单路口定周期鲁棒信号控制 -清华大学 李力教授
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Headway 2 Headway 3 Headway 4 Headway 5 Headway 6 Headway 7 Headway 8 Headway 9
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Time Headway (s)
- 18 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.1 问题的述和简化 通常我们考虑车辆总时延作为目标函数
- 19 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.1 问题的描述和简化
A reversed cause-effect approach (Liu et al., 2009)
- 20 -
0.5
Probability Density
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Headway (s)
- 10 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 我们发现：对数正态模型来源于 (1) 驾驶员的非对称行为: A driver acts differently according to whether he/she is accelerating or decelerating. During acceleration, a driver will be more cautious and make smaller changes in headway. On the contrary, he/she will be less sensitive to headway change during deceleration. (2) 随机行为: Drivers try to maintain a consistent headway; but in reality, drivers maintain a stochastic headway that fluctuates around an expected value. Empirical headway distribution is the steady distribution of this stochastic process.
- 17 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 进一步，我们可以计算前 k 个离开车头时距的和的分布， 来分析实际流率 Effective departure flow rate (Tan et al., 2013)
Tk hi
i 1 k
(3)
为此我们还需要解决两个问题: (a) 不同位置离开车头时距的相关特性 (b) 多个对数正态随机数的和的分布
- 26 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型
- 27 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型
(7)
- 28 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型 基于采样的求解方法 (从略)
- 29 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
- 24 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.0 单路口定周期定绿信比鲁棒控制 (Yin, 2008) 中提到的三种定时策略 1. 均值方差控制 Mean-Variance Control 2. 风险价值折衷 Value-at-Risk Tradeoff 3. 最差情况最优 Worst-Case Control
A.3.2 线性规划模型 一些补充证明: (1) 本质上，上述线性规划问题是个特殊的背包问题，可以 直接用贪心算法获得全局最优解 (Zhao et al., 2010) (2) 在很多情况下， 上述线性规划问题可以逐个周期递推求 解，仍可保证获得全局最优解 (Li et al., 2013)
新的思路: 逐个周期递推求解的其他好处？！
-5-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.1 交通需求的不确定性
-6-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性
行人入侵在发展中国家非常常见
-7-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 为了建模单路口交通供给的不确定性，我们对于离开车头 时距 Departure headway (HCM, 2010) 进行了建模
- 21 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.2 线性规划模型 我们的目标是总体时延最小 (4) 最大可用绿时约束 (5) 最小绿时约束 (6)
- 22 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.2 线性规划模型 车辆达到和离开的实际限制 (7)
(8)
- 23 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
(1)
-9-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 而对应的，高速公路交通流特性也符合速度相关的对数正 态分布(Chen et al., 2010)。因此两者存在着某种联系？！
0 m/s < velocity < 5 m/s 5 m/s < velocity < 7.5 m/s 7.5 m/s < velocity < 12.5 m/s 12.5 m/s < velocity < 15 m/s
- 13 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 仿真和实测吻合
0 m/s < velocity < 5 m/s
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probability Density
5 m/s < velocity < 10 m/s
-4-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.1 交通需求的不确定性 交通需求往往难以精确预知。目前的技术和资金条件还无 法让我们检查每辆车的具体轨迹。只有当一辆车靠近路口时 （例如通过某个位置的线圈之后） ，我们才能感知到该车辆 的存在，并将其记在需要满足的交通需求中 最简单的刻画交通需求不确定性的方法是：根据历史交通 需求数据，给出经验分布，以历史平均作为期望值 或者我们结合交通需求预测模型，估计交通需求
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 m/s < velocity < 15 m/s
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Time Headway (s)
- 14 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 仿真和实测吻合
(2)
Here, (0,1) is the scaling coefficient and p (0,0.5] denotes the tendency for the driver to overshoot and reach a headway that is shorter than preferred at time t T
用 HCM 手册提供的非线性经验公式计算时延，用抽样的 方式计算不同随机场景的效果
- 25 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型 随机规划模型的形式: 给定绿信比，求解不同的随机实现 情况下的平均效果最优
(9) 转 化 为 标 准 的 随 机 线 性 规 划 问 题 Recourse Constrained Two-Stage Stochastic Programming Problem
Startup lost time
Saturation headway
1
2
3 4 5 6 Vehicle position in a queue
7
2 ln x 1 f ( x) LN , x exp , x0 2 2 2 2 x
- 11 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 为此， 我们提出了 extended Tau theory model (Li et al., 2013)
T 1 with prob. p h(t ) h(t ) T 1/ 1 with prob. 1 p
L
x
h1
h2
h3
h4
0
t0
T
-8-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 统计显示，离开车头时距符合特性与位置分布有关的对数 正态分布 (Jin et al., 2009)
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Time Headway (s) 4 5 Headway 2 Headway 3 Headway 4 Headway 5 Headway 6 Headway 7 Headway 8 Headway 9
Simulated Distributions
- 15 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 而且该类微观模型可以产生多种复杂的宏观交通流现象.
