高考数学空间向量与立体几何总复习

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2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》

§8.5

空间向量及其运算

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习

新《空间向量与立体几何》专题

一、选择题

1．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为α，SE 与平面ABC D 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则（）

A ．αβγ≤≤

B ．βαγ≤≤

C ．a βγ≤≤

D ．γβα≤≤

【答案】C 【解析】【分析】

根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小. 【详解】

四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，所以四棱锥为正四棱锥，

（1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接

SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SN NE OM

α==；

（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OE

β=

;

（3）连接OM ，则tan SO

γ=

，如下图（3）所示：

因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥，而,,αβγ均为锐角，所以,αγβ≥≥ 故选：C. 【点睛】

本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．27

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】

几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333

2023年高考数学三轮复习立体几何与空间向量(解析版)

查补易混易错点05立体几何与空间向量

1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α. 2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面

积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数1

3.作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．

4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．

5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系．

6．几种角的范围

两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°；

直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°；

平面与平面夹角：0°≤θ≤90°.

7．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．

1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：

A．秋千绳与墙面始终平行

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：空间向量与立体几何

必刷大题14空间向量与立体几何

1．(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为22.

(1)求A 到平面A 1BC 的距离；

(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1＝AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求平面ABD 与平面BCD 夹角的正弦值．

解(1)设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，

因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为4，

所以1A A BC V -＝13

S △ABC ·AA 11111433

ABC A B C V -==，又△A 1BC 的面积为22，

1113

A A BC A BC V S h -=△＝13×22h ＝43，所以h ＝2，

即点A 到平面A 1BC 的距离为2.

(2)取A 1B 的中点E ，连接AE ，

则AE ⊥A 1B .

因为平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，AE ⊂平面ABB 1A 1，所以AE ⊥平面A 1BC ，

又BC ⊂平面A 1BC ，所以AE ⊥BC .

又AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，

所以AA 1⊥BC .

因为AA 1∩AE ＝A ，AA 1，AE ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，

又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB .

以B 为坐标原点，分别以BC →，

BA →，BB 1—→的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由(1)知，AE ＝2，

高考数学复习重难点03 空间向量与立体几何(解析版)-2021年高考数学专练(新高考)

重难点 03 空间向量与立体几何

【高考考试趋势】

立体几何不管新旧高考中都是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点。新高考中不分文理，主要考查简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题，有关角的问题；另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图有所弱化；选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题。前面的热点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对新高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强。本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识

。

【知识点分析及满分技巧】

基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长。要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角。

有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求。

内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求。

求点到平面的距离问题：采用等体积法。

求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高。

对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求，但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）已知，是两条不重合的直线，是一个平面且，则“a b βb β⊂”是“”的（）

第1章空间向量与立体几何(复习小结课件)-人教A版高中数学选择性必修第一册

（Ⅰ）依题意， C1M 1,1,0 ， B1D 2, 2, 2 ，从而 C1M B1D 2 2 0 0 ，所以 C1M B1 D ；
（Ⅱ）依题意， CA 2,0,0 是平面 BB1 E 的一个法向量， EB1 0, 2,1 ， ED 2,0, 1 ．
又 MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD.
(2)由(1)知,P(0,0,a),C(b,a,0),M
∴=(b,a,-a), =

,0,-
2

,0,0
2
,D(0,a,0),
, =(0,a,-a).
设平面 PMC 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),
1 + 1 -1 = 0,
2 -2 = 0,
2 · = 0,
= 0,
∴ 2 = .令 z2=1,则 n2=(0,1,1).
2
2
∵n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,
∴平面 PMC⊥平面 PDC.
归纳总结
利用空间向量证明平行、垂直关系的方法
(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可.
（Ⅰ）求证： C1M B1 D ；
（Ⅱ）求二面角 B B1 E D 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值．
真题展示

2024年高考数学复习大题全题型专练：空间向量与立体几何(解析版)

专题9立体几何中的探索性问题

1．

（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱

111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为

(1)求A 到平面1A BC 的距离；

(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB ，平面1A BC 平面11ABB A ，求二面角A BD C 的正弦值．

【答案】

(2)2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

(1)在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，

则1111111111433333

A A BC A A ABC A ABC A

B B

C C C B V S h h V S A A ，

解得h

所以点A 到平面1A BC ；

(2)

