第3讲 高斯求和
新三第3讲 高斯求和
高斯求和德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。
不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。
老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。
也就是说1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相当于50个101 ，即5050。
用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。
事实上，像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。
利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 + 末项）×项数÷ 2等差数列的项数 =（末项–首项）÷公差 + 1首项 = 末项–公差×（项数– 1）末项 = 首项 + 公差×（项数– 1）有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。
【例1】计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10分析在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。
因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1 + 10）的和。
〖即学即练1〗（1）计算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
高斯求和
巧妙求和一、考点、热点回顾若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
列如：3,6,9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。
这一周，我们将学习“等差数列求和”。
为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）⨯公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）⨯项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这个量中的三个，就可以利用通项公式或项数公式及求和公式求和。
二、典型例题例1. 有一个数列，4、10、16、22、……52，这个数列共有多少项？练一练：（1）等差数列红，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？（2）有一个等差数列：2、5、8、11、……101，这个等差数列共有多少项？（3）已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？例2.有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？练一练：（1）一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？（2） 求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项？（3）求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项？例3.有这样 一列数，1、2、3、4……99、100.请你求出这列数各项相加的和？想一想：上面的数列是公差为1的特殊等差数列，于是我们可以用公式计算：总和=（首项+末项）⨯项数÷2。
练一练：计算下列各题：（1） 50494321++++++（2） 759876+++++（3） 60619899100+++++例4.求等差数列2、4、6……48、50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
三年级高斯求和
第3讲：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋…＋1999分析：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 + 2+ 3+ 4+-+ 99+ 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：文档来自于网络搜索1 + 100=2 + 99= 3+ 98 = ••• = 49+ 52= 50+ 51。
1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)X 100-2= 5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：文档来自于网络搜索(1)1, 2, 3, 4, 5, (100)(2)1, 3, 5, 7, 9, (99)(3)8, 15, 22, 29, 36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
