浙江专版高中数学第二章推理与证明2.1.2反证法学案新人教A版选修2_2

2．1.2 反证法

预习课本P89～91，思考并完成下列问题

(1)反证法的定义是什么？有什么特点？

(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？

[新知初探]

1．反证法的定义及证题的关键

[点睛] 对反证法概念的理解

(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．

(2)反证法属“间接解题方法”．

2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系

(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．

(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )

答案：(1)√(2)×(3)√

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )

①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④

C．①②③ D．②③

答案：C

3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )

A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．至少有一个正数

D．两个都是负数

答案：C

4．用反证法证明“如果a＞b，那么3

a＞

3

b”，假设的内容应是________．

答案：3

a≤

3

b

用反证法证明否定性命题

[典例] 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．

[证明] 假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，

即a＋c＋2ac＝4b.

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，

∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

1．用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

2．用反证法证明数学命题的步骤

[活学活用] 已知f (x )＝a x

＋

x －2

x ＋1

(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2

x 0＋1

， 由0＜ax 0＜1⇒0＜－

x 0－2

x 0＋1

＜1， 解得1

2＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，

故方程f (x )＝0没有负数根．

用反证法证明“至多”“至少”问题

[2

2

2

＝0，x 2

＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．

[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：

⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2

－4－4a ＋3＜0，a －12－4a 2

＜0，2a 2＋4×2a ＜0

⇒

⎩⎪⎨⎪⎧

－32＜a ＜12

，a ＞1

3或a ＜－1，⇒－32

＜a ＜－1，

－2＜a ＜0.

这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．

[一题多变]

1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2

＋(a －1)x ＋a 2

＝0，x 2

＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？

解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧

16a 2

－43－4a ＜0，a －12－4a 2

＜0，

4a 2＋8a ＜0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

－32＜a ＜12

，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，

－2＜a ＜0.

故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⎪

⎪⎪

a ≥－1或a ≤－

3

2. 2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．

解：假设三个方程都有实数根，则

⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2

－4－4a ＋3≥0，a －12－4a 2

≥0，2a 2＋4×2a ≥0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2

＋4a －3≥0，3a 2

＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤－3

2

或a ≥1

2

，

－1≤a ≤13

，

a ≤－2或a ≥0.

即a ∈∅.

所以实数a 的取值范围为实数R.

3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，

b ，

c ，

d 中至少有一个是负数．

证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.

而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，