武汉科技大学2013年高数一期中考试及解答

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2013年考研数学一真题及详细解答

2013硕士研究生入学考试数学一一，选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）A.2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)nb f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234max ,,,I I I I = A.1I B. 2I C. 3I D 4I5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（）A.0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（）A.123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学理)word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y xθθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为 ABC．D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+第8题图8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125 D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.第9题图14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；D E OBA第15题图C（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：s i n s i n s i n θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△B D M 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）.第21题图因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-. （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=，从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n . 第19题解答图1第19题解答图2于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 第20题解若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图2令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a tλ-=-.因为0k ≠，所以2k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==. 因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A B x x >>，所以22AB x x >.所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ> 当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即世纪金榜圆您梦想第11页（共11页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司 1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44-<-（），44443333338382(8483)44-<<-（）， ………4444333333125124(126125)44-<-（. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

2013年高考数学湖北理(word版含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）【选择题】【1】．在复平面内，复数2i1+i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【2】．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B =（）．A.{}0x x ≤ B.{}24x x ≤≤C.{02x x ≤<或}4x > D. {02x x <≤或}4x ≥【3】．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）． A.()()p q ⌝∨⌝ B.()p q ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 【4】．将函数3cos sin (y x x x =+∈R ）的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m 的最小值是（）． A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π【5】．已知04πθ<< ，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等【6】．已知点()1,1A-，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）． A ．322 B ．3152 C ．-322 D ．-3152【7】．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（）． A ．1+25ln 5 B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 【8】．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）． 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.CV V V V <<< 2314.DV V V V <<<【9】．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()EX = （）． A ．126125 B ．65 C ．168125D ．75第9题图【10】．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（）． A ．121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>- 【填空题】必考题（11—14题）【11】．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1）直方图中x 的值为___________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________.第11题图【12】．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =___________.第12题图【13】．设,,x y z ∈R ，且满足：222++=12+3=14xy z x y z ，+，则+x y z +=___________. 【14】．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)=+n 22N n n ，正方形数 2(,4)=N n n ，五边形数 23(,5)=2N n n -12n ，六边形数 2(,6)=2-n N n n……可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________。

2013年武汉科技大学考研试题概率论与数理统计B卷和参考答案

二〇一三年招收硕士研究生入学考试试题
考试科目代码及科目名称： 831概率论与数理统计（B 卷）可使用的常用工具：计算器
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。

考试时间3小时，总分值 150 分。

姓名：报考学科、专业：准考证号码：
密封线内不要写题
B C AC BC AB ⋃⋃设两个相互独立的随机变量Ｘ和Ｙ的方差分别为４和２，则是统计量的是（Ｂ：
)0.7B =00
Ax x <<其他
参考解答
考试科目及代码：831概率论与数理统计（B卷）
B C
⋃
AB⋃
AC
BC
设两个相互独立的随机变量Ｘ和Ｙ的方差分别为４和２，则
是统计量的是（D
Ｂ：
(
0.0251.96
U=
)0.7
B= )(()
B P A P A P
==+ 0.4()0.5
P B B
=+=
i
x -。

武汉大学2012-2013第一学期期中试题及答案(1)

= 2n−1 x2 cos(2x + nπ ) + 2n−1 nx cos(2x + (n − 1)π ) + 2n−3 n(n −1) cos(2x + (n − 2)π )
2
2
2
4) dy = d (sin(x2 + 1))4
= 4(sin( x2 + 1))3d sin( x2 + 1)
= 4(sin(x2 + 1))3 cos(x2 + 1)d (x2 + 1)
1 x2 2 x2
− lim x→0
2 x2 3 x2
=
−1 6
2)
由
lim ln(x
x→0
1
+ e2 x )sin x
=
lim ln(x + e2x )
x→0
x
=
lim
x→0
1 + 2e2x x + e2x
= 3,
1
得 lim( x + e2x )sin x = e3 ； x→0
3) 由
lim ln( 2 π x→+∞
2) 3) 且有
f
′(0)
=
lim
x→0
f
(x) − 0 x
=
lim
x→0
g(x) − e−x x2
= lim g′(x) + e−x = lim g′′( x) − e−x = 1 (g′′(0) − 1) .
x→0
2x
x→0
2
2
当 x ≠ 0 时，
f
′( x)
= ⎜⎜⎝⎛
g(x) − e−x x

