耦合连续BVP振子中的分支现象

合集下载

基于新耦合Duffing振子系统的微弱信号检测

基于新耦合Duffing振子系统的微弱信号检测
陈大全;贾美美;李娜
【期刊名称】《内蒙古工业大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(41)2
【摘要】为解决传统Duffing振子随机共振微弱信号检测效果较差的问题,提出新耦合Duffing振子随机共振微弱信号检测方法,通过构造一个新颖的非线性耦合形式将两个传统Duffing振子耦合在一起,并且以输出信噪比作为随机共振检测效果的评价指标,研究了各参数对输出信噪比的影响。

在输出信噪比最大时确定了参数选取的范围,然后把相关参数代入该随机共振模型中进行微弱信号检测。

同时将轴承外圈故障信号分别输入到传统Duffing振子随机共振和耦合Duffing振子随机共振模型中,通过对比发现,新耦合Duffing振子随机共振模型对轴承外圈故障信号的检测效果更优,为新耦合Duffing振子随机共振模型在实际工程中的应用提供了参考和依据。

【总页数】9页(P150-158)
【作者】陈大全;贾美美;李娜
【作者单位】内蒙古工业大学电力学院;内蒙古自治区机电控制重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.23
【相关文献】
1.基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系统的微弱信号检测研究
2.基于耦合Duffing振子的微弱故障信号检测
3.基于耦合Duffing振子和Vanderpol振子系统的微弱信号检测研究
4.基于强耦合Duffing振子的微弱脉冲\r信号检测与参数估计
5.基于改进双耦合Duffing振子的微弱信号检测方法
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

【国家自然科学基金】_耦合不动点_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词推荐指数迭代算法 2 稳定性 2 收敛性 2 可解性 2 sonnier-christov格式 2 非线性耦合schr(o)dinger方程 1 非线性耦合 1 非线性动力学模型 1 非定常流动 1 自由边界问题 1 肿瘤生长 1 耦合运动 1 耦合不动点 1 正解 1 格混合单调算子 1 整体解 1 向量格 1 动稳定性 1 凹函数 1 全局亚迭代 1 不动点指数 1 1 n阶常微分方程组 1 jensen不等式 1
科研热词锥耦合系统耦合不动点半直线预载恒流静压导轨静压计算随机混合单调算子混合单调算子正解次连续算子有限元法数控立车指数吸引性广义同步化流形工作台奇异边值问题压缩不动点半序不动点理论
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
2011年科研热词推荐指数离散 2 混沌 2 驱动系统 1 非线性系统 1 随机动力系统 1 重要课题 1 讨论系统 1 耦合离散bvp振子 1 耦合不动点 1 耦合 1 第二类不动点 1 稳定平衡 1 离散耦合logistic模型 1 混沌跟踪控制 1 数值模拟 1 振子 1 弱压缩多值映射 1 广义同步 1 子电路模型 1 周期解 1 单向耦合 1 半正 1 分支图 1 分支 1 共生作用 1 偏序完备度量空间 1 不动点问题 1 不动点 1 一阶非自治奇异耦合方程组 1 schauder不动点定理 1 schauder 1 lyapunov指数 1

南京大学物化实验系列BZ振荡反应

K1 [BrO3-][ H+]。 K2
BrO3- + HBrO2 + H+
K3
2BrO2 + H2O (3) Ce4+ (K4=快速) (4)
（K3 = 1×10 4mol-2.L6.s-1 , 250C ） BrO2 + Ce3+ + H+ 2HBrO2
K5 K4
HBrO2 +
BrO3- + HOBr + H+ (5)
K3 － [BrO3-] = 5×10 6 [BrO3-] K2
K6
Br-的再生可通过下列步骤实现：
4Ce4+ + BrCH(COOH)2 +H2O + HOBr
该体系的总反应是：
2 Br- + 4 Ce3+ + 3CO2 + 6 H+
(6)
2H+ + 2 BrO3- + 3CH2(COOH)2
2 BrCH(COOH)2 + 3CO2 +4 H2O
曾经提出过不少模型来研究化学振荡的反应机理，下面介绍洛特卡（Lotka）－沃尔特拉（Voltella）的自催化模型。
2X (1) A+X 2Y (2) X+Y E (3) Y
k3 k2
k1
d [ A] =k1[A][X] dt d[ X ] r2=－ =k2[X][Y] dt d[E] r3= = k3[Y] dt
r1=－
E。对这一组微分方程求解得：其净反应是 A
k2[X]－k3ln[X]+ k2[Y]+ k1[A]ln[Y]=常数这一方程的具体解可用两种方法表示，一种是用[X]和[Y]对 t 作图，如图 1，其浓度随时间呈周期性变化；另一种是以[X]对[Y]，得反应轨迹曲线，如图 2，为一封闭椭圆曲线。反应轨迹曲线为封闭曲线，则 X 和 Y 的浓度就能沿曲线稳定地周期变化，反应变呈振荡现象。

热连轧机耦合振动现象特征研究

某２０５０热连轧机在轧制薄规格、高强钢等难度较大成品时，Ｆ２／Ｆ３轧机振动表现强烈。实际生产中曾尝试采用延长在炉时间、提高烧钢温度、精轧段减少开水、投用轧制润滑、增加换辊频次等措施，对轧机振动有所缓解，但无法在根源上消除振动。为了更加准确描述轧机振动现象，研制了热连轧机耦合振动在线监测系统，以准确捕捉轧
采用Ｓｏｌｉｄｗｏｒｋｓ三维建模软件对２０５０热连轧机Ｆ１－Ｆ３轧机主传动系统和垂直系统进行三维建模，将其导入到ＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ有限元仿真平台中，采用模态叠加法对模型进行模态分析与谐响应分析，从而求解得到热连轧机固有动力学特性，获得的热连轧Ｆ１－Ｆ３轧机的主传动的固有频率如表２所示。
① 作者简介：王成镇，男，１９７３年生，高级工程师，北京科技大学控制工程专业，邮箱：ｗｃｚ００７＿２０２２＠１６３．ｃｏｍ
— ８—
王成镇等：热连轧机耦合振动现象特征研究
２０２４年２月第１期
机耦合振动状态，为理论研究轧机振动机理提供科学数据。２２０５０热连轧产线简介
某公司２０５０ｍｍ热连轧机，引进ＳＭＳ机械工艺和ＴＭＥＩＣ自动化技术，于２０１７年投产，工艺布置如图１所示，主要由加热炉、除鳞机、调宽压力机、一架二辊可逆粗轧机Ｒ１、一架四辊可逆粗轧机Ｒ２、七机架四辊精轧连轧机组Ｆ１～Ｆ７、超快冷＋层流冷却系统、热轧卷取机和平整机等设备组成。采用ＳＭＳ公司ＰＣＦＣ板形控制系统ＣＶＣ辊形，液压ＡＧＣ控制、液压弯辊及液压活套等控制技术，精轧Ｆ１～Ｆ２、Ｆ３～Ｆ４和Ｆ５～Ｆ７分别采用不用的工作辊ＣＶＣ辊形曲线。主要产品厚度范围为２．５ｍｍ～２５ｍｍ，主要宽度范围为１０５０ｍｍ～１９００ｍｍ，主要产品为供冷轧材ＤＣ系列深冲钢品种、强度为２３５ＭＰａ～９８０ＭＰａ热轧碳素结构钢和高强钢板等，２０５０ｍｍ热连轧产线是该基地重要生命线。

