《概率论与数理统计》课件之18

( )
n n 2 2 2 E(S ) = E Sn = ESn = σ n 1 n 1
2
例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
求这组样本值的均值,方差,二阶原点 矩与二阶中心矩. 解 令
简单随机样本 若总体 X 的样本 ( X1, X2 ,, Xn ) 满足: (1) X1, X2 ,, Xn 与X 有相同的分布 (2) X1, X2 , Xn 相互独立 , 则称 ( X1, X2 ,, Xn )为简单随机样本. 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
N / n ≥ 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为F (x),则样本
( X1, X2 ,, Xn ) 的联合分布函数为
F总(x1, x2 ,, xn ) = ∏F(xi )
i=1
n
若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为
f总(x1, x2 ,, xn ) = ∏ f (xi )
n
2 与样本二阶中心矩
S 的不同
n 2 S = Sn n 1
2
n 2 2
2 n
推导
n
∑(X X ) = ∑(X
i=1 i
= ∑X 2X ∑Xi + ∑X = ∑X 2nX + nX
i=1 2 i 2 i=1 i=1 i=1 2 i 2
n
i=1 n
i
2Xi X + X )
n 2
2
= ∑X nX = n( A2 X ) i=1 2 2 n n 2 2 ( A2 X ) = Sn 故 B2 = A X S = 2 n 1 n 1
i=1
n
统计量 定义 设( X1, X2 ,, Xn ) 是取自总体X 的一个 样本, g(r1, r2 ,, rn ) 为一实值连续函数,且不含有未知参数, 统计量. 统计量 则称随机变量g( X1, X2 ,, Xn )为统计量 若(x1, x2 ,, xn )是一个样本值,
g(x1, x2 ,, xn ) 称 为统计量 g( X1, X2 ,, Xn ) 的一个样本值
常用的统计量
设 ( X1, X2 ,, Xn ) 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量
(1)
(2)

1n X = ∑Xi n i=1
1 n S2 = ∑ Xi X n 1 i=1
1 n S= ∑ Xi X n 1 i=1
为样本均值 样本均值
(
)
)
2
为样本方差 样本方差 为样本标准差 样本标准差
2
53.8 52 50.8 52 = Φ Φ 6.3/ 6 6.3/ 6 =Φ(1.7143) Φ(1.1429)
= 0.8239
�
1 2 A2 = ∑xi = 47522.5 10 i=1
9 2 1 10 2 B2 = s = ∑(xi x) = 390.0 10 10 i=1
10
中,随机抽取一个容量 例2 在总体 N(52, 6.3 ) 为36的样本,求样本均值 X 落在50.8到53.8 之间的概率. 解 X ~ N(52, 6.32 / 36) 故 P(50.8 < X < 53.8)
《数理统计》 数理统计》
第六章 数理统计的基本概念
数 理 统 计 的 分 类
描述统计学——
对随机现象进行观测,试验, 以取得有代表性的观测值
推断统计学——
对已取得的观测值进行整理, 分析,作出推断,决策,从而 找出所研究的对象的规律性
数参估计 (第七章)
推断 统计学
假设检验 (第八章) 方差分析 回归分析
§ 6.1 基本概 念 总体和样本
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指 标的全体,它是一个随机变量(或多维随机 变量).记为X . X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 Xi 表示. 样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X1, X2 ,, Xn ) 表示, n 为样本容量. 称 (x1, x2 ,, xn )为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值. 样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
(
2
1 k (3) Ak = ∑Xi n i=1
n
为样本的k 阶原点矩 原点矩
k 1 n 中心矩 (4) Bk = ∑ Xi X 为样本的k 阶中心矩 n i=1
(
)
例如
A =X 1
2 n 1 2 1 2 B2 = S = ∑ Xi X = Sn n n i=1 n
(
)
注 样本方差 S
1) 关系式 )
(x1, x2 ,, x10)
228, 196, 235, 200, 199 )
= ( 210, 243, 185, 240, 215,
1 则 x = (230 + 243+185+ 240 + 215 10 + 228 +196 + 235 + 200 +199) = 217.19
1 10 2 2 s = ∑(xi x) = 433.43 9 i=1
例 X ~ N(,σ ) , ,σ 是未知参数, ( X1, X2 ,, Xn ) 是一样本, 则
2 2
1 X = ∑Xi , n i=1
1
n
n
2 1 S = ∑ Xi X n 1 i=1 2
n
(
)
是统计量, 其中 Xi ~ N(,σ )
2
但
σ
2
∑( Xi ) 不是统计量.
2 i=1
若 ,σ 已知,则为统计量
2 i 2
n
2
n 1 2 σ 2) E(S ) = ) n
2 n
E(S ) = σ
2
2
2
则 推导 设 E( X ) = , D( X ) = σ 1 n = 1 2 E( X ) = E ∑Xi D(X ) = σ n n i=1 2 1 n 2 2 2 E(Sn ) = EA2 E X = E ∑Xi [D( X ) + E ( X )] n i=1 n1 2 2 2 1 2 2 =σ + σ + = σ n n