哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试卷

工科数学分析期末试卷部分参考答案

六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分）解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2

学秋季学期工科数学分析答案

哈尔滨工业大学2004 /2005 学年秋季学期工科数学分析期末考试试卷（答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。

（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。

（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。

（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。

2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ）（A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级：学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ）（A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。

工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案说课材料

哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案高等数学期末考试试题（4）一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z = 30()lim t F t t+→．2012高等数学期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，从而54dy x dx y =-，74dz x dx z = (4)该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T ==u r (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==....................【6】法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为V dv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -==，2z =121111(,2(2222M M -+-+--- (7)又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰Ñ． (5)而10(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ ………………………【10】五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)- (2)又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．......【4】故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】于是()()000()()ln 3ln 3ln 33xxx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰….…【9】2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()22240sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。

2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案

2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案哈尔滨工业大学2004 /2005 学年秋季学期工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{nx 收敛，那么数列}{nx 一得分姓名: 级：4．若sin F(x)=dy ])tdt sin sin[(xa y3⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay3⎰⎰（B ）cosxx 3sin)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xay3⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e(x1n lim （D ）（A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分）1．)0x (x11y nn lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。

得分遵守考试纪律注意行为规范2．23x )(1x y +=的全部渐近线方程为：2-x y 1,x =-=。

3．摆线2t )cost 1(a y )sint t (a x π=⎩⎨⎧-=-=在处的切线方程为：0a )4(21y x =-+-π。

4．2n 1n )!n (lim ∞→=： 1 。

5．设f(x)在[)+∞,1上可导，23e )1e(f , 0f(1)2x x'+=+=，则=：23-+-三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若xy 2e x y = ，求?yx'=解：2xylnx lny =+， 2x 'x 'x y x y y y 2-=⋅则)2x y (x )y x (y y x'-+=2．⎪⎩⎪⎨⎧-==)sint t y 2t cosx ，?yxx''=求解：2t 4sin2t sin 21cost 1x y y t 't 'x '-=--==，2t4cos2t sin 2112t 2cos yxx''=-⋅-=得分3. ⎰+dx 1x x arctan 解：⎰⎰=⎰⋅⋅=⋅⋅+==sectdt ant t 2tdt sec 2tant sectt dx1x x arctan 2t tan x ttan x 2=c tant sect 2ln -sect 2t sectdt 2-2tsect tdsect 2++⋅==⎰⎰=c )x 1x (2ln 1x x 2arctan +++-+⋅ 4．dx e y x 11x⎰--解： dx y)e -(x dx x)e -(y dx e y x 1yxy1x11x⎰⎰⎰+=--- x1yxy1de y)-(x de x)-(y ⎰⎰+=-dxe y)e -(x dx e x)e -(y 1yx 1x y 1-x 1x⎰⎰-++=-yyyee y y )1(e 2]e y)e -(x []e x)e -(y [y 1x x 1x x +-=-++=-5. 已知dt te c x c x c t ⎰∞-∞→=-+2xx )(lim ，求?=c解：t c c t c de t dt te e xc x cc x c x 222x x x x 21)11()(lim lim ⎰⎰∞-∞-∞→∞→==-+=-+=2c2t 2t e )412c (e [te 21-=-⎰∞-∞-c cdt ，所以2c2ce )412(e-=c 。

哈尔滨工业大学工科数学分析期末考试试卷

工业大学工科数学分析期末考试试卷假设想免费下载该文档：登录.hnh12. －＞论坛－＞文档下载区－＞〔搜索想要的文档〕工科数学分析期末考试试卷〔答案〕试题卷〔A〕考试形式〔开、闭卷〕：闭答题时间：150〔分钟〕本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数一．选择题〔每题2分，共10分〕1．以下表达中不正确者为〔D〕〔A〕如果数列收敛，那么数列一定有界。

〔B〕如果，那么一定有。

〔C〕在点处可导的充要条件是在点处可微。

〔D〕如果函数在点处导数为，那么必在该点处取得极值。

得分2．设在[0，1]上那么以下不等式正确者为〔B 〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．假设在上可积，那么以下表达中错误者为〔D〕〔A〕连续〔B〕在上可积第1页〔共7页〕〔C〕在上由界〔D〕在上连续4．假设，那么〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D 〕5．〔D〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕得分二．填空题〔每题2分，共10分〕1．的连续点为：，其类型为：第一类连续点。

2．的全部渐近线方程为：。

3．摆线处的切线方程为：。

4．=： 1 。

5．设在上可导，，第2页〔共7页〕那么=：三．计算以下各题：〔每题4分，此题总分值20分〕得分1．假设，求解：2，那么2．，解：，3.解：==4．解：第3页〔共7页〕5. ，求解：=，所以。

