正指数Emden-Fowler方程脉冲奇异边值问题的PC 1([0,1],R+)正解

合集下载

离散广义Emden—Fowler方程边值问题的多重解

离散广义Ｅｅ—ｏｌ方程边值问题的多重解木ｍｄｎＦｗｅｒ
贺铁山陈文革，
（一仲恺农业工程学院计算科学系，广州５０２；２南理工大学数学系，广州５０４）１１２５一华１６０摘要：文研究了离散广义Ｅｅ－ｏｅ方程边值问题多重解的存在性。通过将这类边值问题的解转本ｍｄｎＦｗｌｒ
引理２１．（设Ｅ是实可分Ｈｌｅｔｊｉｒ空间，Ｊ∈Ｃ（Ｒ满足ＰＳ条件，有下界，又设有ｂＥ，）．．
方程（）１作为描述众多实际问题的数学模型，己广泛出现在计算机科学、控制理论、流体力学、核物理学等学科的研究中。很多作者进行了深刻的讨论，得到了一系列重要的结果。例如关于非共轭与非焦性的结果【３，关于振动性与渐近性的结果［６，关于周期解及次调和解的卜１４］－存在性与多重性的结果【１。７２－］
由文献【］１知，Ｕ＝（０，（），（）４ｕ）２，后） … Ｔ∈Ｒ是泛函Ｊ的临界点当且仅当
＝
｛ｔ ¨＝札）（，２…，１ｕ）（瘥：（０１乱））（）（，）（，（，＋）
＋１）＝一（）后的解。由，的连续性可得，Ｊ ∈
组成的边值问题多重解的存在性，这里是一个固定的正整数，ｚ１ｋ１Ｒ并且对于任Ｐ：［＋１一，意的ｔ ∈ｚ［南＋１，（＞０ｑ：１纠一Ｒ１，１ｐｔ），ｚ［，，，：［，】ｚ１ｋ ×Ｒ— Ｒ关于第二个变量连续，△ 是前差分算子，定义为Ａｕｔ＝￡）（，Ｌ是常数。（（＋１一Ｏ）），

带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解

Ｉ单增有界，且存在正常数叩使（）≤ ７Ｙ。，叩１）（对于（．）有关文献对，ｚ１１，（）的情况作了不少研究，参见文献Ｅ，，，Ｊ例如，特殊情形ｂ＝ｄ一１２３４。在０＞０下，Ｔｌｆｒｏ在文献Ｅ３中用打靶法研究了正解的存在性和唯一性。对ｊ）≠ ０的情况结果，ａｉｅｒａ２但（还很少，文献Ｅ，，，］徐在文献［，］中利用不动点指数方法作了一些研究。Ｃ＝１ｄ：０的情况，见５６７８。５６对＝，＝
其中位Ｉ
一ｚ才）ｘｔ）（一（１，
Ｉ，Ｘ（）ｓ（１，（）∈ ＣＯ１，ｆ０ｔ（，） ∈ 一一．￡）户￡于Ｔ（，）（）≥ ， ∈ ０１，
Ｒ，ａ≥ ０ｂ≥ ０Ｃ０ｄ≥ ０ａ，，≥ ，，＋ｂ＞０Ｃ，＋ｄ＞０ｌ一＋ａ，Ｄｄ＋ｂ＞０工∈ Ｃ（＋，＋Ｒｃ，ＲＲ）＋为正实数集，
设ＰＥ，］Ｒ＋Ｃ（ｏ１，）一｛ｚ：ｏ１一Ｒ，（）ｚＩＥ，］＋ｚ￡除在ｔｔ点外都连续，ｔ点左连续，在ｔ点的右 — 。在且－
极限存在）ＰＥ，］Ｒ）一｛：ｏ１；Ｃ（ｏ１，＋ｚＩＥ，］一Ｒ，（）除在ｔｔ点外都连续，ｔ点左连续，在ｔ＋￡＝在且点的右极限存在｝Ｐ。Ｅ，１Ｒ）：｛ｚ：ｏ１一Ｒ（）除在ｔｔ；Ｃ（ｏ１，＋ｚｌＥ，１＋， — 点外都连续，ｔ在点左连续，

