3.1空间向量及其运算第1课时

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3.1空间向量及其运算第1课时

教学案3．1 空间向量及其运算（第 1课时）（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。

【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1．空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫；向量的大小叫做向量的或，记为；长度为零的向量叫做，记为；模为1的向量称为；方向相且模相等的向量称为相等向量；方向相且模相等的向量称为相反向量；2．空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。

空间任意三个向量呢？3．向量的加、减运算法则及数乘运算法则4．向量的加法及数乘运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：数乘结合律：二、应用举例：例1．化简下列各式：（1）AB +BA ；（2）AB ++；（3）AB +BC +CD +DE +EA归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例2．已知平行六面体ABCD -D C B A '''',化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB +；（2）AB +AD +A A ；（3） ++21C C '；（4）31(A A '++)n 1n 1n 433221A A A A A A A A A A =++++- A A A A A A A A 1n 433221=++++例3．已知正方体ABCD -D C B A ''''，点E 是上底面D C B A ''''的中心，求下列各式中x,y,z 的值。

（1）D B '=x +y +z A A '；（2）（2）=x +y +z A A '.【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算课件

2．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则D→1B等于( ) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c 解析：选 C．画图可得D→1B＝A→B－A→D1＝A→B－(A→A1＋A→1D1)＝A→B －(A→A1＋A→D)＝a－b－c.
1．对空间向量加减运算的认识减法运算是加法运算的逆运算，可以在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握减法运算，并会利用三角形作出减向量． 2．关于空间向量加法的运算需注意的几点 (1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向最后向量的终点的向量． (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍然成立．
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点： ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量．
【解】 (1)①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相反，即为互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②.故填①②.
3．利用向量证明几何问题的常用方法 (1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、特殊线段之间的关系； (2)正确运用三角形法则与平行四边形法则，用要证明的某一向量构建三角形或平行四边形； (3)掌握常用向量变换技巧．

高中数学课件空间向量及其运算(第一课时)

解：方法二：利用AB AC CB, DC DB BC ( AB CD) ( AC BD) AB CD AC BD ( AB AC ) ( DC DB ) CB BC 0
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。 1 .BC +AB
空间向量及运算
思考：一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
一：空间向量的基本概念
阅读教材P84-85填写下表平面向量定义表示法向量的模相等向量相反向量单位向量零向量具有大小和方向的量几何表示法字母表示法 a AB 向量的大小
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
0 A1 A2 A2 A3 An 1 An An A1 ______
(4） 1 A2 A2 A3 A3 A1 0 A
A1 A
2
An－1
An A
3
…
A
4
首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．
加法结合律： (a + b)+c = a +(b + c)
练一练化简( AB CD) ( AC BD)
解：方法一：将减法转化为加法进行化简 AB CD AB DC ( AB CD) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0

3.1.1空间向量及其加减运算

• (1)|λa|＝|λ||a|. • (2)当λ>0时，λa与a同向; • 当λ<0时，λa与a反向; • 当λ＝0时，λa＝0.
第1课时空间向量的线性运算
• 向量的运算律: • 加法交换律:a＋b＝b＋a; • 加法结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c); • 数乘分配律:λ(a＋b)＝λa＋λb.
第三章空间向量与立体几何
• 单元结构
第1课时空间向量的线性运算
• 为使走路方便,小区准备在小道上铺上地砖, 为了让路面平整耐用, 先对地面进行打夯,如图所示,一块大木头嵌有四条绳索,四名建筑工人借助绳索用力,让木头抬起向下打夯.
第1课时空间向量的线性运算
• 预学1:空间向量的有关概念 • (1)打夯图中的四个人的用力方向不一致，
第1课时空间向量的线性运算
• ④向量的模或长度:向量的大小叫作向量的模或向量的长度.
• ⑤零向量:长度为0的向量. • ⑥单位向量:长度为1的向量. • 议一议:如何理解有向线段与向量的关系?两
个向量能否比较大小?
第1课时空间向量的线性运算
• 【解析】向量可用有向线段来表示，但有向线段不是向量，它只是向量的一种表示方法.空间向量是具有大小与方向的量，两个向量之间只有等与不等之分，而无大小之分.
第1课时空间向量的线性运算
第1课时空间向量的线性运算
• 1.用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.
第1课时空间向量的线性运算
第1课时空间向量的线性运算

