 5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点, 将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别 与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证 明你的猜想. 解:BE=EC,BE⊥EC,证明:∵AC=2AB,D是AC的中点,∴AB= AD=CD,∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°,∵EA= ED,∴△EAB≌△EDC(SAS),∴∠AEB=∠DEC,EB=EC,∴∠BED+ ∠DEC=∠BED+∠AEB=90°,∴BE⊥EC
3.如图,AC⊥AD,BC⊥BD,OE⊥CDபைடு நூலகம்AC=BD.求证:DE=CE.
解:∵AC⊥AD,BC⊥BD,∴∠A=∠B=90°,在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中,DACC==CBDD,,∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL),∴∠ACD
=∠BDC,在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中,∠∠OOEDDE==∠∠OOECCE=,90°,∴ OE=OE,
∴∠A=∠D
类型二:证明两线段相等 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC, CE⊥BD于点E.求证:AD=BE. 解:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,又CE⊥BD,∴∠BEC=90°, 又∵∠A=90°,∴∠A=∠BEC,又BD=CB,∴△ABD≌△ECB(AAS), ∴AD=BE

八年级上册数学证明全等三角形的方法

八年级上册数学证明全等三角形的方法

八年级上册数学证明全等三角形的方法数学中证明全等三角形的方法有很多种,下面将介绍其中几种常用的方法。

1. SSS法(边边边法):SSS法是全等三角形的最基本的证明方法之一,它要求两个三角形的三条边分别相等。

证明的步骤如下:(1)先列出已知条件,如∆ABC≌∆PQR。

(2)分别列出两个三角形的三条边,如AB=QR,BC=RP,AC=PQ。

(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于运用已知条件和性质进行推理。

(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。

2. SAS法(边角边法):SAS法也是常用的证明全等三角形的方法之一,它要求两个三角形中一个角相等,且两个角的夹边相等。

证明的步骤如下:(1)先列出已知条件,如∠BAC=∠QPR,AC=PQ。

(2)分别列出两个三角形的两个角和夹边,如∠ACB=∠PQR,AB=QR。

(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于运用已知条件和性质进行推理。

(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。

3. ASA法(角边角法):ASA法也是常用的证明全等三角形的方法之一,它要求两个三角形中一边相等,且两边夹角相等。

证明的步骤如下:(1)先列出已知条件,如∠A=∠P,∠B=∠Q。

(2)分别列出两个三角形的两个角和一边,如∠C=∠R,以及AC=PR。

(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于运用已知条件和性质进行推理。

(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。

4. HL法(斜边直角边法):HL法是用来证明两个直角三角形全等的方法,它要求两个直角三角形的斜边和一个直角边相等。

证明的步骤如下:(1)先列出已知条件,如∆ABC≌∆PQR,其中∠B=∠Q=90°和BC=QR。

初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。

概念深入理解:(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

(外观长的像)(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化)2、全等三角形的表示方法:若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的,记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中,“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质:全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。

(2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等。

(3)全等三角形周长,面积相等。

图3图1图24、寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转;5、全等三角形的判定:(深入理解)①边边边(SSS)②边角边(SAS)③角边角(ASA)④角角边(AAS)⑤斜边,直角边(HL)注意:(容易出错)(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等);(2)不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。

缺个角的条件:缺条边的条件:04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质:①角平分线具有对称性;②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法:(1)截取构全等如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破(题型清单)一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.要点诠释:全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础,这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具,是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形,可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法:(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2.证明角相等的方法:(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角(等角)的余角(补角)相等.(5) 对顶角相等.3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法;可通过证明两个三角形全等,得到对应角相等,再利用平行线的判定或垂直定义证明.4.辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形;(2)倍长中线法;(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形;(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等,需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时,则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系,此时应添置辅助线,使之出现全等三角形,通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、 角平分线概念:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