次线性Emden-Fowler方程两点边值问题的唯一解在零点的收敛速率的估计

收敛速率是数学研究中的一个很重要的Ｉ题，＂７而对方程边值问题解的收敛速度问题研究的很少。次线性Ｅｄｎｍｅ．
Ｆｗｅ方程两点边值问题在很多文献中用到，究了次线性ＥｄｎＦｗｅ方程ｏｌｒ研ｍｅ．ｏｌｒ
ｒ＋（）＝，ｐ＜１（）６００＜１【（）＝１００（）＝（）２
（）ｔ０１，￡，∈（，）ｕ０（）＝Ｍ１＝（）＝（）＝，（）０１０
２４期
卢晓云，：等次线性Ｅｅ—ｏｌｒｍｄｎＦｗｅ方程两点边值问题的唯一解在零点的收敛速率的估计
５４７５
０ｔ一ｆ（一）６） ≤（ ≤（一＜（ｏ１ｓ（ｄｑ）ｔ１）５ｓ１
＠２１ＳｉＴｅ．ｎｎ０１ｅ．ｅｈＥｇ￣
次线性Ｅｅ－ｏｌｒ程两点边值问题的ｍｄｎＦｗｅ方唯一解在零点的收敛速率的估计
卢晓云闰宝强
（山东师范大学数学科学学院，济南２０１）５０４
摘
要
１
值问题的解在零点的收敛速率问题，文主要研究本
了ＥｄｎＦｗｅ方程ｍｅ —ｏｌｒ
（）＜０１ｓ６） ∞０Ｐ１Ｂ０Ｊ一）（＜，＜＜，２（
则问题式（）式（）１、２有唯一的Ｃ［，］，ｌ０１解且
两点边值问题的唯一解（）ｔ在零点的收敛速率的估计问题，中，（）ｃｏ１，（），ｅ（，）其ｂｔ（，）ｂｔ＞０ｔ０１。

Emden-Fowler方程奇异边值问题的定号解

Emden-Fowler方程奇异边值问题的定号解
王文清;董晓婧;王肖丹;毛安民
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2017(19)1
【摘要】本文研究Emden-Fowler方程奇异边值问题｛ü=-q(x)|u|p-2u+λu,
x∈(0,1), (1)u(0)=u(1)=0,的定号解.本文允许问题(1)可以在一个零测度集上存在奇异性,即允许在无穷多个点处奇异;另外,多数文献得到的定号解是正解,本文证明了问题(1)至少有一正解和一个负解.
【总页数】7页(P88-94)
【作者】王文清;董晓婧;王肖丹;毛安民
【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,曲阜273165;曲阜师范大学数学科学学院,曲阜273165;曲阜师范大学数学科学学院,曲阜273165;曲阜师范大学数学科学学院,曲阜273165
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解 [J], 代丽美
2.次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;何韬;张明新
3.Emden-Fowler方程奇异Dirichlet边值问题的正基态解 [J], 王佳; 郜翠峰; 王新珂; 毛安民
4.Emden-Fowler方程奇异边值问题的无穷多高能量解 [J], 赵月云;莫帅;张海燕;
毛安民
5.正指数Emden-Fowler方程脉冲奇异边值问题的PC^1([0,1],R_+)正解 [J], 代丽美
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

时间尺度上二阶具阻尼项Emden-Fowler型动力方程振动性

，
（ ≥ ７ｘ（）ｒ（）ａｔｘ（）≥ （（）， ≥ ｚ，ｚ）（）－ｚ￡，（）口（））ｚ
）≤
ｙ
㈤
＋［
Ｘｒ１）（－（）
一
△ ）。，
一
由（０式，１）得
）≤ 咖㈤＋叫～ｙ（
由引理２得（）成立，义函数ｗ（）为（Ｏ，７定１）式，此因
ｃ由ｙ≥ １得，
（） ≥ ｙ（）Ｘ￡，（）（）（）ａｔｘ（）≥ （ｚ￡） ≥ ｚ，口（）（），
一ｃ啪Fra bibliotek－８ｔｑｔ（）（）
￡ｃ。一Ｊ
㈤
）一
，ｕ … …
］一ｃ × 。
…
成立．里这
（）一￡，
则方程（）动．１振证明假设方程（）７Ｅ。ｏ）１￣ｔ，ｏ上有非振动解ｚ（）不失一般性，妨设Ｅ．不
（）＞ｏ（（），ｒ￡）＞０， ≥ ｔ．ｔ１
ＨａＥ研究了时间尺度上二阶Ｅｅ — ｏｅ时滞动力方程ｎｍｄｎＦｗｌｒ
△ （）＋Ｐ（）ｒ）一０，凸ｚ（（）ｔ∈ Ｔ（）２
的振动性，建立了（）振动的几个充分条件．ｒｅ。研究了时间尺度上二阶非线性带阻尼项动力方程２Ｅｂ
（ｚ￡））ｙＩ４（一ｘｚ（ｄ（（）一ｌ［－１）ｙ￡ｈ１）
√ｏ

奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解的开题报告

奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解的开题报告开题报告：奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解1. 研究背景和意义Neumann问题是常见的偏微分方程边值问题之一，在许多领域都有广泛应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。

在Neumann问题中，给出一定的边界条件后，需要求解满足该条件的解。

然而，当边界有奇异性时，求解Neumann问题变得很困难，因为经典的解析方法往往不适用。

而此时，多重正解的出现给了我们新的思路，可以通过将多个正解叠加在一起来得到满足边界条件的解。

因此，研究奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解，对于深入了解边界问题的解析方法、解的结构和性质等具有重要意义。

2. 研究内容和方法本文将主要研究奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解，包括以下内容：(1) Neumann问题、奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的定义和基本概念；(2) 多重正解的概念和基本性质，包括狄利克雷绿函数和极限矩阵的应用；(3) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解的存在性和唯一性，包括用分离变量法构造的一些典型的多重正解；(4) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解的结构和性质，包括用极限矩阵的方法研究多重正解的收敛性和相容性；(5) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解在应用中的一些具体问题，如流体力学中的应用等。