文档来自于网络搜索由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和二(首项+末项)X项数+ 2。
例 1 1 + 2+ 3 + -+ 1999=?分析与解：这串加数1, 2, 3,…，1999是等差数列，首项是1,末项是1999, 共有1999个数。
由等差数列求和公式可得文档来自于网络搜索原式二（1+ 1999）X 1999-2= 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11 + 12 + 13 + •••+ 31 = ?分析与解：这串加数11, 12, 13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31 , 共有31-11 + 1 = 21 （项）。
三年级高斯求和完整版
三年级高斯求和HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第3讲：高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5，，100；（2）1，3，5，7，9，，99；（3）8，15，22，29，36，，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
（4）由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋＋1999分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和的概念
高斯求和的概念高斯求和是一个数学概念，它是指将一个等差数列中的所有数进行求和的方法。
高斯求和的原理很简单，即先求出数列的首项和末项，然后利用求和公式直接计算出总和，而不需要逐个累加。
在数学中，等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值恒定的数列。
它可以写成一般形式a1, a1 + d, a1 + 2d, ... ，其中a1为首项，d为公差。
高斯求和适用于等差数列这一特定形式的数列。
首先，我们来讨论首项为1，公差为1的等差数列的高斯求和。
这个数列可以写成1, 2, 3, 4, 5, ... ，数列的总和记作S。
显然，首项为1，公差为1的等差数列的第n项为n，也就是说数列的末项为n。
根据数列求和公式，我们有S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n-1 + n。
我们可以将这个求和式写成两次，首先将相邻的两项相加，然后将结果相加。
假设n是偶数，那么我们可以写成S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + ... + (n/2 + n/2 + 1)。
我们可以观察到，每一组括号内的两项之和都是n+1，总共有n/2组括号。
因此，这个求和式可以简化为S = ((n/2) * (n+1)。
同样地，我们也可以使用类似的方法推导出首项为1，公差为1的等差数列的高斯求和公式为S = (n * (n + 1)) / 2。
这个公式可以直接用于计算任意首项为1，公差为1的等差数列的和，而且时间复杂度是常量级的，计算速度很快。
接下来，我们来讨论一般情况下首项不为1，公差不为1的等差数列的高斯求和。
考虑等差数列a, a+d, a+2d, ... ，首项为a，公差为d。
根据求和公式，我们有S = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)。
如果我们把这个求和式转换一下，即在每一项中减去首项a，我们就得到了一个首项为0，公差为d的等差数列的求和式：S' = (a - a) + ((a + d) - a) + ((a + 2d) - a) + ... + ((a + (n-1)d) - a)。
高斯求和法公式
高斯求和法公式在咱们的数学世界里，有一个超级厉害的工具，叫做高斯求和法公式。
这玩意儿可神奇啦，能帮咱们快速算出一大堆连续数字相加的结果。
先来说说高斯求和法公式到底是啥。
它呀，就是“（首项 + 末项）×项数÷ 2”。
就这么个简单的式子，却有着大大的能量。
我记得有一次，我在给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸疑惑地问我：“老师，这公式咋就这么神奇呢？”我笑了笑，给他举了个例子。
咱们假设要算 1 加到 100 是多少。
按照平常的方法，一个一个加，那得加到啥时候呀。
但是用高斯求和法公式，就简单多啦。
首项是 1，末项是 100，项数就是 100 个数，那就是（1 + 100）× 100 ÷ 2 = 5050 。
小家伙听完眼睛都亮了，直说：“哇，好神奇！”其实呀，这个公式在生活中也很有用呢。
比如说，你要计算从 1 楼爬到 20 楼一共爬了多少级台阶，假设每层楼的台阶数都一样。
知道了第一层的台阶数和第 20 层的台阶数，再知道一共有 20 层，就能用这个公式轻松算出来啦。
那为啥这个公式能这么厉害呢？咱们来琢磨琢磨。
它其实是利用了数字的规律。
比如说 1 加到 10，1 和 10 相加是 11，2 和 9 相加也是 11，3 和 8 相加还是11……一直这样配对下去，会发现一共有 5 对 11 ，所以就是 11×5 = 55 。