人教版八年级数学上册知识点归纳

人教版八年级数学上册知识点归纳

精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形(1)形状、大小相同的图形能够完全重合;(2)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形;(3)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;(4)平移、翻折、旋转前后的图形全等;(5)对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点;(6)对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角;(7)对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边;(8)全等表示方法:用“ ”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上)(9)全等三角形的性质:①全等三角形的对应边相等;②全等三角形的对应角相等;11.2三角形全等的判定(1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等;(2)三角形全等的判定:①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SS”S)②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”)③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”)④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”)⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”)(3)证明三角形全等:判断两个三角形全等的推理过程;(4)经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等;(5)三角形的稳定性:三角形的三边确定了,则这个三角形的形状、大小就确定了;(用“SSS”解释)11.3角的平分线的性质(1)角的平分线的作法:课本第19页;(2)角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(3)证明一个几何中的命题,一般步骤:①明确命题中的已知和求证;②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;(4)性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;(利用三角形全等来解释)(5)三角形的三条角平分线相交于一点,该点为内心;第十二章轴对称12.1轴对称(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么就称这个图形是轴对称图形;这条直线叫做它的对称轴;也称这个图形关于这条直线对称;(2)两个图形关于这条直线对称:一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点;(3)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别:轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合;而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合;(4)轴对称图形与两个图形成轴对称的联系:把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称;把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形。

全等三角形证明技巧总结

全等三角形证明技巧总结

全等三角形证明技巧总结证明全等三角形的方法有很多,下面是一些常用的证明技巧总结。

1.SSS法(边边边全等法):利用三角形的三条边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的对应边分别相等,并证明它们分别对应相等的角相等。

(2)然后证明这两个相等的角所对应的边也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

2.SAS法(边角边全等法):利用三角形的两条边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的一些角相等,并证明它们的对应边相等。

(2)然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

3.ASA法(角边角全等法):利用三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的两个角相等,并证明它们的夹边相等。

(2)然后证明这两个夹边所对应的角也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

4.AAS法(角角边全等法):利用三角形的两个角和一个非夹边的相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的两个角相等,并证明它们的非夹边相等。

(2)然后证明这两个非夹边所对应的角也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

5.RHS法(直角边-斜边-直角相等法):利用三角形的直角边和斜边分别相等来证明两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的一个直角边和斜边相等,并证明它们的斜边相等。

(2)然后证明这两个相等的斜边所对应的直角边也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

6.共边法:若两个三角形的其中两边相等,并且这两边的一端相连,且对应的角也相等,那么这两个三角形全等。

具体步骤为:(1)首先确定两个三角形的一个边和它的一端与另一个边共线,并且这两边相等。

(2)然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。

(3)最后,可以得出两个三角形全等。

7.旋转法:利用三角形的旋转操作来证明两个三角形全等。

人教版八年级上册数学专题复习证明三角形全等的常见题型

人教版八年级上册数学专题复习证明三角形全等的常见题型

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型,进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等。

例1已知:如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C .求证:AF=DE。

证明∵BE=CF(已知),∴BE+ EF=CF+EF,即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SAS)。

∴ AF=DE(全等三角形对应边相等)。

2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等。

例2已知:如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB。

求证:AE=CE。

证明∵ FC∥AB(已知),∴∠ADE=∠CFE(两直线平行,内错角相等)。

在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(ASA).∴ AE=CE(全等三角形对应边相等)3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等。

例3(同例2).证明∵ FC∥AB(已知),∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(AAS).∴ AE=CE(全等三角形对应边相等)。

二、已知两边对应相等1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等。

例4已知:如图3,AD=AE,点D、E在BCBD=CE,∠1=∠2。

求证:△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2(已知),∠ADB=180°-∠1,∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),∴∠ADB = ∠AEC,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS).2.证第三边对应相等,再用SSS证全等。

