傅氏变换关系
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上
例如:单位阶跃信号u(t)
1 u (t ) ←⎯→ s
LT
1 u (t ) ←⎯→ πδ(Ω) + jΩ
FT
显然,当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极 点,不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s),它有虚轴上的单极点:jΩi
jΩ
此时,由其拉氏变换将s代以jΩ求 得其傅里叶变换。
σ
−α
负实轴上的重极点的例子:
te
− αt
1 u (t ) ←⎯→ ( jΩ + α ) 2
FT
e − α t u ( t ) 拉氏变换收敛域
LT te − αt u (t ) ←⎯→
负实部的共轭复数极点的例子:
e
− αt
1 ( s + α) 2
Ai X ( s) = X 1 ( s) + ∑ i =1 s − jΩ i
N
N
x(t ) = x1 (t ) + ∑ Ai e jΩi t u (t )
i =1
N
X ( jΩ) = X 1 ( jΩ) + ∑ Ai δ(Ω − ΩHale Waihona Puke i ) ∗ [πδ(Ω) +
i =1
1 ] jΩ
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二.z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样,得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解: xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0,p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
傅里叶变换的性质
t
Ωτ Ωτ = j 2 ESa sin 4 4
0
τ /2
t
f 2 (t ) = f ′′(t ) =
2E
τ
[δ (t + τ 2 )− 2δ (t ) + δ (t − τ 2 )]
− 4E /τ
f ′′(t ) 如图2-21(c)所示
Ωτ −j j Ω2τ 2E 2 e F2 (Ω ) = +e − 2 τ 2E Ωτ = 2 cos − 2 τ 2 8 E 2 Ωτ =− sin τ 4
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) , f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
dF (Ω ) ↔ (− jt ) f (t ) 则 dΩ 一般频域微分特性的实用形式为
,使其频谱
搬移到 Ω = Ω 0 附近。反之,频谱在 Ω = Ω 0 附近的高频 信号乘以 e jΩ0t ,其频谱被搬移到附近,这就是解调。 变频是将频谱在 Ω = Ω c 附近的信号 f (t ) 乘以 e jΩ0t , 使其频谱搬移到 Ω = Ω c − Ω 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
a > 0 令 at = x , 则 dt = (1 / a )dx , t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]
傅氏变换
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t ) 与 F()构成一个傅氏变换对,它们是由
许多频率的正、余弦分量合成,且非周期函数包 含 0 - - 分量; • 2. f (t ) 是 F( ) 中各频率分量的分布密度, 称为频谱密度函数 F() 为振幅谱 为相位谱 arg F ( )
正弦、余弦傅氏变换
则在
f (t ) 的连续点t处有
1 f (t ) 2 f ( )e - j d e j t d
傅氏积分公式的三角形式:
f (t ) 1
0
f ( ) cos (t - )d d
§1.1 傅里叶积分公式
一、傅里叶级数
1.三角形式
称实系数R上的实值函数 f(t) 在闭区间[a,b] 上满足狄利克莱(DirichL et)条件,如果它满足条 件: ⑴ 在[a,b]上或者连续,或者只有有限个第一 类间断点; ⑵ f(t)在[a,b]上只有有限个极值点。
T T , 上 从T为周期的周期函数fT(t),如果在 2 2 T T 满足狄利克雷条件,那么在 , 上fT(t)可以展成 2 2
称 u(t )为单位阶跃函数
三、广义傅里叶变换
• 关于 函数的重要公式
F ( ) F[ (t )] 1 F 1[1] (t )
• 更一般的有
F ( ) F [ (t t0 )] e - j t0
• 故
(t - t0 ) 与 e - j t 构成傅氏变换对
2
(t )dt 1
(2)矩形脉冲函数的定义
其中
(t ) lim (t )
傅氏变换
1 2
( )e
j t
d
1 2
e
j t
j
d
1
2
1 2
( )e
j t
d
1 2
sin t
d
1
sin t
0
d
28
因为
sin
0
d
2
,则
, 2 sin t 0 d 0, , 2
研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.
研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉
冲函数.
15
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为 t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路 上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电 量函数, 则 0, t 0;
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 d q (t ) q(t t ) q (t )
f (t )
1 2
-
1 2
e jw t d 1 c o s d
1
1 2
s in w w
1
jw t d e 1
1
s in w w
jw t e d
26
0, 例3 证明单位阶跃函数u (t ) 1 的傅氏变换为 1 j ( ).