2013-15年考研数学一、二、三答案

2013年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．已知c xxx k x =-→arctan lim0，则下列正确的是（A ）21,2-==c k （B ）21,2==c k（C ）31,3-==c k （D ）31,3==c k【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】c kx x kx x x x x x k x k x kx ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．曲面0)cos(2=+++x yz xy x 在点)1,1,0(-的切平面方程为（A ）2-=+-z y x （B ）0=++z y x （C ）32-=+-z y x （D ）0=--z y x【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(000|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．设21)(-=x x f ，),2,1(d sin )(210 ==⎰n x x n x f b n π，令∑∞==1sin )(n n x n b x S π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-49S（Ａ）43 （Ｂ）41 （Ｃ）41- （Ｄ）43【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n nx n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．设1:221=+y x L ，2:222=+y x L ，22:223=+y x L ，22:224=+y x L 为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i L i ，则{}=4321,,,max I I I I （Ａ）1I （Ｂ）2I （Ｃ）3I （Ｄ）4I 【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233． .8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ；在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d ba ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ．显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设函数)(x f y =由方程)1(y x e x y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 10．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．11．设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx y d ．【详解】t dx dy tdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dxy d sec cos 122==，所以2|422==πt dx yd ．12．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题15．（本题满分10分）计算⎰10)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(．【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dx x x x x f x x d x f dx xx f16．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：)2(0)1(,1,3110≥=--==-n a n n a a a n n ，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数．（1）证明：0)()(=-''x S x S ；（2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n n n n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S ；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(，所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n nn n nn ==++=''∑∑∞=∞=+，也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a xa x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ，可得x x e e x S 2)(+=-． 17．（本题满分10分）求函数yx e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标．【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--，设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ，由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程．（2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(2220231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ，所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）．３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=x dt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α 【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e e t dt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛．从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）．５．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）． 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ．【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e eex x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx．【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y ．11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A所以．答案为12π．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为．【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--= 三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y Ly x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ．考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+=⑴求)(x f 的最小值；⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．【详解】（1）22111)('xx x x x f -=-=，令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增．所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ．（2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+nn x x ，所以n n x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21．（本题满分11）设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D．2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）． 2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz．【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35032253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ370340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P ．【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ，边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ，又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min)sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xey ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ，（１）即222232xxy y xyy dx dy ++--=, 令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,．在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u ue C eC u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得 123322222221120(1)(1)(1)(3(1)3(1)1)(33766)(337)(37)4rx dydz y dzdx z dxdy x y dxdydzx y x y dxdydz x y dxdydzd rdr r dz πθπ∑+∑ΩΩΩ-+-+-=--+-+=-++--=-++=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(，所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分）设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n nb收敛．（1）证明0=∞→n n a lim ；证明级数∑∞=1n nnb a 收敛．【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin2sinsin cos cos 22n n n n n n nn nn a b b aa ab b b b +--==222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<=由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 2014年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（2） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为．【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为．【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ．【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022．【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e edy y e dy x ex d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-．令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；。

2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析

得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
（21）【解析】（1）
例：瓶子里的水渐渐升高了。令得：
得：
六、看图写话
在上单调递增
红火——红红火火许多——许许多多来往——来来往往
9、区分以下形近字或音近字：得：的解析式为
三、词语。且单调递增区间为，单调递减区间为
金黄的秋天大大的公园绿色的小伞（2）得
（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的
实轴长为
（A）（B）（C）4（D）8
（9）已知，函数在单调递减，则的取值范围
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数，则的图像大致为
（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为的直径，且，则此棱锥的体积为
（1）【解析】选
，，，共10个
（2）【解析】选
甲地由名教师和名学生：种
（3）【解析】选
，，的共轭复数为，的虚部为
（4）【解析】选
是底角为的等腰三角形
（5）【解析】选
，或
（6）【解析】选
（7）【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）【解析】选
设交的准线于
（14）设满足约束条件则的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案

