2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(二)-含答案

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2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第2章 2.2.2 第2课时等差数列前n项和的综合应用 Word版含答案

第2课时等差数列前n 项和的综合应用学习目标：1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)2.会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)[自主预习·探新知]1．S n 与a n 的关系 a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1，(n ≥2)2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． 3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．思考：{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{|a n |}的前n 项和也是S n 吗？ [提示] 不一定．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) (3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)·a n .( )[解析] (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S nn 为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . (3)正确．由实数的运算可知该说法正确． (4)正确．因为S 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)(2n －1)2＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n . [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.【导学号：12232173】5 [由条件知a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝30，又∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝a 5＋a 7，∴a 5＋a 7＝2a 6＝10， ∴中间项a 6＝5.]3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 [由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴4＋(S 6－9)＝2×5，∴S 6＝15.]4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________.【导学号：12232174】23或24 [由a n ≤0得，2n －48≤0，n ≤24. ∴当n ＝23或24时，S n 最小．][合作探究·攻重难](1)已知数列{a n }n n n 2－3n ，求证数列{a n }是等差数列．(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝35n －2n 2，求使S n 最大的n . [解] (1)证明：a 1＝S 1＝1－3＝－2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－3n )－[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，当n ＝1时，2n －4＝－2＝a 1， ∴a n ＝2n －4.又因为a n －a n －1＝(2n －4)－[2(n －1)－4]＝2(n ≥2)，所以{a n }是等差数列． (2)由S n ＝35n －2n 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －3542＋1 2258.当且仅当n ＝9时，S n 最大，故n ＝9.[规律方法] 一般地，a n 与S n 有如下关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N ＋都成立，而只对n ≥2的正整数成立，由S n 求通项公式a n 时，要分n ＝1和n ≥2两种情形，然后验证n ＝1时是否满足n ≥2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示．[跟踪训练]1．已知正数数列{b n }的前n 项和S n ＝14(b n ＋1)2，求证{b n }为等差数列，并求其通项.【导学号：12232175】[解] 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1， ∴b n ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)．整理，得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0，∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0， ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1＝2(n ≥2)．又∵b 1＝14(b 1＋1)2，∴b 1＝1，∴{b n }为等差数列，∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.n m 2m 3m m ，前2m ，前3m 项和，若S m ＝30，S 2m ＝100，求S 3m .[解] 法一：设{a n }的公差为d ，依据题设和前n 项和公式有：⎩⎨⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100，②②－①，得ma 1＋m (3m －1)2d ＝70，所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ma 1＋m (3m －1)2d ＝3×70＝210.法二：S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等差数列，所以30、70、S 3m －100成等差数列．所以2×70＝30＋S 3m －100. 所以S 3m ＝210.法三：在等差数列{a n }中，因为S n ＝a 1n ＋12n (n －1)d ，所以S n n ＝a 1＋(n －1)d 2.即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 构成首项为a 1，公差为d2的等差数列．依题中条件知S m m 、S 2m 2m 、S 3m3m 成等差数列，所以2·S 2m 2m ＝S 3m 3m ＋S mm .所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30) ＝210.[规律方法] 在等差数列中，前n 项和S n 的问题利用公式可列出关于a 1和d 的方程(组).要注意等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也成等差数列且公差为m 2d ，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m ，…也成等差数列，用此性质可简化运算.[跟踪训练]2．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【导学号：12232176】[解] 设等差数列共2n ＋1项，则奇数项有n ＋1项，偶数项有n 项，中间项是第n ＋1项，记为a n ＋1，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝44，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝33. ∴S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1＝11，即中间项a n ＋1＝11. 又S 2n ＋1＝S 奇＋S 偶＝77. ∴(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(2n ＋1)·2a n ＋12＝77，∴(2n ＋1)×11＝77， ∴2n ＋1＝7，即数列的中间项为11，这个数列共7项．[探究问题]1．将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？[提示] 首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)×32＝32n 2＋12n ，显然S n 是关于n 的二次型函数．如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列．一般地，等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则上式可写成S n ＝An 2＋Bn (A ，B 可以为0)．2．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．。

人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)

§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________．解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案－12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)．当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷．例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )．答案－(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)，即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0，于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0，解不等式得：83<d ≤3.温馨点评审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列，故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．所以凸n 边形的边数为9.例一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．分析本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )．又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元章末复习

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一梳理本章的知识网络知识点二对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法；2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了________________和________________．3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了________思想．5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比．类型一方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .反思与感悟在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .类型二转化与化归思想求解数列问题例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．反思与感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．类型三函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．反思与感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值．反思与感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是____________．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．答案精析知识梳理知识点三 1．叠加叠乘2．倒序相加法错位相减法 3．三两 4．函数题型探究类型一例1 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2(n ∈N ＋)．跟踪训练1 S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.类型二例2 (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n 2n ，即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5， ∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)，令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14， a n ＝(3n －1)·2n－2是数列{a n }的通项公式．设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴ 数列{a n }的前n 项和公式为 S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N ＋.跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．类型三命题角度1例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2. ∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的． ∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪训练3 解 (1)a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得 S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32. 故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 命题角度2例4 解 (1)由a n ＋1＝f (a n ) ⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)，且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]⇒(2－a 1)2 ＝a 1[2－|2－a 1|]，分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－ (2－a 1)]＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2； ②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2，综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.跟踪训练4 解 (1)a n ＝23n ＋13. (2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋ …－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．当堂训练1．a n ＝36(2n －1) 2.a n ＝3n －16 33．解设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1.。