再举个例子，算 2 加到 50 。
首项是 2 ，末项是 50 ，项数是 49 个数。
那就是（2 + 50）× 49 ÷ 2 = 1274 。
同学们在学习这个公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的道理。
多做几道练习题，感受感受其中的规律，慢慢地就能熟练运用啦。
当你真正掌握了高斯求和法公式，你会发现数学变得更有趣，解决问题也更轻松了。
就像打开了一扇通往神奇数学世界的大门，里面有着无数的宝藏等着咱们去发现呢！总之，高斯求和法公式是咱们数学学习中的一个好帮手，大家一定要好好掌握它，让它为咱们的数学学习助力加油！。
高斯求和公式原理
高斯求和公式原理高斯求和公式，这可是数学世界里的一个神奇小法宝！咱们今天就来好好聊聊它的原理。
话说我之前有一次监考数学考试，发现好多孩子在一道涉及求和的题目上抓耳挠腮。
那时候我就在想，要是他们能真正理解高斯求和公式的原理，或许就不会这么苦恼啦。
先来说说什么是高斯求和公式。
它的表达式是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。
这个公式看似简单，但其背后的原理可不简单哦！咱们来举个例子，假设要计算 1 到 100 的所有整数的和。
按照常规的方法，咱们得一个一个加起来，1 + 2 + 3 + 4 +……+ 99 + 100，这得多累啊！但高斯同学就很聪明，他发现了一个巧妙的方法。
他把这 100 个数首尾两两配对相加，1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101……以此类推，一直到 50 + 51 = 101 。
这样一共能配成 50 对，每对的和都是 101 。
所以，总和就是 101×50 = 5050 。
这其实就揭示了高斯求和公式的核心原理。
首项和末项相加，得到的和在整个数列中具有一定的代表性。
而项数除以 2 ，就是因为我们把数列两两配对了。
再比如说，计算 1 到 50 的和。
首项是 1 ，末项是 50 ，项数是 50 。
那么根据公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
在实际的学习和生活中，高斯求和公式的应用可广泛啦！比如说，咱们要计算一堆整齐摆放的书的总数，如果知道最上面一本书是第一本，最下面一本是最后一本，而且清楚一共有多少层，那就可以轻松用高斯求和公式算出总数。
又比如，统计一段时间内做某项任务的总次数。
假如从第一天开始，到第 n 天结束，每天的次数都有规律，也能借助这个公式迅速得出总数。
总之，高斯求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多求和问题的大门。
希望同学们在学习数学的过程中，都能像高斯同学那样，多观察、多思考，发现数学中的奇妙之处，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和惊喜！回想起那次监考，我真心希望孩子们能早点掌握这些巧妙的方法，不再被数学难题困扰，能够在数学的海洋里畅游，享受探索和发现的快乐！。
高斯求和的故事
高斯求和的故事高斯求和，又称高斯算术级数，是数学中的一个经典问题。
这个问题的故事始于著名数学家高斯的童年。
当时，高斯的老师给学生们布置了一个任务，让他们计算1到100的自然数之和。
而高斯很快就找到了一个巧妙的方法，让他轻松解决了这个问题。
高斯发现，如果把这些数字竖着写成两列，一列从1到100，一列从100到1，那么相邻的两个数之和总是101。
于是，他将这些数字两两相加，得到了50组和为101的数对。
然后，他发现这50组数对中，每一组的和都是101，于是他用简单的乘法，即50×101=5050，得到了1到100的和。
高斯的这个发现，让他轻松解决了老师布置的任务，也为他日后成为一位杰出的数学家奠定了基础。
高斯求和问题，也因此而被人们所熟知。
高斯求和问题的解决方法，展现了高斯在数学上非凡的天赋和敏锐的观察力。
他能够从简单的问题中发现规律，运用巧妙的方法解决复杂的计算，这种数学思维的优秀品质，也是我们值得学习和借鉴的。
除了这个经典的故事之外，高斯求和问题在数学领域中还有着广泛的应用。
在数学分析、数值计算、概率统计等领域，高斯求和问题都有着重要的地位。
它不仅是一个具体的计算问题，更是一个抽象的数学概念，代表着数学中的一种思维方式和方法论。
在现代科学技术的发展中，高斯求和问题的精髓已经被运用到各个领域。
比如在计算机编程中，高斯求和问题的解决方法被广泛地应用于算法设计和优化。
在工程技术中，高斯求和问题的思想也被运用到信号处理、图像识别等领域。
可以说，高斯求和问题不仅是数学领域的经典之作，更是现代科学技术的重要基础。
总的来说，高斯求和问题不仅仅是一个简单的数学问题，更是一个代表着数学思维和方法的经典案例。
它的故事激励着我们在学习和工作中，要善于发现问题的本质，善于运用巧妙的方法解决复杂的计算，善于将抽象的数学概念运用到实际生活和工作中去。
高斯求和的故事，不仅仅是一个数学故事，更是一种智慧和思维方式的传承和发展。
高斯求和的所有公式
高斯求和的所有公式高斯求和，这可是数学世界里一个相当有趣的话题！咱先来说说啥是高斯求和。
有这么个小故事，当年小高斯上小学的时候，老师出了一道题，让从 1 加到 100 算出总和。