3.1.1空间向量及其加减运算第一课时.ppt

有 p x yb
反果过p来，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量,
a
，b
，如
b 有什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
解(3)
uuur
AC
uuur
uAuuBr1
uuAurD1
uuur
uuur
D1
C1
(
AD uuur
AB) uuur
(
AuAu1ur
AB)
(
AA1
AD)A1
B1
2(AD AB AA1)
uuuur
2AC1
D
C
x 2.
A
B
4.例题2
在若正uAuEur方体uAuAuuAur' C x1中uAuBur,点 yEuAu是Dur 面，A求C实’ 的数中x,y心. ,
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
空间向量及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．

3.1空间向量及其运算(第一课时)

B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
D1
C1 B1
A1
a
D A C B
D
B
C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
加法交换律 a b b a 运算加法结合律律
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
O O
a
C
A
a
b
A
+
c
C
b
B
c
b
B
c
空间向量的加法运算律加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An1 An A1 An
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An A1 0
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
加法交换律 a b b a
加法交换律 a b b a 运算加法结合律律

3.1.1空间向量及其加减运算课件人教新课标

(4) D 'C '或 AB
D' A'
D A
C' B'
C B
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证： AC AB AD 2AC. D'
A' 证明：AC AB' AD'
AB BC AB BB' AD DD'
2( AB BC CC' )
D
2 AC' A
C' B'
C B
变式：
量相加．
4.推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
高中数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．

数学选修2-1 第三章 3.1.1空间向量及其加减运算

牛刀小试 → → → → → → → 4．化简下列各式： (1)AB＋BC＋CA； (2)AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → (3)OA－OD＋AD； (4)NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数是( ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
[答案] D
→ → → → → [解析] 对于(1)，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0； → → → → → → → → → 对于(2)， AB－AC＋BD－CD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD → －AD＝0； → → → → → → → 对于(3)，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0；对于(4)，NQ＋QP → → → → → → → → ＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0.
→ → → ＝BA＋BC＋BB1 → → → → → ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
新知导学 2．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则 (多边
首指向尾 ”．形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，__________
即有限多个空间向量 a1，a2，„„an 相加，也可以象平面 → → 向量那样，从某点 O 出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，„， An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2„的起点 O 为起点，终点 → An 为终点的向量OAn，就是 a1，a2，„，an 的和，即 → → → a1＋a2＋…＋an OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An＝__________________. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点零向量．上，这时的和向量等于__________
空间向量的概念与表示温故知新 1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等

空间向量的数乘运算

O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修2_1

题型一
题型二
【变式训练1】下列命题中,是假命题是(与��的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等解析:选项 A中, ��与��为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D
如图①, �� = �� + �� =a+b. 如图②, �� = �� + �� =a+b; �� = �� − �� =a-b. (2)空间向量的加法运算满足: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B 重合时, �� =0. (4)单位向量:模为1的向量. (5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a. (6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 归纳总结(1)零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

(人教版)选修2-1数学：3-1《空间向量及其运算(1)》ppt课件

3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解析:模相等的两个向量不一定相等,①错;|m|=|n|,|n|=|p|,所以 |m|=|p|,又 m 与 n 同向,n 与 p 同向,从而 m 与 p 同向,所以 m=p,②对;零向量方向任意,但并不是没有方向,③错;④错.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学当堂检测
课前预习导学
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课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
例 1 下列说法中正确的是( A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等
).
C.若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等,方向相同或相反 D.若 a 与 b 是相反向量,则|a|=|b| 思路分析:根据空间向量的相关概念进行分析判断. 答案:D 解析:单位向量的模都等于 1,但方向不一定相同,可以是任意方向, 故 A 错;0 的相反向量还是 0,它们是相等的,故 B 错;当|a|=|b|时,a 与 b 的方向是任意的,不一定相同或相反,故 C 错;当 a 与 b 互为相反向量时,|b|=|-a|=|a|,故 D 正确.
3.1.1 空间向量及其加减运算
问题导学当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
二、空间向量的加法与减法运算
活动与探究问题 1:空间向量的加减运算方法是什么? 提示:(1)向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则 ,同平面向量相同,封闭图形、首尾连接的向量的和为 0. (2)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则 ,遇到减法时既可转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以相互转化.表达式中各向量的系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同的系数提到括号外面.