数学人教B版必修5教学设计：2.2.1等差数列含答案精品

教学设计2．2.1 等差数列整体设计教学分析本节课将探究一类特殊的数列——等差数列．本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算．第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质．让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究．在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．其中例1是巩固定义，例2到例5是等差数列通项公式的灵活运用．在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫．教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材．三维目标1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课．思路2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？(2)阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.(3)观察数列①②③，它们有什么共同特点？(4)根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？(5)什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？(6)数列①②③存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？(7)等差数列的通项公式是什么？怎样推导？活动：教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点．然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；②2,9,16,23,30；③89,83,77,71,65,59,53,47.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列．观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)．这就是我们这节课要研究的主要内容．教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．教师引导学生理解这个定义：这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因．显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，－6.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{a n}，若a n－a n－1＝d(d是与n无关的常数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列．这是证明一个数列是等差数列的常用方法．点拨学生注意这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起．若n从3开始，则会漏掉a2－a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①a n＝21.5＋0.5n，②a n＝7n－5，③a n＝－6n＋95.以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性．教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，a n，…，根据等差数列的定义都有：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.学生很容易猜想出等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识．教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它．数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位．很多著名的数学结论都是从猜想开始的．但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现．教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如：方法一(叠加法)：∵{a n}是等差数列，∴a n－a n－1＝d，a n－1－a n－2＝d，a n－2－a n－3＝d，……a2－a1＝d.两边分别相加得a n－a1＝(n－1)d，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，方法二(迭代法)：{a n }是等差数列，则有a n ＝a n －1＋d ，＝a n －2＋d ＋d＝a n －2＋2d＝a n －3＋d ＋2d＝a n －3＋3d……＝a 1＋(n －1)d.所以a n ＝a 1＋(n －1)d.讨论结果：(1)～(4)略．(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”．(6)三个数列都有通项公式，它们分别是：a n ＝21.5＋0.5n ，a n ＝7n －5，a n ＝－6n ＋95.(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.应用示例例1(教材本节例2)活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于a n 、a 1、d 、n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作(1)的逆问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨．点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路．变式训练(1)100是不是等差数列2,9,16，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；(2)－20是不是等差数列0，－312，－7，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)由题意，知a 1＝2，d ＝9－2＝7.因而通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5. 令7n －5＝100，解得n ＝15，所以100是这个数列的第15项．(2)由题意可知a 1＝0，d ＝－312，因而此数列的通项公式为a n ＝－72n ＋72. 令－72n ＋72＝－20，解得n ＝477.因为－72n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项．例2一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．活动：教师引导学生观察题意，思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a 10＞1呢？d ＞0的条件又说明什么？教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则有a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＜a 10＜a 11＜…，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1a 9≤1⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d ＞1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 点评：本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解．变式训练在数列{a n }中，已知a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，求a 50. 解：已知条件可化为1a n ＋1－1a n ＝13(n ∈N *)，由等差数列的定义，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为d ＝13的等差数列，∴1a50＝1＋(50－1)×13＝523.∴a50＝352.例3已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？活动：要判定{a n}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据a n－a n－1(n＞1)是不是一个与n无关的常数．这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列．因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来．本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如a n＝pn＋q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p＋q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质．在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点．解：当n≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项a n－1与a n(n≥2)〕a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p为常数，所以{a n}是等差数列，首项a1＝p＋q，公差为p.点评：(1)若p＝0，则{a n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….(2)若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a n)均在一次函数y＝px＋q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n＝pn＋q(p、q是常数)，称其为第3通项公式．变式训练已知数列的通项公式a n＝6n－1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：∵a n＋1－a n＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{a n}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.点评：该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容．需要向学生强调，若用a n－a n－1＝d，则必须强调n≥2这一前提条件，若用a n＋1－a n＝d，则可不对n进行限制．知能训练1．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？2．求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．答案：1．解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5－4(n－1)＝－4n－1.由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401＝－4n－1成立．解这个关于n 的方程，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．2．解：根据题意可知a1＝3，d＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)×4，即a n＝4n－1(n≥1，n∈N*)．∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.课堂小结1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？2．教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．作业习题2—2 A组1、2.设计感想本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用．等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件．通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具．因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能．本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法；在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增．(设计者：周长峰)第2课时导入新课思路1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子．接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现？比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？(2)等差数列的通项公式是怎样得出来的？它与一次函数有什么关系？(3)什么是等差中项？怎样求等差中项？(4)根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？活动：借助课件，教师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n－a n－1＝d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示)．