复旦大学模拟电路二级运放实例

二级密勒补偿运算放大器设计教程
udan
专用集成电路与系统国家重点实验室
RFIC
整理者
版本号 1.0
日期 2007.10.10
说明详细介绍二级运放原理和设计仿真，供新手入门参考
尹睿
版权所有，不得侵犯！传播与修改请保留版权信息。
目录
1 2 引言 ..................................................................................................................... 1 电路分析 .............................................................................................................. 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3 3.1 3.2 3.3 3.4 电路结构 ....................................................................................................... 2 电路描述 ....................................................................................................... 2 静态特性 ....................................................................................................... 3 频率特性 ....................................................................................................... 5 相位补偿 ....................................................................................................... 7 调零电阻 ....................................................................................................... 7 偏置电路 ..................................................................................................... 10 共模输入范围 .............................................................................................. 13 输出动态范围 .............................................................................................. 13 单位增益带宽（GBW） .............................................................................. 14 输入失调电压 .............................................................................................. 14

压电振子特性与支撑方式分析知识分享

压电振子特性与支撑方式分析压电振子特性与支撑方式分析压电振子的振动模式压电振子[X50-52}是压电驱动器的核心部件，起着将电能转换为机械能的作用。

某一几何尺寸的振子在特定条件(按所需方向极化、激励和设置电极等)下，其用以完成机械能和电能相互转换的振动方式多种多样，通常把这种振动方式称为振动模态。

此外，各种振动模态之间还存在着相互影响或藕合作用。

因此在设计压电振子时，除了选择合适的压电陶瓷材料外，还要选择合适的振子及其振动模态。

通常将压电陶瓷激发的振动分成以下四类，如上图所示。

(a)垂直于电场方向的伸缩振动(长度方向)，用LE模表示;(b)平行于电场方向的伸缩振动(厚度方向)，用TE模表示;(c)垂直于电场平面内的剪切振动(表面)，用FS模表示;(d)平行于电场平面内的剪切振动(厚度)，用TS模表示。

当这些振动模式作用到压电振子上时，将能产生弯曲振动、伸缩振动和扭转振动。

压电驱动器为了形成所需运动形式，通常使用这四种振动形式中的两种或一种，使两个以上方向的振动加以组合以达到目的。

按照所加电场与弹性波传播方向之间的关系，压电振动又可分为纵向效应和横向效应两大类。

当弹性波的传播方向平行于电场方向时称为纵向效应;当弹性波的传播方向垂直于电场方向时称为横向效应。

骨传导所采用的复合压电振子的振动模态为LE伸缩振动。

压电振子的谐振特性将施加到压电振子上电信号的频率从低频慢J漫地升到高频时，可以发现，通过压电振子的电流随电信号频率的变化而变化[[53-54]。

当电信号频率为某一频率时，电流出现极大值;当电信号频率变化到另一频率时，电流出现极小值。

压电振子的电流随频率而变化这一事实，也表明压电振子的等效阻抗Z随频率也发生变化，如图2.6所示。

图中，IZI代表阻抗的绝对值。

当电信号频率等于几时，压电振子的电流最大而阻抗最小;当电信号频率等于fn时，压电振子电流最小而阻抗最大。

因此，通常称fm为最小阻抗频率或最大导纳频率(导纳=1}阻抗);,fn称为最大阻抗频率或最小导纳频率。

工程振动测试技术_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

工程振动测试技术_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.阻抗头的主要用途是测。

参考答案:原点传递函数2.关于主振型矩阵和正则振型矩阵的关系是（）。

参考答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主质量矩阵元素的平方根，得到的振型就是正则振型3.一般来说，对于同一个振动系统来说，工程振动的特点是( )。

参考答案:振动频率低，振幅较大。

振动频率高，振幅较小4.机械振动是指物体在其稳定的平衡位置附近所做的（）运动。

参考答案:往复5.在做模态实验时，只需要测得传递函数的就可以获得全部模态信息。

参考答案:一行或一列6.在实验过程中，已知振动信号中的频率信号分别为15Hz、30Hz、60Hz、130Hz、180Hz利用小波变换将其进行分解，若选取采样频率为400Hz，两个频率信号无法分开。

参考答案:130Hz和180Hz7.微分电路中RC的应用范围为。

(其中T为输入电压的时间周期)参考答案:小于0.1T8.关于压电式加速度传感器的频率特性，以下说法正确的是。

参考答案:其灵敏度在固有频率附近会发生急剧变化9.振动系统按运动微分方程形式分为线性和（）两种形式。

参考答案:非线性10.关于多自由度系统振动问题的求解方法，下列说法错误的是（）。

参考答案:根据单自由度系统的求解理论和方法，求得用主坐标和正则坐标表示的响应就结束了11.在建立单自由度弹簧—质量系统的运动微分方程时，当选择物块的静平衡位置为坐标原点，假设x轴方向垂直向下，则物块的位移、速度和加速度方向如何确定（）。

参考答案:都垂直向下12.在有阻尼系统的衰减振动中，【图片】黏性阻尼系数，【图片】为系统的固有圆频率，【图片】为系统的质量，【图片】，其中【图片】称为衰减系数，下面关于【图片】和【图片】的说法错误的是（）。

参考答案:时，称系统处于小阻尼的情形，此时物块在平衡位置附近做往复运动，具有振动的性质，振幅仍然是常数13.一般的多自由度振动系统(正定系统)中，n个固有频率互不相等，其中第一阶固有圆频率的含义是（）。

离散的改进型BVP振子混沌行为研究

｛（ｂ【１．ｙ夕－ｘ）：（７ｐｃ口２＝－＋一）０ｙ－ｆ
其中厂ｚ是的三次多项式，，ｎｂ均为常数．（）ｌ，，Ｄ
（ … １）
（２）（３）
Ｊ专。ｚ。
【一（一ｚｂ）９ｐ口 — ｖ
综合以上两个模型，通过对ｚ的三次项进行重构可得改进型ＢＶＰ模型如下
Ｊ
ｌ一Ｉ Ⅱ ｚ一６Ｄ一（）
按Ｅｌｒｕｅ方法将系统离散化，通过理论分析后，现存在复杂的动力学行为，发如周期轨（周期轨）拟，倍周期分岔，ｒｔＭａｏｔ沌的存在，ｏ混并利用Ｍａｌｂ进行数值模拟，出了分岔图、图和Ｌａｕｏｔａ画相ｙｐｎｖ指数图，证了理论分析的结果，验并且从直观上展现模型的复杂的动力学行为．
（）Ｆ（）ａＳｍＳ；ｂ任意Ｘ，（）ｙ∈Ｓ且Ｘ≠ｙ，ｌｕＸ）ｙ）＞０（）意ｙ∈Ｓ和方程，有ｉｐＦ（一Ｆ（ｍｓ；ｃ任
＂一ｘ）
（）任意一个周期点Ｚ，ｌｕＩ ” Ｚ一Ｐ（ｌ；４的有ｉｐＦ（）ｍｓｙ）＞０
图１所示．１ａ是在 ∈（．６１０的分岔图，过部分的放大可以得到图（）图（）０７，．）通１ｂ和图１ｃ．１ｂ是（）图（）在 ∈（．２０８）０８，．４的放大图，１ｃ是在 ∈（．０，．６）图（）０９５９０９１４的放大图．

电气绝缘在线检测及诊断技术天津大学作业答案

电气绝缘在线检测及诊断技术天津大学作业答案第一篇：电气绝缘在线检测及诊断技术天津大学作业答案电气绝缘在线检测及诊断技术复习题选择题1．下列不是电介质在强电场作用下呈现的现象是（B）。

A．放电B．极化C．闪络D．击穿2．故障诊断主次图中，主要因素是指占累计相对故障率（C）的因素。

A．0 ~ 80%B．50 ~ 80%C．80 ~ 90%D．90 ~ 100% 3．电磁干扰最基本、最有效的抑制方式是（A）A．接地B．屏蔽C．滤波D．保护 4．1 MHz以下的系统接地，要尽量采用（C）方式。