t 0; t 0
傅氏变换公式
傅氏变换公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:傅氏变换公式,又称傅里叶变换公式,是数学中一种非常重要的变换公式,它在信号处理、图像处理、物理学、工程等领域都有广泛应用。
傅氏变换公式的提出,来源于法国数学家傅里叶的研究成果,其贡献被誉为“物理学之母”。
傅氏变换公式的核心思想是将一个函数表示为频域中的若干个不同频率的正弦和余弦函数的叠加,从而实现对信号的频域分析。
简单来说,就是将时域的函数转换为频域的函数。
通过傅氏变换,我们可以了解信号的频率成分,进而对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的数学表达式如下:\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt\]\(f(t)\)表示原始信号函数,\(F(\omega)\)表示信号在频域中的表示,\(\omega\)为频率,\(e\)为自然对数的底,\(j\)为虚数单位。
在实际应用中,傅氏变换公式经常与傅里叶逆变换公式相对应使用。
傅里叶逆变换公式可以将频域中的函数恢复到时域中,实现频域到时域的转换。
傅氏变换公式在信号处理领域有着广泛的应用。
利用傅氏变换可以将时域中的信号转换为频域中的频谱图,从而对信号的频率成分进行分析。
在音频处理和图像处理中,傅氏变换也被广泛应用。
在通信系统中,傅氏变换有助于信号的调制和解调,提高信号传输的效率。
除了傅里叶变换外,还有一种相关的变换称为离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅里叶变换是将离散信号转换为频域中的频谱图,通常应用于数字信号处理和通信系统中。
傅里叶变换公式是一种非常重要的数学工具,它在信号处理、图像处理、物理学和工程等领域都有着广泛的应用。
通过傅氏变换,我们可以实现对信号的频域分析,了解信号的频率成分和特征,为信号处理和系统设计提供有力支持。
希望通过本文的介绍,读者对傅里叶变换有一个初步的了解,并深入学习其更多的应用和理论知识。
【字数已超2000字】第二篇示例:傅氏变换公式,又称为傅立叶变换,是数学中常见的一个重要工具,用于描述一个信号在频域上的分解和重建。
常见的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
= Gaus(u)
结论:
Gaus(x) F.T. Gaus(u)
7
五、余弦函数的傅里叶变换
F [cos(2πu0x) ] 其中 u0 = 1 / Τ Τ 为周期 ∞
= ∫ [cos2πu0 x ]• exp[− j2πux]dx
−∞
∫ =
∞ −∞
1 2
[exp(
j
2πu0
x)
x a
= a sin(πau) πau
= a sinc(au)
证明:根据相似性定理
6
四、高斯函数的傅里叶变换
Gaus(x) = exp[- πx2]
推导一维情况
F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
∞
= ∫ exp[-πx2 ]• exp[− j2πux]dx −∞
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论:
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect(x) F.T. sinc(u)
5
普遍型
F
rect
˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx
ࡉᴹ F^g x a ` G fx exp j2Sfxa
࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
਼ᰦ F^g x exp j2Sfax ` G fx fa ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
第7章3傅氏变换性质
例2
1 +πδ (ω ) F[H ( t ) = ] iω 1 +πδ (ω )] i t0 ω [ F[H ( t + t0 ) = e ] iω − i t0 ω 1 [ +πδ (ω )] F[H ( t − t0 ) = e ] iω
2
象函数的位移性质的应用1 象函数的位移性质的应用1 如果 F[ f ( t ) = F (ω ) 则 F[ e iω 0 t f ( t ) ] = F (ω − ω 0 ) ]
−∞ +∞
如果 F[ f ( t )]= F (ω )
a≠0
x = at + b f ( at +F[)f =t ∫−∞ f]= e iωb )F (ω )t d t b ] ( + b ) ( at + b e − iω F[ x−b t= x ωb 1 −∞ − iω a i a < 0 b = 0 得相似性质( x ) e a e a dx 令 时 ∫+∞ f a 1 ωx ω i −( t) f ω at +∞ = (b ) F a F[ i ] 1 t ta = − e a ∫ f (|x )| e a d x −∞ a ω 1 i ωab 1 i ωb ω F( ) = − e a F( ) = e a a |a| a 6 若 a > 0 则也正确
n
−∞
t n f ( t )] = i n F ( n ) (ω ) F[
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
122页例 ( 122页例7.9(1). 页例7.9 Fourier变换 求函数 t ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 解 因为 F[ H ( t )]= +πδ (ω ) iω 1 1 所以 F[t ⋅ H ( t ) = i [ +πδ (ω ) ]′ = − 2 + iπδ ′(ω ) ] ω iω Fourier变换 练习 求函数 t n ⋅ H ( t ) 的Fourier变换 1 (n) n n [ ] ] 解 F[t ⋅ H ( t ) = i iω +πδ (ω ) n ( −1) n ! (n) n [ = i iω n+1 +πδ (ω )]
傅里叶变换的性质 (1)
f t cos 1t
1
F
-1
sin 1t
1
-1
t
1
0
1
F
1
t
0
1
利用的 e j1t 傅氏变换,我们还可以推导任意周期函数
的频谱函数为
fT t
F e jn1t n
2
Fn n1
n
n
证 F
fT t
F
n
Fn
e
jn1t
n
F
F e jn1t n
Fn F e jn1t 2
1 ,并乘以系数 2 ,我们得到另一对变换对
e j1t 2 1 2 1
利用上面结果,可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。
cos1t
1 2
e j1t
e j1t
1 1
sin 1t
1 2j
e e j1t
j1t
j 1 1
cos1t 、sin 1t 的波形与频谱如图2-24 所示。
f
at
1 a
F
a
特别地,当 a 1 时,得到 f t 的折叠函数 f t ,
其频谱亦为原频谱的折叠,即 f t F 。
尺度特性说明,信号在时域中压缩,频域中就扩展;反 之,信号在时域中扩展,在频域中就一定压缩;即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号,其频 宽无限,反之亦然。
也称调制特性。
例2-4 求 f t cos 0t ut 的频谱函数,并画出频谱
图。
解: 已知 ut 1 ,利用频移性
j
cos0tut
2
0
0
2
1
j
0
2
1
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系.