-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废； 5．本试卷正文共6页。

一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）1．设函数1(1sin ),0(),xx x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =1e - .2．设()f x 在2x =处连续，且2()lim32x f x x →=-，则(2)f '= 3 . 3．设22ln arctana y x a x=+，则dy=22x adx x a-+ . 4. 函数ln(12)y x =+，则()(0)n y = 1(1)(1)!2n n n --- . 5. 曲线21x y e -=-的下凸区间是____[22_____________________.二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1．设函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-，则0x =是()f x 的（ C ）．A ．连续点；B ．可去间断点；C. 跳跃间断点；D ．无穷间断点.2. 设()f x 有二阶连续导数且(0)0f '=，()lim 1||x f x x →''=，则下列说法正确的是（ B ）． A ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点；本页满分32分本页得分B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值. 3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数； C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4. 设220()(),x x f x xx g x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ D ）.A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分） 1. 求极限01sin 1x x x →+-解：（方法一）200sin 1sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x x x→→+==-；（方法二）2001sin 1lim11cos 1sin 1x x x x x x x x →→+==-++；（方法三）洛比达法则本页满分18分本页得分01sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x xx xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+，又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dydy t dt t dx dx dt t +===+++；22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d yt dx ==.本页满分10分本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →.解：（方法一）2211cos 1cos 10lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+-20cos 11lim2x x xe e→--==；（方法二）22222111sin 1222sin 22lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x x x x x x x x x x x e---→→∞→==-=；（方法三）洛比达法则sin 2cos 22111ln(cos )lim 2lim(cos )lim xx xx x x x x x x e e e-→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又00()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==，本页满分16分本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--，故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率. 解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--，又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h xr R h-=，可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dxh x dt dt hπ=-，由已知条件25dV dt =，2hx =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根. 解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a=，列表如下：x10,a ⎛⎫⎪⎝⎭ 1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+—本页满分16分本页得分()f x最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下：（1）当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根；（2）当10a e<<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞；ln lim ()lim ()x x xf x x a x→+∞→+∞=-=-∞，故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内；当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根.五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分本页2．证明：当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx<+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性.得分。

2013年10月高等数学自学考试全国统一命题试题参考答案

1 x 1 n 1 1 , x 1 1 n 8 n 0 2
A
2 f 2 f 2 f 2 2 2 y y , B 4 x 1 y , C 2 x 2 1 2 2 x xy y
当 x, y 取值 0,1 时 A 2, B 0, C 2, B 2 AC 4 0, 且A 2 0, 故函数f ( x, y )在 0,1 取极小值f 0,1 1 当 x, y 取值 1,0 时 A 0, B 4, C 0, B 2 AC 16 0, 故函数f ( x, y )在 1,0 不取极值当 x, y 取值 1,0 时 A 0, B 4, C 0, B 2 AC 16 0, 故函数f ( x, y )在 1,0 不取极值
2 2 2 2 Q 2 R 2 P y 2e xy , z 2e yz , x 2e x z x y z 2 2 2 P Q R divA y 2e xy z 2e yz x 2e x z x y z
19、解对应的微分方程为 2 xy ' 2 y 0 y
3 1 2
则平面方程为
2 y 1 z 2 0 2 y z 0
12、解：
z f 3x 4 y, xy 2 z 3 f1 y 2 f 2 x dz 3 f1 y 2 f 2 dx 4 f1 2 xyf 2 dy z 4 f1 2 xyf 2 y
2
x y 3 z 2 3 0 4
14、解：
f x, y , z x y y z z x

武汉科技大学高等数学2016--2019年考研真题(都有答案)

姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：高等数学（ □A 卷√B 卷）科目代码：841考试时间：3小时满分 150 分可使用的常用工具：√无 □计算器 □直尺 □圆规（请在使用工具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。