Velocity (m/s)
Velocity (m/s)
6
40 20 0 8
40 20 0 8 7 6 5
4 5000 2 4000 3000 2000 0 1000 0
- 12 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 该模型实际上可以视为偏心加尔顿板模型 (Galton, 1889; Limpert et al., 2001).
Symmetric Galton board Normal distribution
Skew Galton board Log-Normal distribution
A.1. 研究意义和背景 A.2. 单路口交通流不确定性的来源 A.3. 单路口定周期最优信号控制 A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制 A.5. 小结
-3-
A.1. 研究意义和背景
A.1.1 单路口控制的研究意义 1. 在(周边)信息缺乏的情况下，单路口控制依然是很多发 展中城市经常使用的信号控制策略。 “一屋不扫，难平天下” 研究单路口控制有助于进一步研究多路口控制 即使是单路口控制， 仍然有一些东西我们还没有研究清楚： 例如，如何在模型中考虑交通供需的不确定性，并进行有针 对性的控制
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
Headway2 Headway3 Headway4 Headway5 Headway6 Headway7 Headway8 Headway9
4
5
0
1
2 3 Time Headway (s)
4
5
Empirical Distributions
4 3 2 4000 3000 1 0 1000 0 2000 5000
Offset (km)
Offset (km)
Time (s)
Time (s)
Simulated GP
Simulated WSP
- 16 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 车头时距分布模型既刻画了宏观上交通流的特性(流率)； 又刻画了中观中交通流的随机特性，乃至微观驾驶行为，因 此中观模型作为桥梁，联系起了微观和宏观的交通流模型 It indicates that asymmetric stochastic car-following behavior governs the shapes of departure headway distributions. This conclusion helps gather two kinds of headway distribution models under a unified umbrella.
单路口定周期鲁棒信号控制
李力
清华大学自动化系 2015 年 4 月
-1-
Thanks to:
Xuexiang Jin Fa Wang
Xiaoshan Peng Kaidi Yang
Yue Tong
Yi Zhang
Zuo Zhang
Lei Zhao
Zhiheng Li Jiyuan Tan
-2-
A.0. 概要
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Time Headway (s)
- 18 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.1 问题的述和简化 通常我们考虑车辆总时延作为目标函数
- 19 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.1 问题的描述和简化
A reversed cause-effect approach (Liu et al., 2009)
- 20 -
0.5
Probability Density
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Headway (s)
- 10 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 我们发现：对数正态模型来源于 (1) 驾驶员的非对称行为: A driver acts differently according to whether he/she is accelerating or decelerating. During acceleration, a driver will be more cautious and make smaller changes in headway. On the contrary, he/she will be less sensitive to headway change during deceleration. (2) 随机行为: Drivers try to maintain a consistent headway; but in reality, drivers maintain a stochastic headway that fluctuates around an expected value. Empirical headway distribution is the steady distribution of this stochastic process.
- 17 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 进一步，我们可以计算前 k 个离开车头时距的和的分布， 来分析实际流率 Effective departure flow rate (Tan et al., 2013)
Tk hi
i 1 k
(3)
为此我们还需要解决两个问题: (a) 不同位置离开车头时距的相关特性 (b) 多个对数正态随机数的和的分布
- 26 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型
- 27 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型
(7)
- 28 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型 基于采样的求解方法 (从略)
- 29 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
- 24 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.0 单路口定周期定绿信比鲁棒控制 (Yin, 2008) 中提到的三种定时策略 1. 均值方差控制 Mean-Variance Control 2. 风险价值折衷 Value-at-Risk Tradeoff 3. 最差情况最优 Worst-Case Control
A.3.2 线性规划模型 一些补充证明: (1) 本质上，上述线性规划问题是个特殊的背包问题，可以 直接用贪心算法获得全局最优解 (Zhao et al., 2010) (2) 在很多情况下， 上述线性规划问题可以逐个周期递推求 解，仍可保证获得全局最优解 (Li et al., 2013)
新的思路: 逐个周期递推求解的其他好处？！
-5-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.1 交通需求的不确定性
-6-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性
行人入侵在发展中国家非常常见
-7-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 为了建模单路口交通供给的不确定性，我们对于离开车头 时距 Departure headway (HCM, 2010) 进行了建模
- 21 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.2 线性规划模型 我们的目标是总体时延最小 (4) 最大可用绿时约束 (5) 最小绿时约束 (6)