再一起回顾通项公式，等差数列{a n}有两种通项公式：a n＝a m＋(n－m)d或a n＝pn＋q(p、q是常数)．由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的方法：①d ＝a n －a n －1；②d ＝a n －a 1n －1；③d ＝a n －a m n －m. 对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式．教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？由定义可得A －a ＝b －A ，即A ＝a ＋b 2. 反之，若A ＝a ＋b 2，则A －a ＝b －A ，由此可以得A ＝a ＋b 2，A ，b 成等差数列．由此我们得出等差中项的概念：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项．如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项．9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列＝a ＋b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列．根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，…中，我们知道2a 5＝a 3＋a 7＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8，那么你能发现什么规律呢？再验证一下，结果有a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝a 4＋a 8＝a 5＋a 7＝2a 6.由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列{a n }中，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ＋n ＝p ＋q ，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就一定是正确的．让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？只要运用通项公式加以转化即可．设首项为a 1，则a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1＋(p ＋q －2)d.因为我们有m ＋n ＝p ＋q ，所以上面两式的右边相等，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则上面两式的右边相等，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .同样地，我们还有：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .这也是等差中项的内容．我们自然会想到由a m ＋a n ＝a p ＋a q 能不能推出m ＋n ＝p ＋q 呢？举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立．这说明在等差数列中，a m ＋a n ＝a p ＋a q 是m ＋n ＝p ＋q 成立的必要不充分条件．由此我们还进一步推出a n ＋1－a n ＝d ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，这也是证明等差数列的常用方法．同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可．讨论结果：(1)(2)略．(3)如果三个数x ，A ，y 成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.(4)得到两个重要结论：①在数列{a n }中，若2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等差数列． ②在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q(m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .应用示例例1在等差数列{a n }中，若a 1＋a 6＝9，a 4＝7，求a 3，a 9.活动：本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a 1，d ，进而求出通项公式a n ，则a 3，a 9不难求出．应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系．解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝9，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝5.∴通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－8＋5(n －1)＝5n －13. ∴a 3＝2，a 9＝32.点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如a 1＋a 6＝a 4＋a 3＝9.∴a 3＝9－a 4＝9－7＝2. 由此可得d ＝a 4－a 3＝7－2＝5. ∴a 9＝a 4＋5d ＝32.点评：这种解法巧妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解．变式训练已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 答案：C解析：依题意知，a 2＝a 1＋a 1＝2a 1，a 1＝12a 2＝－3，a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n －3，可知数列{a n }是等差数列，a 10＝a 1＋9d ＝－3－9×3＝－30.例2(教材本节例5)活动：本例是等差数列通项公式的灵活运用．正如边注所说，相当于已知直线过点(1,17)，斜率为－0.6，求直线在x 轴下方的点的横坐标的取值范围．可放手让学生完成本例．变式训练等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是… ( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *) 答案：D解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12a 2＋a 4＝8d ＜0⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6a 4＝2⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得a n ＝8＋(n －1)(－2)＝－2n ＋10.例3 已知a 、b 、c 成等差数列，那么a 2(b ＋c)，b 2(c ＋a)，c 2(a ＋b)是否成等差数列？活动：教师引导学生思考a 、b 、c 成等差数列可转化为什么形式的等式？本题的关键是考察在a ＋c ＝2b 的条件下，是否有以下结果：a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)＝2b 2(a ＋c)．教师可让学生自己探究完成，必要时给予恰当的点拨．解：∵a 、b 、c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b.又∵a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)－2b 2(c ＋a) ＝a 2b ＋a 2c ＋ac 2＋bc 2－2b 2c －2ab 2＝(a 2b －2ab 2)＋(bc 2－2b 2c)＋(a 2c ＋ac 2) ＝ab(a －2b)＋bc(c －2b)＋ac(a ＋c) ＝－abc －abc ＋2abc ＝0，∴a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)＝2b 2(a ＋c)．∴a 2(b ＋c)，b 2(c ＋a)，c 2(a ＋b)成等差数列．点评：如果a 、b 、c 成等差数列，常转化为a ＋c ＝2b 的形式，反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证a ＋c ＝2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功．例4在－1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c ，使这五个数成等差数列，求此数列．活动：教师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项；一是利用等差中项加以处理．让学生自己去探究，教师一般不要给予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示．解：(方法一)设这些数组成的等差数列为{a n }，由已知，a 1＝－1，a 5＝7， ∴7＝－1＋(5－1)d ，即d ＝2. ∴所求的数列为－1,1,3,5,7.(方法二)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1,7的等差中项，a 是－1，b 的等差中项，c 是b,7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5.∴所求数列为－1,1,3,5,7.点评：通过此题可以看出，应多角度思考，多角度观察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培养自己求异发散的思维能力．变式训练数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．－25 B.12 C.23 D ．5答案：B解析：设b n ＝1a n ＋1，则b 3＝13，b 7＝12，因为{1a n ＋1}是等差数列，可求得公差d ＝124，所以b 11＝b 7＋(11－7)d ＝23，即a 11＝1b 11－1＝12.例5某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车前往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费？活动：教师引导学生从实际问题中建立数学模型．在这里也就是建立等差数列的数学模型．引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的知识解决实际问题．解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，我们可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么，当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答：需要支付车费23.2元．点评：本例中令a 1＝11.2，这点要引起学生注意，这样一来，前往14 km 处的目的地就相当于n ＝11，这点极容易弄错．知能训练1．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝4，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案：1．解析：由a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝4，知4a 4＝4，即a 4＝1. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝3. 答案：A2．解析：∵a 2＋a 3＝13， ∴2a 1＋3d ＝13. ∵a 1＝2，∴d ＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.答案：B课堂小结1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧知识来获取新知识的？你在这节课里最大的收获是什么？2．教师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，要注意这些重要结论的灵活运用．作业课本习题2—2 A组5、6、7.设计感想本教案是根据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要都是学生自己完成的．特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆；本节课只是继续对等差数列进行这方面的探究．本教案除了安排教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练．为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题，目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究，以开阔学生的视野．本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系．这不仅有利于知识的融会贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，让学生体会到数学是有趣的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人振奋的，借此激发学生的数学学习兴趣．备课资料一、备用例题【例1】梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解：设{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a1＝33，a12＝110，n＝12，所以a12＝a1＋(12－1)d，即得110＝33＋11d，解之，得d＝7.因此a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 2-1-1 数列