例5已知:如图4,点A、C、B、D在同一直线AC=BD,AM=CN, BM=DN。

人教版八年级数学上《全等三角形的证明》课堂笔记

人教版八年级数学上《全等三角形的证明》课堂笔记

《全等三角形的证明》课堂笔记
一、知识点梳理
1.
全等三角形的定义:两个三角形能够完全重合,则这两个三角形是全等的。

2.
全等三角形的五种证明方法:
1.SSS(三边相等)
2.SAS(两边和它们的夹角相等)
3.ASA(两角和它们的夹边相等)
4.AAS(两角和其中一角的对边相等)
5.HL(在直角三角形中,斜边和一个直角边相等)
二、重点内容
1.理解每一种证明方法的条件:确保正确应用每一种证明方法,必须深入理
解其条件。

2.应用证明方法证明三角形全等:通过具体的例子,展示如何运用五种证明
方法证明两个三角形全等。

三、例题解析
1.例1:使用SSS证明两个三角形全等。

2.例2:使用SAS证明两个三角形全等。

3.例3:使用ASA证明两个三角形全等。

4.例4:使用AAS证明两个三角形全等。

5.例5:使用HL证明两个直角三角形全等。

四、练习巩固
学们在今后的学习中,能够多加练习,提高解题能力。

1.练习1:给出两组条件,判断是否能够证明两个三角形全等,并说明理由。

2.练习2:根据给定的条件,使用适当的证明方法证明两个三角形全等。

3.练习3:给出多个三角形,选择其中两个,使用适当的证明方法证明它们
全等。

五、课堂小结
本节课主要学习了全等三角形的五种证明方法,通过讲解、示范和练习,大家基本掌握了这些知识。

希望同。

八年级数学全等三角形证明方法汇总,全等三角形模型

八年级数学全等三角形证明方法汇总,全等三角形模型

模型一“一线三等角”全等模型基础模型同侧一线三等角已知:点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)结论1:△APC≌△BDP异侧一线三等角已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)结论2:△APC≌△BDP结论分析结论1:△APC≌△BDP证明:如图,∵点P在线段AB上,∴∠APC+∠2+∠DPB=180°,在△APC和△BDP中,∠1+∠APC+∠C=180°,∠DPB+∠3+∠D=180°, ∵∠1=∠2=∠3,∴∠DPB=∠C,∠APC=∠D,又∵AP=BD或AC=BP或CP=PD,∴△APC≌△BDP. 结论2:△APC≌△BDP证明:如图,点P在线段AB的延长线上,∵∠1=∠C+∠APC,∠2=∠D+∠BPD,∠3=∠BPD+∠APC,∠1=∠2=∠3,∴∠D=∠APC,∠CAP=∠PBD,∵AP=BD或AC=BP或CP=PD,∴△APC≌△BDP.模型拓展已知:点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)已知:点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)一线三垂直钝角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角结论3:△APC≌△BDP 结论4:△APC≌△BDP典例小试例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,若∠B=∠DEF,ED=EF,CF=3,则BE的长为( )A.3B.6C.9D.12例2如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒,点A、C、E共线.若AC=6cm,CD⊥BC,则线段CE的长度是( )A.6cmB.7cmC.6√2cmD.8cm例3如图,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:AF=BE.实战演练1.如图,△ABC中,AC=BC,∠B=45°,A(0,4),C(-2,0),则点B的坐标为______.2.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=60°,BC=1,点E是BC上一点,若△ADE为等边三角形,则AB+CD的值为_________.3.在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为6,则△ABE与△CDF的面积之和为_______.4.如图①,在△ABC中,AB=AC,点D,A,E三点都在直线l上.若∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)猜想并证明DE,BD,CE之间的数量关系;(2)如图②,若α=120°,且△ACF为等边三角形,求证:△DEF为等边三角形.图①图②模型二“半角”全等模型基础模型模型拓展结论分析结论2:①△BDE≌△CDG,△DEF≌△DGF;②EF=BE+FC证明:如图,以点D为旋转中心,线段DE按顺时针方向旋转120°到DG,连接CG,则有DE=DG,∠EDG=120°.∵∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=120°,∴∠BDE=∠CDG.在△BDE和△CDG中,∴△BDE≌△CDG, ∴BE=CG,在△EDF和△GDF中, DE=DG∠EDF=∠GDF=60°怎么用?1.找模型一个角包含着该角的半角,如120°角包含60°角,90°角包含45°角,或者出现12关系,则考虑使用“半角”模型2.用模型①找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;DF=DF∴EF=GF=FC+CG=FC+BE.典例小试例1 如图,在等边△ABC 中,点E,F 分别在AB,AC 上,点D 为△ABC 外一点,且∠EDF=60°,∠BDC=120°,BD=DC.