研究方法主要包括理论分析和数值计算两种方法。

对于理论分析，将采用分离变量法、极限矩阵、奇异积分等方法进行分析；对于数值计算，将采用有限元等方法进行求解和验证。

3. 研究计划和进度本研究计划采用以下时间进度表：阶段计划内容时间进度一研究背景和意义第1周研究内容和方法二 Neumann问题、奇第2-3周异Neumann问题、非奇异Neumann问题的定义和基本概念三多重正解的概念和第4-5周基本性质四奇异Neumann问题和第6-8周非奇异Neumann问题的多重正解的存在性和唯一性五奇异Neumann问题和第9-11周非奇异Neumann问题的多重正解的结构和性质六奇异Neumann问题和第12周非奇异Neumann问题的多重正解在应用中的具体问题七论文写作和论文第13-15周答辩准备计划中的时间进度表并不一定是最终的时间安排表，可能还会有一定的调整。

奇异微分方程边值问题的数值解法

奇异微分方程边值问题的数值解法奇异微分方程（singular differential equation）是指微分方程中存在奇异点（singular point）的一类特殊微分方程。

这些奇异点通常是导致方程在一些点上不连续或无定义的地方。

差分法（finite difference method）是将微分方程转化为差分方程，并用差分方法进行逼近求解的一种方法。

它的基本思想是将区间离散化，将微分方程转化为一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

差分法的步骤如下：1.将求解区间进行等距离离散化，将连续的问题转化为离散的问题。

2.将微分方程中的导数用中心差分或向前/向后差分表示，得到差分方程。

3.将边界条件转化为差分方程中的代数方程。

4.将离散化的差分方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

有限元法（finite element method）是一种将微分方程用虚位移法（variational principle）得到弱形式，然后通过离散化和近似求解的方法。

它的基本思想是将求解区域划分为有限个子区域，然后在每个子区域内选取适当的基函数，通过这些基函数的线性组合近似原方程。

有限元法的步骤如下：1.将求解区域划分为三角形或四边形的有限个子区域，每个子区域称为单元。

2.在每个单元内选取适当的基函数，通常为多项式函数。

3.将原方程化为弱形式，即将方程两边乘上一个测试函数，并在整个求解区域上进行积分。

4.在每个单元内进行积分近似，并通过对各个单元的积分进行求和，得到离散化的方程。

5.将边界条件转化为代数方程。

6.将离散化的方程和代数方程组成一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。

总结起来，奇异微分方程边值问题的数值解法包括差分法和有限元法。

这两种方法都需要将微分方程进行离散化，然后通过求解线性方程组得到数值解。

选择使用哪种方法主要取决于具体的问题和求解精度要求。

四阶微分方程奇异边值问题的正解

四阶微分方程奇异边值问题的正解【引言】四阶微分方程奇异边值问题的正解是数学领域中的一个有趣而重要的课题。

我们知道，微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，而四阶微分方程则更加复杂，涉及到更高阶的导数。

奇异边值问题是在给定一组边界条件的情况下，寻找四阶微分方程的满足条件的解。

在本文中，我们将全面评估和讨论四阶微分方程奇异边值问题的正解，并分享个人观点和理解。

【正文】1. 什么是四阶微分方程奇异边值问题？四阶微分方程奇异边值问题是指在给定的区间上，满足四阶微分方程和一组边界条件的情况下，求解方程的满足条件的解。

这些边界条件可能包括函数值、导数值以及二阶导数值等信息。

奇异边值问题的难点在于，边界条件的组合可能导致问题的奇异性，使得传统方法难以直接求解。

研究四阶微分方程奇异边值问题的正解对于深入理解微分方程在实际问题中的应用至关重要。

2. 解四阶微分方程奇异边值问题的方法解决四阶微分方程奇异边值问题需要结合数值方法和分析方法，以下是一些常用的方法：1) 分离变量法：将四阶微分方程拆解为一系列一阶或二阶微分方程，通过求解这些低阶方程来获得原问题的解。

2) 特征方法：对于特殊的四阶微分方程，可以使用特征方法，将其转化为一些已知的标准方程，然后进行求解。

3) 变分法：通过引入变分原理，将四阶微分方程奇异边值问题转化为极值问题，利用变分法的性质求解。

3. 四阶微分方程奇异边值问题的应用四阶微分方程奇异边值问题在各个科学领域具有广泛的应用。

以下是几个应用实例：1) 结构力学：四阶微分方程可以描述梁、板等结构的挠度分布，奇异边值问题的正解可以得到结构的稳定性和强度等信息。

2) 电磁场分析：研究电磁场分布时，涉及到Maxwell方程，其中存在四阶微分算符，解奇异边值问题可以得到电磁场的具体分布情况。

3) 物理学：四阶微分方程可以描述波动方程、量子力学中的薛定谔方程等，解奇异边值问题可以获得物理问题的精确解析解。

奇异三阶微分方程m点边值问题的正解

奇异三阶微分方程m点边值问题的正解随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中的应用也越来越广泛。