2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. 要点二数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三判断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法三令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3，又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108.∴数列{a n}中的最大项为a7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性；②可重复性；③有序性．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 2.2-2 等

2．2.2 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一等差数列前n 项和公式的推导思考高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ] ＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ] ＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝n (a 1＋a n )，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋________________.知识点二等差数列前n 项和公式的特征思考1 在等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？思考2 我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？梳理对于等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形： (1)S n ＝n ·a 1＋a n2；(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ；(3)S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)({S n n }是公差为d2的等差数列)．知识点三等差数列前n 项和公式的性质思考如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？梳理 (1)S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项的和，前2m 项的和，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(2)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝____________，且S 偶－S 奇＝____，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(3)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝____________，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n ，S 奇S 偶＝nn －1.类型一等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求另外两个．跟踪训练1在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二等差数列前n 项和性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 4．已知在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，a n，S n，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用：若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p. 3．本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．答案精析问题导学知识点一思考不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理n (n －1)2d 知识点二思考1 S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3×a 1＋a 32＝3a 2＝21.思考2 按n 的降幂展开S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数形式，且常数项为0. 知识点三思考 (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ，类似可得(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列．梳理 (2)n (a n ＋a n ＋1) nd (3)(2n －1)a n 题型探究类型一命题角度1例1 解方法一由题意知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310⇒a 1＋a 10＝62，① S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220⇒a 1＋a 20＝122，② ②－①得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60， ∴d ＝6，a 1＝4.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .跟踪训练1 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2例2 解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1% ＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150 ＝1 255(元)．跟踪训练2 解 (1)设开始运动n 分钟后第一次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设开始运动m 分钟后第二次相遇，依题意，有2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －420＝0. 解之得m ＝15，m ＝－28(舍去)．所以第二次相遇是在开始运动后15分钟．类型二例3 解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)， ∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中， S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m ) ＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9) ＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2 ＝S 9T 9＝7×9＋29＋3 ＝6512. 跟踪训练3 解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝n 2－52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝n 2－9n4.当堂训练 1．B 2.B 3.1904．(1)n ＝12，a n ＝a 12＝－4. (2)d ＝－171.。

【K12小初高学习】2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(二)-含答案

2.2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．[知识链接]在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，如果已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？ [预习导引] 1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m，从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋an －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有(3){a n }n 为递增数列；n 为递减数列；n }为常数列.要点一等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．解 (1)方法一根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.规律方法解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪演练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)若a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 1＋a 20 等于________．答案 (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.要点二等差数列的设法与求解例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 方法二设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2,－2.规律方法利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得(1－32d )(1＋32d )＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三由递推关系式构造等差数列求通项例3 已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ＞1，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明当n ＞1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力．跟踪演练3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式．(1)证明 (a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1，故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n . 要点四等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由．解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n . (1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2⇒a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4⇒b 2＝26. 所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了． (3)∵a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6)，∴c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34)＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6)． ∵2与94的距离最近，∴当n ＝2时，c n 最大．所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．规律方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20，(n ≥2，n ∈N ＋)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220. 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．32 B ．－32 C ．35 D ．－35答案 C解析由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．某市出租车的起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费为10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km 的标准计费．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，我们可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2.那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费为a 11＝a 1＋10d ＝11.2＋10×1.2＝23.2(元)．答需要支付车费23.2元．1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的方程(组)求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。