X ( s) |s j Ai ( i )
i 1
此时,信号的傅里叶变换包含两部分:一部分是将信号的拉氏 变换X(s)中的s代以jΩ的到的,另一部分是对应于虚轴上单极点的 冲激信号。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s),它有虚轴上的k重极 点:jΩi
X ( s) X 1 ( s)
1 j
1 u (t ) s
LT
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
一、拉普拉斯变换收敛域包含虚轴
此时,信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的左半平面。 例如,上述的单边指数衰减的信号,其极点位于负实轴上。
j
FT
e
t
s cos(0t )u (t ) 2 ( s ) 2 0
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§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
二、拉普拉斯变换收敛域不包含虚轴
此时,信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的右半平面。 例如,单边指数增长的信号,其极点位于正实轴上。其拉氏变换:
此时,信号的拉普拉斯变换的收敛 域包含了jΩ轴。
负实轴上的重极点的例子:
1 te u (t ) ( j ) 2
t FT
et u(t ) 拉氏变换收敛域
LT te t u (t )
负实部的共轭复数极点的例子:
e
t
1 ( s ) 2
LT
j cos(0t )u (t ) 2 ( j ) 2 0
设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s),它有虚轴上的单极点:jΩi
傅里叶变换性质
(2)a>1 时域压缩,频域扩展a倍。
持续时间短,变化快。信号在频域高频分量增加,频 带展宽,各分量的幅度下降a倍。 此例说明:信号的持续时间与信号占有频带成反比, 有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则 要以展开频带为代价。
五.时移特性
幅度频谱无变化,只影响相位频谱,
时移加尺度变换
六.频移特性
交换积分顺序 , 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)
频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2
将包络线的频谱一分为 二,向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
2
2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2
O
(b)
例3-7-9
方法一:先标度变换,再时延
方法二:先时延再标度变换
相同
例3-7-6(教材例3-4) 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
傅氏变换
6
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有
(1.8)式叫做f(t)的傅氏变换式, (1.9)式为F(w)的 傅式逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为 F(w)=F[f(t)] 和 f(t)=F-1[F(w)]
7
F(w)称作f(t)的象函数, f(t)称作F(w)的象原函数.
31
e t , t 0 t, t 0 的卷积 例1 求f1 (t ) , f2 (t ) 0, t 0 0, t 0
f(t)*f 1 2(t) + f1 ( ) f 2 (t )d 解 f(t)*f 1 2(t) -
当t 0时,f(t)*f 1 2(t)=0 当t 0时,
e (t )d
0 t
(t )()e
t e 1
t
t 0
()e d
0
32
t
二.卷积定理:
F[f(t)*f 1 2(t)]=F(w)F 1 2(w) 证明:F[f(t)*f(t)] 1 2
=
=
+ -
+
+
-
+
f( )d e 1 )f(t2
二.卷积性质 满足 交换率,分配率,结合率 f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t ) ( f1 (t ) * f 2 (t )) * f 3 (t ) f1 (t ) *( f 2 (t ) * f 3 (t )) ( f1 (t ) f 2 (t )) * f 3 (t ) f1 (t ) * f 3 (t ) f 2 (t ) * f 3 (t )
第七章3_傅氏变换的性质