其中，奇异微分方程是一类非常重要的微分方程类型，因其特殊的解法和广泛的应用而备受关注。

本文将探讨奇异三阶微分方程m点边值问题的正解，希望能为相关领域的研究者提供一些帮助。

首先，我们来介绍一下什么是奇异微分方程。

奇异微分方程是指在某些点上，方程的系数或解本身出现无穷大、无界或不连续等异常情况的微分方程。

这种微分方程的解法相对于一般的微分方程来说更为复杂，需要特殊的方法进行求解。

而奇异三阶微分方程则是指三阶微分方程中存在某些奇异点的微分方程。

这种微分方程在工程、物理、数学等领域中都有广泛的应用。

但是，由于其解法比较困难，所以在实际应用中往往需要借助计算机等工具进行数值求解。

接下来，我们来探讨一下奇异三阶微分方程m点边值问题的正解。

这里的m点边值问题指的是，在某些特定点上，方程的解需要满足一些特殊的条件。

对于这种问题，我们可以采用分段求解的方法。

具体地，我们将边界点附近的区域分成若干个小区间，在每个小区间内分别求解微分方程，并利用边界点处的条件将各个小区间的解拼接起来，从而得到整个区间上的解。

在实际求解过程中，我们还需要借助一些特殊的技巧来处理奇异点。

例如，我们可以采用Frobenius方法将奇异点附近的解表示成幂级数的形式，从而得到解的通解表达式。

同时，我们还可以借助变量代换等方法将奇异点转化为正常的普通点，从而简化问题的求解。

总之，奇异三阶微分方程m点边值问题的正解是一个比较复杂的问题，需要借助多种数学工具和技巧进行求解。

但是，通过合理的分段求解和特殊的技巧处理，我们仍然可以得到准确的解析解。

这种解法不仅可以帮助我们更好地理解奇异微分方程的性质和规律，还可以为相关领域的研究者提供重要的参考和指导。

emden fowler方程

emden fowler方程Emden-Fowler方程是一种常见的微分方程，描述了球对称的星体内部的物理现象。

这个方程通常用来研究恒星结构和天体物理学中的一些基本问题。

在这篇文章中，我们将从人类的视角出发，以一种生动的方式描述Emden-Fowler方程及其相关的科学问题。

Emden-Fowler方程是由奥斯卡·弗勒（Oscar Fowler）和罗伯特·厄登（Robert Emden）在20世纪初提出的。

这个方程用于描述球对称星体内部物质的分布和压力随距离的变化。

它的形式如下：$$\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}\left(\xi^2\frac{d\theta}{d\ xi}\right) + \theta^n = 0$$其中，$\xi$是无量纲的径向变量，$\theta$是无量纲的密度变量，$n$是方程中的一个参数，通常取2或5。

Emden-Fowler方程的解决问题通常与星体的结构和演化有关。

例如，通过求解方程，我们可以得到星体内部的密度分布、压力分布和温度分布等重要物理量。

这些结果对于研究恒星的演化、恒星爆发和宇宙学模型的建立都具有重要意义。

Emden-Fowler方程还用于研究其他领域的问题，例如在化学工程中的反应动力学、地球内部的物质分布等。

方程的普遍性和应用广泛性使得它成为了数学和物理学领域中的一个重要研究课题。

解决Emden-Fowler方程的方法有很多，包括数值方法和解析方法。

数值方法通常通过离散化方程，然后利用计算机进行模拟求解。

解析方法则通过变换和近似的手段，尝试得到方程的解析解。

这些方法都有各自的适用范围和优缺点，研究者们根据具体问题的要求选择不同的方法。

总结起来，Emden-Fowler方程是一种描述球对称星体内部物理现象的微分方程。

它在天体物理学、化学工程和地球科学等领域具有广泛的应用。

通过求解方程，我们可以得到星体内部的物理量分布，为我们深入理解宇宙和地球提供了重要的工具。

一类二阶中立时滞Emden-Fowler型微分方程的振动性

否则就称这个解是非振动的．如果方程（）１的所有解都是振动的，称方程（）振动的．则１是对于二阶线性和非线性中立时滞微分方程，有许多关于其解振动或非振动的充分条件 ¨ ，已Ｗｏｇ［将Ａｋｎｏ＿和Ｂｌｏｅ＿关于二阶微分方程的结论推广至一类二阶时滞泛函微分方程，ｎ２１ｔｉｓｎ３ｅｒ４ｈｃ并给出了几个公开问题，ａｅ＿解决了Ｗｏｇ的一个公开问题，出了方程（）动性的若干充分条件．本文Ｓｋｒ５ｎ给１振在中，我们将对［］５的相关结果进行进一步推广，以下，我们总假设用到的泛函不等式对充分大的ｔ立．成
李连忠何乐亮李晓雯，，
（．泰山学院数学与系统科学学院，东泰安ｉ山２１２；．泰山学院附属中学，山东泰安７０１２２１０）７００
［摘
要］运用平均积分技巧，文给出了一类二阶中立时滞Ｅｄｎ—Ｆｗｅ型微分方程振动性的新结本ｍｅｏｌｒ
令（ｐ嚣由］１证，充大ｆ时．）且）（若，５理的明在分的≥当有（￡￡＝［定存，≥ ｇ＞￡
，）一（）（）＋ｌ￡ｆ（ ≤ ｐ￡ｇ７（））一Ｗｌ￡（）ｆ（（）￡．（）８
在（）以ｓ替ｔ两边同乘上ｈｔｓｕｓ后从Ｔ到ｔ８中代，（，）（）积分，：得
采用反证法．假设方程（）一个非振动解Ｙｔ，１有（）不失一般性，当ｔ分大时有：设充