[K12配套]2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(一)-含答案

2.2 等差数列2.2.1 等差数列(一)[学习目标] 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．[知识链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？[预习导引]1．等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．2．等差中项如果三个数x 、A 、y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2. 3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列.要点一等差数列的概念例1 若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列．解因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N ＋)．所以数列{a n }为等差数列．规律方法判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数．跟踪演练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．要点二等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．(2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N ＋，p ，q 为常数)，且x 1、x 4、x 5成等差数列．求：p ，q 的值．解 (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3， ① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1，②将②代入①，得p ＝1.规律方法在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.∴m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 要点三等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解 (1)设{a n }的公差为d ，首项为a 1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.∴－34是数列{a n }的第10项．规律方法在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪演练3 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a 3＝5，a 7＝13；(2)前三项为a,2a －1,3－a .解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由等差中项公式得2×(2a －1)＝a ＋(3－a )，a ＝54， ∴首项为a ＝54，公差为2a －1－a ＝a －1＝54－1＝14， ∴a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－(3－2n )＝－2.2．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于( )A.14B.12C.13D.23答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，b ＝x ＋2x 2＝32x ，又∵x 是a, b 的等差中项，则2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13. 由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式；反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．。

2018版高中数学第2章数列 2.2.1 第2课时等差数列的性质教案新人教B版必修5

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为_等__差__数列. (3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则 ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为_d_的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为_c_d_的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N＋)是公差为_2_d_的等差数列. (4)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为__p_d_1_＋__q_d_2 __的等差数列. (5){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为_递__增_数列； d<0⇔{an}为_递__减_数列；d＝0⇔{an}为常数列.
法三：设这四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
a－3d＋a－d＋a＋d＋ a＋3d＝26，

a－da＋d＝40，
化简，得4aa2－＝d226＝，40，
解得
a＝123， d＝±32.
∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
【答案】 15
[小组合作型] 灵活设元解等差数列
这四个数.
已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求
【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？ (2)等差数列相邻四项和为 26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？
【自主解答】法一：设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意，得
【解析】因为 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. 所以 a5＝90， a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
【答案】 180
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________.

2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第2章 2.2.1 第1课时等差数列 Word版含答案

2.2等差数列2.2.1等差数列第1课时等差数列学习目标：1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法．(重点)[自主预习·探新知]1．等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．思考1：等差数列的定义用符号怎么表示？[提示]a n－a n－1＝d(n≥2，d为常数)2．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝x＋y2.思考2：任意两数都有等差中项吗？[提示]是3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝a1＋(n－1)d.思考3：等差数列的通项公式是什么函数模型？[提示]d≠0时，一次函数，d＝0时，常值函数．4．等差数列的单调性等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为递增数列；若公差d<0，则数列{a n}为递减数列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．()(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[解析](1)×.由等差数列的概念可知．(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.【导学号：12232131】6－2n[∵a1＝4，d＝－2，∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．46[由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.]4．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．【导学号：12232132】－3[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝x1＋x22＝－3.][合作探究·攻重难]若数列{a n}的通项公式为a n＝10＋ln 2n，试证明数列{a n}为等差数列．[证明]因为a n＝10＋ln 2n＝10＋n ln 2，所以a n＋1－a n＝[10＋(n＋1)ln 2]－(10＋n ln 2)＝ln 2(n∈N＋)．所以数列{a n}为等差数列．[规律方法]等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{a n}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.[跟踪训练]1．数列{a n}的通项公式a n＝4－3n，则此数列()A．是公差为4的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为－3的等差数列D．是首项为4的等差数列C[∵a n＋1－a n＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.∴{a n}是公差为－3的等差数列．](1)在－1与7，c使这五个数成等差数列，求此数列.【导学号：12232133】(2)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.[规律方法]三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n}为等差数列，可证2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋).[跟踪训练]2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解]由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，∴m和n的等差中项为m＋n2＝3.[探究问题]1．某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？提示：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为a n，则a1，a2，…，a n，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，…a n＝a1＋(n－1)d＝50n－50，所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？提示：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为a n，则a 1，a 2，…，a n ，…构成一个以a 1＝1 896为首项，以d ＝4为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1 896＋4(n －1)＝4n ＋1 892，即a n ＝4n ＋1 892，由a n ＝2 016，知4n ＋1 892＝2 016，所以n ＝31.故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．3．在等差数列{a n }中，能用a 1，d 两个基本量表示a n ，那么能否用{a n }中任意一项a m 和d 表示a n?提示：由a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①a m ＝a 1＋(m －1)d ， ②两式相减可得：a n －a m ＝(n －m )d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值.【导学号：12232134】[思路探究] 设出基本量a 1，d .利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)法一：∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3.∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N ＋)．法二：∵a 4＝7，a 10＝25，。