§ 傅氏变换的性质为了叙述方便,假定在以下性质中,所涉及的函数的服饰变换均存在.在证明各性质时,不再另作说明.4.1 基本性质1. 线性性质 设[][][][]11221212-11212F =f t F =f t f t +f t =F +F F +F =f t +f t .ωωαβαβαωβωαωβωαβΓΓΓΓ()(),()(),,为常数,则()()()(),()()()()本性质可直接由积分的线性性质推出. 2,平移性质 设[][][]0000-i t 0i t -10F =f t t w f t-t =e F 7.16F -=e f t . 7.17ωωωωωωΓΓΓ()(),,为实常数,则()(), () ()()() 证明 由傅氏变换的定义有[][]00000+-i t 00-+u=t-t -i u+t -+-i t -i u--i t -i t f t-t =f t-t e dt=f u e du =ef u edu =e f t =e F ωωωωωωω∞∞∞∞∞∞ΓΓ⎰⎰⎰()()() () ()() (),(7.16)式得证,同理可证(7.17)式.在(7.16)式中,若记[]0i i -tF =F e F 7.16f t -t =Fe.θωθωωωωθωωωωΓ()(())()(),()是()的辐角,其主值即为相位谱 ()则()可以写成 ()()上式表明,当一个函数(或信号)沿时间轴平移后,它的各频率成分的谐波分量的振幅不发生改变,但相位发生了变化.例 4.1 已知G (ω)=01+i +βωω()(β﹥0,0ω为实数),求g (t )=[]-1G .ωΓ() 解 由(7.17)式并利用例2.1的结果,有[]00-+i t i t -1-1e t 011g t =G =e =t=0+i 20t 0.βωωωβω⎧⎪⎡⎤⎪ΓΓ⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩(),﹥,()(),,,﹤2. 伸缩性质(也叫相似性质)设F (ω)=[]f t Γ(),a 为非零实数,则 []1f at =F .aa ω⎛⎫Γ ⎪⎝⎭() (7.18) 证明 []f t Γ()=+-i t -f at e dt ω∞∞⎰(),令u=at ,当a ﹥0时-i +a -11f t =f u e du=F a a aωω∞∞Γ⎰()()(); 当a ﹤0时,[]-i u -a+11f at =f u e du=-F .a a aωω∞∞Γ⎰()()() 综上得[]1f at =F .aa ω⎛⎫Γ ⎪⎝⎭() 此性质表明,若函数(或信号)被压缩(a ﹥1)则其频谱被伸展;反之,若函数被伸展(0﹤a ﹤1)则频谱被压缩.若a ﹤0,则表明函数被伸缩的同时还以纵轴为转轴进行了翻转.3. 微分性质若t +lim f t =0→∞(),则 []f t =i f t .ιω⎡⎤ΓΓ⎣⎦()()(7.19) 一般地,若[]k t +n nlim f t =0k=0,1n-1f t =i f t .ω→∞⎡⎤ΓΓ⎣⎦()()()(,,),则()()()(7.20)证明 当t +→∞时,[]-i t -i t +-i t -+-i t-i t -f t e =f t 0f t e 0.f t =f t e dt +=f t e+i f t e dt- =i f t .ωωιιωωωωω∞∞∞∞→→⎡⎤Γ⎣⎦∞∞Γ⎰⎰()(),故有 ()因而()() ()()()反复运用上式即得(7.20)式.同样,还能得到像函数的导数公式为 []dF =-itf f d ωωΓ()(), 一般地,有n nn n d F =-i t f t .d ωω⎡⎤Γ⎣⎦()()() 4. 积分性质设g (t )=[][]t-t +f t dt lim g t =01g t =f t .i ω∞→∞ΓΓ⎰(),若(),则()()证明 由于[][]g t =f t 7.19f t =g t =i g t ιιω⎡⎤ΓΓΓ⎣⎦()(),由微分性质()式有()()(),即[][]1g t =f t i ωΓΓ()(), 亦即[]t -1f t dt =f t .i ω∞⎡⎤ΓΓ⎢⎥⎣⎦⎰()()例4.2 求解微分方程t-ax t +bx t +c x t dt=h t ι∞⎰()()()(),其中-∞﹤t ﹤+∞,a ,b ,c 为常数,h (t )为已知函数,且傅氏变换存在. 解 记[][]+i t -x t =X h t =H .cai X +bX +X =H i H X =.cb+i a -1x t =X e d 21H x t =2b+i a ωωωωωωωωωωωωωωωπωπω∞∞ΓΓ⎰()(),()()对方程两边取傅氏变换,得 ()()()(),()()()求上式的傅氏逆变换得 ()(),即() ()(+i t-e d .c-ωωω∞∞⎰)这就是所求的微分方程的积分形式的解.5. 帕塞瓦尔(Parseval )等式 设12f t f t (),()均为平方可积函数,即[][][]2+k t -1122++1212--12f dt +k=1,2.F =f t F =f t 1f t f t dt=F F d . 