A．悬浮接地B．混合接地C．单点接地D．多点接地5．下列传感器接入方式中属于磁性耦合方式的是（D）。

A．电容接入式B．电阻接入式C．阻容接入式D．普通CT 6．VLF高压试验是指交流输出频率在（B）及以下的高电压试验。

A．0.01 HzB．0.1HzC．1 HzD．10 Hz 8．喷水分级法表征绝缘子憎水性变化时，（D）级表示憎水性完全丧失。

A．HC1B．HC3C．HC5D．HC7 9．不同悬挂方式下电力系统外绝缘泄漏电流的对比结果正确的是（A）。

A．LCmax-垂直耐受 > LCmax-耐张耐受 > LCmax-V型耐受 B．LCmax-垂直耐受 > LCmax-V型耐受 > LCmax-耐张耐受C．LCmax-耐张耐受> LCmax-V型耐受> LCmax-垂直耐受D．LCmax-耐张耐受 > LCmax-垂直耐受 > LCmax-V型耐受 10．电力变压器油在运行中因受温度、电场、氧气、（C）和钢铁等材料作用，会发生氧化、裂变与碳化等反应。

A．压力B．放电C．水分D．氢气11．阻抗电压是电力变压器的重要参数，其大小主要取决于（B）。

A．空载电流与短路电流的大小B．变压器的设计尺寸 C．电压变比及其稳定性D．空载损耗的大小12．电力变压器油枕内的绝缘油采用（C）可以吸收来自空气中的水分和杂质，以保证变压器绝缘油的良好绝缘性。

半波振子_平衡_概述说明以及解释

半波振子平衡概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文旨在对半波振子的平衡概念进行说明和解释。

半波振子是一种重要的物理系统，具有广泛的应用范围。

它是由一个固定支点和一个可以自由摆动的物体组成，通过外力作用产生周期性运动。

平衡状态是指半波振子停止摆动并保持稳定的状态。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分来探讨半波振子平衡的概念和解释。

首先，将介绍半波振子的定义和原理，以及其特点与应用。

接着，会对平衡概念进行概述，并阐明平衡在物理系统中的重要性。

此外，还将通过实例分析与说明来进一步说明平衡现象。

接下来，将详细介绍三种解释半波振子平衡状态的方法：能量平衡法、动力学平衡法和静力学平衡法。

最后，在结论部分总结半波振子平衡的重要性及应用前景，并展望未来研究方向。

1.3 目的本文旨在通过详细阐述半波振子和平衡的概念，以及解释半波振子平衡状态的方法，使读者对该物理现象有更深入的理解。

同时，通过分析其特点和应用，探讨半波振子平衡在实际生活中的意义和前景。

希望本文能够为相关领域的研究和应用提供一定的参考价值，促进该领域的发展与创新。

2. 半波振子:2.1 定义和原理:半波振子是一种简单的物理系统，由一个固定点和一个可自由摆动的质点组成。

它的运动受到重力和弹性力的影响。

当质点偏离平衡位置时，存在恢复力使其回到平衡位置。

半波振子的特点是在恢复力作用下，质点会绕平衡位置来回摆动，并且在每个摆动周期内，质点通过平衡位置两次。

2.2 特点与应用:半波振子具有以下特点和应用：- 高频率：半波振子的周期短，相比于其他振动系统具有较高的频率。

- 简谐运动：在没有外界干扰的情况下，半波振子的运动是简谐的，即满足正弦函数规律。

- 应用广泛：半波振子常见于物理实验中，如弹簧振子、钟摆等。

此外，在工程领域也有许多应用，如隔震设备、机械减vibrations.2.3 数学模型解释:对于半波振子的数学建模首先需要考虑其受力情况。

重力作用下，质点受到向下的恢复力；而弹性力与位移成正比，方向与位移相反。

天津大学智慧树知到“电气工程及其自动化”《电能生产过程》网课测试题答案3

天津大学智慧树知到“电气工程及其自动化”《电能生产过程》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.在出线断路器检修时，会中断该回路供电的接线方式为()。

A、单母线分段带旁路B、双母线分段带旁路C、二分之三接线D、双母线分段2.下列选项中不属于多角形接线特点的是()。

A、接线简单清晰、经济性好B、供电可靠性高、但灵活性差C、检修一台断路器时，需对有关支路停电D、难于扩建3.为提高凝汽式火电厂发电热循环效率，汽轮机排气压力通常都低于一个大气压。

()A、正确B、错误4.电磁式电压互感器二次侧不允许短路是因为()。

A、二次侧会出现过电压B、二次侧短路会烧毁绕组C、二次侧短路会烧坏仪表D、一次侧短路会出线过电流5.下列哪组曲线恰当的描述了矩形导体的集肤效应系数Ks?() A.AB.BC.CD.D6.将热能转换为机械能的动力设备是()。