3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)

空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。

其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

《空间向量及其运算》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《空间向量及其运算》教学设计◆教学目标1、了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．提升学生的数学运算、逻辑推理素养；.2、会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．提高运算、抽象、推理等数学思维能力．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘的计算方法.教学难点：利用空间向量的加法、减法、数乘的计算方法解决简单的问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本章内容共分为空间向量及其运算和空间向量在立体几何中的应用两大部分.第一部分空间向量及其运算,包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标与空间直角坐标系三小节内容.第二部分空间向量在立体几何中的应用包含五小节内容.首先将立体几何中的基本研究对象空间中的点、直线和平面用空间向量表示,然后把点、线、面的位置关系和向量运算建立联系,通过向量运算研究平行、垂直、角和距离等位置和数量关系．（2）本章是“几何与代数”这条内容主线在选择性必修部分的承接.空间向量的引入,为解决三维空间中的图形的位置关系和度量关系提供了一个十分有效的工具.在本章中,学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展学生的直观想象、数学运算的核心素养．（3）本章的起点是空间向量的概念，通过学生已经学习过的平面向量的概念，通过例题说明向量源于实际并应用于实际，这符合学生的认知规律，在实际教学中，要利用学生的生活经验以及他们学过的其他学科，创设丰富的情景，使学生进一步理解空间向量概念的实质，激发学生的学习兴趣,引导学生用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量的相关概念，请同学们回忆平面向量的相关概念．（板书：空间向量及其运算）师生活动：在教师的指导下共同回忆平面向量的相关概念．教师讲解：①在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．②向量的大小也称为向量的模(或长度)．③可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.④有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A，终点为B的向量,记为AB,向量的模用|AB|表示,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜a b c来表示向量.此时,向体小写字母如a,b,c来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,量a的模也用|a|或|a|来表示．⑤始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的.零向量在印刷时,通常用0表示;书写时,用0表示.零向量的模为|0|,即|0|=0.⑥模等于1的向量称为单位向量.因此,e是单位向量的充要条件是|e|=1.a b.⑦大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记作⑧如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意a b,两个向量平行也称为两个向量共线.向量平行.两个向量a和b平行,记作//设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,使学生对平面向量的相关概念加深理解,为下面学习空间向量的相关概念打下坚实的基础.2、形成定义观察上述平面向量的有关概念,思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由．师生活动：通过类比，学生自己得出空间向量的概念．教师讲解：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.（1）空间向量①空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．②空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.③特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.设计意图：通过回顾平面向量的相关概念可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.不过平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间中的平移.提高学生的逻辑推理素养．问题3：如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.（1）1AA ，1DD ；（2）1AA ，11B C ；（3）1AA ，1DD ，11B C ；（4）1AA ，AD ，AB ；师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．预设的答案：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；（3）共面向量；（4）不共面向量.设计意图：充分体会空间向量的方向和模的大小，强化概念理解．问题4:回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？师生活动：学生根据平面向量的加法运算给出空间向量的加法运算．教师讲解：我们知道,给定两个平面向量,a b ,在该平面内任取一点A ,作,==AB a BC b ,作出向量AC ,则AC 是向量,a b 的和(也称AC 为向量,a b 的和向量).向量,a b 的和向量记作+a b ,因此+=AB BC AC .当平面向量,a b 不共线时,,a b ,+a b 正好能构成一个三角形,如图1-1-4所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量,a b ,在空间中任取一点A ,作,==AB a AC b ,以AB ,AC 为邻边作个平行四边形ABDC ,作出向量AD ,则=+AD AB AC .