7.212f t =f t =f t f t =F ωωωωπω∞∞∞∞∞∞∞ΓΓΓ⎰⎰⎰() ﹤()若()(),()(),则 ()()()()()特别,当()()(),()()时,有 ++22--1f t dt=F d . 7.222ωωπ∞∞∞∞⎰⎰()()()这里(7.21)式与(7.22)式都称为帕塞瓦尔等式,且公式中的时间函数f (t )允许是复值的.证明+++i t1212---++i t 21--++2112--1f t f t dt=f t F e d dt 21=F f t e dt d 211=F F d =F F d .22ωωωωπωωπωωωωωωππ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()() ()() ()()()() 这就证明了(7.21)式,从而(7.22)式自然也成立.平方可积函数在物理上也就是能量有限的信号.(7.22)式左端是信号在时间域的总能量,右端是信号在 频率域的总能量的12π倍,该等式的物理意义就在于它给出了这种能量之间的正比例关系.因而式(7.22)也叫能量积分,2F w ()也叫能量谱密度.如果我们把两个n 维实向量a=(12n a a a ,,,),b=(12n b b b ,,,)的内积 k kk 1a b =a bn=∑,推广到两个平方可积的实函数12f t f t (),()上,可定义内积 +1212-f t f t =f t f t dt ∞∞⎰(),()()(), 进而再把内积推广到两个复值函数上,并保证相同函数内积的非负性,可定义内积 +1212-f t f t =f t f t dt ∞∞⎰(),()()(), 这样一来,(7.21)式反映了两个信号时间域内积与频率域内积之间的一种内在关系,它在信号的时频聚集性研究中发挥着关键性的作用. 例4.3 求积分2+2-sin xdx x ∞∞⎰的值. 解 设sin G =ωωω(),由例2.2的(3)可知[]-122++122---11t 121g t =G =t =140t 17.22sin x 1dx=2g t dt=2dt=.x2ωπππ∞∞∞∞⎧⎪⎪⎪Γ⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰,﹤,()(),,,﹥,于是由()式有 ()()4.2 卷积与卷积定理 1. 卷积定义4.1 设函数1f t (),2f t ()在(-∞,+∞)内绝对可积,则积分+12-f f t-ττ∞∞⎰()()称为1f t ()与2f t ()的卷积(也叫褶积),记为1f t ()*2f t (),即 1f t ()*2f t ()=+12-f f t-ττ∞∞⎰()()d τ 根据定义,可以验证卷积满足如下性质(1) 交换律成立:1f t ()*2f t ()=2f t ()*1f t (); (2) 结合律成立:[][]123123f *f *f =f *f f ; (3) 非配绿成立:1231212f *f +f =f *f +f f .()例4.4 若12-t 0t 00t 0f t =f t =1t 0e t 0.⎧⎧⎨⎨≥≥⎩⎩,﹤,,﹤,()() ,;, 求1f t ()和2f t ()的卷积. 解 由卷积定义,有1f t ()*2f t ()=+12-f f t-ττ∞∞⎰()()d τ. 我们把自变量为t ,τ参数的函数2f t-τ()看成是由2f τ()以纵轴为对称轴进行翻卷得到2f -τ(),再将2f -τ()沿横轴平移t 后得到22f --t =f t-.ττ(())()最后再将2f t-τ()与1f τ()对应相乘后再积分(图7.8).当t ﹤0时,由于12f *f t-=0ττ()(),有1f t ()*2f t ()=0;当t ≥0时, 12f t *f t = ()()tt-t--t 120f f t-d =e d =1-e .τττττ⎰⎰()()() 综上可得12-t 0t 0f t *f t =1-e t 0.⎧⎨≥⎩,﹤,()(),图 7.8 2.卷积定理定理 4.1 设[][]1122f t =F f t =F ωωΓΓ()(),()(),则有[][]1212-11212f t *f t =F *F 7.23F *F =f t *f t .ωωωωΓΓ()()()() ()或 ()()()()证明 由卷积与傅氏变换定义,有[][]+-i t 1212-++-i t12--f t *f t =f t *f t e dt =f f t-d e dtωωτττ∞∞∞∞∞∞Γ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()()() ()()。
积分变换第2讲----傅氏变换的概念
31
图例: O
t
32
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函
数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线
段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的
强度.