2018版高中数学人教B版必修五教师用书：第2章 2-2-2

2.2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和1.了解等差数列前n 项和公式的推导过程.(难点),2.掌握等差数列前n 项和公式及其应用.(重点),3.能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题.(难点、易错点)基础·初探]教材整理等差数列的前n 项和阅读教材P 39第二自然段～P 39例1，完成下列问题. 1.数列的前n 项和的概念一般地，称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2.等差数列的前n 项和公式1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 【解析】 a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.【答案】 C2.等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n ＝________. 【解析】因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1 ＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 【答案】n (n ＋1)23.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10＝________. 【解析】由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝120，得a 1＋a 10＝24.【答案】 244.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1) ＝2n ＋1.因为n ＝1时，a 1＝3，也满足a n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1小组合作型]已知等差数列{a n }中， (1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6；(2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【精彩点拨】利用等差数列求和公式的两种形式求解.【自主解答】 (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20， ∴d ＝3.故S 6＝6a 1＋6(6－1)2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.a 1，n ，d 为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 中可知三求二.一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中，应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.再练一题]1.已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. 【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5， a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程.【自主解答】从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.1.本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型. (2)深入分析题意，确定是求通项公式a n ，或是求前 n 项和S n ，还是求项数n .再练一题]2.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.【导学号：18082026】【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米). 【答案】 2 000探究共研型]的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？图2-2-2【提示】在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a 1，a 2，…，a 6，则数列{a n }构成一个以a 1＝4为首项，以d ＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S 6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝…＝a 6＋a 1＝13(根)，此时钢管总数为2S 6＝(a 1＋a 6)×6＝13×6＝78(根)，原来钢管总数为S 6＝a 1＋a 62×6＝39(根).探究2 通过探究1，你能推导出等差数列{a n }的求和公式吗？【提示】 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ①把数列{a n }各项顺序倒过来相加得 S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1，② ①＋②得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，则S n ＝(a 1＋a n )n2.探究3 你能用a 1，d ，n 表示探究2中的公式吗？该结果与S n ＝(a 1＋a n )n2有什么区别与联系.【提示】 S n ＝(a 1＋a n )n 2＝[a 1＋a 1＋(n －1)d ]n2＝a 1n ＋n (n －1)d 2，即S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2.该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n 项和，在求解时都可以“知三求一”，求S n 时，都需知a 1，n ，不同在于前者还需知a n ，后者还需知d.(1)已知等差数列{a n }中，若a 1 009＝1，求S 2 017；(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【精彩点拨】由等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解.【自主解答】 (1)法一：∵a 1009＝a 1＋1008d ＝1，∴S 2017＝2017a 1＋2017×20162d ＝2 017(a 1＋1 008d )＝2017.法二：∵a 1009＝a 1＋a 20172，∴S 2017＝a 1＋a 20172×2 017＝2017a 1009＝2017. (2)法一：a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.法二：∵S n T n＝2n ＋2n ＋3＝n (2n ＋2)n (n ＋3)，∴设S n ＝2n 2＋2n ，T n ＝n 2＋3n ，∴a 5＝S 5－S 4＝20，b 5＝T 5－T 4＝12， ∴a 5b 5＝2012＝53.1.若{a n }是等差数列，则S n ＝a 1＋a n2·n ＝na 中(a 中为a 1与a n 的等差中项). 2.若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.再练一题]3.在等差数列{a n }中. 已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解】法一：∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15，∴S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.法二：∵a 3＋a 15＝2a 1＋16d ＝40，∴a 1＋8d ＝20， ∴S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×20＝340.法三：∵a 3＋a 15＝2a 9＝40，∴a 9＝20，∴S 17＝17a 9＝340.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14【解析】由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.【答案】 C2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5 B.7 C.9 D.11【解析】法一：∵a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A. 【答案】 A3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 【解析】 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·2a 102＝19a 10＝190. 【答案】 1904.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.【导学号：18082027】【解析】法一：由⎩⎨⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二：由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，∴20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 【答案】 35.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 【解】设等差数列的公差为d ，则 S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1， 2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1， d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.。

高中数学第二章数列 2.2.1 等差数列(2)学案新人教B版必修5

2.2.1等差数列性质一．学习目标1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律；2、理解等差数列的性质；3、掌握等差数列的性质及其应用。

二．教学重难点等差数列的性质的应用。

三．知识梳理1、等差数列的项与序号的关系；（1）两项关系：通项公式的推广+=m n a a _______(2)多项关系：m+n=p+q ，则______________2、等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和。

3.下标成等差数列且公差为m 的项m k m k k a a a 2,,++，…组成的数列仍为等差数列，公差为md. 4、等差数列的性质：（1）若数列}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{}n a c +(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{}n ca (c 为任一常数0≠c ) 是公差为______的等差数列；（2）}{}{n n b a ,分别是公差为21,d d 的等差数列，则}{n n qb pa +（p,qo 为常数）是公差为______的等差数列。