设△AEF 的周长为C ₁,等边△ABC 的周长为C ₂.若DE=DF,则C1C 2的值为 .例2 如图,已知△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形,点E 、F 在AB 边上,∠ECF =12∠ACB. 若AE=2,EF=3,则BF 的长为 .实战演练1.如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,∠BAE+∠DAF=45°.若DF=2BE=2,则EF 的长为 .2. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=120°,∠EAF=60°,E,F 分别是BC,CD 上的点,连接AE,AF,EF,若BE=3,DF=5,则EF 的长为_______.3. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,延长BC 到点E,延长CD 到点F,使得∠EAF=21∠BAD.求证:EF=BE-FD.4. 如图,在△ABC中,点D,E 均在边BC 上,点D 在点E 的左侧. (1)若∠BAC=90°,AB=AC,且∠DAE=45°.求证:BD 2+CE 2=DE 2.(2)若∠BAC=60°,AB=AC=5,且∠DAE=30°,当BD=1时,求线段CE 的长.模型三 “手拉手”全等模型基础模型 模型拓展 结论分析结论1:△AOC≌△BOD,AC=BD 证明:∵∠AOB=∠COD, ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, ∴∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中, OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD ∴△AOC≌△BOD, ∴AC=BD .结论2:EO 平分∠AED证明:如解图,过点O 作OM⊥AE于点M,ON⊥BD于点N, ∵△AOC≌△BOD, ∴S △AOC =S △BOD ,∴21AC ·OM=21BD ·ON, ∵AC=BD, ∴OM=ON,∴EO 平分∠AED (角平分线性质)典例小试例1 如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠ACB=30°,以AC,AB 为边向外作等边△ACD,△ABE,连接CE,BD.则CE 的长为( )怎么用? 1.找模型 双等腰(两个等腰三角形),共顶点(顶点O),顶角相等(∠AOB=∠COD),绕点O 旋转一定角度 2.用模型 通常需要连接拉手线,根据旋转角转换及等腰三角形性质证三角形全等A.3B.4C.5D.7例2如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个实战演练1.如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC的中点为0,点E 是AB上一点,过点O作OF⊥OE,交BC于点F,连接EF,若AE=1,则EF的长为.2.把两个含有45°角大小不同的三角板如图①摆放,将小三角板ADE绕点A按逆时针方向旋转,如图②,连接BD,EC.(1)当DE⊥AC时,AD与BC的位置关系是_________,AE与BC的位置关系是________;(2)如图②,连接BE,当点D在线段BE上时,∠BEC的度数为__________.图①图②3.如图①,等腰△ABC和等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,连接BD、CE,(1)若∠BAC=∠DAE=35°,求证:BD=CE;(2)连接BE,当点D在线段BE上时.①如图②,若∠BAC=∠DAE=60°,则∠BEC的度数为;线段BD与CE之间的数量关系是;②如图③,若∠BAC=∠DAE=90°,AM为△ADE中DE边上的高,请判断∠BEC的度数及线段AM,BE,CE 之间的数量关系并说明理由.图①图②图③模型四“反向手拉手”全等模型基础模型结论分析怎么用?1.找模型双等腰(两个等腰三角形),共顶点(顶点A),顶角相等(∠BAC=∠DAE),对应底角顶点错开相连接(BE,CD)2.用模型反向手拉手的难点在于如何转化为正向手拉手,转化方法为以三角形的一边为对称轴作对称图形典例小试例如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接BE,点O是BE的中点,连接AO,若AO=1, 则CD的长为__________.实战演练1.在等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,连接AD、BC,M为AD的中点,连接OM.(1)如图①,请写出OM与BC的数量关系,并说明理由;(2)将图①中的△COD旋转至图②的位置,其他条件不变,(1)中结论是否成立?请说明理由.2.在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,连接BE,CD,点M是CD的中点,连接AM.(1)观察猜想:如图①,当点B,A,E在一条直线上时,线段AM与BE的数量关系是_________________,位置关系是_________________;(2)探究证明:当Rt△ABC和Rt△ADE的位置如图②所示时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展延伸:将题中条件“AB=AC,AD=AE”改为“∠ABC=∠AED=30°”,其他条件不变,如图③,把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AE=2,AB=6.请直接写出AM的取值范围.。

