2019届一轮复习北师大版 排列、组合与项式定理 学案
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专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明
第一讲 排列、组合与二项式定理
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1.考查排列、组合的实际应用.
2.考查二项式系数、常数项、二项式指定项的求解.
1.(2016·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A .24
B .18
C .12
D .9
[解析] 由题意可知E →F 共有6种走法,F →G 共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.
[答案] B
2.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1+1
x 2(1+x )6展开式中x 2的系数为( ) A .15 B .20 C .30
D .35
[解析] 对于⎝⎛⎭⎫1+1x 2(1+x )6,若要得到x 2项,可以在⎝⎛⎭⎫1+1
x 2中选取1,此时(1+x )6中要选取含x 2的项,则系数为C 26
;当在⎝⎛⎭⎫1+1x 2中选取1x
2时,(1+x )6中要选取含x 4的项,即系数为C 46,所以,展开式中x 2项的系数为C 26+C 4
6=30,故选C.
[答案] C
3.(2015·湖北卷)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212B.211
C.210D.29
[解析]∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C3
,C7n,∴C3n=C7n,
n
得n=10.
对(1+x)10,
令x=1,得(1+1)10=C010+C110+C210+C310+…+C1010=210,①
令x=-1,得(1-1)10=C010-C110+C210-…+C1010=0,②
利用①+②可得2×(C010+C210+…+C1010)=210,
∴奇数项的二项式系数和为C010+C210+…+C1010=29.
[答案] D
4.(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
[解析](x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C2
(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系
5
数为C25C13=30,故选C.
[答案] C
5.(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)
[解析]分两类:
①有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44=960个.
②没有偶数的四位数有A45=120个.
故这样的四位数一共有960+120=1080个.
[答案] 1080
考点一两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
[对点训练]
1.已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有元素的和大于B中所
有元素的和,则集合A,B共有( )
A.12对B.15对
C.18对D.20对
[解析]依题意,当A,B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有C23+C23+2=8对;当B有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A,B均有两个元素时,有3对.所以共有3+8+3+3+3=20对,选D.
[答案] D
2.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种B.18种
C.24种D.36种
[解析]第一步:将4项工作分成3组,共有C2
种分法.
4
第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有A33种分配方法,故共有C24·A33=36种安排方式,故选D.
[答案] D
3.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1
A.240 B.204
C.729 D.920
[解析]分8类,当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数.[答案] A
两个计数原理的应用技巧
(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类计数原理.
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
考点二排列与组合
1.(2017·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
[解析]依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A3
A34=144,其中3
3
个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,选B.
[答案] B
[探究追问] (1)若第1题中改为“同类节目必须相邻”,则有多少种不同的排法?
(2)若第1题中改为“相声类节目不排第一个,小品类节目不排最后一个,则有多少种不同的排法?”
[解析](1)(捆绑法)将歌舞类节目,2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列,共有A33种不同排法.又歌舞类节目有A33种排法,小品类节目有A22种排法,所以共有A33×A33×A22=72(种)不同排法.
(2)分两类:第一类,若第一个节目排歌舞类,由于最后一个不排小品类节目,有A13·A24 A33=216(种)排法;第二类,若第一个节目排小品类节目,则有A12·A14·A44=192(种)排法.故共有216+192=408(种)不同的排法.
[答案] (1)72种(2)408种
2.(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)
[解析]从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为C4
-C46=55.
8
从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为A24=12种.
故总共有55×12=660种选法.
[答案] 660
3.(2017·北京西城一模)某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须