问题5：如图1-1-5所示的长方体1111-ABCD A BC D 中，求下列向量的和．（1）111+AA B C (2)1++AB AD AA师生活动：学生根据空间向量的加法运算进行计算．预设的答案：（1）1111111+=+=AA BC AA AD AD (2)111++=+=AB AD AA AC AA AC设计意图：通过具体实例加强对平行四边形法则或者三角形法则的理解和应用．问题6：向量加法的运算法则(1)交换律 a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．它们在空间中是否成立呢？尝试证明结合律．预设的答案：如图可知，两个运算法则均成立.如图1-1-6，其中，,,===AB a BC b CO c ，而且，a ,=+=+AC AB BC bb ,=+=+BO BC COc 所以，(a )c,=+=++AO AC CO b(b ),=+=++AO AB BO a c 因此，()()++=++a b c a b c设计意图：通过对空间向量的加法交换律、结合律的推理论证,让学生知晓平面向量的加法交换律、结合律在空间依然成立,进一步培养学生的逻辑推理能力,促使学生提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力,使学生增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,进一步形成数学直观,能在具体的情境中感悟事物的本质.三、初步应用例 1 如图1-1-7中所示是一个平行六面体1111-ABCD A BC D ，化简1++DA DC DD师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为底面ABCD 是一个平行四边形，所以,+=DA DC DB 又因为11=DD BB ,因此，111++=+=DA DC DD DB BB DB设计意图：例1旨在说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.问题7：结合平面向量的差向量概念，能否给出空间向量的差向量的概念及空间向量减法的法则？师生活动：学生先回顾平面向量的减法法则，总结给出空间向量的减法法则．预设的答案：在空间中任取一点O,作,==OA a OB b,作出向量BA,则向量BA就是向量,a b的差(也称BA为向量,a b的差向量),即-=OA OB BA,当,a b不共线时,向量,a b ,-a b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.设计意图：通过类比平面向量的减法法则得出空间向量减法法则，加强学生逻辑推理素养，并进一步认识空间向量的减法运算.问题8：结合平面向量的相反向量概念，能否给出空间向量相反向量的概念？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a.因此AB的相反向量是-AB,而且-AB=BA.追问：相反向量的性质有哪些？师生活动：学生空间向量相反向量的概念给出相反向量的性质，教师总结．预设的答案：（1）零向量的始点与终点相同,所以-=0；（2）--=（）a a；（3）()();+-=-+a a a a（4）若向量,a b互为相反向量，则0,,+==-=-a b a b b a设计意图：通过相反向量的概念及性质的学习，点通向量减法和加法之间的关系，融汇知识点，使学生更加方便理解概念.问题9：结合平面向量的数乘向量，能否给出空间向量数乘向量？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a ≠0时，λa 的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；②当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a .设计意图：通过数乘向量的概念及性质的学习，清楚数乘向量的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．例2 ：设AB 是空间中的任意一条线段，O 是空间中任意一点，求证：M 为线段中点的充要条件是1()2=+OM OA OB 师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案：因为M 为AB 中点⇔=AM MB ,1()2⇔-=-⇔=+OM OA OB OM OM OA OB ,所以结论成立．例3：如图1-1-10所示，三棱锥A -BCD 中，O 为CD 的中点，化简1()2+-AB BC DB ，并在图中作出表示化简结果的向量.师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案： 1()21=()2+-++=+=AB BC DB AB BC BD AB BOAO四、归纳小结，布置作业问题10：（1）什么是空间向量？空间向量的模？向量的始点和终点？（2）什么是零向量、单位向量？（3）什么是相等向量？相反向量？（4）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.（2）规定长度为0的向量叫零向量，记为0，模为1的向量叫单位向量．（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量记为－a ．（4）实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识．布置作业：教科书第11页练习A 2, 5题．五、目标检测设计1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查学生对空间向量的加法运算．2.化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．设计意图：考查学生对空间向量线性运算简单应用．3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →设计意图：考查学生对向量概念的理解．参考答案：1．D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→．③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]2．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0．]3．B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]。

3.1空间向量及其运算第1课时