概率讲义 6.1

n 2
( 2)
σ 但不是统计量,因其中σ未知.
i =1
∑(
n
xi − µ
σ
) ,
2
X1
σ
+
X2
, 等为样本( X 1 , X 2 ,..., X n )的函数,
练习
设( X 1 , X 2 ,..., X n )来自均匀总体U (a, b),
n i =1
试问T = ∑ ( 答案点击 :
xi − a )是否为统计量 ? b−a
⎛ 1 ⎞ i =1 ⎛ 3 ⎞ P{( X 1 = x1 , X 2 = x 2 ,..., X n = xn )} = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ xi = 0,1 i = 1,2 ,..., n
∑ Xi
n
n− ∑ X i
i =1
n
,
(2)
设总体X具有概率密度f ( x ),则样本( X 1 , X 2 ,..., X n )的 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∏ f ( xi )
= 1090.9
(2) 例
当n = 2 k + 1 ⎧ X ( k +1) ⎪ mn = ⎨ 1 (1.7) 样本中位数 ⎪ ( X ( k ) + X ( k +1) ) 当n = 2k ⎩2 某工厂制作一种线圈, 为控制生产过程保持稳定, 从产品中任
取10件, 测定其阻抗值X (单位 : 欧姆)所得数据如下 : 15.3 13.0 16.7 14.2 14.5 14.5 15.9 15.0 15.1 16.4 试求 : (1)样本中位数mn的值 (2)若取第11件数据为15.2, 此时mn又为何值 解 : 先将所得数据按从小到大顺序排列为
则样本( X 1 , X 2 ,..., X n )的概率分布为 P ( X 1 = xi1 , X 2 = xi2 ,..., X n = xin ) = ∏ P X = xik = ∏ pik
i =1 i =1
{
}
n
{
}
n
( 1.2 )
例1.3
设总体X服从两点分布
1− x
P{X = x} = p x (1 − p )
(1) (2)
若a , b均已知,则T为统计量; 若a或b未知,则T不为统计量;
2.
顺序统计量 设( X 1 , X 2 ,..., X n )为总体X的样本, 把它们按从小到 ( 1.4 )
定义1.4
大的次序排列为 X ( 1 ) ≤ X ( 2 ) ≤ ... ≤ X ( n ) 称X ( k )为第k个顺序统计量( 1 ≤ k ≤ n ) 注1
X = 27.75 mn = 24 + 26 = 25 2
4.
描述样本数据分散程度的统计量 反映样本数据分散程度的统计量实际上反映了总体取值的
分散程度,常用统计量有以下几种 : (1) 样本极差 R = X (1) − X ( n ) 如在例1.10中, 样本极差R = 8 − 2 = 6 (2) 样本方差
X ( k ) 意味着在n个数据中, 恰有k个数据不超过它,
即超过它的恰有n − k个数据,因此,易见 X ( 1 ) = min{X 1 , X 2 ,..., X n } X ( n ) = max{X 1 , X 2 ,..., X n }
注3 (1) Biblioteka 2)例1.6若已知 总体X具有分布函数F ( x ),由概率论知识知 X ( 1 )的分布函数为 X ( n )的分布函数为
2
( 1.8 )
1 n 2 S = ( X − X ) ∑ i n − 1 i =1 1 如要例1.7中, S 2 = [( 140 − 144 )2 + ( 150 − 144 )2 + ( 155 − 144 )2 4 ( 130 − 144 )2 + ( 145 − 144 )2 = 113.5
n ⎧ − αxi n ⎪∏ 1 − e F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∏ F ( xi ) = ⎨ i =1 i =1 ⎪0 ⎩
x>0 x≤0
xi > 0,i = 1,2 ,..., n 其它
n
,
密度函数为 : f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ∏
i =1 n −α ∑ X i ⎧ n − αxi n = α e i =1 ⎪∏ αe f ( xi ) = ⎨ i =1 ⎪0 ⎩
那么其中每一个值出现的次数如下 :
易见 , 众数为6.