- 22 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
A.3.2 线性规划模型 车辆达到和离开的实际限制 (7)
(8)
- 23 -
A.3. 单路口定周期最优信号控制
(1)
-9-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 而对应的，高速公路交通流特性也符合速度相关的对数正 态分布(Chen et al., 2010)。因此两者存在着某种联系？！
0 m/s < velocity < 5 m/s 5 m/s < velocity < 7.5 m/s 7.5 m/s < velocity < 12.5 m/s 12.5 m/s < velocity < 15 m/s
- 13 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 仿真和实测吻合
0 m/s < velocity < 5 m/s
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probability Density
5 m/s < velocity < 10 m/s
-4-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.1 交通需求的不确定性 交通需求往往难以精确预知。目前的技术和资金条件还无 法让我们检查每辆车的具体轨迹。只有当一辆车靠近路口时 （例如通过某个位置的线圈之后） ，我们才能感知到该车辆 的存在，并将其记在需要满足的交通需求中 最简单的刻画交通需求不确定性的方法是：根据历史交通 需求数据，给出经验分布，以历史平均作为期望值 或者我们结合交通需求预测模型，估计交通需求
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 m/s < velocity < 15 m/s
0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Time Headway (s)
- 14 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 仿真和实测吻合
(2)
Here, (0,1) is the scaling coefficient and p (0,0.5] denotes the tendency for the driver to overshoot and reach a headway that is shorter than preferred at time t T
用 HCM 手册提供的非线性经验公式计算时延，用抽样的 方式计算不同随机场景的效果
- 25 -
A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制
A.4.1 随机线性规划模型 随机规划模型的形式: 给定绿信比，求解不同的随机实现 情况下的平均效果最优
(9) 转 化 为 标 准 的 随 机 线 性 规 划 问 题 Recourse Constrained Two-Stage Stochastic Programming Problem
Startup lost time
Saturation headway
1
2
3 4 5 6 Vehicle position in a queue
7
2 ln x 1 f ( x) LN , x exp , x0 2 2 2 2 x
- 11 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 为此， 我们提出了 extended Tau theory model (Li et al., 2013)
T 1 with prob. p h(t ) h(t ) T 1/ 1 with prob. 1 p
L
x
h1
h2
h3
h4
0
t0
T
-8-
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 统计显示，离开车头时距符合特性与位置分布有关的对数 正态分布 (Jin et al., 2009)
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Time Headway (s) 4 5 Headway 2 Headway 3 Headway 4 Headway 5 Headway 6 Headway 7 Headway 8 Headway 9
Simulated Distributions
- 15 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 而且该类微观模型可以产生多种复杂的宏观交通流现象.
Velocity (m/s)
Velocity (m/s)
6
40 20 0 8
40 20 0 8 7 6 5
4 5000 2 4000 3000 2000 0 1000 0
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A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 该模型实际上可以视为偏心加尔顿板模型 (Galton, 1889; Limpert et al., 2001).
Symmetric Galton board Normal distribution
Skew Galton board Log-Normal distribution
A.1. 研究意义和背景 A.2. 单路口交通流不确定性的来源 A.3. 单路口定周期最优信号控制 A.4. 单路口定周期鲁棒信号控制 A.5. 小结
-3-
A.1. 研究意义和背景
A.1.1 单路口控制的研究意义 1. 在(周边)信息缺乏的情况下，单路口控制依然是很多发 展中城市经常使用的信号控制策略。 “一屋不扫，难平天下” 研究单路口控制有助于进一步研究多路口控制 即使是单路口控制， 仍然有一些东西我们还没有研究清楚： 例如，如何在模型中考虑交通供需的不确定性，并进行有针 对性的控制
0.8 0.7 Probability Density 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
Headway2 Headway3 Headway4 Headway5 Headway6 Headway7 Headway8 Headway9
4
5
0
1
2 3 Time Headway (s)
4
5
Empirical Distributions
4 3 2 4000 3000 1 0 1000 0 2000 5000
Offset (km)
Offset (km)
Time (s)
Time (s)
Simulated GP
Simulated WSP
- 16 -
A.2. 单路口交通流的不确定性
A.2.2 交通供给的不确定性 车头时距分布模型既刻画了宏观上交通流的特性(流率)； 又刻画了中观中交通流的随机特性，乃至微观驾驶行为，因 此中观模型作为桥梁，联系起了微观和宏观的交通流模型 It indicates that asymmetric stochastic car-following behavior governs the shapes of departure headway distributions. This conclusion helps gather two kinds of headway distribution models under a unified umbrella.
单路口定周期鲁棒信号控制
李力
清华大学自动化系 2015 年 4 月
-1-
Thanks to:
Xuexiang Jin Fa Wang
Xiaoshan Peng Kaidi Yang
Yue Tong
Yi Zhang
Zuo Zhang
Lei Zhao
Zhiheng Li Jiyuan Tan
-2-
A.0. 概要