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【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。

概念深入理解:(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

(外观长的像)(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化)2、全等三角形的表示方法:若△ABC 和△A′B′C′是全等的,记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中,“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质:全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。

(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。

(2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等。

(3)全等三角形周长,面积相等。

4、寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;图3图1 图2(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转;5、全等三角形的判定:(深入理解)①边边边(SSS)②边角边(SAS)③角边角(ASA)④角角边(AAS)⑤斜边,直角边(HL)注意:(容易出错)(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等(边定全等);(2)不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。

6、常见辅助线写法:(照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯)如:⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线,垂足为D⑶延长AB至C,使BC=AC⑷在AB上截取AC,使AC=DE⑸作∠ABC的平分线,交AC于D⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点同一条辅助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同。

【第2部分 中点条件的运用】1、还原中心对称图形(倍长中线法)中心对称与中心对称图形知识:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的两条基本性质:(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。

(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。

中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。

(一个图形)如:平行四边形线段本身就是中心对称图形,中点就是它的对称中心,所以遇到中点问题,依托中点借助辅助线还原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来(集散思想)。

例1、AD 是△ABC 中BC 边上的中线,若AB =2,AC =4,则AD 的取值围是_________。

例2、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF =EF ,求证:AC =BE 。

B'AB CD EF例3、如图,D 是△ABC 的边BC 上的点,且CD=AB ,∠ADB=∠BAD,AE 是△ABD的中线。

求证:AC=2AE例4 △ABC 中,AD 、BE 、CF 是三边对应中线。

(则O 为重心)求证:①AD 、BE 、CF 交于点O 。

(类倍长中线); ②AOB BOC COA S S S ==V V V 练习1、在△ABC 中,D 为BC 边上的点,已知∠BAD =∠CAD ,BD =CD ,求证:AB =ACABCD2、如图,已知四边形ABCD 中,AB =CD ,M 、N 分别为BC 、AD 中点,延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ,求证∠BEM =∠CFM3、如图,AB=AE ,AB⊥AE,AD=AC ,AD⊥AC,点M 为BC 的中点,求证:DE=2AM (基本型:同角或等角的补角相等、K 型)EBACE FACDMBO FE2、两条平行线间线段的中点(“八字型”全等)如图,1l ∥2l ,C 是线段AB 的中点,那么过点C直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型”全等例1 已知梯形ABCD ,AD∥BC,点E 是AB的中点,连接DE 、CE 。

求证:ABCD 12DEC S S =V 梯例2 如图,在平行四边形ABCD 中,AD=2AB ,M 是AD 的中点,CE⊥AB 于点E ,∠CEM=40°,求∠DME 的大小。

(提示:直角三角形斜边中线等于斜边的一半)例3 已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD =∠ACE=90°,连接DE ,设M 为DE 的中点。