故四．解答以下各题：〔每题5分，此题总分值10分〕得分1.数列，，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。

假设，那么。

故有界。

2〕证单调因为，故为单调上升数列。

由1〕和2〕知道收敛。

设，由，所以有解得。

而且为单调递增数列，所以。

故。

第4页〔共7页〕2．设，曲线与三条直线所围平面局部绕x 轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解：，由得，。

当时，故当时，到达极大值，且为最大值。

五：证明以下各题：〔1，2题各4分，3，4题各6分，此题总分值20分〕得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。

证明：设，显然它在上连续。

05-06工科数学分析试卷答案

哈尔滨工业大学（威海）2005/2006学年秋季学期工科数学分析(B 类)试题卷（A ）答案一. (1).A (2).C (3).D (4).D (5)A二(1).0 (2).2002! (3) π (4) 2(sin )sin 2g x x(5) 35224235x x C -++三1. 11ln 1ln ()lim lim lim ln 1(1)ln (1)ln(11)111x x x x x x x x x x x x x x x x -----==---+-→→→211ln lim(1)x x x xx →--=-1ln 11lim 2(1)21x x x --==--→ 2．解：因为1113(3)(123)(33)n n n n nnn=≤++≤⨯=3lim n →∞=，所以1(123)3lim n n nn →∞++= 3．223211tan 2arcsin 22(1)x y x x x x x '=-++-+ 4．sin 1cos dydy t dt dx dx t dt==-， 22411()()()2sin 2d y d dy d dy dt d dy dx t dx dx dt dx dx dt dx dxdt ====- 5．(1ln )ln ln ln ln x x x x x x x xx e x x e e e e dx dx e xdx dx xde dx e x dx x x x x xe x C +=+=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.202cos sin sin cos sin cos 1x xdx x xdx x xdx πππππ==-=⎰⎰⎰⎰四．解答题 1.解33200000000ln(1)3(00)()lim lim lim limarcsin arcsin 1x x x x ax ax ax f f x x x x x →-→-→-→-+-====---003(16lim x a a →-=-+=-22200000011(00)()4lim lim lim sin4ax ax x x x e x ax e x ax f f x x x x →+→+→++--+--+=== 2220000002224442(2)lim lim lim 222ax ax ax x x x ae x a a e a e a x →+→+→++-++====+ 令(00)f +=(00)(0)f f -=得1a =-，从而当1a =-时()f x 在0x =连续；令(00)f +=(00)(0)f f -≠得2a =-，从而当2a =-时0x =是()f x 的可去间断点。

2012哈工大数值分析试卷

2012.1数值分析试卷1（10）设f(x)具有连续的m 阶导数，x*是f(x)=0的m 重根，其中m ≥2. {}k x 是由newton 迭代法产生的序列且收敛，证明1*1lim 1*k x k x x x x m+→∞-=-- （2）试把newton 迭代公式加以改进提高迭代公式的收敛速度。

2（10）newton 法解方程组222241x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取初值00(,)(1.6,1.2)T x y =求出迭代两步的结果，计算结果保留5位小数。

3（1）试用Doolittle 分解方法求解方程组123126125153615469x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）试用乘幂法求出系数矩阵126251561546⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦按模最大特征值及对应的特征向量，初始向量为（1,0,0）T ，求出迭代两步的结果，计算结果保留4位小数。

4已知线性方程组123223124211212316x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写出Gauss-seidel 迭代法的迭代格式并分析收敛性。

5已知一组实验数据：试用最小二乘法确定拟合公式b y ax =中参数是a ，b 。

6试求出过平面五点（-2,3）（-1,2）(0,5) (1,92) (2,337)的有理多项式7推导求积公式3"()()()()()224b a a b f f x dx b a f b a η+=-+-⎰其中η∈[a,b]并指明代数精度。

8用复化梯形公式适当的选取分段长度h 使得误差在（0.03,0.06）之间并用其计算积分10x e dx ⎰的近似值（计算中保留小数点后4位）9利用显示的Euler 方法计算函数20()x t y x e dt =⎰在点0.5,1,1.5,2x =的近似值，步长h=0.5（计算中保留小数点后4位）。

08-09工科数学分析试卷及答案

1 哈尔滨工业大学（威海）2008/2009学年秋季学期工科数学分析（A 班）试题卷（A ）（答案）考试形式（闭卷）：闭答题时间：150 （分钟）本卷面成绩占课程成绩 70 %一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1． e 312． 1- Ⅱ 3． 21,14． 22)1(t t e t - 5． 632=-+z y x 6．337． C x x x ++----13tan 2tan 318． 22121123f f f ''+''+''9． 161- 10． 1 1．=++++++∞→3231323)1ln(limnnen n e n n n2．115+-=x x y 的间断点是=x ，且是类间断点。