d(t)
1
O
t
33
d-函数有性质
d (t)dt 1
d (t) f (t)d t f (0)
及
d (t
t0 ) f
(t)d t
如f(t)在0点连续, 则在0附近的非常小的一个 领域可以看作是常数c=f(0). 因此, 任给一个 在(,)上积分值为1的函数g(t)
g(t) d t
1,则
1
g t
d t 1
e e
令d e
(t )
1
e
g
t
e
, 则d
(t )
lim
e 0
de
(t )
当e非常小, 则
de (t) f (t) d t de (t)c d t c f (0)
cost
d
042
因此可知当t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
sin x d x
sinc( x) d x
0x
0
2
9
普阿松积分公式
I et2 dt ,
证 I 2 ex2 y2 dydx,
作极坐标变换,令x r cos , y r sin , 积分元为rdrd ,则
1.傅氏变换的概念
15
我们知道, 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条 件, 则在f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2
f
(
)
中国石油大学《数字信号处理》第一章 信号频谱和傅氏变换
第一节 傅里叶级数与离散频谱
x(t ) A0 An sin( 2nf 0t n )
n 1
第一种表达式的优点:物理意义最直观;
缺点:表达式中的参数项不易计算。
另两种
x(t ) a0 [an cos 2nf 0t bn sin 2nf 0t ] n 1 j 2nf0t x(t ) c e n n
傅里叶级数展开定理:
有限区间[t0,t0+T]上的函数x(t)在满足狄里赫利 条件时,可以展开成傅里叶级数(Fourier Series)
x(t )
其中:
n
c e
n
j 2nf0t
n 整数
1 t 0 T j 2nf0t cn x(t )e dt T t0
jn0t x ( t ) c e n n 或者可表示为 2 2 f 0 0 c 1 t0 T x(t )e jn0t dt T n T t0
T 2 n T n 2
c
e
j ( n m ) 2f 0t
dt = cm T
等式右边的求和中只剩下n=m一项,即cm T。
1 cm x(t )e jm2f 0t dt T
T 2 T 2
m 0, 1, 2,.....
—这就是计算傅里叶级数复系数 cn的公式
c0 cn e j 2nf0t c n e j 2nf0t
n 1 n 1
这里令 复数
a n jbn cn 2 a n jbn cn 2
而 A0 a0 c0是实数。
第一节 傅里叶级数与离散频谱
双边拉氏变换及拉氏变换与傅氏变换的关系
收敛域没有改变,象函数的极点全部 位于收敛域右侧
2019/2/7 信号与系统
2.双边信号的拉氏变换
例:f (t ) u(t ) et u(t ), 试求BLT
t<0,f(t)=0,双边LT→单边LT,收敛域包括虚轴
F ( j ) F ( s) |s j
若收敛边界在虚轴上,F(s)极点在虚轴上,则信号 的频谱函数中会出现奇异函数项
1 1 例如:f (t ) u (t ) F ( s) F ( ) ( ) s j
2019/2/7 信号与系统
作业
4-45
2019/2/7
信号与系统
4.12 双边拉氏变换
双边拉氏变换(广义傅里叶变换):
FB ( s) f (t )e dt
st
对于衰减因子,t>0时的情况与t<0时的情况正 好相反,因此对于双边拉氏变换积分结果不一定存 在,这个与单边拉氏变换不同。要讨论双边拉氏变 换的存在性问题。
F(s) 收敛域 f(t)
1/s
1/s 1/(s+a)
>0
<0 >-a
u(t)
-u(-t) e-at u(t)
1/(s+a)
<-a
-e-at u(-t)
1 1 F ( s) s s 0 f (t ) u( t ) e t u(t )
0
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限(界)激励,产生有限(界)激励,稳定系统 有限(界)激励,产生无限(界)激励,为不稳定系统
关于信号单边拉氏变换与傅氏变换转换关系的研究
可写成如以下模D式=Po(曲+萎斋,nD
特别地,设式(11)中啊,%,……,几均为1, 即
以D砥。)+荟蔷 Q3’
相应地式(12)简化为
B(j『动=瓦(s)L街+匹cm万(缈一蛾)(14)
为证明式(12),对式(11)两边求拉氏反交 换,有
t
.^。一1
B(J彩)
吲训刊埘+蓬焉删(嗍)∞’
2.传统理论存在的缺陷b1 上述表述从第二种情况开始出现瑕疵。正确
的表述如下。 2.I第二种情况
设,L(s)位于s平面的p轴上有~个n重极 点,其余极点都在归轴左侧半平面上,则吒(,)可
37
写为:
以。=Fo(曲+荟若务 。)
等号右端第一项R(,)的极点均位于S平面徊轴的 左侧半平面上,等号右边第二项表示有一个n重极 点位于徊轴上。相应的傅氏变换为:
转换关系的表述不严谨,并提出严谨的表述方式Ⅱ1。但该表述方式仍然依据信号的单边拉氏变换式在虚轴上的极点重 数进行分类,并且由于这种分类,公式中出现双重求和号,应用起来很不方便。基于上述原因,本文提出一种新的
表述方法。该方法抛弃了依据信号单边拉氏变换式在虚轴L的极点分类的思想。
关键词:单边拉普拉斯变换;傅黾叶变换;单极点:重极点;收敛横坐标
所有的极点均在虚轴上,故吼=o。将吒(s)展开
砷,2尚+啬
上式与式(11)类似。依据式(12),有:
FFU曲=
护国
广一㈣广一㈣护 缈
即:
砌动2南一扣+2)+扣-2)
例3:已知
幽=南
=—j≠三百一zS(co)+zjS"(rn)
一扩(徊+1)
5.结论 本文提出的,当瓯=0时,傅氏变换与单边拉
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strays from the CTFS because of frequency -aliasing unless the CTFS spectrum X k is strictly limited within the low-frequency band of (−(N /2)ω0,(N /2)ω0)=(−π/T ,π/T )where the DFT size N equals the number of samples per period P and the fundamental frequency is ω0=2π/P =2π/N T .3.5.2Relationship Between CTFT and DTFTTo investigate the relationship between CTFT and DTFT,suppose we have a continuous-time signal x (t )and its discrete-time version x [n ]=x (nT ).As a bridge between x (t )and x [n ],let us consider the sampled version of x (t )with sampling interval or period T asx ∗(t )=x (t )δT (t )(δT (t )= ∞n =−∞δ(t −nT ):the impulse train)(3.5.4)Noting that x ∗(t )is still a continuous-time signal,we can use Eq.(2.2.1a)to write its CTFT asX ∗(ω)(2.2.1a)= ∞−∞x ∗(t )e −j ωt dt (3.5.4)= ∞−∞x (t ) ∞n =−∞δ(t −nT )e −j ωt dt=∞n =−∞ ∞−∞x (t )e −j ωt δ(t −nT )dt (1.1.25)= ∞n =−∞x (nT )e −j ωnT = ∞n =−∞x [n ]e −j Ωn Ω=ωT (3.1.1)=X d (Ω)|Ω=ωT(3.5.5)This implies that X d (Ω)=DTFT {x [n ]}and X ∗(ω)=CTFT {x ∗(t )}are essentially the same and that X d (Ω)can be obtained from X ∗(ω)via a variable substitution ω=Ω/T .On the other hand,we recall from Eq.