⑴求证:MB =MC ;⑵设∠BAD =∠CAE ,固定Rt △ABD ,让Rt △ACE 移至图示位置,此时MB =MC 是否成立?请证明你的结论。

EABEA CDMBEACDMB练习 1、已知:如图,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°.若BD=BC ,F 是CD 的中点,试问:∠BAF 与∠BCD 的大小关系如何?请写出你的结论并加以证明;2、Rt△ABC 中,∠BAC=90°,M 为BC 的中点,过A 点作某直线l ,过B 作BD l ⊥于点D ,过C 作CE l ⊥于点E 。

(1)中的结论是否任然成立?3、如图(1),在正方形ABCD 和正方形CGEF (CG >BC )中,点B 、C 、G 在同一直线上,M 是AE 的中点,(1)探究线段MD 、MF 的位置及数量关系,并证明;(2)将图(1)中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转,使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。

(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明。

(结合前面“8字型”全等,仔细思考)A BCDF3、构造中位线三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.重点区分:要把三角形的中位线与三角形的中线区分开,三角形中线是连结一顶点和它对边的中点;而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(全等法)在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边的中点,证明:DE∥BC,DE=12BC 证明:延长DE 至F 点,使DE=EF ,连接CF (倍长中线)三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来,将题目给出 的分散条件集中起来(集散思想)。

注:题目中给出多个中点时,往往中点还是不够用的。

例1 在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

求证:四边形EFGH 是平行四边形。

例2 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC=BD ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗?练习 1、三角形ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,BD⊥AD,点D 是垂足,点E 是边BC 的中点,如果AB=6,AC=14,求DE 的长。

BDB2、AB∥CD,BC∥AD ,DE⊥BE ,DF=EF ,甲从B 出发,沿着BA->AD->DF 的方向运动,乙B 出发,沿着BC->CE->EF 的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同时从B 出发,则谁先到达F 点?3、等腰Rt△ABC 与等腰Rt△CDE 中,∠ACB=∠EDC=90°,连AE 、BE ,点M 为BE 的中点,连DM 。

(1)当D 点在BC 上时,求DMAE的值 (2)当△CDE 绕点C 顺时针旋转一个锐角时,上结论是否任然成立,试证明FCBD4、△ABC、△CEF 都为等腰直角三角形,当E 、F 在AC 、BC 上,∠ACB=90°,连BE 、 AF ,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点 (1)MN 与AE 的数量关系(2)将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角,MN 与AE 的数量关系4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时,中点提供了底边相等的条件,这里有个基本几何图形如图,△ABC 中,E 为BC 边的中点,那么显然△ABE 和△AEC 有相同的高AD ,底边也相等,故面积相等。

例 E 、F 是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点G ,则AGCDABCDS S 四边形矩形=BCFA FAF扩展 如图,等腰Rt △ACD 与Rt △ABC 组成一个四边形ABCD ,AC=4,对角线BD 把四边形ABCD 分成了二部分,求ABD BCD S S V V 的值。

【5、等腰三角形中的“三线合一”】“三线合一”是相当重要的结论和解题工具,它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。

例 △ABC 中,AB=AC ,BD⊥AC 于D ,问∠CBD 和∠BAC 的关系?分析:∠CBD 和∠BAC 分别位于不同类型的三角形中,可以考虑转为同类三角形。

例 在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC 中点,MN⊥AC 于点N ,则MN=_____【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用,关于这个定理的证明有多种方法,包括利用前面所讲中点的一些知识。

例 如图Rt△ABC 中,∠ACD=90°,CD 为斜边AB 上的中线 求证:CD=12AB (1)利用垂直平分线的性质:垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。

BBBBEBAC取AC 的中点E ,连接DE 。

则DE∥BC(中位线性质) Q ∠ACB=90°∴BC⊥AC ,DE⊥AC 则DE 是线段AC 的垂直平分线∴AD=CD (2)全等法,证法略。

例 在三角形ABC 中,AD 是三角形的高,点D 是垂足,点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点,求证:四边形EFGD 是等腰梯形。

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