一、选择题(共6小题，每小题 5 分，共30 分) 1、函数xxsin 在0=x 处间断，其类型应是（）（A ）可去间断点，属于第一类；（B ）跳跃间断点，属于第一类；（C ）无穷间断点，属于第二类；（D ）跳跃间断点，属于第二类. 2、函数1123++=x x y 在区间(0,)+∞内，满足（）（A ）单调增加，且是凸的（B ）单调减少，且是凸的；（C ）单调增加，且是凹的；（D ）单调减少，且是凹的。

3、由曲线x y sin =及直线π-=x 、π=x 、2-=y 围成区域的面积为( )（A ） 0；（B ） 2；（C ） 4；（D ）π4。

4、5510(01)x x -+=方程　在，内,其根的情况是（）（A ）无实根；（B ）有唯一实根；（C ）有两个实根；（D ）有三个实根5、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下面正确的是（）（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 6、设221sin DI x y d σ=+⎰⎰,222sin()DI x y d σ=+⎰⎰,2223sin()DI x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则正确的是（）姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：高等数学（ □A 卷√B 卷）科目代码：841考试时间：3小时满分 150 分可使用的常用工具：√无 □计算器 □直尺 □圆规（请在使用工具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷)

实用文档2013年湖北省理科数学高考试题WORD 解析版一、选择题1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。

故选D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（） A.{}|0x x ≤ B. {24}x x ≤≤ C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞。

故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.()()p q ⌝∨⌝B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.p q ∨实用文档【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围” 即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

故选A 。

【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.12πB.6πC.3πD.56π【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。

故选B 。

【相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影实用文档为（）A.C.D. 【解析与答案】()2,1AB =，()5,5CD =，52AB CD CD∴==A 。

