2008-2009实变函数试卷

(实变函数)课程考试试卷 考试时间 120分钟，满分100分要求：闭卷[√]，开卷[ ]；答题纸上答题[√ ]，卷面上答题[ ] (填入√)一、填空题(32分)。

1.设12-A n =(0,n1)，n 2A =(0,n ),n =1,2, 则lim _________n n →∞A =，lim ___________n n →∞A =。

2.点集E 为闭集的充要条件是__________。

(写出一个即可)3.设E 为可数点集，则mE=__________。

4.(Carath éodory 条件)设E ⊆n ,我们称E 是L 可测的，是指如果对任一点集T 都有_____________________________。

5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E 上可测，则f(x)总可以表示成 _________________________________________。

6.若f(x)在E 上可测，则|f(x)|在E 上可测，但反之未必成立，试举例说明 ______________________。

7.(L 积分的绝对连续性)设f(x)在E 上可积分，则对任何可测集A ⊂E ，有 _______________________。

8.(Jordan 分解)在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可表示为__________ ___________________________。

二、叙述题(8分) 。

9.请叙述Lebesgue 控制收敛定理，并给出它的一个推论。

三、证明题（60分）10.设A 是一个无穷集合，则必有*A ⊂A ，使*A A ，而*A -A 可数。

11.设E ⊆n ,若对任意的ε>0,存在闭集F ⊂E ，使得m *（E-F ）<ε。

证明E 是可测集。

12．设函数列f n (x)(n=1,2 )在有界集E 上“基本上”一致收敛于f(x),证明{ f n }a.e.收敛于f 。

13.设{ f n }为E 上非负函数列，若lim ()n En f x dx →∞⎰=0，则()0n f x ⇒。

14.设f(x)是[a,b]上的有限函数，若存在M >0,使对任何0ε>，都有bV ()a f M ε+≤则f(x)是[a,b]上的有界变差函数。

15.设()0f x ≥为E上可测函数，令{()}n f x =(),[]0,[]f x x E f n x E f n ∈≤⎧⎪⎨∈>⎪⎩,则当()f x <+∞a.e.于E 时，有 lim{()}n En f x dx→∞⎰=()Ef x dx ⎰.( 实变函数 )课程考试试卷答案及评分标准四、填空题(4⨯8=32分)。

1.（0，∞），φ2./()E E E E E E ⊂∂⊂=或3.04.()()m T m T E m T C E ***=⋂+⋂5.一列简单函数{n ψ}的极限函数()lim ()n n f x x ψ→∞=，而且还可办到12|()||()|x x ψψ≤≤ 。

6. 1,()1,[0,1]\x Ef x x E ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，其中E 是[0，1]中的不可测集。

7.0lim()0Am A f x dx →=⎰8.两个增函数之差五、叙述题(8分)9.设(1){n f }是可测集E 上的可测函数列；(2)|()|()..n f x F x a e ≤于E ，n =1,2, ,且()F x 在E 上可积分；(3)()()n f x f x ⇒,则()f x 在E 上可积分且lim ()()n EEnf x dx f x dx =⎰⎰。

(6分)推论 将条件(3)改为()()..n f x f x a e →于E ，定理结论仍成立。

(8分) 六、证明题(6⨯10=60分)。

10.证明 由于A 是一个无穷集合，所以含有一个无穷子集B 。

设B={123,,,a a a }。

令1135{,,,}B a a a = 2246{,,,}B a a a =则1212,B B B B B φ=⋃⋂=且12,B B 均为可数集。

(4分) 令2,,P A B A B P *=-=⋃则1A B P A A B *=⋃-=且是可数集。

(8分)又因2B 也是可数集， 所以2B B 。

由2,,P B B P φφ⋂=⋂=所以2.A B P A B P *=⋃=⋃ 证毕。

(10分)11.证明 由条件对任何正整数n ，存在闭集n F E ⊂，使1()n m E F n*-<。

(2分)令1n n F F ∞== ，则F 是可测集且F E ⊂。

由于对一切正整数n ，有1()()n m E F m E F n**-≤-<。

故()0m E F *-=，所以E F -是可测集。

(8分)因此 ()E F E F =⋃- 是可测集。

证毕。

(10分)12.证明 因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对任意δ>0,存在可测集E E δ⊂，使()m E E δδ-<而n f 在E δ上一致收敛于().f x (4分)设0E 是E 中不收敛点的全体，则对任意δ，0E E E δ⊂-(因为E δ上n f 收敛)，所以0()m E m E F δ≤-<，令0,δ→得00m E =，所以()n f x 在E 上a.e. 收敛于()f x(不必有有界条件)。