三．合作、探究、展示例1.梯子一共有5级，从上往下数第1一级宽35cm ，最5级宽43cm ，且各级的宽度依次组成等差数列}{n a ，求第2，3，4级的宽度。

例2.等差数列}{n a 中，100,12090100==a a ，则d=_______.=200a ______.例3.等差数列}{na，26,7753=+=aaa，则=9a____变式：等差数列}{na中，,3773=+aa则8642aaaa+++＝________例5.设数列}{na，}{nb都是等差数列，若20,63311=+=+baba，则=+66ba_______,四．达标训练1. 已知数列}{na为等差数列，公差为d，3,103215=++=aaaa，则____A.3,21=-=da B. 3,21-==da C. 2,31=-=da D. 2,31-==da2. 已知数列}{na为等差数列,若()qppaqaqp≠==,,，则qpa+＝______.3.已知数列}{na为等差数列，且3895π=+aa，则()122tan aa+等于________.4.已知数列}{na为等差数列，80108642=++++aaaaa，则8721aa-＝_______.5.已知数列}{na为等差数列，,,166473=+-=aaaa,求}{na的通项公式。

人教课标版(B版)高中数学必修5参考教案2-等差数列

2.2.1等差数列
教学过程
课堂教学设计说明：
1、本节课由具体例子引入等差数列的定义，培养了学生由感性认识到理性认识
的抽象能力.
2、教学中注意充分发挥学生的主体作用的同时，教师的主导作用必须充分体现，
引导学生领会数学知识发生、发展的过程，激发学生对数学学习的兴趣，同时要揭示知识的内在联系和规律，使学生能从更高的层次解决问题.
3、由不完全归纳法得出通项公式，提高学生归纳推理的逻辑思维能力.
教学反思：在差数列概念的理解上采用学生讨论的方法让学生自己去探究、发现、归纳，通过老师将定义分点强调，让学生理解更加深刻.对通项公式的推导上运动归纳猜想的方法，鼓励学生自己动手，让知识更加透彻.。

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2.2.1 等差数列(二) 课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n＝____. 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为________________．一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．102．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3C ．－33D ．－ 3 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．355．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－826．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝______________________________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝__________. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数为( )A ．18B ．9C ．12D ．1514．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .2．2.1 等差数列(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m ＋a n ＝a p ＋a q作业设计1．C [由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.] 2．D [由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.] 3．B [由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.]4．C [∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]5．D [a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.]6．B [∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.] 7．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 8．1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.9.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10.12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 11．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．D [设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3. 故a 4＝3＋4×3＝15.]14．解在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4，∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m 3－1. ∵m 、n ∈N ＋，∴m ＝3k (k ∈N ＋)，又⎩⎨⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25，∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．。

高中数学人教B版必修5学案：2.2.1等差数列课堂探究学案(含答案)