A.锅炉B.凝汽器C.汽轮机D.发电机7.如果要求在检修任一引出线的母线隔离开关时，不影响其他支路供电，则可采用()。

A.内桥接线B.单母线带旁路接线C.单母线分段接线D.双母线接线8.备用电源的运行方式有明备用和暗备用两种。

()A.正确B.错误9.隔离开关与断路器在操作时应满足“隔离开关先通后断”原则。

()A.正确B.错误10.电力变压器的额定容量指的是变压器的最大工作容量，一旦运行超过这个容量值就会造成变压器设备的损坏。

()A、正确B、错误11.为了保证供电质量，一般要求正常工作时限流电抗器的电压损失百分数小于()。

A.5%B.10%C.8%D.3%12.分裂电抗器的正常工作阻抗一般比短路时的限流阻抗大。

()A.正确B.错误13.电磁式电流互感器二次侧不允许开路主要是因为一旦二次侧开路，会造成二次侧仪表信号紊乱。

()A.正确B.错误14.导体的短时发热过程可认为是一个绝热过程。

()A、正确B、错误15.电气主接线图是反映电气一次设备连接情况的图纸。

BVP 振子中的分支和混沌

中图分类号：O175论文编号：10006SY0509102硕士学位论文BVP振子中的分支和混沌作者姓名冯广庆学科专业基础数学指导教师王进良副教授培养院系理学院Bifurcation and Chaos in BVP oscillators A Dissertation Submitted for the Degree Of MasterCandidate: Feng GuangqingSupervisor: Associate Prof.Wang JinliangSchool of ScienceBeihang University, Beijing, China中图分类号：O175论文编号：10006SY0509102硕士学位论文BVP振子中的分支和混沌作者姓名申请学位级别指导教师姓名职称学科专业研究方向学习时间自年月日起至年月日止论文提交日期年月日论文答辩日期年月日学位授予单位学位授予日期年月日关于学位论文的独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的．尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外，本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得北京航空航天大学或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明．若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任．学位论文作者签名：日期：年月日学位论文使用授权书本人完全同意北京航空航天大学有权使用本学位论文（包括但不限于其印刷版和电子版），使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门（机构）送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文．保密学位论文在解密后的使用授权同上．学位论文作者签名：日期：年月日指导教师签名：日期：年月日摘要BVP(Bohöffer-Van der Pol)方程是由FitzHugh 和Nagumo 研究Hodgkin-Huxley (简记为HH ) 模型得到的，他们通过研究HH 模型的动态特性，将四维的HH 方程降为二维的系统，这个系统被称为BVP 模型或FitzHugh-Nagumo 模型．直到现在，BVP 振子已经被研究了大约三十年，并且成为展示典型非线性现象的经典模型．BVP 模型可以通过含有简单无源元件和一个非线性电导的电路来得到，由于该振子是一个简单的二维模型，对于耦合系统来说它也是一个很好的单位振子．Tetsushi Ueta 构造并研究了含有饱和特性项的BVP 振子，其中非线性项是由场效应晶体管（FET ）实验测量得到的．在前人结果的基础上，作者把非线性项近似为这样一个负饱和函数:])(31[)(3bv bv a v g −−=，因为由场效应晶体管实验测量得到的数据绘制的)(i v −图像和该近似函数的图像基本一致，所以这种近似是合理的．作者利用非线性动力学理论，分析了连续BVP 振子（单个和耦合）中存在的分支和混沌现象，并用Euler 方法将系统离散化后进一步研究，发现了复杂的动态行为，例如周期轨（拟周期轨）的存在，倍周期分叉的层叠，Marotto 混沌的存在等．给出理论分析后，用数学软件matlab 编写程序进行数值模拟，画出分支图、最大Lyapunov 指数图和相图来验证理论结果，并且从直观上展现模型的复杂的动态特性．关键词：单个BVP 振子，耦合BVP 振子，分支，混沌AbstractFitzHugh and Nagumo studied the Hodgkin-Huxley (abbr.HH) model and reduced the four-dimensional HH equation to a two-dimensional system, which is called BVP (Bohöffer-Van der Pol) equation or FitzHugh-Nagumo model ．The BVP equation has been studied for three decades. Nowadays it becomes one of classical nonlinear oscillator models ．The BVP equation can be realized by using simple passive elements and one nonlinear conductor ．The BVP oscillator is often used as a fundamental oscillatory unit because of its simple structure ．Tetsushi Ueta formulated and studied BVP oscillator with a saturation characteristic ．The nonlinear characteristics is measured by experimental measurement of an FET ．In this paper, we approximate the nonlinear conductance by a negative saturation function:])(31[)(3bv bv a v g −−=．Since the difference between the measured )(i v −characteristics by laboratory experiments of the FET and the numerical value of the negative saturation function is small, the approximation is reasonably sufficient ．Using equilibrium theory, bifurcation theory and chaos theory, we study bifurcation and chaos in the continuous BVP oscillator (the single and the coupled)．Then, we apply Euler Scheme to the continuous BVP model, and investigate properties of the discrete-time equation ．There are complicated dynamical behaviors such as (quasi-)periodic orbits, cascade of period-doubling bifurcation, chaotic behavior in Marotto’s chaos and intermittence’s chaos ．At last, the results of numerical simulations (bifurcation diagrams 、maximum Lyapunov exponents diagrams and phase diagrams) are presented not only to verify the theoretical results, but also to display the new and interesting dynamics ．Keywords: single BVP oscillator, coupled BVP oscillators, bifurcation, chaos目录一绪论 (1)1.1 背景介绍 (1)1.2 研究内容及意义 (1)二非线性动力学基础理论 (3)2.1 动力学基本概念 (3)2.2 动力系统的分支 (4)2.2.1 向量场的平衡点分支 (4)2.2.2 映射的不动点分支 (6)2.3 混沌 (7)2.3.1 LI-YORK混沌的定义 (7)2.3.2MAROTTO混沌的定义 (8)三连续BVP振子 (9)3.1 单个的连续BVP振子 (9)3.1.1 平衡点的存在性 (10)3.1.2 平衡点稳定性分析和分支 (12)3.2耦合的连续BVP振子 (15)3.2.1 平衡点的存在性 (16)3.2.2第一类平衡点稳定性分析和分支 (19)3.2.3第二类平衡点稳定性分析和分支 (20)3.3数值模拟 (22)四离散BVP振子 (26)4.1单个的离散BVP振子 (26)4.1.1 不动点的存在性 (26)4.1.2 不动点稳定性分析和分支 (26)4.1.3MAROTTO混沌 (31)4.2 对单个的离散BVP振子的数值模拟 (34)4.3 耦合的离散BVP振子 (35)4.3.1不动点的存在性 (36)4.3.2不动点稳定性分析和分支 (36)4.3.3MAROTTO混沌 (41)4.4 对称耦合的离散BVP振子的数值模拟 (44)4.5 对一般的耦合的离散BVP振子的数值模拟 (47)结论 (50)参考文献 (51)攻读硕士学位期间取得的学术成果 (53)致谢 (54)北京航空航天大学硕士学位论文一绪论1.1 背景介绍20世纪50年代，英国生理学家Hodgkin 和Huxley [1,2,3,4]提出了描述乌贼神经轴突电生理特性的数学模型（简记为HH 模型），该模型准确地描述了神经纤维膜上电压与电流的变化过程，运用各种非线性理论深入细致地分析模型动态行为，可以获得对该生物系统特性与响应的全面认识，有助于量化解释生物机理，预测生理现象．然而HH 模型所具有的多变量、非线性和强耦合的特点，给研究工作带来了极大的困难．BVP (Bohöffer-Van der Pol) 方程是由FitzHugh [5]和Nagumo [6]研究HH 模型得到的，他们抓住HH 模型的本质特征[7]，将四维的HH 方程降为二维的系统，这个系统被称为BVP 模型或FitzHugh-Nagumo 模型．事实上，BVP 方程可以看作Van der Pol 方程的合理推广，并且比Van der Pol 方程有更复杂的非线性现象．BVP 方程可以通过含有简单无源元件和一个非线性电导的电路来得到．Bautin [8]对含有三次非线性项的BVP 方程进行了拓扑和定性的分析，Kitajima [9]也研究了相同的模型并且给出了平衡点的分叉图像．由于BVP 方程是一个简单的二维模型，对于耦合系统来说它也是一个很好的单位振子．Hoque [10]对有阻尼的耦合BVP 振子的同步性进行讨论，Papy [11,12]也研究了它们的分叉结构．直到现在，BVP 振子已经被研究了大约三十年，并且成为展示典型非线性性现象的经典模型．