证毕。

(10分)。

13.证明 对任意0σ>，由n f 非负可知 [||][||]()()n n n n E f Em E f f x dx f x dxσσσ≥≥≤≤⎰⎰。

(4分)因此1[|]()n n Em E f f x dx σσ≥≤⎰， (8分)1lim [||]lim()0n n En n m E f f x dx σσ→∞→∞≥==⎰即()0n f x ⇒。

证毕。

(10分) 14.证明 对任意(,)x a b ∈，因|()()|()bxf x f b V f M -≤≤，所以|()||()|f x M f b ≤+，(2分)对于[a,b]的任何分划T ， 01:,n T a x x x b =<<<= 则对应于分划T 的变差 11|()()|ni i i V f x f x -==-∑=112|()()||()()|ni i i f x f a f x f x -=-+-∑11|()||()|()2|()||()|bx f x f a V f M f b f a ≤++≤++， (8分)因此bV ()2|()||()|,a f M f a f b ≤++<∞即()f x 是[a,b]上的有界变差函数，证毕。

(10分) 15.证明 令[],A E f ==∞则0m A =，所以 ()0.Af x dx =⎰又在A 上{()}0n f x ≡，所以 {()}0.n Af x dx =⎰故()lim {()}0.n AAn f x dx f x dx →∞==⎰⎰ (4分)在E A -上，1{()}{()},1,2,,n n f x f x n +≤= 且 lim{()}()n n f x f x →∞=，由Levi 定理有()lim {()},n E A E A n f x dx f x dx --→∞=⎰⎰ (6分)所以()()()EAE Af x dx f x dx f x dx -=+⎰⎰⎰lim {()}lim{()}n n A E An n f x dx f x dx -→∞→∞=+⎰⎰lim {()}{()}n n A E An f x dx f x dx -→∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰=lim{()}n En f x dx→∞⎰即 lim{()}n En f x dx →∞⎰=()Ef x dx ⎰。

证毕。

（10分）(实变函数)课程考试试卷 考试时间 120分钟，满分100分要求：闭卷[√]，开卷[ ]；答题纸上答题[√ ]，卷面上答题[ ] (填入√)七、填空题(32分)。

1.设n A =[0,1+n1], n =1,2, lim _________n n →∞A =,lim ___________n n →∞A =。

2.点集E 为开集的充要条件是__________。

(写出一个即可)3.设E 为[0,1]中的全体有理数，则m E =__________。

4.设A ⋂B=φ，则使()m A B m B **+=成立的条件是______________。

5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E 上可测，则f(x)总可以表示成__________________________。

6.设f(x)在可测集E ⊂q （mE<∞）上的有界函数，则f(x)在E 上L 可积的充要条件是________________。

7.(L 积分的绝对连续性)设f(x)在E 上可积分，则对任何可测集A ⊂E ，有 _______________________。

8.(Jordan 分解)在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可表示为__________ ___________________________。

八、叙述题(8分) 。

9.请叙述F a to u 引理，并举例说明引理中不等号是可以实现的。

九、证明题（60分）10.设A 是一个可数集合，则A 的所有有限子集作成的集合亦必可数。

11.证明：可数点集的外测度为零。

12 设在E 上f n (x)⇒f(x),且f n (x)≤f 1n +(x)几乎处处成立， n=1,2 ，则几乎处处有f n (x)收敛于f(x)。

13.设{n f }为E 上可积函数列，lim ()()n n f x f x →∞= a.e.于E ，且|()|n Ef x dx K <⎰，K 为常数，则()f x 可积。

14.设()f x 是[a,b]上的有界变差函数，且()f x ≥c>0在[a,b]上处处成立，则1()f x 也为[a,b]上的有界变差函数。

15. 设()0f x ≥为E上可测函数，令{()}n f x =(),[]0,[]f x x E f n x E f n ∈≤⎧⎪⎨∈>⎪⎩,则当()f x <+∞a.e.于E 时，有 lim{()}n En f x dx→∞⎰=()Ef x dx ⎰.( 实变函数 )课程考试试卷答案及评分标准十、填空题(4⨯8=32分)。

1.[0,1],[0,1]2.)E E E E ⊂=（或 3.04.0m A *=5.一列简单函数{n ψ}的极限函数()lim ()n n f x x ψ→∞=，而且还可办到12|()||()|x x ψψ≤≤ 。