2016-2017朝阳高三第一学期期末数学(理)试题及答案
2016 朝阳高三一模 数学 理 答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习答案数学试卷（理工类）2016．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．答案：D 2． 答案：D 3．答案：A 4．答案：B 5．答案：C 6．答案：D 7．答案：A 8．答案：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．答案：1010．答案：21n a n =-,(3)(411)n n ++11．答案：)4π 12．答案：3(,]4-∞ 13．答案：3(0,)414．答案：121||i i i a b =-∑ 22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）解析：解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =+1sin 2x x = sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ． 解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω= sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=． 则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ． 解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解析：解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；4448(4)C P X C ===所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值10123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解析：解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AAC C ⊥平面11AA B B ， 所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A = ， 所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//AC AC ，所以11AC ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA AB AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ．所以二面角P AM B --的余弦值为17．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1AC //平面AMP ． 设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =- ，若1AC //平面AMP ，则10AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--= n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1AC //平面AMP ．…………14分18．（本小题满分13分）解析： 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x a f x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，．……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==． 依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e1)2e 0aa g x a a a----=++--=>． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e<e ax =，则221122()(1e 1)2e 24a ag x a a a a++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线． （3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线． 综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解析：解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+易得椭圆的离心率=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=, 112m y +=，222my +=． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+==220==．因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠．所以PM PN =． ………………………………………………………14分20．（本小题满分13分）解析：解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ，即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数. 显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列， 且115k c a ==，22231k c a k ==-， 所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数.又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个. …………………………………………………………………………………………13分。
2016-2017朝阳区高三上学期期末统一考试
北京市朝阳区2016~2017学年度高三年级第一学期期末统一考试化学试卷（满分：100分考试时间：90分钟）2017.1可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Cu 64第一部分（选择题共42分）每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共14道小题，共42分1．下列金属防护的方法中，应用了牺牲阳极的阴极保护法的是A．B．C．D．工具转动部位涂油脂钢铁船身嵌入锌车圈、车铃钢上镀铬健身器材刷油漆【答案】B【考查方向】牺牲阳极的阴极保护法的原理和应用【易错点】没有理解牺牲阳极的阴极保护法的原理致错。
【解题思路】牺牲阳极法是用一种电位比所要保护的金属还要负的金属或合金与被保护的金属电性连接在一起,依靠电位比较负的金属不断地腐蚀溶解所产生的电流来保护其它金属的方法.。
A.工具转动部位涂油脂是通过防护层保护金属，所以错误B.钢铁船身嵌入锌中锌比铁活泼，所以正确C.车圈、车铃钢上镀铬是通过防护层保护金属，所以错误D.健身器材刷油漆是通过防护层保护金属，所以错误【解析】牺牲阳极法是用一种电位比所要保护的金属还要负的金属或合金与被保护的金属电性连接在一起,依靠电位比较负的金属不断地腐蚀溶解所产生的电流来保护其它金属的方法.。
A.工具转动部位涂油脂是通过防护层保护金属，所以错误B.钢铁船身嵌入锌中锌比铁活泼，所以正确C.车圈、车铃钢上镀铬是通过防护层保护金属，所以错误D.健身器材刷油漆是通过防护层保护金属，所以错误答案选B2．水中污染物不同，所采取的处理方法不同。