在解释电路中的一些复杂现象时，BVP 振子由于其结构简单常被用来作为基本的振子元素．最近，Tetsushi Ueta [13,14,15]构造了含有饱和特性项的BVP 振子，其中非线性项是由场效应晶体管（FET ）实验测量得到的．另外，在文献[16]和[17]中，分析了BVP 振子的复杂的动态行为，例如周期轨（拟周期轨）的存在，十周期轨的出现，倍周期分叉的层叠，Marotto 混沌的存在和激变等．1.2 研究内容及意义在本文中，我们把非线性项近似为这样一个负饱和函数：])(31[)(3bv bv a v g −−=．因为由FET 实验测量得到的数据绘制的)(i v −图像和该函数的图像基本一致，所以这种近似是合理的．作者利用平衡点理论、分支理论和混沌定理，分析了连续BVP 振子（单个的和耦合的）中存在的分支和混沌现象，并用Euler 方法将系统离散化后进一步研一绪论究．通过这种方法来对单个BVP振子进行的研究还比较少，特别是对于耦合BVP振子的研究，以前还没有人给出．我们首先给出严格的理论分析，然后再用数学软件matlab 编写程序进行数值模拟验证所得理论结果．理论分析和数值模拟均表明系统出现了复杂的动态行为，例如周期轨（拟周期轨）的存在，倍周期分叉的层叠，Marotto 混沌的存在和混沌的激变等．科学理论与工程技术总是相互依赖和相互促进的，新的科学理论可以阐明并揭示出工程问题中未被认识的复杂现象和本质．非线性动力学理论在高科技领域和工程实际问题中的应用，已经引起了各领域科学家们的广泛关注，并使这门学科有了强大的生命力．在工程系统中，有许多动力学问题都是非线性的，它们的数学模型和运动方程可以用非线性动力系统来描述．随着对振动控制要求的提高，非线性系统稳定性、分岔等问题正日益引起重视，由于BVP模型可以用来模拟神经系统、电路和工程中的一些操作系统，研究BVP方程的非线性动态性质具有重要的实用价值．北京航空航天大学硕士学位论文二非线性动力学基础理论非线性动力学中的复杂现象的发现及分支理论的建立，被认为是当代基础科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并激励着众多的自然科学，工程学和数学工作者深入探索和研究．本章将结合模型的特点，介绍非线性动力学的一些基础知识，分支（岔）和混沌理论的基本概念及分析方法，为后文的分析提供理论依据．2.1 动力学基本概念动力系统是在给定的空间中，对系统的所有点随时间变化所经过的路径的描述．描述系统演化的方程可以是常微分方程、偏微分方程、积分方程或差分方程等．状态变量对于时间是连续依赖的系统称为连续时间系统，状态变量定义在离散时间上的系统则为离散时间系统．考虑n R 中的自治常微分方程：)(x f dtdx = (2.1) 其中，n n R R f →:是)1(≥r C r 向量场．对于n R x ∈∀0，方程(2.1)以0)0(x x =为初值的解),(0x t ϕ在包含0=t 的某区间上存在．如果)(x f 满足适当的条件[18]，则解),(0x t ϕ可以对于一切R t ∈存在且满足(1)x x =),0(ϕ，n R x ∈∀；(2))),(,(),(x t s x t s ϕϕϕ=+，n R x R t s ∈∈∀,,；(3)),(x t ϕ对于),(x t 连续．我们把满足上述条件(1)-(3)的映射n n R R R →×:ϕ称为n R 中的动力系统或称为方程(2．1)的流，并把点集n R R t x t x O ⊂∈=}|),({)(ϕϕ称为流ϕ过x 的轨道．为了叙述方便，以下记),()(x t x t ϕϕ=．设M 是紧致的∞C 微分流形，含参变量t 的映射M M t →:ϕ是r C 微分同胚．若t ϕ满足：二非线性动力学基础理论(1)M id =0ϕ（M 上的恒等映射）；(2)t s t s +=ϕϕϕo ；(3)t ϕ对于),(x t 连续．则称t ϕ为M 上的r C 微分动力系统．特别地，当R t ∈时t ϕ称为M 上的连续动力系统或连续流，)(x t ϕ是从x 出发的连续流；当Z t ∈时t ϕ称为M 上的离散动力系统（映射）或离散流，)(x t ϕ是从x 出发的轨道．其中，R 表示实数集，Z 表示整数集．定义 2.1.1 M 中的集合R t x t x O ∈=|),({)(ϕϕ(或M Z t ⊂∈)}称为连续流（或离散流）)(x t ϕ经过x 的轨道．如果把上式中的R (或)Z 改为+R (或)+Z 或者−R (或)−Z ，则相应的轨道称为正半轨或负半轨，并分别记做)(x O +ϕ或者)(x O −ϕ．对于连续动力系统（向量场f ）：若0)(=p f ，则称p 是向量场的一个平衡点（奇点）．若)(p Df 的所有特征值都具有非零实部，则称p 为一个双曲平衡点．对于离散动力系统（映射）：若+∈∃Z k 使得p p k =)(ϕ且对于任意的k m <≤1有p p m ≠)(ϕ，则称p 为k -周期点．特别地，1=k 时，p 为不动点．对于k 周期点p ，若)(p D k ϕ的所有特征值的模都不为1，则称p 是一个双曲周期点（1=k 为双曲不动点）．2.2 动力系统的分支2.2.1 向量场的平衡点分支考虑含参变量的微分方程：),(λy g y=&，n R y ∈，)1(≥∈p R p λ (2.2) 其中n p n R R R g →×:是)1(≥r C r 的．假设方程(2.2)有平衡点),(00λy ，即0),(00=λy g ，则方程(2.2)在平衡点),(00λy 处的线性化系统为ξλξ),(00y g D y =& (2.3)北京航空航天大学硕士学位论文由Hardman-Grobman 定理[19]可知，若平衡点),(00λy 是双曲的，则系统(2.2)在平衡点),(00λy 处的稳定性可以由线性系统(2.3)来决定，而对于非双曲平衡点),(00λy ，即),(00λy g D y 存在具有零实部的特征值时，系统会出现一些完全不同的新动态．这里我们仅介绍和模型有关的情况．假设),(00λy g D y 有一个简单的零特征值，其余特征值具有非零实部，则系统(2.2)在中心流形上可以约简为含参数的一维方程[19]：),(λx f x=&，1R x ∈，)1(≥∈p R p λ (2.4) 定义2.2.1 称(2.4)在),(b b x λ处经历一个鞍结（saddle-node ）分支（有时称为fold 分支），如果(1)0),(=b b x f λ； (2)0),(=∂∂b b x xf λ； (3)0),(22≠∂∂b b x xf λ； (4)p T p b b R f f x f a ∈≠∂∂∂∂=∂∂=0,,(),(1λλλλL r ．定义2.2.2 称(2.4)在),(b b x λ处经历一个音叉（pitchfork ）分支，如果(1)0),(=b b x f λ； (2)0),(=∂∂b b x xf λ； (3)0),(22=∂∂b b x x f λ，且0),(6133≠∂∂=b b x x f λσ； (4)P b b R x x f ∈≠∂∂∂0),(2λλ．若),(00λy g D y 有一对简单的共轭纯虚特征值，其余特征值具有非零实部，则系统(2.2)在中心流形上可以约简为含参数的二维方程[19]：⎩⎨⎧==),,(),,(21222111λλx x f xx x f x &&，221),(R x x ∈，)1(≥∈p R p λ (2.5)二非线性动力学基础理论定义2.2.3 称(2.5)在),,(21b b b x x λ处经历一个Andronov-Hopf 分支，如果(1)2,1,0),,(21==i x x f b b b i λ； (2)),(),(2121x x f f L ∂∂=有一对共轭纯虚根，即0(2211=∂∂+∂∂=x f x f trL 且0(det 12212211>∂∂∂∂−∂∂∂∂=x f x f x f x f L ； (3)在b λ附近(2.5)存在唯一的不动点族))(),((21λλx x ，记)()(λωλαi ±为L 在))(),((21λλx x 处的特征值，则要求横截条件P pR d d d d d d ∈≠=0,,()(1λαλαλλαL ． 2.2.2 映射的不动点分支考虑一般映射：),(λX P X a ，n R X ∈，)1(≥∈p R p λ (2.6)设),(b b X λ是映射(2.6)的一个非双曲不动点，则在该不动点处的Jacobian 矩阵P D L X =存在模为1的特征值．假设仅有一个特征值的模为1，其余的1−n 个特征值的模都不等于1，则在中心流形上可以约简为一维映射[19]：),(λx f x a ，R x ∈，)1(≥∈p R p λ (2.7)设),(b b x λ是映射(2.7)的一个非双曲不动点．定义2.2.4 称(2.7)在),(b b x λ处经历一个鞍结（saddle-node ）分支，如果(1)),(b b b x f x λ=； (2)1),(=∂∂b b x xf λ； (3)0),(22≠∂∂b b x xf λ； (4)p T p b b R f f x f a ∈≠∂∂∂∂=∂∂=0,,(),(1λλλλL r ．定义2.2.5 称(2.7)在),(b b x λ处经历一个flip 分支，如果北京航空航天大学硕士学位论文(1)),(b b b x f x λ=； (2)1),(−=∂∂b b x xf λ； (3)0),(6133≠∂∂=b b x x f f λσo ，即0)(213122233≠∂∂−∂∂−=x f x f σ； (4)0),(2≠∂∂∂=b b x x f f a λλo r ，即02222≠∂∂∂−∂∂∂∂−=λλx f f x f a r ．若P D L X =在),(b b x λ处有一对模为1的共轭复特征值，其余特征值的模都不为1，则在中心流形上可以约简为二维映射[19]：),(λx f x a ，2R x ∈，)1(≥∈p R p λ (2.8)设),(b b x λ是映射(2.8)的一个非双曲不动点．定义2.2.6 称(2.8)在),(b b x λ处经历一个Neimark-Sacker-Hopf 分支，如果(1)),(b b b x f x λ=；(2)f D x 在),(b b x λ处有一对共轭特征值μ和μ，且1||||==μμ；(3)由于f D x 的特征值连续地依赖于λ，记它们为)(λμ和)(λμ，要求满足0)(||≠b d d λλμ． 2.3 混沌混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，它是普遍存在而又极其复杂的现象．混沌具有确定性运动没有的几何统计特征：局部不稳定而整体稳定，无限自相似，连续功率谱，奇怪吸引子分数维，正的Lyapunov 指数等，同时又具有确定性运动的特征：无周期而有序，已发现有三条通向混沌的道路，Feigenbaum 普适常数，有界性和初值敏感性．2.3.1 Li-York 混沌的定义混沌的概念首先由Li 和York [21]提出．考虑把区间],[b a 映射到自身的连续单参数映射：二非线性动力学基础理论],[],[:b a R b a F →×，),(),(λλx F x a ，R ∈λ (2.9)定义2.3.1 连续的单参数映射(2.9)称为是混沌的，如果(1)存在任何周期的周期点；(2)存在一个不包含周期点的不可数子集],[b a S ⊂，使得0|),(),(|inf lim =−∞→λλy F x F k k k ，y x S y x ≠∈∀,,；0|),(),(|sup lim >−∞→λλy F x F k k k ，y x S y x ≠∈∀,,； 0|),(),(|sup lim >−∞→λλp F x F k k k ，S x ∈∀，p 为周期点．定理2.3.1 如果F 存在3-周期点，则F 是混沌的．2.3.2 Marotto 混沌的定义Marotto [22]将Li-York 混沌的定义推广到n 维欧氏空间．