交点曲线系

2
2
由于 x
1,
x2
同时是方程
x
2
+ ax + b = 0
和方程
x
2
+ mx + n = 0
的两个根，于是 m = a 且 n = b ，因此
b
2
+ ab + b = 0,
即
a + b = −1.
注一 本题源自2008年高考江苏卷第18题： 在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f (x) = x
每日一题[285] 交点曲线系
2015年10月31日 意琦行 数海拾贝 2013年北京大学暑期体验营数学试题第3题： 函数 y = x + ax + b 的图象与坐标轴交于三个不同的点 A 、 B 、 C ，已知 △ABC 的外心在直线 y = x 上，求 a + b 的值．
2
正确答案是 −1 ． 解 作出三角形 ABC 的外接圆 M ，我们发现 M 实际上是过抛物线 与 x 、 y 轴交点的曲线，因此可以尝试用交点曲线系解决问题．
尝试用交点曲线系写方程
事实上，抛物线方程为
F : x
2
+ ax + b − y = 0,
而 x 、 y 轴的方程为
G : xy = 0,
此时我们发现利用常规的交点曲线系 f (x, y) + λg(x, y) = 0 得到的方 程
(x
2
+ ax + b − y) + λ ⋅ xy = 0
不可能形成圆． 那么问题出在哪里？又该怎样解决呢？ 由于圆的方程的特点，我们知道问题出在交叉项 xy 上．因此需要仔细 思考交点 C (0, b) 除了用 x = 0 描述，是否还有其他方法？
（1）求圆 G 的半径 r ； （2）过 M (0, 1) 作圆的两条切线交椭圆于 E, F 两点，证明：直线 EF 与圆 G 相切． （1）如图，设切点分别为 P , Q ．
由三角形 AP G 与三角形 AQB 相似，有
PG = AP AQ BQ ,
于是
BQ
r − − − − − − √36 − r 2 =
其中 λ 为参数． 整理上述方程，得
λ (x + 2 )
2
+ (y − 3 + λ)
2
1 + m − 3λ − 4
λ
2
− (3 − λ) = 0
该圆以 P Q 为直径，于是圆心在直线 x + 2y − 3 = 0 上，因此
λ − 2 + 2 ⋅ (3 − λ) − 3 = 0,
解得
6 λ = 5 .
和
1 − 16 x
2
= y
2
− 1,
将(*)代入，两式相比得
5 = 2 y + 1 y − 1 +
9 8
x ,
化简得
EF : 9x − 12y − 28 = 0.
从而圆心 G(2, 0) 到直线 EF 的距离为
10 − − − − − − − √9 2 + 122 = 3 2 = r,
原命题得证． 点评 有大量三线共点时考虑交点曲线系是非常正确的选择，如何根 据要求书写交点曲线系是其中富有技巧性的部分．例如本题中就没有 使用平时熟知的交点曲线系 F + λG = 0 ．
(y − k1 x − 1) ⋅ (y − k2 x − 1) = 0,
注意到这条曲线与椭圆的交点为 M 、 E 、 F ，因此需要设法联立变 形为直线方程，且在联立过程中去掉解 x = 0, y = 1 ． 于是将该曲线方程和椭圆方程分别变形为
−k1 ⋅ k2 x
2
= (y − 1)
2
− (k1 + k2 )x(y − 1)
从而 a + b 的值为 −1 ． 另法一 利用圆幂定理 显然圆心的坐标为 M (−
− − − →
a ,− 2
a ) 2
− − − →
，于是对原点 O 应用圆幂定理有
− − − →
− − − →
OA ⋅ OB = OM
2
− MC
2
,
即
a b = (− 2 )
2
a + (− 2 )
2
a − [ (− 2 )
又该圆经过原点 (0, 0) ，所以
m − 3λ = 0,
进而可得
18
18 m = 5 .
每日一题[33] 交点曲线系
2015年2月20日 意琦行 数海拾贝
如图，已知圆 G : (x − 2)
2
+ y
2
= r
2
是椭圆
x
2
+ y 16
2
ห้องสมุดไป่ตู้
= 1
的内接三角
形 ABC 的内切圆，其中 A 为椭圆的左顶点．
2
+ 2x + b
（
x ∈ R
）与坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为 C ．
（1）求实数 b 的取值范围； （2）求圆 C 的方程； （3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 无关）？证明你的结论． 注二 有关交点曲线系的更多题目可以参考《每日一题[57] 交点曲线 系》，以及《每日一题[33] 交点曲线系》．
每日一题[57] 交点曲线系
2015年3月16日 意琦行 数海拾贝
已知圆 x
2
+ y
2
− 6y + m = 0
和直线 x + 2y − 3 = 0 交于 P 、 Q 两
点，且以 P Q 为直径的圆过原点，求 m 的值．
18 5
正确的答案是
．
取圆与直线的交点曲线系
x
2
+ y
2
− 6y + m + λ (x + 2y − 3) = 0,
BQ , 6 + r
从而
− − − − − 6 + r BQ = r ⋅ √ . 6 − r
将 B 的坐标代入椭圆方程有
1 16 ⋅ (2 + r)
2
− − − − − 2 6 + r ) = 1, + (r ⋅ √ 6 − r
注意到 r = −6 是该方程的一个解，解得正根
2 r = 3 .
（2）设过 M 的切线为 y = kx + 1 ，则由直线与圆的位置关系可得
转化思路后调整方程
到这里，答案几乎是显然的，应该采用 y = b 描述，此时可以将交点 曲线系写为
(x
2
+ ax + b − y) + λ ⋅ y(y − b) = 0,
当方程表示圆时， λ = 1 ，于是再由圆心在直线 y = x 上，可得关于 x 、 y 的一次项的系数相同，即
a = −1 − b,
2
a + (− 2
2
− b) ] ,
整理即得
a + b = −1.
另法二 利用圆的一般方程 设 A(x , 0) ， B(x 而 C (0, b) ，于是
1 2,
0)
，圆的方程为 x
2
+ y
2
+ mx + my + n = 0
，
⎧ ⎪ x1 + mx1 + n = 0, ⎨ x + mx2 + n = 0, 2 ⎩ ⎪ 2 b + mb + n = 0,
|2k + 1| − − − − − √ 1 + k2 = 3 2 ,
即
32k
2
+ 36k + 5 = 0.
于是设直线 M E 、 M F 的斜率分别为 k 、 k ，则
1 2
9 k1 + k2 = − 8 , k1 ⋅ k2 =
5 ⋯ (∗). 32
将两条相交直线 M E ∪ M F 看作是一条曲线