练习
今从肖伯纳 < An Intelligen t Woman ' s Guide To Socialism >
一书中 ,随机取出 20 个句子 , 这些句子的单词数分别 为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30 试问该书中一个句子的 均值 ,中位数 , 近似为多少 ?( 点击 )
xi > 0 ,i = 1,2 ,..., n 其它
二 统计量
1. 统计 量定义 设( X 1 , X 2 ,..., X n )为总体的一个样本, 不含任何未 定义1.3 知参数的样本的函数T = T ( X 1 , X 2 ,..., X n )称为统计量, 其中T为连续函数. 对样本( X 1 , X 2 ,..., X n )作一次观察, 观察值为( x1 , x 2 ,..., x n ) , t = T ( x1 , x 2 ,..., x n )称为统计值.
则称X ( 1 ) , X ( 2 ) ,..., X ( n )为原样本( X 1 , X 2 ,..., X n )的顺序统计量 , 顺序 统计量保留了原样本的数据信息.只去掉了不太重
要的得到数据的顺序信息,若样本值为x1 , x 2 ,..., xn ,则按从小到 大顺序排列后得到顺序统计值 x( 1 ) ≤ x( 2 ) ≤ ... ≤ x( n ) 注2 ( 1.5 )
试求三次观察的顺序统计值 解 : 将上述表中数据按从小到 大排列,即得顺序统计值 如表 :
x( k ) X(k ) X (1) X(2) X( 3) X(4) X(5)
1 2 3
1 2 3
3 2 5
5 6 8
6 7 9
10 8 10
3
描述样本的中心位置的统计量 (1)样本均值 1 n X = ∑ Xi n i =1 (1.6)
§ 6.1
总体与样本
一 总体与样本 1..总体与个体 2..简单随机样本 3.样本的分布 二 统计量 1.统计量定义 2.顺序统计量 3.描述样本的中心位置的统计量 4.描述样本数据分散程度的统计量 5.样本矩 三 样本均值与样本方差的简算公式 1.简单的笔算 2.列表计算 3.利用计算器计算 4.利用计算机软件计算
( x1 , x 2 ,..., x n )称为样本值 . 3 样本的分布 若总体 X的分布函数为 F ( x ), 则样本 ( X 1 , X 2 ,..., X n )的分布函数为 F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ∏ F ( x i )
∗ i =1 n
(1.1)
(1)
若总体X具有概率分布P{X = xi } = pi ,i = 1,2 ,..
1 n 观察值 x = ∑ xi , 样本均值处于样本的中间位置, n i =1 它可以反映总体的分布的均值. 例 从某种合金强度总体中抽取容量5的样本, 其观察值为 140 150 155 130 145 试求其样本均值. 解:
X = ( 140 + 150 + 155 + 130 + 145 ) / 5 = 144
例
下表是经过整理的分组数据表给出了110个电子元件的
200 6 600 28 1000 1400 1800 2200 2600 3000 37 23 9 5 1 1
失效时间 :
组中值 xi 频数 fi
那么, 平均失效时间近似为
X =
i =1 n
∑ f i xi
i =1
n
∑ fi
=
1 ( 200 × 6 + 600 × 28 + ... + 3000 × 1 ) 110
mn = X ( 6 ) = 15.1
(3)
众数(mod) 数据中最常出现的值 ,即为众数 ,即是样本中出现可能
性最大的值 ,不过它可能不唯一. 例1.10
数值 出现次数
现有一数据集合 : {2 ,3,3,3,3,4 ,4 ,5,6 ,6 ,6,6,6,7 ,7 ,8},
2 1 3 4 4 2 5 1 6 5 7 2 8 1
i =1 n
概率密度为 : ( 1.3 )
例1.4
设 总体X服从参数为α 的指数分布Z (α ), 试求
样本( X 1 , X 2 ,..., X n )的分布函数与密度函数. 解 : 因为X ~ Z ( α ),
⎧1 − e −αx ⎧αe −αx x>0 , f(x)= ⎨ 故 F( x ) = ⎨ x≤0 ⎩0 ⎩0 故( X 1 , X 2 ,..., X n )的分布函数为 :
如班上的学生与同学甲.
2 简单随机样本（子样）
定义1.2 设X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体 X的容量为 n的子样 , 如果 X 1 , X 2 ,..., X n 满足 : (1) X 1 , X 2 ,..., X n 相互独立 ; ( 2) X 1 , X 2 ,..., X n 与X具有相同的分布 . 则称 X 1 , X 2 ,..., X n 为总体 X的简单随机样本 , 简称子样或样本 . 注1 注2 样本容量 n较大时 , 称样本为大样本 , n较小时 , 称为小样本 . 对样本 ( X 1 , X 2 ,..., X n )作一次观察所得实数值