别的小朋友都在埋头苦算，小高斯却很快得出了答案 5050。
他是咋做到的呢？原来他发现 1 和 100 相加是 101，2 和 99 相加是 101，以此类推，一共有 50组这样的 101，所以总和就是 50×101 = 5050。
这就是高斯求和的智慧啦！那高斯求和都有哪些公式呢？最常见的就是“和 = （首项 + 尾项）×项数÷ 2”。
这里面“首项”就是数列开头的那个数，“尾项”是数列最后的数，“项数”就是数列中数的个数。
比如说，要计算 1 到 50 的和。
首项是 1，尾项是 50，项数是 50。
那按照公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
再比如计算 3 到 27 的和。
首项是 3，尾项是 27，项数可不是 27 哦，得算一下，27 - 3 + 1 = 25 ，所以和就是（3 + 27）× 25 ÷ 2 = 375 。
还有一种情况，如果知道总和、首项和项数，想求尾项，那就可以用“尾项 = 总和 × 2 ÷项数 - 首项”。
假设总和是 200，首项是 5，项数是 10，那尾项就是 200 × 2 ÷ 10 -5 = 35 。
要是知道总和、尾项和项数，求首项呢，公式就是“首项 = 总和 × 2 ÷项数 - 尾项”。
比如总和是 300，尾项是 25，项数是 20 ，那首项就是 300 × 2 ÷ 20- 25 = 5 。
在实际生活中，高斯求和的公式也很有用呢。
就说我上次去超市买水果，苹果一斤3 块钱，香蕉一斤5 块钱。
我打算买连续的7 天的量，每天买一种水果。
那我得算算这一共得花多少钱。
高斯求和法
高斯求和法
若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。
如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。
求和公式为：
等差数列的和=（首项+末项）项数2
项数=(末项-首项) 公差+1
末项=首项+公差（项数-1 ）
首项=末项-公差（项数-1）
例题（1）1+2+3+4+5+……+19+20
(2)2+4+6+8+……+48+50
(3)第一行放了一颗糖，二行放了2颗糖，三行放了2颗糖，以此类推，四十行放了2颗糖，第一到四十行一共放了多少颗糖？
（4）有一列数按如下规律排列：10、17、24、31……..这列数中前80个数的和是多少？
（5）有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……..这列数中前24个数的和是多少？
(6)(2+4+6+.........+2012)-(1+3+5+ (2011)
(7)(7+9+11+.......+25)-(5+7+9+. (23)
(8)1+2-3+4+5-6+7+8-9+…….58+59-60。
高斯求和法的项数公式
高斯求和法的项数公式高斯求和法是数学中一种常见的求和方法，可以用来计算等差数列的和。
高斯求和法的项数公式是其中的重要部分，它可以帮助我们快速计算出等差数列的和，而不需要逐个相加。
下面我们来详细介绍一下高斯求和法的项数公式。
我们先来回顾一下等差数列的概念。
等差数列是指数列中的每个数之间的差都相等的数列。
我们用a表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的第n项可以表示为：an = a + (n-1)d。
而高斯求和法的项数公式可以帮助我们直接计算等差数列的和，而不需要逐个相加。
项数公式的表达式为：Sn = n/2 * (a + an)。
其中，Sn表示等差数列的和，n表示项数，a表示首项，an表示第n项。
项数公式的原理是将等差数列的每一项与对应的倒数项相加，每一对的和都是公差d，总共有n/2对。
所以，我们可以将公差d 乘以n/2即可得到等差数列的和。
举个例子来说明高斯求和法的项数公式的使用方法。
假设我们要计算等差数列1，3，5，7，9的和。
首先，我们可以确定该等差数列的首项a为1，公差d为2，项数n为5。
根据项数公式，我们可以直接计算出等差数列的和：S5 = 5/2 * (1 + 9) = 5 * 10 = 50。
因此，等差数列1，3，5，7，9的和为50。
高斯求和法的项数公式在实际应用中有着广泛的用途。
比如在计算机科学中，我们经常需要对一组数据进行求和操作。
如果这组数据满足等差数列的特点，那么我们就可以利用高斯求和法的项数公式来快速计算出它们的和，从而提高计算效率。
除了等差数列，高斯求和法的项数公式还可以用于计算一些特殊的数列的和，比如等比数列。
对于等比数列，我们可以对其取对数，将其转化为等差数列，然后再利用高斯求和法的项数公式来计算。
在使用高斯求和法的项数公式时，需要注意的是要确保等差数列的首项和公差都是已知的，并且项数是正整数。
如果条件不满足，那么就无法使用高斯求和法来计算等差数列的和。
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第3讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋ (200)
（2）17＋19＋21＋ (39)
（3）5＋8＋11＋14＋ (50)
（4）3＋10＋17＋24＋ (101)
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？。