3．已知0]1[lim 2=--+++∞→b ax x x x ，则=a ，=b4．已知：⎩⎨⎧=+=tey t x 12，则=22dx yd 5．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-M 处的切平面方程为教研室主任签字：第1 页（共 12 页）姓名: 班级：学号：26．函数)0(>=z z u xy沿21P P =l 的方向导数=∂∂1P ul，其中21,P P 分别为)1,1,1(与)2,2,2(。

7．⎰=x x dx24cos sin8．设),(),2,(v u f y x y x f z ++=有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z29．⎰==13ln xdx x I10．设R x xe y x ∈=-,1，则=∈y Rx max 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1．设nn x xx f 211lim)(++=∞→ ，则（）成立。

（A ）有间断点1=x ；（B ）有间断点1-=x ；（C ）有间断点0=x ；（D ）无间断点2．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-1,11,)(22x ex e x x f x 在1±=x 两点处的连续性与可导性为（）（A ）在1±=x 处连续但不可导；（B ）在1±=x 处可导；（C ）在1=x 可导，在1-=x 处不可导；（D ）在1=x 不可导，在1-=x 处可导。

哈工大大一(下)工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理

1102002班工科数学分析（下）知识点整理人：刘星斯维提（1）：曲线积分：⎩⎨⎧==<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lϕβαψϕψϕβαψϕβα 特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD L D L LLLβαβαψψϕϕψϕψϕβα⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑∑++=++±=±=±=++++=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyxyD D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

答案2018测试题(二)

守
（A）若 lim f (x) 存在，则 f (0) 0
（B）若 lim f (x) 存在，则 f (0) 存在
考
x0 x
x0 x
试
（C）若 lim f (x) f (x) 存在，则 f (0) 存在（D）若 lim f (x) f (x) 存在，则 f (0) 0
x0
x
x0
x
纪
请将选择题答案填入下面的表格中！（每题 2 分，共 30 分）
律
注
1
2
3
4
5
6
7
8
意
B
D
A
B
D
C
D
A
行
9
10 11 12 13 14 15
得分
为
B
D
D
B
A
B
B
规
范
姓名:
出题教师签字:
教研室主任签字:
第 1 页(共 2 页)
x f (t)
7.设
y
ห้องสมุดไป่ตู้
f
(e3t
，其中
1)
f
可导，且
f
'(0) 0 ，则 dy =（ dx t0
D
）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
第 2页(共 2 页)
2.函数 y arcsin(ln x) 在 x 1 点的微分 dy x1 =（D ） (A) 1 (B) 2 dx (C) 0 (D) dx
3.曲线 y x2 x(x 0) 上曲率为 2 的点的坐标是（ A ） 2
(A) (1, 0) (B) (0, 0) (C) (2, 2) (D) (3, 6)

工科数学分析第2学期期末考试试卷A

S
(C) 设 X (t ) 和 X * (t ) 是齐次线性方程组
中 A(t ) aij (t ) nn , aij (t ) C (a, b) ，则存在 n 阶非奇异常数矩阵 B ，使得
dx A(t ) x 在 ( a, b) 内的二个基解矩阵，其 dt
X * (t ) X (t ) B t (a, b) ；
.
第 2 页（共 6 页）
二、选择题：（每题 3 分）
本题分数得分 12
1．设曲线 C : x t ， y
t2 t3 ， z （ 0 t 1 ）上物质的线 2 3
密度为 ( x, y, z) 2 y ，则它的质量 m （ (A) (C)
）
t
0
1
1 t dx1 x1 x2 , dt dx2 2 x 3x 1 2 dt
满足初始条件 x1 (0) 0 ， x2 (0) 1的特解．
本题分数得分
12
六、设函数 f (r ) 具有二阶连续导数，而 z f ( x 2 y 2 ) 满
2 z 2 z 1 z 足方程 2 2 z x 2 y 2 , 求函数 f 的表达式． x y x x
第 6 页（共 6 页）本题分数得分 6
七、若 C 是平面 x cos y cos z cos 1 上的闭曲线，它所围成区域的面积为 S ，证明：
1 S 2 dx dy cos y dz cos , z

C
cos x
其中 C 的方向与平面法向量符合右手螺旋法则．
)
(D) 不一定是该方程的解.
4．下列结论中不正确的是（

哈工大大一(下)工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理

1102002班工科数学分析（下）知识点整理人：刘星斯维提（1）：曲线积分：⎩⎨⎧==<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lϕβαψϕψϕβαψϕβα 特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD L D L LLLβαβαψψϕϕψϕψϕβα⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑∑++=++±=±=±=++++=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyxyD D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。

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