(E2.13.3)that X ∗(ω)=CTFT {x ∗(t )}is expressed in terms of X (ω)=CTFT {x (t )}asX ∗(ω)(E2.13.3)=1T ∞m =−∞X (ω+m ωs )with ωs =2πT (3.5.6)Combining these two equations (3.5.5)and (3.5.6),we can write the relation between the CTFT and the DTFT asX d (Ω)(3.5.5)=X ∗(ω)|ω=Ω/T (3.5.6)=1T ∞m =−∞X ΩT +m 2πT(3.5.7)where ωand Ωare called the analog and digital frequency,respectively.This implies that the DTFT of x [n ]=x (nT )is qualitatively the periodic extension of the CTFT of x (t )(with period 2π/T in analog frequency ωor 2πin digital frequency Ω),i.e.,the sum of infinitely many shifted version of CTFT.This explains how the DTFT strays from the CTFT because of frequency -aliasingunless the CTFT spectrum X (ω)is strictly limited within the low-frequency band of (−π/T ,π/T )where T is the sampling interval of x [n ]=x (nT ).Fig.3.7(b1)illustrates the deviation of the DTFT spectrum from the CTFT spectrum caused by frequency-aliasing.3.5.3Relationship Among CTFS,CTFT,DTFT,and DFT/DFS As stated in Remark 2.7(2)and illustrated in Fig.2.8,the CTFS X k ’s of a periodicfunction ˜xP (t )are the samples of the CTFT X (ω)of the one-period function x P (t )at k ω0=2πk /P :X k (2.2.4)=X (ω)|ω=k ω0=2πk /P (3.5.8)Likewise,as discussed in Sect.3.4and illustrated in Fig.3.11,the DFT/DFS X (k )’sof a periodic sequence ˜xP [n ]are the samples of the DTFT X d (Ω)of the one-period sequence x P [n ]at k Ω0=2πk /N :X (k )(3.4.1)&(3.4.2)=X d (Ω)|Ω=k Ω0=2πk /N (3.5.9)Figure 3.13shows the overall relationship among the CTFS,CTFT,DTFT,and DFT/DFS based on Eqs.(3.5.3),(3.5.7),(3.5.8),and (3.5.9).Figure 3.14shows the CTFT,DTFT,DFT/DFS,and CTFS spectra for a continuous-time/discrete-time rectangular pulse or wave,presenting us with a more specific view of their relationship.Some observations are summarized in the following remark:Remark 3.7Relationship among the CTFS,CTFT,DTFT,and DTFS (DFT/DFS)Figures 3.13and 3.14shows the overall relationship among the CTFS,CTFT,DTFT,and DTFS (DFT/DFS)from a bird’s-eye point of view.The following observations and comparisons are made.(1)Among the four Fourier spectra,the CTFS and CTFT are more desired thanthe DTFS and DTFT since all physical signals are continuous-time signals.Time-domain periodic extension with period N Time-domain periodic extension with period PFrequency-domain periodic extension Frequency-domain periodic extension Frequency-domain sampling Frequency-domain samplingDTFT DTFS (DFT/DFS)CTFT CTFSTime-domain sampling at t = nT Time-domain sampling at t = nT (2.2.1a)X (ω) = ∫–∞ x (t ) e –j ωt dt ∞(2.1.5b) = ∫p x (t )e –j 2πkt / P dt at ω = k ω0 = k 2πP at Ω = k Ω0 = k 2πN∞2πT 1T X d (Ω) = Σm = –∞X (ω + m )⎮ω = Ω/T (3.5.6)∞X d (Ω) = Σn = – ∞ x [n ]e –j Ωn (3.1.1)∞1T X (K ) = Σm = – ∞X k + mN (3.5.3)(3.4.2)N –1X (K ) = Σn =0 x [n ]e –j 2πkn / N ∼∼X k Fig.3.13Overall relationship among the CTFT,CTFS,DTFT,and DTFS (DFT/DFS)(a5) x 16(n ) – a periodic extension of x [n ] with period N = 16∼∼(b5) N = 16- point DFS/DFT spectrum X (k ) of x 16[n ]Fig.3.14Examples of CTFT,DTFT,DFS/DFT,and CTFS spectraBetween the CTFS and CTFT,we prefer to have the CTFT because it has all the information contained in the CTFS on the assumption that the CTFS consists of the samples of CTFT (Eq.