2.2.1 等差数列课堂探究一、解读等差数列的概念剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2，4，5，9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．二、等差数列的性质剖析：若数列{a n }是公差为d 的等差数列，(1)d ＝0时，数列为常数列；d >0时，数列为递增数列；d <0时，数列为递减数列．(2)d ＝a n －a 1n －1＝a m －a k m －k(m ，n ，k ∈N +)． (3)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)．(4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N +)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．(5)若m ＋n 2＝k ，则a m ＋a n ＝2a k ．(6)若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i +1＋a n －i ＝…．(7)数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…(k ，m ∈N +)组成公差为md 的等差数列．(9)若数列{b n }也为等差数列，则{a n ±b n }，{ka n ＋b }(k ，b 为非零常数)也成等差数列．(10)若{a n }是等差数列，则a 1，a 3，a 5，…仍成等差数列．(11)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…仍成等差数列．名师点拨：用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a 8＝a 2＋a 6，a 1＋a 3＋a 4＝a 2＋a 6，就不一定正确．三、教材中的“？”(1)通项公式为a n ＝an －b (a ，b 是常数)的数列都是等差数列吗？剖析：通项公式为a n ＝an －b (a ，b 为常数)的数列都是等差数列，其公差为a ．(2)怎么证明A ＝x ＋y2？剖析：∵x ，A ，y 成等差数列，∴A －x ＝y －A ，即2A ＝x ＋y ．∴A ＝x ＋y2．(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a 1与公差d ，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．题型一等差数列定义的应用【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)a n ＝3n ＋2；(2)a n ＝n 2＋n ．分析：利用等差数列的定义，即判断a n +1－a n (n ∈N ＋)是否为同一个常数．解：(1)a n +1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N +)．由n 的任意性知，这个数列为等差数列．(2)a n +1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看a n ＋1－a n 得到的结果是否是一个与n 无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．题型二等差数列的通项公式及其应用【例2】已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{a n }的通项公式，并判断－34是数列{a n }的项吗？分析：由数列前三项和为18，前三项积为66，列出关于a 1和d 的方程组，通过解方程组求得a 1和d ，由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出a n ；由a n ＝－34求n ，然后由n ∈N +可判断．解：由题意设该数列的首项为a 1，公差为d ，则12312318,66,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即得111,5,a d =⎧⎨=-⎩或11,5,a d =⎧⎨=⎩又由该数列为递减数列，∴d ＝5时不合题意，故该数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－5(n －1)＝－5n ＋16．且－34是数列{a n }中的项，为第10项．【互动探究】若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”，其余条件不变，如何求解？答案：a n ＝5n －4，－34不是数列{a n }中的项．题型三等差数列性质的应用【例3】已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9．分析：既可以用等差数列的性质得到a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝2a 6，也可以由通项公式得a 1与d 间的关系再求解．解：方法一：根据等差数列的性质，得a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝2a 6．由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13． ∴a 3＋a 9＝2a 6＝23．方法二：根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d ．由题意知3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13． ∴a 3＋a 9＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23．反思：方法一运用了等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通法．两种方法都运用了整体代换及方程的思想．【例4】已知等差数列{a n }中，a 49＝80，a 59＝100，求a 79的值．分析：(1)采用基本量法求解；(2)灵活运用性质求解．解：解法1：设公差为d ，则4915914880,58100.a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得116,2.a d =-⎧⎨=⎩∴a 79＝a 1＋78d ＝－16＋78×2＝140．解法2：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴d ＝a 59－a 4959－49＝100－8010＝2010＝2． ∴a 79＝a 59＋(79－59)×d ＝100＋20×2＝140．解法3：∵a 49，a 59，a 69，a 79，…成等差数列，∴a 79＝a 49＋(4－1)(a 59－a 49)＝80＋3×20＝140．反思：用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是：(1)采用基本量法，即解得数列的首项a 1，公差d ，运用通项公式解决问题；(2)灵活运用性质，这是简化等差数列运算的有效手段．题型四构造等差数列求通项公式【例5】 (1)数列{a n }的各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1，a 1＝1，求a n ；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，求a n ．分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求a n ．解：(1)由a n +1＝a n ＋2a n ＋1，可得a n +1＝(a n ＋1)2．∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1． ∴{a n }是首项为a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ．∴a n ＝n 2．(2)由a n +1＝2a n a n ＋2，可得1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为12的等差数列． ∴1a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12．∴a n ＝2n ＋1．反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．题型五易错辨析【例6】已知b 是a ，c 的等差中项，且lg(a ＋1)，lg(b －1)，lg(c －1)成等差数列，同时a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c 的值．错解：因为b 是a ，c 的等差中项，所以2b ＝a ＋c ．又因为a ＋b ＋c ＝15，所以3b ＝15，所以b ＝5．设a ，b ，c 的公差为d ，则a ＝5－d ，c ＝5＋d ．由题可知2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)，所以2lg 4＝lg(5－d ＋1)＋lg(5＋d －1)．所以16＝25－(d －1)2．所以(d －1)2＝9，即d －1＝3．所以d ＝4，所以a ，b ，c 分别为1，5，9．错因分析：解方程(d －1)2＝9时，d －1应取±3两个．而错解只取d －1＝3，漏掉了d －1＝－3的情况．正解：因为b 是a ，c 的等差中项，所以2b ＝a ＋c ．又因为a ＋b ＋c ＝15，所以3b ＝15．所以b ＝5．设a ，b ，c 的公差为d ，则a ＝5－d ，c ＝5＋d ．由题可知2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)，所以2lg 4＝lg(5－d ＋1)＋lg(5＋d －1)．所以16＝25－(d －1)2，即(d －1)2＝9．所以d －1＝±3，即d ＝4或d ＝－2．所以a ，b ，c 三个数分别为1，5，9或7，5，3．【例7】已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1(1≤n ≤100)．令a n ＝b n ，得3n ＋2＝4n －1，即n ＝3．所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项．错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如23在数列{a n }中是第7项，而在数列{b n }中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项．正解：∵a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋)，b k ＝4k －1(k ∈N ＋)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，∴n ＝43k －1．而n ∈N +，k ∈N +， ∴设k ＝3r (r ∈N +)，得n ＝4r －1．由已知13100,141100,r r ≤≤⎧⎨≤-≤⎩且r ∈N +，可得1≤r ≤25．∴共有25个相同数值的项．。

人教B版高中数学必修五第二章等差数列(二)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.2.1 等差数列(二) 课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n＝____. 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为________________．一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．102．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3C ．－33D ．－ 3 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．355．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－826．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝______________________________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝__________. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数为( )A ．18B ．9C ．12D ．1514．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .2．2.1 等差数列(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m ＋a n ＝a p ＋a q作业设计1．C [由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.] 2．D [由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.] 3．B [由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.]4．C [∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]5．D [a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.]6．B [∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.] 7．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 8．1 解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.9.125解析1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10.12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 11．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．D [设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3. 故a 4＝3＋4×3＝15.]14．解在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m 3－1. ∵m 、n ∈N ＋，∴m ＝3k (k ∈N ＋)，又⎩⎨⎧ 0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25，∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．。