2019届一轮复习北师大版 排列、组合与项式定理 学案

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专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明

第一讲 排列、组合与二项式定理

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1.考查排列、组合的实际应用.

2.考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解.

1.(2016·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A .24

B .18

C .12

D .9

[解析] 由题意可知E →F 共有6种走法,F →G 共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.

[答案] B

2.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1+1

x 2(1+x )6展开式中x 2的系数为( ) A .15 B .20 C .30

D .35

[解析] 对于⎝⎛⎭⎫1+1x 2(1+x )6,若要得到x 2项,可以在⎝⎛⎭⎫1+1

x 2中选取1,此时(1+x )6中要选取含x 2的项,则系数为C 26

;当在⎝⎛⎭⎫1+1x 2中选取1x

2时,(1+x )6中要选取含x 4的项,即系数为C 46,所以,展开式中x 2项的系数为C 26+C 4

6=30,故选C.

[答案] C

3.(2015·湖北卷)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )

A.212B.211

C.210D.29

[解析]∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C3

,C7n,∴C3n=C7n,

n

得n=10.

对(1+x)10,

令x=1,得(1+1)10=C010+C110+C210+C310+…+C1010=210,①

令x=-1,得(1-1)10=C010-C110+C210-…+C1010=0,②

利用①+②可得2×(C010+C210+…+C1010)=210,

∴奇数项的二项式系数和为C010+C210+…+C1010=29.

[答案] D

4.(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )

A.10 B.20

C.30 D.60

[解析](x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C2

(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系

5

数为C25C13=30,故选C.

[答案] C

5.(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)

[解析]分两类:

①有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44=960个.

②没有偶数的四位数有A45=120个.

故这样的四位数一共有960+120=1080个.

[答案] 1080

考点一两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.

[对点训练]

1.已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有元素的和大于B中所

有元素的和,则集合A,B共有( )

A.12对B.15对

C.18对D.20对

[解析]依题意,当A,B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有C23+C23+2=8对;当B有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A,B均有两个元素时,有3对.所以共有3+8+3+3+3=20对,选D.

[答案] D

2.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )

A.12种B.18种

C.24种D.36种

[解析]第一步:将4项工作分成3组,共有C2

种分法.

4

第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有A33种分配方法,故共有C24·A33=36种安排方式,故选D.

[答案] D

3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1

A.240 B.204

C.729 D.920

[解析]分8类,当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数.[答案] A

两个计数原理的应用技巧

(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类计数原理.

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.

考点二排列与组合

1.(2017·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )

A.72 B.120

C.144 D.168

[解析]依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A3

A34=144,其中3

3

个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,选B.

[答案] B

[探究追问] (1)若第1题中改为“同类节目必须相邻”,则有多少种不同的排法?

(2)若第1题中改为“相声类节目不排第一个,小品类节目不排最后一个,则有多少种不同的排法?”

[解析](1)(捆绑法)将歌舞类节目,2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列,共有A33种不同排法.又歌舞类节目有A33种排法,小品类节目有A22种排法,所以共有A33×A33×A22=72(种)不同排法.

(2)分两类:第一类,若第一个节目排歌舞类,由于最后一个不排小品类节目,有A13·A24 A33=216(种)排法;第二类,若第一个节目排小品类节目,则有A12·A14·A44=192(种)排法.故共有216+192=408(种)不同的排法.

[答案] (1)72种(2)408种

2.(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)

[解析]从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为C4

-C46=55.

8

从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为A24=12种.

故总共有55×12=660种选法.

[答案] 660

3.(2017·北京西城一模)某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须

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