考虑如下n 维映射：n n R R F →:，)(1k k Y F Y =+，L 2,1=k (2.10)设*Y 是(2.10)的不动点，)(*Y B r 是以*Y 为中心，r 为半径的球形邻域，||||⋅表示向量通常意义下的欧几里德范数．定义2．3．2 不动点*Y 称为映射(2．10)的一个snap-back repeller ，如果存在一个实数)0(>r 和)(*0Y B Y r ∈，*0Y Y ≠，使得对于任意的)(*Y B Y r ∈，)(Y DF 的所有特征值的模都大于1，且存在某个正整数)1(>m ，使得*0)(Y Y F m =，0|)(|0≠Y DF m ．定理2.3.2 若F 有一个snap-back repeller ，则方程(2.10)在下述意义下是混沌的：(1)存在一个正整数N ，使得对于每个整数N p ≥，(2.10)存在p -周期点；(2)存在一个不包含周期点的不可数集合S ，使得(a)S S F ⊂)(；(b)任意S Y X ∈,，且Y X ≠，有lim sup ||()()||0k k k F X F Y →∞−>； (c)任意S Y ∈和方程(2.10)的任意一个周期点Z ，有lim sup ||()()||0k k k F Z F Y →∞−>； (3)存在S 的不可数子集0S ，任意0,S Y X ∈，Y X ≠，有lim inf ||()()||0k k k F X F Y →∞−=．北京航空航天大学硕士学位论文三连续BVP 振子3.1 单个的连续BVP 振子单个BVP 振子的电路模型[15]是一个LC 振荡回路，由电感L 、电容C 、电阻R 和一个非线性电子元件组成（图1）．i 表示通过电阻R 的电流，非线性电子元件两端的电压v 与电流)(v g 的关系是由场效应管(FET )实验测量得到的，根据实验数据可知，)(v g 呈现负饱和函数的非线性特征．图1 BVP 振子电路模型利用基尔霍夫定律，建立方程：⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=E ri v dtdi L v g i dt dv C )( (3.1) 其中，])(31[)(3bv bv a v g −−=．假设电压0=E , 方程(3.1)具有这样的对称性，即若),(i v 是方程的解，则),(i v −−也是方程的解，所以电压E 常被用来消除系统的对称性．设,1v L C a x =,a i y =,1t LC =τ,L C r k =,C L ab =γ,LC a E =β通过变量尺度代换, 方程(3.1)变为⎪⎩⎪⎨⎧+−=−+−=βγγky x yx x y x &&3)(31 (3.2) 其中, 参数 0,0k γ>>和R β∈．三连续BVP 振子3.1.1 平衡点的存在性方程(3.2)的平衡点(,)Z x y 满足下面的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−+−00)(313βγγky x x x y (3.3) 为了叙述方便，给出下列三个记号：39336223)1(4923γγγβγβk k k k m −+±−Δ±， γγγk k n 11)1(32−−−Δ， 33332233322)1(493)1(29γγββγγβk k k k k k k h −+±−+Δ±．通过计算，易得到下面的结果．定理3.1.1 设0β=，则：(1)当1k γ≤时，方程(3.2)有唯一平衡点(,)(0,0)Z x y =．(2)当1k γ>时，方程(3.2)有三个平衡点，))11(31,)11(31(),(111γγγγk k k y x Z −−−−=， )0,0(),(222=y x Z ，))11(31,)11(31(),(333γγγγk k k y x Z −−=．其中，1k γ=是方程(3.2)的音叉(pitchfork)分支曲线．定理3.1.2 设0β≠，则：(1)当1k γ=时，方程(3.2)有唯一平衡点(,)(Z x y =． (2)当1k γ<时，方程(3.2)有唯一平衡点__(,)(,)m m Z x y m m k β++++=+．北京航空航天大学硕士学位论文(3)当1k γ>时，(i)若n β>，方程(3.2)有唯一平衡点__(,)(,)m m Z x y m m k β++++=+． (ii)若n β=，方程(3.2)有两个平衡点，)11)3238(,112(),(111γγγγk k k y x Z −−−−−=， )11)3231(,111(),(222γγγγk k k y x Z −+−=． (iii)若n β=−，方程(3.2)有两个平衡点，)11)3231(,111(),(111γγγγk k k y x Z −+−−−=，)11)3238(,112(),(222γγγγk k k y x Z −−−=． (iv)若n β<，方程(3.2)有三个平衡点，231231,231231(),(111km m m m y x Z β+−−−+−+−−−−+−+−=−+−+， 231231,231231(),(222km m m m y x Z β+−+−+−−−−+−+−−−=−+−+， ),(),(333k m m m m y x Z β+++=−+−+．其中，n β=±是方程(3.2)的鞍结(saddle-node)分支曲线．图2表示参数空间(,,)k γβ中的曲面n β=．在曲面n β=上方程(3.2)有两个平衡点．三连续BVP 振子图2 曲面n β=3.1.2 平衡点稳定性分析和分支方程(3.2)在平衡点(,)Z x y 处的雅各比矩阵为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=k x J 112γγ 特征方程为0)()(2=++x q x p λλ，其中，322(),()1(1()).p x k x q x k x γγγγ=−+=−−因此特征值为1,2λ= 当系统的所有特征值都具有负实部时，系统稳定．经过分析可以得到以下结果．定理3.1.3 设0β=，则：(1)如果1k γ<，平衡点(0,0)当k γ>时是稳定的，并且k γ=为超临界Hopf 分支曲线．(2)如果1k γ>，平衡点(0,0)是一个鞍点，平衡点))11(31,)11(31(γγγγk k k −±−±当320k k γ+−>时是稳定的，并且320k kγ+−=为次临界Hopf 分支曲线．图3为方程(3.2)的平衡点处的分支曲线．如图所示，在区域(a)中平衡点(0,0)稳定，1k γ=是音叉分支曲线，由区域(a)到区域(c)，平衡点(0,0)由汇变为鞍点，并且产生了两个新的稳定平衡点))11(31,)11(31(γγγγk k k −±−±，(01)k γγ=<≤是超临界Hopf 分支曲线，由区域(a)到区域(b)，平衡点(0,0)由汇变为源，并且产生了一个稳定的极限环，由区域(b)到区域(d)，平衡点(0,0)由源变为鞍点，并且产生了两个新的不稳定平衡点))11(31,)11(31(γγγγk k k −±−±，320(1)k k γγ+−=≥是次临界Hopf 分支曲线，由区域(d)到区域(c)，平衡点))11(31,)11(31(γγγγk k k −±−±由源变为汇，并且产生两个不稳定的极限环．比较可知，结论与文献[15]的数值仿真结果一致．图3 系统在平衡点处的分支曲线图定理3.1.4 设0≠β，则：(1)如果 1k γ=，平衡点(当0k γγ−+>时是稳定的，并且0k γ−+=是Hopf 分支曲线．(2)如果1k γ<，平衡点__(,m m m m kβ+++++当(1)1k h h γ+−++<时是一个鞍点，当2(1)1,(1)0k h h k h h kγγ+−+−++>−+++>时是稳定的，并且2(1)0k h h k γ+−−+++=是Hopf 分支曲线．(3)如果1k γ>，(i)当n β>时，平衡点__(,m m m m kβ+++++如果满足条件2(1)0k h h k γ+−−+++>，则是稳定的，并且2(1)0k h h kγ+−−+++=为Hopf 分支曲线． (ii)当n β=时，平衡点(−如果满足条件2340k k γ+−>，则是稳定的，并且2340k k γ+−=为Hopf 分支曲线；平衡点当1k >时是稳定的． (iii)当n β=−时，平衡点(−当1k >时是稳定的；平衡点如果满足条件2340k k γ+−>，则是稳定的，并且2340k k γ+−=为Hopf 分支曲线．(iv)当n β<时，平衡点)231231,231231(k m m m m β+−−−+−+−−−−+−+−−+−+，如果满足条件_111[]022k h h k γ+−+−−−++>，则是稳定的，并且_111[]022k h h k γ+−+−−−++=为Hopf 分支曲线；平衡点)231231,231231(k m m m m β+−+−+−−−−+−+−−−−+−+，如果满足条件_111[]022k h h k γ+−−−+−++>，则是稳定的，并且_111[]022k h h k γ+−−−+−++=为Hopf 分支曲线；平衡点__(,m m m m kβ+++++，如果满足条件2(1)0k h h k γ+−−+++>，则是稳定的，并且2(1)0k h h kγ+−−+++=为Hopf 分支曲线． 3.2耦合的连续BVP 振子我们可以把两个BVP 振子利用电阻R 耦合在一起，电路模型如图4所示：图4 耦合BVP 振子电路模型利用基尔霍夫定律，建立方程：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+−=−−−+−=+−=−−−+−=222221232222111112131111)(1))(31()(1))(31(E i r v dtdiL v v R bv bv a i dt dv C Ei r v dtdi L v v R bv bv a i dt dv C (3.4)利用变量尺度代换，设,1j j v L C a x =,a i y j j =,L Cr k j j =,LCaE j j =β2,1=j ,1t LC=τ,C L ab=γCL R 1=δ．方程(3.4)变为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−=−−−+−=+−=−−−+−=222221232222111112131111)()(31)()(31βδγγβδγγy k x yx x x x y x y k x yx x x x y x &&&& (3.5) 其中，参数的取值范围为0,21>k k ，0>γ，0>δ和R ∈21,ββ．考虑两个振子完全相同的情况，即k k k ==21，βββ==21，方程(3.5)变为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−=−−−+−=+−=−−−+−=βδγγβδγγ22212322221112131111)()(31)()(31ky x yx x x x y x ky x yx x x x y x &&&& (3.6) 3.2.1 平衡点的存在性系统(3.6)的平衡点1122(,,,)Z x y x y 满足下面的方程：3111123222211()()031()()030(1,2)j j y x x x x y x x x x x ky j γγδγγδβ⎧−+−−−=⎪⎪⎪−+−−−=⎨⎪−+==⎪⎪⎩令3111()(1)[()]3P x x x x k k βγγδδδ=+−−+，则12()x P x =，21()x P x =，即12,x x 是映射()P x 的不动点或二周期点．所以，我们把系统(3.6)的平衡点分为两类，第一类1111(,,,)x x x x k kββ++，其中1x 是映射()P x 的不动点，第二类2222()(,,(),)x P x x P x k kββ++，其中2x 是映射()P x 的二周期点．。