下列处理方法不正确．．．的是A．含Hg2+的废水——加入Na2S等沉淀剂B．钢铁厂的酸性废水——加入熟石灰等进行中和C．餐饮业厨房含油污水——加工为生物柴油进行利用D．被细菌、病毒污染的饮用水——加入明矾等进行消毒【答案】D【考查方向】水中污染物处理原理的考查【易错点】没有理解处理的本质致错【解题思路】A．含Hg2+的废水，加入Na2S可以生成HgS沉淀出去，所以正确B．钢铁厂的酸性废水加入熟石灰等进行中和，所以正确C．餐饮业厨房含油污水，加工为生物柴油进行废物利用，所以正确D．饮用水加入明矾只能吸附水中难溶物，而不能对细菌、病毒污染等进行消毒，所以错误【解析】A．含Hg2+的废水，加入Na2S可以生成HgS沉淀出去，所以正确B．钢铁厂的酸性废水加入熟石灰等进行中和，所以正确C．餐饮业厨房含油污水，加工为生物柴油进行废物利用，所以正确D．饮用水加入明矾只能吸附水中难溶物，而不能对细菌、病毒污染等进行消毒，所以错误答案选D3．下列说法中，正确的是A．用灼烧的方法可以区分蚕丝和人造纤维B．鸡蛋清遇醋酸铅后产生的沉淀能重新溶于水C．麦芽糖水解生成互为同分异构体的葡萄糖和果糖D．α－氨基丙酸与α－氨基苯丙酸混合物脱水成肽，只生成2种二肽【答案】A【考查方向】氨基酸、蛋白质、糖类知识的应用【易错点】没有熟练掌握相关性质致错【解题思路】A．人造丝中无蛋白质，蚕丝含有蛋白质，蛋白质烧焦时具有烧焦羽毛的特殊气味，B．鸡蛋清遇醋酸铅后发生变性，所以产生的沉淀不能重新溶于水，C．麦芽糖水解生成葡萄糖，D．α－氨基丙酸与α－氨基苯丙酸混合物脱水成肽，可以生成3种二肽(α－氨基丙酸与α－氨基苯丙酸、α－氨基丙酸与α－氨基丙酸、α－氨基苯丙酸与α－氨基苯丙酸)，【解析】A．人造丝中无蛋白质，蚕丝含有蛋白质，蛋白质烧焦时具有烧焦羽毛的特殊气味，故A 正确B．鸡蛋清遇醋酸铅后发生变性，所以产生的沉淀不能重新溶于水，故B错误C．麦芽糖水解生成葡萄糖，所以C 错误D．α－氨基丙酸与α－氨基苯丙酸混合物脱水成肽，可以生成3种二肽(α－氨基丙酸与α－氨基苯丙酸、α－氨基丙酸与α－氨基丙酸、α－氨基苯丙酸与α－氨基苯丙酸)，D错误答案选A4．氯碱工业中电解饱和食盐水的原理示意图如右图所示（电极均为石墨电极）。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =-（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10-<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
2016-2017年北京市朝阳区数学期末考试题理科(含答案)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．47．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x≤2}【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∁U A={x|x≥0}，则（∁U A）∩B={x|0≤x＜2}，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．D．y=|sinx|【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D．4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为2，矩形，∴几何体的体积V==．故选：B．7．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A．B．3 C．D．【解答】解：将三角形放入坐标系中，则C（0，4），B（3，0），∵=λ+μ（λ＞0，μ＞0），∴λ+μ=1，则1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=（3，0）+（0，4）=（，2）则||==，故选：C．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等于3．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，∴=，解得b=3，故答案为：310．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=105°．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0]．故答案为：．[﹣，0]．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．在上述定义下，集合是封闭的（填“是”或“否”）；若函数f （x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=f（x）=x，x∈Q．【解答】解：设x=m+n，y=a+b，m，n，a，b∈Q，∴x+y=m+n+a+b=（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，即f（x+y）=f（x）+f（y），∴xy=（m+n）（a+b）=3ma+（mb+an）+bn=（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，∴f（xy）=f（x）•f（y），∴上述定义下，集合是封闭的，当f（x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），f（mn）=mn=f（m）•f（n），故答案为：是，f（x）=x，x∈Q三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：，，（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5，（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41．因为=，，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得8（5分）以上（含85分）的频率为，乙获得8（5分）以上（含85分）的频率为．因为f2＞f1，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8（0分）”为事件A，．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且．∴，k=0，1，2，3．所以变量ξ的分布列为：ξ0123P．（或．）17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，所以AF∥OG，OG=AF．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（5分）解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．因为AB=BE=2AF=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，0，1），所以．设平面CDE的一个法向量为n=（x，y，z），由得即取x=1，得n=（1，0，1）．设直线AC与平面CDE所成角为θ，则，因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．…（9分）（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．又，所以，解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设，则．设P（x，y，z），则，因为，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．因为B（0，2，0），所以．设平面DEF的一个法向量为=（x0，y0，z0），则，由，得取x0=1，得=（1，﹣1，2）．由，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），可得解得．因为，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且．…（14分）18．（13分）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P（x0，y0），则．所以直线PA与PB的斜率乘积为．…（4分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…（13分）19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2+x+1，g（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞），．当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）．即y=6x﹣5．…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e x+2a）．