一类二阶Emden-Fowler型中立型时滞微分方程的区间振动性

［，ｏｏ）的区间列的性质，非整个［。。）的性质．而￡，。上最后，们给出实例以阐述主要结果的有效性．我［键词］振动；中立型时滞微分方程；分平均法关积［图分类号］Ｏ７．３中１５１［献标识码］Ａ文［章编号］１７—４４２１）３０２—７文６２１５（０１０— １４０
意义．３近Ｏ年以来，中立型方程的振动性的研究，到人们的广泛关注，得到许多成果，文献对受并见
［，，］最近，１］１３５．文［３文献［］４关于二阶Ｅｅ — ｏｅ方程２和［］ｍｄｎＦｗｌｒ
１引
言
考虑到二阶Ｅｅ— ｏｅ型中立型时滞微分方程ｍｄｎＦｗｌｒ
（（）（）＋ｑ（）Ｉ（一）ｊｓｎｙｔ口￡）ｌｔｙ。ｇ（一１＋（）ｊ（一）Ｊｓｎｙｔ）￡ｔ２ｇ（一）＝ｆ￡ｙ＝０ ≥ 。，＝
（（）（）ｑ（）ｌ（一）ｌｇ（一１十（）ｌ（一）ｌｇ（一）一０，￡ ≠ 十１ｔ１ｎｔ）ｓ）￡ｔ２ｎｔｚｓ利用Ｒｃａｉ巧和积分平均法，出了一些判定其解振动的充分判据．些判据仅依赖于方程的系数在ｉｔ技ｃ给这
始条件（）兰（），当一０ｔ），且延展到［。。）（ｌＥ￣．，时并。ｔ，。Ｈａｅ６）出于振动性的环境考虑，们关我

奇异二阶Neumann边值问题的正解

维普资讯
曲阜师范大学学报（自然科学版）
（）ｆ＝ｇ＝０且ｆＨ２ｏ０＝ｇ＝ｏ（线性）ｆ＝ｇ＝∞ 且ｆｏ超或ｏ０＝ｇ＝０次线性）（；
其中ｆｌｏｉｍ
ｉｍ＝ｌ
华
，则
Ｇｔｓ＝ｃ，
一
一
洧
＝
Ｇ（，）ＭｏｓＳ，ｔｓ ≥ Ｃ（，）０≤ ｔ≤ １一．
于是对Ｕ∈ Ｋｏ有，
ｒ１
｛三：：喜；：斟，故有
（）７
一
“￡（）
８Ｇ）（厂“ｓ＋（ｇ“ｓＪ（［ｓ（（）６）（（）０口））ｓ）
和ｔ具有奇性，＝１得到了问题（）１的正解，发展了文献［］３．
２预备知识和引理
Ｇ）每ｓ，。、（１７ｍ。、。￡Ｌｊ，ｈ ‘ ｓ、．
ｘ其中＝ｖ，ｅ＿ｅＸｓ＝ — ＿ｅｉ厂ｃｚ＝— ＋－ｈｚｅ＿ｈｘ一
Ｋｏ＝｛ “∈ ｃ［，］Ｉ（）０口ｌ＿ “ ｓ ≥ ＭｅＩＩ，ｏ１ “ ｓ ≥ ，ｍｉ（）ｎ “Ｉ｝Ｉ ≤ ≤１ —０
其中Ｉ“Ｉ＝ｆＵＩＩＩ ∈ ］Ｓ［），ｌ＝
卣３有Ａ（ ≤ｊＧｓ）（厂“ｓ＋（ｇ“ｓ］，而（式ｕｔ（ｓ口ｓ（（）６）（（）ｓ从）），［））ｓ）ｄ
１引
言
关于Ｎｅｍａｎ边值问题，ｕｎ一些文献分别运用不同的方法进行了研究［，，应用锥拉伸与锥压缩不动但