哈工程振动噪声--第4章连续体振动

2 2 ( ,t) x,(tx ),t ) ( x , t( )x GI J1 J p p 2 t 2t 2 GI x x x 0 x l x 0 x l
page 16
page 9
i a i i l l
授课人——柳贡民
E

2016年9月7日星期三
(i 1, 2, )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取 i x U i cos l 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固有频率和相应的主振型，即
应力为零
左端边界条件
u u0, t 0 x u 0 x
u ku EA x 2u u m 2 EA t x
2016年9月7日星期三
右Байду номын сангаас边界条件
ul , t 0
F AE
u 0 x
u ku EA x
2u u m 2 EA t x

a
x D cos

a
x) sin(t )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
2016年9月7日星期三
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种典型边界条件是：杆端条件固定端自由端
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
利用分离变量法，设 ux, t U x Gt 代入上述一维波的方程，得到即

流固耦合条件下压电层合柱的共振断裂分析

流固耦合条件下压电层合柱的共振断裂分析赵越;陈红迁;鞠丽梅【摘要】建立了轴向剪切振动条件下,流固耦合压电层合柱的断裂力学分析模型.运用分离变量法、无穷三角级数、柯西奇异积分、Bessel函数和Lobatto-Chebyshev配点法等方法,得到了应力强度因子随频率变化的数值结果.分析了裂纹角度、弹性模量、压电系数、介电系数、密度等对SIF(stress intensity factor)一阶共振频率的影响规律.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2019(041)002【总页数】8页(P137-144)【关键词】压电材料;振动;奇异积分方程;应力强度因子【作者】赵越;陈红迁;鞠丽梅【作者单位】陆军装甲兵学院车辆工程系,北京 100072;陆军装甲兵学院车辆工程系,北京 100072;陆军装甲兵学院车辆工程系,北京 100072【正文语种】中文【中图分类】O346.1压电材料是一类对力、电敏感的功能材料，其自身可以实现机械能和电能的相互转换，在传感器、致动器、换能器等智能器件中有广泛的应用。

压电智能器件可以用于医学监测、能量收集、水下探测等，在生物、能源、军事、光电信息等领域有着重要的应用[1-2]。

为提高力–电耦合性能，压电结构通常设置成压电层与弹性层层状复合的。

压电层合结构的界面是载荷与变形传输的关键部位，但同时也是薄弱的部位，它是缺陷、夹杂等比较集中的区域。

在实际制备和应用中，由于各种原因(如黏合层老化、微裂纹、杂质扩散等)，压电层往往是没有完全涂在弹性基底上的，非完全黏合的界面在力–电载荷协同或单独作用下，裂纹可能扩展，使压电结构丧失设计功能[3-6]。

因此，有必要对压电层合结构的非完全黏合界面开展断裂力学分析和预测。

工程实践中，压电结构一般是在振动条件下工作的，当振动频率接近结构本身固有频率时，将产生共振现象，结构更易产生破坏，因此，研究振动条件下压电层合柱断裂行为更具有实际意义。