2013高考数学(湖北卷)理科及答案

湖北省教育考试院保留版权数学（理工类）第1页（共12页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数2i 1iz=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2xAx =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤ B ．{24}x x ≤≤C ．{024}xx x ≤<>或D ．{024}xx x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q4．将函数sin ()yx x x =+∈R 的图象向左平移(0)mm >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221co s sin xyθθ-=与2C ：222221sin sin tan yxθθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量A B在C D方向上的投影为A2B2C．2-D．2-7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．125ln 5+B ．11825ln3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<<第2页（共6页）9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125B ．65C ．168125D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图示.第11题图第12题图（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；第8题图第9题图第3页（共6页）（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++=_________.14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n+=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n=+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n=-，六边形数2(,6)2N n n n=-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径A B 上的射影为D ，点D 在半径O C 上的射影为E ．若3A BA D=，则C E E O的值为_________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xO y 中，椭圆C 的参数方程为co s ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ab >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xO y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin ()42ρθ+=（m 为非零常数）与bρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△A B C 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos 23cos()1A B C -+=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△A B C的面积S =，5b=，求sin sin B C 的值.18．（本小题满分12分）OD E BA第15题图C第4页（共6页）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）如图，A B 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B的点，直线P C⊥平面A B C ，E ，F分别是P A ，P C 的中点.（Ⅰ）记平面B E F 与平面A B C 的交线为l ，试判断直线l 与平面P A C 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P=. 记直线P Q 与平面A B C 所成的角为θ，异面直线P Q 与E F 所成的角为α，二面角El C--的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?21．（本小题满分13分）第19题图第5页（共6页）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为M N 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()nm n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△B D M 和△A B N 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数. （Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rnn n nn r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S=+，求S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图第6页（共6页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 13714．1000 15．8 163三、解答题 17．（Ⅰ）由cos 23cos()1A BC -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1co s 2A = 或cos 2A=-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A=.（Ⅱ）由11sin 2224Sb c A b c c ====得20b c=. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a=. 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c b c B CA A A aaa=⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩故1533n na -=⋅，或15(1)n na -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n na -=⋅，则1131()53n na -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013mmm n n a =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n na -=-⋅-，则111(1)5n na -=--，故1{}na 是首项为15-，公比为1-的等比数列，第7页（共6页）从而11,21(),1502().mn nm k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn na =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面P A C ，证明如下：连接E F ，因为E ，F 分别是P A ，P C 的中点，所以E F ∥A C . 又E F ⊄平面A B C ，且A C ⊂平面A B C ，所以E F ∥平面A B C .而E F ⊂平面B E F ，且平面B E F平面A B Cl=，所以E F ∥l .因为l ⊄平面P A C ，E F⊂平面P A C ，所以直线l ∥平面P A C .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接B D ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线B D ，且l ∥A C . 因为A B 是O的直径，所以ACBC⊥，于是lB C⊥. 已知P C ⊥平面A B C ，而l⊂平面A B C ，所以P Cl⊥.而P CB C C= ，所以l⊥平面P B C .连接B E ，B F ，因为B F ⊂平面P B C ，所以lB F⊥.故C B F ∠就是二面角El C--的平面角，即C B Fβ∠=.由12D Q C P=，作D Q ∥C P ，且12D Q C P=.连接P Q ，D F ，因为F 是C P 的中点，2C PP F=，所以D QP F=，从而四边形D Q P F 是平行四边形，P Q ∥F D . 连接C D ，因为P C⊥平面A B C ，所以C D 是F D 在平面A B C 内的射影，故C D F ∠就是直线P Q 与平面A B C 所成的角，即C D F θ∠=.又B D⊥平面P B C ，有B DB F⊥，知B D F ∠为锐角，故B D F ∠为异面直线P Q 与E F 所成的角，即B D F α∠=，于是在R t △D C F ，R t △F B D ，R t △B C F 中，分别可得第19题解答图1第19题解答图2第8页（共6页）sin C F D Fθ=，sin B F D F α=，sin C F B Fβ=，从而sin sin sin C F B F C F B FD F D Fαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=.（Ⅱ）（向量法）如图2，由12D QC P =，作D Q ∥C P ，且12D QC P=.连接P Q ，E F ，B E ，B F ，B D ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线B D .以点C 为原点，向量,,C A C B C P所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2C A a C B b C P c===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2F E a = ，(,,)Q P a b c =--，(0,,)B F b c =-，所以||co s ||||F E Q P F E Q P α⋅==⋅，从而sin α==. 又取平面A B C 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||Q P Q P θ⋅==⋅ m m设平面B E F 的一个法向量为(,,)x y z =n，所以由0,0,F E B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n可得10,20.a x b y cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取(0,,)c b =n.于是|||co s |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.第20题解答图第9页（共6页）（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y+.依题意,, x y还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P Xx y p ≤+≥等价于3660900x y +≥.于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400zx y=+达到最小的,x y.作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R . 由图可知，当直线16002400zx y=+经过可行域的点P 时，直线16002400zx y=+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆. 21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y am+=，2C ：22221x y an+=. 其中0am n >>>， 1.m nλ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x=，则111||||||22S B D O M a B D =⋅=，211||||||22S A B O N a A B =⋅=，所以12||||S B D S A B =.在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得Ay m=，By n=，Dy m=-，于是||||1||||1B D A B y y B D m n A B y y m nλλ-++===---.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||B D O B O D m n =+=+，||||||A B O A O B m n=-=-；111||||||22S B D O M a B D =⋅=，211||||||22S A B O N a A B =⋅=.所以12||1||1S B D m n S A B m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+.第21题解答图1第21题解答图2第10页（共6页）（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)Ma -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S B D d =，221||2S A B d =，所以12||||S B D S A B λ==，即||||B D A B λ=.由对称性可知||||A B C D =，所以||||||(1)||B C B D A B A B λ=-=-，||||||(1)||A D B D A B A B λ=+=+，于是 ||1||1A DBC λλ+=-. ①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =Bx =. 根据对称性可知CBx x =-，DAx x =-，于是2||||2A Bx A D B C x ===②从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)tλλλ+=-，则由mn>，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t ka t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)Ma -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S B D d =，221||2S A B d =，所以12||||S B D S A B λ==.第11页（共6页）因为||||A B A Bx x B D A B x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x am+=，222221B B x k x an+=，两式相减可得22222222()A BA B x x k x x amλ--+=，依题意0A B x x >>，所以22ABx x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x ka x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r rf x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x=.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x>时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =.（Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x>-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x++>++. ①在①中，令1x n=（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r nn+++>+.上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r rnnn r +++>++，即11(1).1r r rn nn r +++-<+ ②当1n>时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rnn n r ++-->+ ③且当1n=时，③也成立.综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rnn n nn r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r=，n 分别取值81，82，83，…，125，得第12页（共6页）44443333338180(8281)44--（）<，44443333338281(8382)44--（）<，44443333338382(8483)44-<<-（），………4444333333125124(126125)44-<<-（）.将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）.代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）.由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