①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=﹣1，g（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x ﹣1取，显然x 0＜0且g （x 0）＞0所以g （0）g （1）＜0，g （x 0）g （0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a ＜0时，由g'（x ）=x （e x +2a ）=0，得x=0，或x=ln （﹣2a ）． ⅰ） 当，则ln （﹣2a ）＞0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，0）（0，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），+∞） g'（x ） + 0 ﹣ 0+ g （x ）↗﹣1↘↗注意到g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． ⅱ） 当，则ln （﹣2a ）=0，g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 若，则ln （﹣2a ）≤0．当x 变化时，g'（x ），g （x ）变化情况如下表：x（﹣∞，ln （﹣2a ））ln （﹣2a ） （ln （﹣2a ），0） 0 （0，+∞）g'（x ） + 0﹣ 0 + g （x ）↗↘﹣1↗注意到当x ＜0，a ＜0时，g （x ）=（x ﹣1）e x +ax 2＜0，g （0）=﹣1，所以函数g （x ）至多有一个零点，不符合题意． 综上，a 的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：g （x ）﹣f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1．设h （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ln （x ﹣1）﹣x ﹣1，其定义域为（1，+∞），则证明h （x ）≥0即可． 因为，取，则，且h'（2）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且．当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）≤g（x）．…（14分）20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A m：a1，a2，…，a m，其中a i （1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A m满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使a i+a j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a i+a j=a k，则称数列A m是“好数列”．（Ⅰ）当m=6，n=100时，（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列A m是“好数列”，且m是偶数，证明：．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，∴x=89，y=100，或x=100，y=89，数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”．…（3分）（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=67，则11+a=78∈A6，另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；若取a=56，则b=67，符合条件，若取a ＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合； 综上，a ，b ，c ，d 共有66种不同的取值． …（7分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”a 1，a 2，…，a m 各项互不相同，所以，不妨设a 1＜a 2＜…＜a m ． 把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于n +1即可． 用反证法，假设存在，使a j +a m +1﹣j ≤n ，因为数列单调递增，所以a m ﹣j +1＜a 1+a m ﹣j +1＜a 2+a m ﹣j +1＜…＜a j +a m ﹣j +1≤n ， 又因为“好数列”，故存在1≤k ≤m ，使得a i +a m +1﹣j =a k （1≤i ≤j ），显然a k ＞a m +1﹣j ，故k ＞m +1﹣j ，所以a k 只有j ﹣1个不同取值，而a i +a m +1﹣j 有j 个不同取值，矛盾． 所以，每一对和数都不小于n +1，故，即．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
北京市朝阳区2017届高三一模数学(理)试题【含答案】
侧视图俯视图正视图北京朝阳区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（理科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}13A x x =-≤<，{}24B x Z x =∈<，则AB =（ ）A ．{}01，B ．{}101-， ，C ．{}1012-， ， ，D ．{}21012--， ， ， ， 2．若x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．5 3．执行如图所示的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a =（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 4．给出如下命题：①若“p q ∧”为假命题，则p q 、均为假命题；②在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ③()81x +的展开式中二项式系数最大的项是第五项． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D5．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，若直线AF 的斜率为PF =（ ）A ．34B ．6C ．8D ．166．已知函数()42log 0410254x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，若a b c d 、、、是互不相同的正数，且()()()f a f b f c ==()f d =， 则abcd 的取值范围是（ ） A ．()2425，B ．()1824，C ．()2124，D ．()1825，7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（ ） A ．12B ．32C ．14D ．34C 1C 3C 28．现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是（ ） A ．可能有两支队伍得分都是18分 B ．各支队伍得分总和为180分 C ．各支队伍中最高得分不少于10分D ．得偶数分的队伍必有偶数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1ii+在复平面内对应的点的坐标是____． 10．在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=____．11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若651S =，1926a a +=，则数列{}n a 的公差d =____，通项公式n a =____．12．在极坐标系中，直线1C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线1C 的直角坐标方程为_____；曲线2C 的方程为cos 1sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），则2C 被1C 截得的弦长为____．13．