奇异系统的正则无脉冲证明

奇异系统的正则无脉冲证明奇异系统的正则无脉冲证明引言：奇异系统是一类非线性动力学系统，具有一些特殊的性质，在许多科学和工程领域中具有重要的应用。

在研究奇异系统的动力学行为时，我们经常关注它们的正则性和无脉冲性，这些性质不仅对于理论计算非常重要，也对实际应用有着深远的指导意义。

本文将详细介绍奇异系统的正则无脉冲证明方法，并带领读者全面了解相关概念和技巧。

正则无脉冲性的定义：首先，我们来明确正则无脉冲性的概念。

一个奇异系统被称为正则无脉冲的，如果系统的解在任意有限时间内不存在突变或者跳跃现象，即系统状态变量的导数在任何时刻都是有限的。

这一性质在某些实际应用中是非常重要的，因为它保证了系统行为的平滑和连续性。

正则无脉冲性的证明方法：正则无脉冲性的证明方法一般分为两个步骤：先证明系统的解的存在唯一性，再证明解的导数有界。

第一步，我们需要证明系统的解的存在唯一性。

在奇异系统中，常常可以通过考察系统的初值问题来解决这一问题。

我们可以利用常微分方程的初值问题解的存在唯一性理论，例如Cauchy-Lipschitz定理，来证明奇异系统的解的存在唯一。

第二步，我们需要证明解的导数有界。

这一步骤一般比较复杂，需要结合奇异系统的特性和一些数学工具进行证明。

其中，常用的方法有：Lyapunov函数法、能量方法、LaSalle不变集方法等。

这些方法各有特点和适用范围，需要根据具体的奇异系统来选择合适的方法。

通过证明解的导数有界，我们可以得到系统状态变量在任意时刻都是有限的，从而证明了系统的正则无脉冲性。

应用与指导意义：奇异系统的正则无脉冲性在科学和工程领域中有着广泛的应用和重要的指导意义。

例如在控制理论中，正则无脉冲性保证了系统的控制行为是平滑、稳定的，从而提高了系统的性能；在电力系统的稳定性分析中，正则无脉冲性保证了系统的电压和电流等物理量的连续性，从而保证了电网的稳定运行等。

结论：奇异系统的正则无脉冲性是一个重要的性质，能够保证系统的行为的平滑和连续性。

时间尺度上三阶Emden—Fowler动力方程的振动准则

ｐ
（（（ｓｓ））一
） ∞ （，２．８）
这里（：ｈ（（，）（丁）ｍ（：／ｔｔ．＝（２ｔ／ｒ（）（））Ｔ）０（）），ｔ＝ｔ（）＋２（）则方程（．的所有解或者）１）８是振动的，或者ｌ（存在．ｉ￡ａｒ）
Ｊｔｏ
（３１）．
这里Ｔｙｒａｌ单项式｛（ｓ）０ｏｔ），定义为ｈ（ｓ＝１ｈ＋（ｓ＝ｈ（，Ａ－１ｔｓｏ，），ｎｌ，）ｎ７ｓ￣礼，， ∈ ￡－），Ｔ通过使用形式为（＝．ｔ（））的Ｒｉａｉ换技术，得到了方程（．）ｃｔ变ｃ１２振动的几个结果．Ｈｎ等［］ａ２研究了三阶ＥｄｎＦｗｅ中立型时滞动力方程９ｍｅ—ｏｌｒ（（（（一０ｔ（（） △ △＋ｐｔ（＠），ｔｒ））（７￡）））．） △ （）＝０） ∈Ｔ（．１）４
２主要结果
在这一部分，我们将给出方程（．振动的几个新的准则．为了证明主要结果，需要用１）８到下面的公式
（（））（ △＝７［（＋（一１（ｄ，）九￡１）（】 △ ））— ）
数学物理学报
ｈｔ：ａｔｍ．ｉｍ．．ｔ／ｃｓｐａｃｐ／ａｗＣａ
时间尺度上三阶Ｅｅ — ｏｅ力方程的振动准则ｍｄｎＦｗｌｒ动
，
李同兴，韩振来２张承慧
孙一冰

奇异微分方程边值问题的数值解法

奇异微分方程边值问题的数值解法
奇异微分方程（singular differential equation）是指方程在某个特定点处出现了令系数函数、初值函数及其导数在该点变为无穷大或为零的情况，使得求解方程的解析方法失效，需要采用数值方法求解。

一般来说，奇异微分方程的求解方法相对复杂，需要寻找专门的数值方法。

奇异微分方程边值问题（Singular boundary value problems）是指包含奇异微分方程的边值问题。

奇异微分方程边值问题的数值解法通常需要考虑奇异点处的解析性质和边界条件限制等方面的问题，常用的数值方法包括：有限元方法、微分学计算、BVP solvers 等。

常用的数值解法之一是有限元方法。

该方法通过将微分方程离散化为有限个线性方程组，再利用数值方法求解方程组解，来计算微分方程的数值解。

该方法在处理奇异微分方程时可以采用局部细化的网格，以提高计算精度。

另一种数值解法是微分学计算。

该方法基于微分学计算理论，采用微分代数、微分几何等方法，以求得微分方程的解析解或其近似解形式。

该方法一般可以处理比较复杂的奇异微分方程问题，但计算过程较为复杂，不适合处理大规模的问题。

最后，BVP solvers 是一类专门用于解决奇异微分方程边值问题的求解器。

BVP solvers 通常结合了多种数值方法，能够处理不同的奇异微分方程，并可以方便地求得边值问题的数值解。

常见的 BVP solvers 包括MATLAB 中的 bvp4c 和 bvp5c 等函数。

一类奇异泛函微分方程边值问题的正解

一类奇异泛函微分方程边值问题的正解李玉玉【摘要】利用锥拉伸与锥压缩不动点理论讨论了一类具有限时滞二阶奇异泛函微分方程三点边值问题正解的存在性，建立了一类奇异泛函微分方程边值问题至少存在一个正解的充分性条件并推广和改进了已有的结果。