13-14-1高数A1期中试题参考答案

浙江科技学院2013 -2014学年第一学期期中考试试卷考试科目高等数学A1 考试方式闭卷完成时限 2小时拟题人高等数学课题组审核人批准人 2013年11月09日参考答案与评分标准一、选择题（每小题3分，共21分）1．C; 2．D; 3．C; 4. C; 5. A; 6. D ; 7． B二、填空题（每小题3分，共21分）1．],,[πππk k 2- 其中k 为整数 ; 2． 1 ; 3. 1 ，0011+(,)(,)(,) -∞∞；4． -1 , 2 ； 5．112()!()n n n x ---+； 6.-e x -+C ；7．)(!!e n n x x o x n x x +++++=12112三．试解下列各题（第4、5题8分，其余各题7分，共44分）1．解：)(lim n n n n -+∞→2=nn n n ++∞→22lim ……………………3分 =1212++∞→nn lim ………………………………………………5分 =1……………………………………………………………..7分2. 解：22011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=x x x x x 22220sin sin lim -→=4220x x x x sin lim -→……….3分 =3030422422x x x x x x x x x sin lim cos sin lim -=-→→……………………5分 =20621x x x cos lim -→=3162220=→x x x lim ………………………………..7分3．解：由()1tan x y x =取对数得：x xy tan ln ln 1=……………….2分两边微分得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y tan ln d )(ln d 1……………………....4分 )d (l n t a n t a n ln d d 1x x x x y y 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛= x x x x x x d t a n s e c t a n ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22…………………………….6分 x x y 1)(t a n d =x x x x x d t a n ln csc 222-…………………………..7分 4．解：由方程e 1sin()y x y ++=两边求导得)()d d )(cos(d d e 101=+++xy y x x y y ………………………..............2分将方程（1）两边再求导得 )(d d )c o s (d d )s i n (d d e d d e 222012222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x x y y x x y x y y y ….4分将00==y x ,代入方程（1）得2100-===y x x yd d …………………………………6分再由方程（2）得812-=x y d d 2………………………………………………..8分 5．解：当1=t 时，24ln ,==y x π…………………………………….……..1分t x y 2=+=+=d a r c t a n t)t d l n (1d a r c t a n t )t d l n (1d d 22………………………………………..4分则曲线在 t = 1的切线斜率为21=k ，法线斜率为212-=k ，………....6分故所求的切线方程为)(ln 422π-=-x y ，即02242=-+-ln πx y …..7分法线方程为)(ln 4212π--=-x y ，即02848=--+ln πx y ………........8分 6．解：由题知，a hh f h f h f f h h ==-+='→→)(lim )()(lim )(00000………………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-→→)e ()(lim )e ()(lim 1122220220x x x x x x x x f x x f …………………………………..5分 =a x x f x x x x f x x x x 21201220220220='=-⋅→→→lim )()e (lim )(lim ………………………...7分四．证明题（每小题7分，共14分）1．证明：设],[),ln()(x t t t f 01∈+=……………………………………….2分显然，)(t f 在],[x 0上满足拉格朗日定理的条件，则ξ+=+11x x )ln(，其中),(x 0∈ξ……………………………..……………4分则x x x x <+<+ξ11……………………………………………………………….6分即 x x xx <+<+)ln(11……………………………………………………………7分 2．证明：（1）设21-+=x x f x F )()(……………………………………….1 分显然)(x F 在],[10上连续，在),(10内可导，且由已知得211210=-=)(,)(F F ……………………….………………………….2分由零点定理知，至少存在一点),(10∈ξ, 使得0=)(ξF ，即方程021=-+x x f )(在),(10内至少存在一个实根ξ………………….3分（2）设)()(x f x x 2=ϕ，则)(x ϕ在],[10上连续，在),(10内可导，且010==)()(ϕϕ……..5分由罗尔定理知，在),(10内至少存在一点ξ，使得022=+')()(ξξξξf f ，即02=+')()(ξξξf f 。