(3.5.8)and Fig.3.14(b3)).Besides,the CTFS is not so practical because it is hard to find the period or even periodicity of periodic signals due to a noise.Therefore,we think of the CTFT as a standard when we need to compare the spectra in terms of how faithfully they describe the frequency contents of a given signal.(2)The problem with the CTFS and CTFT is that they are difficult to computedue to the pared with them,the DTFT X d (Ω)is easier to deal with since it has only multiplications and additions.However,the sampling of x (t )(with sampling interval T )to make x [n ]=x (nT )produces the peri-odic extension of the CTFT spectrum X (ω)with period 2π/T in ω,causing frequency -aliasing in the case of non-zero frequency components outside the principal analog frequency band [−π/T ,π/T ].This is the cost we pay in return for the computational convenience of the DTFT.This frequency-aliasingcan be reduced by decreasing the sampling interval T so that more frequency components can be contained in[−π/T,π/T].(Compare the DTFT spectra in Fig.3.14(b1)(for T=1)and(b4)(for T=0.5)with the CTFT plotted in dotted lines.)Refer to the sampling theorem to be discussed in Sect.5.3,which presents a criterion for selecting the sampling interval.(cf.)To compare the DTFT X d(Ω)with the CTFT X(ω),we should divide X(ω) by the sampling interval T(refer to Eq.(3.5.7)).(3)The DTFT X d(Ω)of x[n]is computationally advantageous over the CTFSor CTFT,but is still not so handy since it is continuous in the frequency Ωand thus requires an integration for IDTFT(inverse DTFT).That is why we sample the DTFT in the frequency domain at kΩ0=2πk/N for k= 0:N−1to make an N-point DFT X(k)for more computational efficiency.However,it also costs us the(illusory)periodic extension of x[n]with period N(the DFT size)irrespective of whether x[n]is originally periodic or not and no matter what the real period is even if x[n]is really periodic.This causes time-aliasing if the original signal is not sufficiently covered within the whole time interval[0,N−1](Example3.15)and spectral leakage prob-lem when the DFT size does not conform to the real period of the signal (Example3.16).(4)The analog resolution frequencyω0=Ω0/T=2π/N T=2π/P can beimproved by increasing the whole time interval P=N T.Increasing the DFT size N(,say,by zero-padding)helps the DFT spectrum to become close to the DTFT spectrum.Decreasing the sampling interval T increases the period 2π/T of periodic extension of the CTFT spectrum(Eq.(3.5.7))or equivalently, expands the principal analog frequency band[−π/T,π/T]so that the chance and degree of frequency aliasing can be reduced.(5)Generally,we can choose the DFT size N and sampling interval T and thus,eventually P=N T(the product of N and T)during which a signal is to be measured,sampled,and collected as a set of N data points.Therefore,it is hard to imagine that N T happens to be identical with the real period of the signal.For this reason,it will be reasonable to call P=N T the whole time interval rather than the period that was originated from the definition of the CTFS.3.6Fast Fourier Transform(FFT)In this section we discuss the FFT algorithm that exploits the periodicity and sym-metry of the discrete-time complex exponentials e j2πnk/N to reduce significantly the number of multiplications for the DFT computation.The FFT algorithm discussed here achieves its efficiency when N is a power of2,i.e.,N=2N L OG2for some integer NLOG2.This makes no practical problem since the length of x[n]can be increased to the next power of2by zero-padding.To get some understanding of the steps in the FFT algorithm,let us consider a sequence x[n]for0≤n≤N−1with N=2N L OG2.There are two approaches,。