%By using the fixed-point theorem in cones,the existence of positive solutions is obtained for a class of boundary value problems of second-order singular functional differential equations,a corresponding problem for at least one positive solution of sufficient conditions is established and the known results are improved and generalized.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P65-69)【关键词】正解;不动点定理;泛函微分方程;三点边值问题【作者】李玉玉【作者单位】西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070; 甘肃交通职业技术学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8由于在应用数学、物理学等诸多领域的广泛应用背景，非局部边值问题已引起了人们的广泛关注，并且取得了许多深刻的结果.近年来，随着泛函微分方程理论的发展以及其在物理、力学、自动控制理论、生物学、经济学等众多学科中的应用，泛函微分方程边值问题成为关注的一个热点［1-5］.本文利用锥上的不动点理论考虑如下二阶含参数的奇异泛函微分方程三点边值问题正解的存在性.其中：λ＞0为参数；正解u（t）是指u∈C［－τ，1］∩C 2［0，1］满足式（1）且当t∈［－τ，0］时u（t）≥0，又在［0，1］上不恒为0 的函数. 为了方便，下面给出一些记号，对∀τ∈［0，＋∞），记C＝｛φ|φ∈C［－τ，0］｝，则C在范数下构成Banach空间.记C＋＝｛φ∈C|φ（t）≥0，t∈［－τ，0］｝，令：ut（s）＝u（t＋s），其中：s∈［－τ，0］，t∈［0，1］，则ut∈C.当τ＝0时，C退化为R，此时边值问题（1）退化为一般的常微分方程边值问题，其正解的存在性已经被许多学者做过研究［3-4］.若f（t，u）≡f（u），λ≡1，φ（0）＝0，则边值问题（1）即为马［4］所研究的三点边值问题，其中：η∈（0，1）；0≤αη＜1；p∈C（［0，1］，［0，＋∞））；f∈C（［0，＋∞），［0，＋∞））.运用锥上的不动点指数理论，该文获得了当f满足超线性或次线性增长条件时，边值问题（2）的正解存在性.当φ（t）≡0（t∈［－τ，0］）时，边值问题（1）即为王等［8］所讨论的如下滞后型泛函微分方程多点边值问题，其中：λ＞0为参数，且满足：是连续函数，且存在常数0≤b＜c≤1－τ，使得.运用锥拉伸与锥压缩不动点定理，该文获得了边值问题（3）正解存在的充分条件.本文通过构造一个特殊的锥，利用函数的凹性，将文献［8］中对0＜τ＜1的限制放宽为τ≥0，且去掉了τ≡0的要求，运用锥上的不动点定理，得到了边值问题（1）正解存在的充分条件及参数的取值范围，本文的结果推广和改进了文献［4，7-8］中的相关结果.1 预备工作本文做以下假设：（H2）f∶［0，1］×C＋→［0，＋∞）是连续函数，p∶（0，1）→［0，＋∞）连续，可在t＝0和t＝1处奇异，满足，且存在常数在C［－τ，1］中定义，则C［－τ，1］是Banach空间，在C［－τ，1］中构造一个锥如下：K ＝｛u∈C［－τ，1］|u（t）≥0，t∈［－τ，1］，u在［0，1］上为凹函数｝. 容易验证边值问题（1）等价于下面的积分方程，其中：于是由G（t，s）的定义及（H2），得：定义算子A∶K →C［－τ，1］如下：由条件（H1）和（H2）易知在锥K 中，u 是边值问题（1）的解当且仅当u是A的不动点.引理1 设X 是Banach空间，如果An∶X →X（n＝1，2，3…）是全连续算子，A∶X →X 且对任意的r＞0有：那么A 是全连续算子.引理2 A∶K →K 全连续，这里算子A 由式（6）定义.证明由凹函数的定义易知AK ⊂K，下证K的全连续性.对任意的自然数n（n≥2），定义：则pn∶［0，1］→［0，＋∞）连续，且pn（t）≤p（t），t∈（0，1），令：首先证明An∶K →K 全连续，易知AnK ⊂K.由f的连续性可知An是连续的.设B是C［－τ，1］中的有界子集，由Arzela-Ascoli定理，只需证明AnB在C［－τ，1］上一致有界且等度连续即可.显然｛ut|u∈B，t∈［0，1］｝在C＋中关于t∈［0，1］一致有界，且存在常数C0使得又因为pn在［0，1］上一致连续，从而An（B）在C［－τ，1］上有界.再设u∈B，t1，t2∈［－τ，1］，若0≤t1≤t2≤1，则若－τ≤t1≤t2≤0，则|Anu（t2）－Anu（t1）|＝|φ（t2）－φ（t1）|；若－τ≤t1＜0＜t2≤1，则对于上述任一种情形，由φ在［－τ，0］上一致连续，G在［0，1］×［0，1］上一致连续，且pn在［0，1］上一致连续可知，对∀u∈B，t1，t2∈［－τ，1］，当|t2－t1|→0时，有|Anu（t2）－Anu（t1）|→0，即AnB 等度连续，由此An∶K →K 全连续.令：，从而对任意的R ＞0取u∈BR＝｛u∈C［－τ，1］｝|‖u‖≤R，则因此由引理1知A∶K →K 全连续.证毕.引理3 存在常数γ∈（0，1），使得对∀u∈K，μ ∈［σ，1－σ］都有‖uμ‖C≥γ‖u‖［0，1］.其中：证明令，对∀u∈K，μ∈［σ，1－σ］有：因为u（t）是凹函数且u（t）≥0，所以∃θ∈［0，1］使得u（θ）＝‖u‖［0，1］.