2013年A卷（2013年）武汉科技大学考研试题819机械原理及答案

2013年A卷（2013年）武汉科技大学考研试题819机械原
理及答案
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二O 一三年招收硕士研究生入学考试试题
考试科目代码及科目名称：机械原理 819
可使用的常用工具：直尺，圆规，计算器
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。

考试时间3小时，总分值 150 分。

姓名：报考专业：准考证号码：
密封线内不要写题
二O 一三年招收硕士研究生入学考试试题（参考答案）
考试科目代码及科目名称：机械原理 819
可使用的常用工具：直尺，圆规，计算器
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。

考试时间3小时，总分值 150 分。

姓名：报考专业：准考证号码：
密封线内不要写题
4、如图3所示画出凸轮机构反转角为
请在图上标出从动件位移s和凸轮与推杆的速度瞬心
过杆和圆的切点作杆的法线与水平线AC 的交点即为12P ，则有12P 为圆的圆心。

V 1＝V 2 （2分）
V 1＝ω1a （2分）
图4。

2013考研数一真题答案及详细解析

—勹 B = fxy (1,
= e-½'
—勹 C = fyy (1,
= e-½
(1.-f) 因为 A>o,AC — B2 =2e气>O, 所以
是极小值点，极小值为
(-+ !(1, —：片） =
+½)e··½ = -e勹．
(18) 证 CI)设F(x)= f(x)-.1::, xE[—1,l].
·; f(x) 是奇函数，:. f(O)=0.
解记A�[�: �'考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件．
首先，显然1At�:, 因L是A的特征值．
其次，矩阵A的迹tr(A) =2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是 “ 充要条件 ” 为2是A的特征值．由
lzE —Al = — a 2-b —a = — 4a 2 =O气=O.
故应选C.
二、填空题
(9) 1
解把 X = O代入方程有八0)=1 . 方程y-X = exO-y)两端同时对x求导有 f'(工)-1= e[l-f(x)] [1-f(x)-xf'(x)J.
把 X =O代入上式得厂(0)=2 - f(O)=l.
f 又 lim 釭）－］-= f'(O)=l,
x-o
厂 +厂 1
O
lnx +x)
2
dx=
_
lnx l+x
+=
1
1
dx
=O+ln
x
+=
1 =O — ln_l= ln2
O+x)x
l+x 1
2
(13) -1

2013年武汉科技大学考研试题数学分析B卷和参考答案

二O 一三年招收硕士研究生入学考试试题考试科目代码及科目名称： 601 数学分析（B 卷）可使用的常用工具：计算器,圆规,直尺,橡皮答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。