取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB ，所以1AE A B ,

又平面1A BC 平面11ABB A ，平面1A BC ∩平面111ABB A A B ，

且AE 平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，

在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB 平面ABC ，

由BC 平面1A BC ，BC 平面ABC 可得AE BC ，1BB BC ，

又1,AE BB 平面11ABB A 且相交，所以BC 平面11ABB A ，

所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1

）得AE 12AA AB

，1A B 2BC ，

则 10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点 1,1,1D ，

空间向量与立体几何 2024高考题目及答案

2024年高考题目及答案：空间向量与立体几何

【引言】

2024年高考数学试题中，空间向量与立体几何是一个重要的考点。

在此次试题中，考查了空间向量的定义、运算和应用，以及立体几何

中的线面交角、直线方程和平面方程等内容。本文将对这些题目进行

具体分析和解答，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。

【题目一：空间向量的定义和运算】

题目描述：已知点A(1, 2, -3)、B(4, -1, 2)，向量AB可以表示为OA

减去OB。求向量AB的模长和方向余弦。

解答：

首先，根据向量的定义，向量AB可以表示为OB减去OA，即AB = OB - OA。

则有向量AB = (4, -1, 2) - (1, 2, -3) = (4-1, -1-2, 2-(-3)) = (3, -3, 5)。

其次，求向量AB的模长，使用模长的定义：|AB| = √(3^2 + (-3)^2

+ 5^2) = √(9 + 9 + 25) = √43。

最后，利用方向余弦的定义，设向量AB与空间坐标轴的夹角为α、β、γ，则有：

cosα = 3 / √43，cosβ = -3 / √43，cosγ= 5 / √43。

【题目二：空间向量的应用】

题目描述：在空间直角坐标系中，已知向量a = (3, 0, 4)，向量b = (1, -2, 2)。求向量a与向量b的数量积、向量积和夹角。

解答：

首先，求向量a与向量b的数量积，使用数量积的定义：a·b = 3*1 + 0*(-2) + 4*2 = 3 + 0 + 8 = 11。

高考数学空间向量与立体几何总复习

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建

二、课标及考纲要求

三、知识要点及考点精析

（一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算

（1）空间向量的加法、减法和数乘运算

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ；

②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ；

③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）．（2）空间向量的基本定理

① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使

λa =b ．

② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ．

③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a+b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．（3）两个向量的数量积

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系

最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

，π

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

概念方法微思考

1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？

提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．

2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？

提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．

题组一思考辨析

二轮复习通用版专题3第3讲立体几何与空间向量课件(72张)

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专题三立体几何
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(2)如图，以点 D 为原点建立空间直角坐标系，BD＝ 3，则 A(1，0，0)，B(0， 3，0)，P(0，0， 3)，则A→P＝(－1，0， 3)，B→P＝(0，－ 3， 3)，D→P＝(0，0， 3)，设平面 PAB 的法向量 n＝(x，y，z)，则有nn··BA→→PP＝＝－－x＋3y＋3z＝3z0＝0，
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5 ． (2022·浙江卷 ) 如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， AB∥DC ， DC∥EF ， AB ＝ 5 ， DC ＝ 3 ， EF ＝ 1 ， ∠BAD ＝ ∠CDE ＝ 60°，二面角F－DC－B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．
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【解析】 (1) 连接 BD ，因为 PD⊥ 底面 ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则 AM⊥PD ，又 AM⊥PB ， PB∩PD ＝ P ， PB，PD⊂平面PBD，
所以 AM⊥ 平面 PBD ，又 BD⊂ 平面 PBD ，则 AM⊥BD，
所以∠ADB＋∠DAM＝90°，
4 ．(2022·全国乙卷 ) 如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．

空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一123a a i a j a k =++，有序实数组123,,)a a a 叫作向量a 在空间中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐二、空间向量的直角坐标运算律

1）若12(,,a a a =12(,,b b b =则1133(,)a b a b a a b +=++，

1123(,)a b a b a b -=---，1(,a a λλλ=1233//,()a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,A x y z 222,,)x y z ，则2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）//a b b a λ⇔=123

()b b R b λ=⎧⎪

⇔=∈⎨⎪=⎩

三、空间向量直角坐标的数量积

设b a ,是空间两个非零向>

21|a a a x =⋅=+、两点间的距离公式：若2

21|(AB AB x x ==-2,212()(A B d x x y =-+

cos ||||

a b

b a b ⋅=

⋅．注：①2

2|a a a a =⋅=。空间向量数量积的性质：

高考数学知识点总结之空间向量与立体几何

2019高考数学知识点总结之空间向量与立体几

何

一、考点概要：

1、空间向量及其运算

(1)空间向量的基本知识：

①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：

ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量(平行向量)：

ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线;

数量积，记作，即：。

ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。

ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积(或内积)，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。

ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影(其中为向量和的夹角)。

即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。

ⅴ基本性质：

ⅵ运算律：

(2)空间向量的线性运算：

①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：

②加法：

③减法：

④数乘向量：

⑤运算律：

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.7

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

2025版新高考版高考总复习数学专题八立体几何与空间向量空间点、线、面的位置关系

2025版新高考版高考总复习数学8.2 空间点、线、面

的位置关系

五年高考

考点空间点、线、面的位置关系

1.(2019上海春,15,5分,中)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足:a ⊂α,b ⊂β,c ⊂γ,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系 ( )

A.两两垂直

B.两两平行

C.两两相交

D.两两异面答案 B

2.(2018课标Ⅱ理,9,5分,中)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为 ( )

A.1

5 B.√56

√5

√2

答案 C

3.(2018课标Ⅰ理,12, 5分,难)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ( )

3√3

4 B.

2√3

3√2

√32

答案 A

4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=1,点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( ) A.当λ=1时,△AB 1P 的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P -A 1BC 的体积为定值 C.当λ=12

时,有且仅有一个点P ,使得A 1P ⊥BP D.当μ=1

2时,有且仅有一个点P ,使得A 1B ⊥平面AB 1P 答案 BD

5.(2023全国甲理,15,5分,难)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为AB ,C 1D 1的中点.以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

第一章空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）

1.空间向量基本概念

空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB

.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .

单位向量：模为1的向量叫作单位向量.

相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a

共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.

2.空间向量的线性运算

空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理

（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a

平行的非零向量称为直线l 的方向向量.

（2）共线向量基本定理：

对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ

（3）共面向量：

如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a

平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a

平行于平面α.

平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.

（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p

与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .

4.空间向量的数量积

（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==

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