下面分3种情况证明1）若，由u的凹性可知，即2）若θ≤δ＜μ则，由u的凹性可知3）若δ ＜θ ＜μ 则，u（μ）｝，从而又可归结为1），2）的情形.综上，只要令，就有：，故由式（11）得：‖uμ‖C≥γ‖u‖［0，1］.证毕.引理4［13-14］令：X 为Banach空间，K 为E 中的一个锥，Ω1，Ω2为X 中有界开集且；A∶→K 为全连续算子，若下列条件之一成立：则A 在中至少有一个不动点.为方便起见，再给出几个记号：2 主要结果定理1 假设条件（H1），（H2）成立，又若成立条件：则对，边值问题（1）至少存在一个正解.证明 1）由知，存在一个常数ε＞0，使得：因为f 0 ＜∞，则存在r1＞‖φ‖ 使得：于是对∀u ∈K，‖u‖ ＝r1由式（7），（12）-（13）及‖us‖C＜r1有：又由f∞＞0知存在r2＞r1使得：取u∈K，‖u‖ ＝r2，由式（6），（15）有：结合式（14），（16）及引理4 知A 在K ∩中至少有一个不动点u0，且r1≤u0≤r2由于u0在（0，1）上是凹函数，于是u0（t）＞0，t∈（0，1），从而u0是边值问题（1）的一个正解.证毕.定理2 假设条件（H1），（H2）成立，又若成立条件：则对，边值问题（1）至少存在一个正解.证明 1）由知，存在一个常数ε＞0，使得：因为f0＞0，则存在R1＞0使得：对u∈K，‖u‖＝R1，由式（7），（17）-（18）及‖us‖C＜R1，得：由f∞＜∞知存在R2＞R1使得：下面分两种情况来讨论：1）若f 有界，则存在N ＞0使得：取d s，R1｝，则对∀u∈K，t∈［－τ，1］，‖u‖＝R3有：2）若f无界，则存在R4＞max｛‖φ‖C，R1｝使得：则对∀u∈K，‖u‖ ＝R4有：取R5＝max｛R3，R4｝，则结合式（19），（23）及引理4知A在中至少有一个不动点u*，且R1≤‖u*‖ ≤R5，由于u* 在（0，1）上是凹函数，于是u*（t）＞0，t∈（0，1）从而边值问题（1）至少存在一个正解.证毕.【相关文献】［1］Il＇in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary-value problem of the first kind for a Sturm-Liouvlle operator in its differentia equations［J］.J.Differ.Equation，1987，23：803-810.［2］Il＇in V A，Moiseev E I.Nonlocal boundary-value problem of the first kind for a Sturm-Liouvlle operator［J］.J.Differ.Equation，1987，23（8）：979-987.［3］Webb J R L.Positive solution of some three-point boundary value problem vai fix point index theory［J］.Nonlinear Anal，2001，47：4319-4332.［4］Ma R Y.Positive solution of a nonlinear three-point boundary value problem ［J］.J.Differ.Equation，1999，34：1-8.［5］Li Y X.Positive solutions of second-order boundary value problems with sign-changing nonlinear terms［J］.J.Math.Anal.Appl.，2003，282（1）：232-240.［6］徐西安.半正泛函微分方程边值问题的正解［J］.系统科学与数学，2004，4（1）：64-73. ［7］Bai D Y，Xu Y T.Existence of positive solution for boundary-value problem of second-order delay differential equations［J］.Appl.Math.Letter，2005，18：621-630. ［8］Wang W B，Shen J H.Positive solutions to a multipoint boundary value problem with delays［J］pution，2007，188：96-102.［9］Ma R Y.Positive solution for boundary value problem of functional differentia equations［J］pution，2007，193：66-72.［10］Li Y X.Existence and asymptotic stability of periodic solution for evolution equations with delays［J］.Journal of Functional Analysis，2011，261（5）：1309-1324. ［11］蒋达清，张丽莉.二阶时滞微分方程边值问题的正解［J］.数学学报，2003，46（4）：739-746.［12］张克梅，蒋兰兰.奇异二阶泛函微分方程积分边值问题的正解［J］.应用泛函分析学报，2011，13（1）：65-72.［13］郭大钧，孙经先.抽象空间常微分方程［M］.济南：山东科学技术出版社，1989. ［14］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南：山东科学技术出版社，1985.。