考试时间3小时，总分值 150分。

姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题二O 一三年招收硕士研究生入学考试试题参考答案（B 卷）一、选择题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1.C2. D3.D4.A5. D二、填空题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1.可去2. 2y x =-3. 04. )(x f5. )sin cos cos (y y y x e x -+三. 计算题(本大题共3小题, 每小题10分, 共30分)1.解 222111221dy dy t t dt t dx t dt t-+====+ （5分） 222d y d t dt dx dt dx ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ =12dx dt =221112t t +=214t t +. （5分） 2.解 ()41,222x x x x e e y e e y --+='+-='，由公式得（5分）⎰⎰-+='+=ax x adx e e dx y s 0221=2aa e e -- （5分） 3.解 yPx Q ∂∂=-=∂∂1∴积分与路径无关（5分）原式=6742sin )sin 1(1122-=--+⎰⎰dy y dx x （5分）四、证明题(本大题共4小题,，每小题15分，共60分)1.证明：设()1(1)ln(1),x F x e x x =--++ （5分）那么(0)0.F = '()1l n (1)(xF x e xx =--+>1''(),1x F x e x =-+ （5分）0x >， ''()0,F x > '(0)0,F =所以，0x >，'()0,F x >函数严格递增, 从而()0(0).F x x >> (5分)2. 证明由)(x f 在[]b a ,上单调递增，],[,0)]2()()[2(b a x ba f x fb a x ∈≥+-+-（5分）所以0)]2()([)2(≥+-+-⎰dx ba f x fb a x b a （5分）即 0)2()2()()2(=+-+≥+-⎰⎰dx ba xb a f dx x f b a x b a b a 即 ⎰⎰+≥ba b a dx x f b a dx x xf )(2)( （5分） 3. 证明：由⎩⎨⎧=++==++=02220222E Cy Bx f D By Ax f yx ，得驻点),(00y x P其中220,B AC AEBD y B AC CD BE x --=--= （5分） D f f f f A B B Cxx xy yxyy==2222D P AC B f P A xx ()(),()=->=>40202（5分）故函数),(y x f 在点),(00y x P 处取极小值),(00y x f 。

2013年武汉科技大学专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2013年武汉科技大学专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设f(x)=2x+3x-2，则当x→0时有( )．A．f(x)与x是等价无穷小B．f(x)与x同阶但非等价无穷小C．f(x)是比x高阶的无穷小D．f(x)是比x低阶的无穷小正确答案：B2．设f(x)=x+1，则f(f(x)+1)=( )．A．xB．x+1C．x+2D．x+3正确答案：D3．的值为( )．A．-1B．1C．0D．不存在正确答案：D4．设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)=( )．A．2f(2)B．f(2)C．-f(2)D．0正确答案：B5．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点正确答案：B二、填空题6．函数y=的定义域是区间_______．正确答案：(-∞，+∞)7．设函数f(x)=则f(1／x)=_______．正确答案：8．方程y”-4y’+3y=0的通解为_______．正确答案：y=C1e2+C2e3x(C1，C2为任意常数)9．已知函数f(x)=在x=0连续，则a=_______．正确答案：110．设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)(x≥2)，则f’(0)=_______．正确答案：n!三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

fn(x)=x+x2+x3+…+xn，n∈(2、3、…∞)，11．证明fn(x)=1(0，+∞)内有且只有一个实根．正确答案：设F(x)=fn(x)-1，由于F(0)=-1，F(x)=+∞，F’(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，x∈(0，+∞)，即F(x)为增函数，故F(x)在(0，+∞)上与x轴有且只有一个交点，即fn(x)=1在(0，+∞)内有且只有一个实根．12．设fn(x)存在，试求x的取值范围．正确答案：当x=±1时，显然fn(x)不存在，当x≠±1时，由于f(x)=x+x2+x3+…+xn=所以|x|＜1，即-1＜x＜1．13．函数f(x)=是否连续，是否可导，并求f(x)的导函数．正确答案：而f(0)=0，故f(x)在x=0处连续，而x≠0时f(x)处处连续，所以f(x)连续，当x＜0时，f’(0)=0，14．f(x)=，试求f(2003)(0)正确答案：15．求幂函数的收敛区间．正确答案：故收敛半径R=+∞，幂级数的收敛区间为(-∞，+∞)．16．曲线y=a／x(a＞0，x＞0)，该曲线上某点的切线与两坐标轴之间的交点间线段最短时，求该点坐标．正确答案：设点(x0，y0)在曲线上，则y0=该点切线的斜率为k=-，切线方程为y-y0=-(x-x0)，分别令x=0，y=0得与两坐标轴交点A(0，)，B(2x0，0)，。