浅谈数学结合思想在高中数学中的应用

浅谈数学结合思想在高中数学中的应用
王仪
〔摘要〕：本文主要论述如何用数与形结合的方法来解答高中的一些题目。

众所周知，数指的是数据和式子，形指的是我们所学过的几何图形（到高中阶段为止）。

如何把它们有机地结合起来是本文论述的重点。

数形结合，是求解数学问题的一种常用的思维方法，在教学中应该引导学生创设数形结合的情景，使学生形成由形思数、由数想形相互渗透的思想，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来，从而开拓学生的解题思路，发展形象思维能力。

本文试举例说明数形结合思想在解决数学问题中的作用。

一、“由数化形”
根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

例1． 不等式>-x x 32 4
的解集是
解：分别画出函数x y 2=与4=y 的图象（图1）以看出满足不等式>-x x 32的解集是：}{41>-<x x 或。

〔评注〕：直观、简捷，若用代数法解，把不等式>-x x 324化为>-x x 32 4
或<-x x 32-4来求解，则较为抽象繁琐。

例2.直线y=2x+m 与曲线
y
恰有一个公共点，则m 恰有两个公共点时，m 解：分别作出直线y=2x+m 29x y -=的图象（图4）可知，-3<x ≤3恰有一个公共点，此时-6≤53=m ；恰有两个公共点时，6≤53<m 。

〔评注〕：“动”是绝对的，“静”
是相对的，这是自然规律，也是一条
重要的数学思想。

通过平移直线，运
用点到直线的距离公式，就得出所求的值。

例3：求函数y=84122+-++x x x 最小值
分析：由题意可知，函数的定义域为R ，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决
解
：()()()()222222202100841-+-+-+-=+-++=x x x x x y 令 A (0,1) ， B(2,2) ， P(X,0) Y
则问题化为:在X 轴求一点P(X,0)使得
B P A P +取最小值 Ａ关于Ｘ轴的对称点为Ａ′（０，－１） )(B P A P +∴min ＝B A '＝()()13120222=++-
注：此题也可这样问：当x 取何值时y=84122+-++x x x 的值最小，X 的取值是直线A ′B 与x 轴的交点横坐标。

总结评述：代数问题几何化，问题变得容易解决。

二、“由形化数”
所谓形向数转化的问题就是如果用几何的角度来解或证明较为困难时且题目中的条件又容易转化成代数问题，于是便用代数法来求解。

现举例说明。

例1．在平行四边形ABCD 中，∠A 是锐角，且4422AD AB BD AC +=⋅，求证： 45=∠A
分析：这个题目从几何角度来证明难度很大，因为题中条件有限：∠A 是锐角，且4422AD AB BD AC +=⋅，而AC 、BD 、AB 、AD 又不能在同一三角形中有机的结合起来，这就给证明带来困难，但借助代数法中根与系数的关系和余弦定理，此题便可较快的解答了，现解答如下：
证明：如图10，设AB=a,
AD=b,AC=m,BD=n,则∠A
且),(22222b a n m +=+ 4422b a n m +=⋅
X
A ′(0,-1)
由根与系数关系可知：
2m 、2n 是方程
0)(244222=+++-b a x b a x 的两根，ab b a x 222±+=∴，又∠A 是锐角，n<m, ab b a n 2222-+=∴,
由余弦定理，得A ab b a n cos 2222-+=，
从而得到cosA=2
2, 45=∠∴A 〔评注〕：代数法的引入大大简化题中隐含的难度“系数”。

三、“数形转换”
根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

例1：函数2
cos 2sin -+=x x y 的值域。

分析：本题可以把函数化为关于x 的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度。

此题可看成过两点M （x x sin ,cos ）,)2,2(-P 构成直线的斜率的范围，又M （x x sin ,cos ）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域。

解：2cos 2sin -+=
x x y 的形式类似于斜率公式1212x x y y k --= 2
cos 2sin -+=x x y 表示过两点M （x x sin ,cos ）,)2,2(-P 构成直线的斜率 由于点M 在单位圆122=+y x 上，如图，
显然PB PA k y k ≤≤，设过P 的圆的切线方程为)2(2-=+x k y M
则有112
22=++k k ，解得3
74±-=k ，即374--=PA k ， 374+-=PA k ∴--≤≤-+473473
y ∴函数值域为，[
]---+473473
评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，考查学生的数形结合的能力。

在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。

例2设A={|2}x x a -≤≤，B={|23,}y y x x A =+∈，C=2{|,}z z x x A =∈，若C B ⊆，求实数a 的取值范围。

分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合C ，进而用不等式将C B ⊆这一集合语言加以转化。

解：∵32+=x y 在],2[a -上是增函数，∴B={|123}y y a -≤≤+。

作出函数2x z =的图象，其定义域右端点a x =有三种不同的位置关系：
①当20a -≤≤时，如图1，24a z ≤≤，即｛z|24a z ≤≤｝。

要使C B
⊆，必须且只需234
a+≥，解得
1
2
a≥，与20
a
-≤≤矛盾。

②当02
a
<≤时，如图2，04
z
≤≤，即｛z|04
z
≤≤｝.
要使C B
⊆，必须且只需
234
02
a
a
+≥
⎧
⎨
≤≤
⎩
，解得12
2
a
≤≤。

③当2
a>时，如图3，2
0z a
≤≤，即｛z|2
0z a
≤≤｝。

要使C B
⊆，必须且只需
223
2
a a
a
⎧≤+
⎨
>
⎩
，解得23
a
<≤。

④当2-
<
a时，A=∅，此时B=C=∅，C B
⊆成立。

综上所述，a的取值范围是1
(,2)[,3]
2
-∞-⋃。

评注：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。

对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的。

数形结合是数学中十分重要的思想方法，其基本点在于把问题中涉及到的数与形结合起来综合考察。

根据不同问题的不同特点，或者把数量关系问题转化为数量关系问题来研究。

或者把数量关系问题转化为图形性质问题来研究，从而把复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易的目的。

参考文献：《高中数学怎样学》鲁鹤鸣著上海科学技术文献出版社1999年4月出版。

《中学数学教育学》章士藻著江苏教育出版社 1996年7月出版。

《数学思想方法与中学数学》钱佩玲邵光华著北京师范大学出版社 1999年7月出版。