连续谱的变化规律知乎

连续谱的变化规律
连续谱的变化规律是物理学中一个重要而复杂的现象。

它的变化规律受到多种因素的影响，其中最主要的两个因素是管压和管电流。

管压，也称为管电压，是指加速阳极靶的电子到高能状态的电压。

随着管压的增高，连续谱的各波长对应的辐射强度也会相应增高。

这意味着随着电压的增大，连续谱的整体亮度会增强，且各波长的亮度也会相应增加。

这一现象的产生，主要是因为电压的增大使得电子获得更高的能量，从而产生更多的光子，进而增强了连续谱的强度。

除了管压外，管电流也是影响连续谱变化的重要因素。

随着管电流的增加，连续谱的强度也会相应增强。

这是由于更多的电流意味着更多的电子被加速，从而产生更多的光子，增强了连续谱的整体亮度。

值得注意的是，尽管管压和管电流可以改变连续谱的强度和波长分布，但它们并不会改变特征X射线谱的波长。

这是因为特征X射线谱的产生是由于阳极靶元素内部的能级跃迁，其波长只取决于阳极靶元素的原子能级结构。

因此，特征X射线谱的波长并不会随着管压和管电流的变化而改变。

总的来说，连续谱的变化规律是一个复杂的现象，其变化受
到多种因素的影响。

而管压和管电流作为其中最重要的两个因素，对连续谱的影响主要体现在改变其强度和波长分布上。

但无论其如何变化，特征X射线谱的波长始终取决于阳极靶元素的原子能级结构，不受外部条件的影响。

半导体物理与器件_常熟理工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

半导体物理与器件_常熟理工学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.集成电路的行业模式可以分为哪几种？参考答案:IDM_Fab_Fabless2.关于杂质半导体电阻率随温度的变化关系描述正确的有（）。

参考答案:高温下，当本征激发称为主要矛盾时，其电阻率随温度升高而下降_当温度升高到杂质基本电离，且本征激发不显著时，晶格振动散射成为影响电阻率的主要因素_低温下，半导体的电阻率随温度的升高而下降，主要因为载流子浓度随温度升高而升高，且杂质电离散射几率随温度升高而下降3.半导体的散射机构包括（）。

参考答案:电离杂质散射_声学波散射_晶格振动散射_光学波散射4.当晶体中原子的间距越来越近时，开始出现（），能级越（），分裂的程度越显著。

参考答案:电子共有化运动，高5.质量作用定律体现在哪些方面（）？参考答案:对于给定的半导体材料，只取决于温度__与费米能级无关6.处于强电离区的单一掺杂n型半导体，具有哪些特征？参考答案:__7.晶格声学波振动，代表（）的振动。

参考答案:原胞质心的振动8.电子占据杂质能级不可能发生的的情况是（）。

参考答案:2个电子同时占据1个杂质能级9.本征半导体的载流子来源于（）。

参考答案:本征激发10.电子直接从价带跃迁到导带的过程称为（）。

参考答案:本征激发11.费米能级越高，代表系统中有更多（）能量的电子，费米能级以上的量子态几乎是（）。

参考答案:高，空的12.简并半导体，必须要用（）分布函数来描述电子和空穴的统计分布规律。

参考答案:费米13.（）是将杂质离子通过电场加速、磁场选择注入到半导体晶片以调控半导体电学性质的掺杂手段。

参考答案:离子注入14.金刚石结构是由（）组成复式格子。

参考答案:面心立方15.若半导体中同时存在施主和受主掺杂，且施主掺杂浓度近似等于受主掺杂浓度，则该半导体称为（）半导体？参考答案:高度补偿16.利用（）模型，可以对浅能级杂质的电离能进行估算？参考答案:类氢17.下列哪个能级是属于浅能级？【图片】参考答案:EA118.当半导体硅中掺入磷原子时，如果磷原子替代硅原子，电离后其效果是形成一个（）中心和一个多余的（）。

扭转耦联振型与地震力计算的最经典解释。(精)

考虑扭转耦联振型的情况首先，计算结构的耦联振型时，与后面要计算哪个方向的地震作用，是两个完全独立的过程，即便后面仅仅选择计算一个方向的地震作用，比如X方向，这时统计各层地震作用标准值时依然要采用考虑每层三个自由度的耦联振型，因为结构的耦联振型是结构的固有特性，不会因为要计算哪个方向的地震作用而发生改变。

振型分解反应谱法的实质就是得到固有特性（振型），再利用求解得到的振型去统计地震作用，就是地震荷载当量，有了地震荷载当量，计算地震内力是一个静力求解过程，所以用振型分解反应谱法算地震内力，结构从来没真正的“振动”起来。

真正振动起来的情况是动力时程分析。

结构的每阶振型都会对在各个自由度的各个方向上形成一个地震荷载当量，对结构施加该振型的所有地震荷载当量进行一个静力分析，就可以得到该振型造成的地震效应值（例如截面弯矩、剪力等）。

依次类推，每阶振型都能得到其对应的效应值。

而实际的地震效应值肯定要综合考虑各阶振型的耦合，这就有了高规中的3.3.11-5式，把各阶振型的地震效应值通过这种特定的方式累加起来，当然累加计算的方式主要涉及到各阶振型的周期和振型阻尼。

从这个角度来说，通过振型分反应谱法计算地震内力，有两次涉及到“耦合”，第一次是计算振型的时候，考虑了各楼层的转角自由度，是一个考虑平动和扭转变形耦合的振型求解过程，第二次“耦合”就是确定了各阶振型的地震内力后，通过3.3.11-5式耦合得到实际的地震内力（地震效应值）。

综上所述，振型分解反应谱的特点就是求振型和求地震内力是两个几乎不关联的过程，方法是固定的，satwe也不例外，所以设置satwe参数时就知道了地震作用计算方法里面的“总刚”和“侧刚”的真实含义，就是用来做振型分解和统计地震当量荷载的，选择总刚算法，结构模型中的每个节点的每个自由度都会给统计一个当量荷载，选择侧刚算法，按照每个楼层三个自由度考虑。

地震当量荷载确定之后，就是静力求解了，静力求解同样会涉及到结构的刚度矩阵，如果前面计算地震作用采用的是“总刚”算法，其实结构的刚度矩阵已经有了，甚至是完成矩阵分块的一个总刚，这样静力求解可以直接用它，加上位移边界，就可以求解节点位移，进而计算梁、柱、墙、弹性板内力。

地震学期末复习整理

复习提纲1、全球地震活动在空间上有什么特点？如何利用现在对地球结构的了解解释这种特点？呈带状分布。

无论是震源几何位置(地理的、深度的)、震源强度的空间分布、震源机制的空间分布均与板块学说中的大断层十分一致。

断层说是板块学说的组成部分，板块学说中的断层理论很好地解释了地震活动。

板块学说的主要论点：①软流层(热、粘)上驮着岩石层(冷、脆)一起移动；②海岭～张裂、发散；③海沟～腑冲、消没④转换断层～剪切、滑移；⑤各板块绕轴旋转。

2、根据古登堡－里克特的震级频度公式bM a N -=log ，估计某地区所能发生的最大地震震级。

（假定a=6.7,b=0.9）3、评定地震烈度的主要标志有哪些？1）自然景观的变化 2）建筑物的破坏 3）人和动物的反应4、影响地震烈度的主要因素地震本身释放的能量、观测点与震源点之间的距离、地质条件、建筑物的类型、调查人本身的因素、当地人对地震的经验等5、地震烈度和震级的区别？地震烈度：按一定的宏观（野外场地调查）标准，表示地震对地面影响和破坏程度的一种量度，称之为地震烈度。

通常用I 表示。

震级：按一定的微观标准（仪器观测），表示地震波能量大小的量度，常用字母M 表示。

震级和烈度都是衡量地震强度的，根据统计结果，震级M 和震中烈度I0之间有下列关系： 0321I M +=6、全球地震带的分布特征，三个主要地震带？全球的地震带分布:(1)环太平洋地震带位于太平洋边缘地区，即海洋构造和大陆构造的过渡地区。

全球80％的浅震，许多中源地震和差不多的深源地震都发生在这一带，包括大部分灾难性地震。

(2)欧亚地震带沿欧亚大陆南部展布，欧亚地震带内也常发生破坏性地震及少数深源地震，它是最宽的地震带。

我国的大部分地区处于此地震带内。

(3)海岭地震带几乎包括全部海岭构造地区，沿洋中脊展布，又称为洋中脊地震带，它是最长的地震带。

7. 哪个地震带是全球地震活动最强烈的地震带，全球 80%的浅源地震、90%的深源地震均集中在该带上，这是一条对人类危害最大的地震带。