正交变换及其快速算法

其中X 1 (k ) x1 (r )W
r 0 N 1 2 r 0
N 1 2
rk N 2
x(2r )W
r 0 N 1 2 r 0
N 1 2
rk N 2
N 0 k 1 2
rk N 2
X 2 (k ) x2 (r )W
rk N 2
x(2r 1)W
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n o ( N / 2 ) 1
[ x(n) (1) x(n N / 2)]W N
k 2 nr N nr
nk
n o ( N / 2 ) 1 n o
[ x(n) x(n N / 2)]W
[ x(n) x(n N / 2)]W N / 2
6
X (2r 1)
3.1.3 IFFT的运算方法
1 IDFT : x(n) IDFT [ X (k )] N
X (k )W N , n 0,1,..., N 1
N 0 k 1 2
这样，一个N点的DFT被分解成两个N/2点的DFT
利用W因子的特性 N N k 可得X ( k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1,, 1 2 2
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分解后的计算量： N N 2 N2 每一个 点的DFT需要( ) 次复乘 2 2 4 N N 两个 点的DFT合成为N点DFT需要 次相乘 2 2 N 2 N N N2 则一共需要2 ( ) ＋ ( N 1) 次复乘 2 2 2 2
( N / 2 ) 1

n 0 ( N / 2 ) 1
x1 (n)W N / 2 x2 (n)W N / 2
nr
nr

n 0
结论：对于任何一个2的整数幂N 2 M ，总可以通过M次 的分解完全成为2点的DFT运算 N 每一级运算由 个蝶形运算构成(与DIT 相似) 2
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由于N 2 M 可对 N 2 点DFT 再作分解 x1 (2l ) x3 (l ) N l 0,1,, 1 4 x1 (2l 1) x4 (l ) X 1 (k ) X 3 (k ) WN2 k X 4 (k ) N 可得 N k 0,1,, 1 2k X 1 ( k ) X 3 (k ) WN X 4 (k ) 4 4
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结论：对于任何一个2的整数幂N 2 M ，总可以通过M次 的分解完全成为2点的DFT运算 N 每一级运算由 个蝶形运算构成 2
总运算量： N N 复乘数mF M log 2 N 2 2 复加数aF N M N log 2 N
总结：FFT算法的两个特点 1) 原位运算 即每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中 2) 变址 输入倒序，输出顺序，存在“码位倒置”
k
kn
k ( n N )
(2)对称性： WN
( k N 2)
FFT算法分类： 1) 按时间抽取(DIT) 2) 按频率抽取(DIF)
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3.1.1 按时间抽取(DIT)的FFT
序列x(n)按奇偶分为两组 x(2r ) x1 (r ) N r 0,1,, 1 2 x(2r 1) x2 (r )
( N / 2 ) 1 n o ( N / 2 ) 1 n o
[ x(n) x(n N / 2)]W
( 2 r 1) n N n rn
[ x(n) x(n N / 2)]W N W N / 2
x1 (n) x(n) x(n N / 2) N 令 1 n n 0,1, , 2 x2 (n) [ x(n) x(n N / 2)]W N X ( 2r ) 得 X (2r 1)
x(n)W N
N 1
nk
x(n N / 2)W N
( n N / 2) k

n o
[ x ( n) W N
( N / 2) k
x(n N / 2)]W N
nk
将X (k )分解为偶数组和奇数组 X (k )
( N / 2 ) 1

X (2r )
nk X (k ) DFT [ x(n)] WN N 1 n 0

2 rk ( 2 r 1) k x(2r )WN x(2r 1)WN r 0 N 1 2 r 0 r 0 N 1 2 r 0
n为偶数 N 1 2
nk x ( n ) W N ＋
n1 快速傅里叶变换(FFT)
FFT是运算离散傅里叶变换( DFT )的快速算法 定义式为X (k ) x(n)W N , k 0,1,, N 1
nk n 0 N 1
利用W因子的两个特性： (1)周期性： WN
(k N )n
W N W N W N
nk x ( n ) W N
2 rk k 2 rk x1 (r )WN WN x ( r ) W 2 N
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2 rk rk 由WN WN 2 rk k rk 得X (k ) x1 (r )WN W x ( r ) W 2 N 2 N 2 r 0 r 0 k X 1 ( k ) WN X 2 (k ) N 1 2 N 1 2
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3.1.2 按频率抽取(DIF)的FFT
序列x(n)按前后对半分开 X (k )
( N / 2 ) 1 n o ( N / 2 ) 1 n o ( N / 2 ) 1
x(n)W N
nk
x(n)W N
nk
n N / 2 ( N / 2 ) 1 n o