如图，11ABC ∆，122C B C ∆，233C B C ∆是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点12P P 、，则()212+AB APAP ⋅=____．14．在平面直角坐标系xOy 中，动点()P x y ，到两坐标轴的距离之和等于它到定点()11， 的距离，记点P 的轨迹为C ．给出下面四个结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线y x =对称；③点()()21a a R -∈， 在曲线C 上；④在第一象限内，曲线C 与x 轴的非负半轴、y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于12． 其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()())sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核． （Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为7885899296， ， ， ， ；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为9588102106， ， ， ．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）PACDEB如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，PA AD ⊥，BECD ,BE AD ⊥， 21PA AE BE CD ====，．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角--C PB E 的余弦值；（Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由．已知函数()ln 1f x x ax =--()a R ∈，()()2122g x xf x x x =++． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若函数()g x 在区间()()1m m m Z ，+?内存在唯一的极值点，求m 的值．已知椭圆()222:11x C y a a +=>，离心率3e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于E F 、两点．自点E F 、分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11E F 、． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1111AEE AE F AFF ∆∆∆，，的面积分别为123S S S ，，，试证明1322S S S 为定值．对于正整数集合{}12n A a a a ，，，=（n N *∈，3n ³），如果去掉其中任意一个元素ia （12i n ，，，=）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（Ⅰ）判断集合{}12345， ， ， ， 是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：因为()sin (cos )f x x x x ωωω=+2sin cos x x x ωωω=⋅+1sin 222x x ωω= πsin(2)3x ω=+， …………5分(Ⅰ) 又因为函数()f x 的最小正周期为π2， 所以222ωππ=． 解得2ω=． …………7分 (Ⅱ) 令ππ3π2π42π,232k x k k +≤+≤+∈Z 得， π7π2π42π,66k x k k +≤≤+∈Z ， 所以πππ7π,224224k k x k +≤≤+∈Z ． πππ7πk k（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为527345⨯=， 女员工的人数为518245⨯=．…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人． 所以，随机变量X 的所有可能取值为1, 2, 3．根据题意，1232353(1)10C C P X C ⋅===， 2132356(2)10C C P X C ⋅===， 3032351(3)10C C P X C ⋅===． 随机变量X 的分布列是：数学期望361189123101010105EX =⨯+⨯+⨯==． ………………………………10分 （Ⅲ）2212s s =． ……………………………………………………………13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥， 且平面PAD平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA CD ⊥．又因为BE AD ⊥，BE CD ，所以CD AD ⊥．所以CD ⊥平面PAD ．因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． ……4分 （Ⅱ）作Ez ⊥AD ，以E 为原点，以,EB ED 的方y向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则点(0,00)，E ，(0,22)，-P ，(0,20)，-A ，(2,00)，B ,(1,20)，C ，(0,20)，D ． 所以(2,22,)，=-PB ，(1,20)，=-BC ，(0,22)，=-EP ．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以0,0.n n PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩ 令1=y ，解得(2,1,3)n =．设平面PBE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，所以0,0.PB EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.a b c b c +-=⎧⎨-+=⎩令1=b ，解得(0,1,1)m =．所以cos ,n m 〈〉==． 由图可知，二面角--C PB E． …………………………………10分 （Ⅲ）“线段PE 上存在点M ，使得DM 平面PBC ”等价于“0n DM ⋅=”． 因为(0,22)PE ，=-，设(0,22)PM PE ，λλλ==-，(0,1)λ∈， 则(0,2222)M ，λλ--，(0,2422)DM ，λλ=--．由（Ⅱ）知平面PBC 的法向量为(2,1,3)n =，所以24660n DM λλ⋅=-+-=． 解得12λ=． 所以线段PE 上存在点M ，即PE 中点，使得DM平面PBC ． ………14分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得0x >，11()ax f x a x x-'=-=． （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数；（ⅱ）当0a >时，由()0f x '>，得10x a <<； 由()0f x '<，得1x a>； 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞． ……4分（Ⅱ）因为21()()22g x xf x x x =++21(ln 1)22x x x x x =--++21ln 2x x x x =-+， 则()ln 11g x x x '=+-+ln 2()3x x f x =-+=+．由（Ⅰ）可知，函数()g x '在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 又因为2211()22e e g '=--+210e =-<，(1)10g '=>， 所以()g x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ．又在1(0,)x 上()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上单调递减；在1(,1)x 上()0g x '>，()g x 在1(,1)x 上单调递增．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln 310g '=->，(4)2ln 220g '=-<，所以()g x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ．又在2(3,)x 上()0g x '>，()g x 在2(3,)x 上单调递增；在2(,4)x 上()0g x '<，()g x 在2(,4)x 上单调递减．所以2x 为极值点，此时3m =．综上所述，0m =或3m =． ……………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又c a =，即22123a a -=．解得23a =．即a =所以c =所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(． …………………4分 （Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R ． 设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y ．因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =-- 21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯- 21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22224824(3)m m m ++=+2221224(3)m m +=+． 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++． ………………………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”． …………………………………3分 （Ⅱ）设集合12{,,,}n A a a a =所有元素之和为M ．由题可知，i M a -（1,2,,i n =）均为偶数， 因此i a （1,2,,i n =）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M 为奇数，则i a （1,2,,i n =）也均为奇数， 由于12n M a a a =+++，所以n 为奇数．（ⅱ）如果M 为偶数，则i a （1,2,,i n =）均为偶数， 此时设2i i a b =，则12{,,,}n b b b 也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数．综上所述，集合A 中元素个数为奇数． …………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A 中元素个数为奇数，当3n =时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“和谐集”．当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+ ①，或者5134a a a a =++ ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+ ③，或者5234a a a a =++ ④．由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾；由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾．因此当5n =时，集合A 一定不是“和谐集”．当7n =时，设{1,3,5,7,9,11,13}A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513,++=++ 3791513++=++，1359711+++=+，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}A =是“和谐集”．集合A 中元素个数n 的最小值是7． ……………………………………13分。
2017届朝阳高三期中理科数学
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U A B =I ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ， ||2||OA AB =u u u r u u u r，则CA BC ⋅u u u r u u u r 等于A ．154-B．2- C ．154 D．27．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=o,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++L ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-=解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，24127DB DB =+-⋅⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠o=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠o o1=214214-⋅+=-14．在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724()2714+-⨯-=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区高三上学期期中考试数学理试题含答案精编版
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1nn a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.3f π==解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区高三数学上学期期末统一考试试题 文
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =ðA. {|2}x x >B. {|12}x x <≤C. {}12x x ≤< D. {|2}x x ≤ 2.复数=+i12A. 2-iB. 2-2iC. 1+iD. 1-i 3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是A. 0a b +>B.11a b> C. 2ab b < D. 330a b -<4. 已知平面向量(1,0)=a ，1(2=-b ，则a 与+a b 的夹角为 A.6π B ．3πC. 32πD. 65π5.已知0a >，且1a ≠，则“函数xy a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是双曲线上的一点，且|1MF |3=，|2MF |=1，︒=∠3021F MF ，则该双曲线的离心率是A ．13-B ．13+C ．213+ D ．13+或213+ 7则该四棱锥的体积为B.23C.438．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。
跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是 A.23 B. 20 C. 21 D.19第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知等差数列}{n a 前n 项和为n S .若12a =，32a S =，则2a =_______，10S = . 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线34140x y ++=的距离是 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为_______.12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠= . 13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是___.14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。
朝阳区2016届高三一模数学(理)试题及标准答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N = B ．()UMN =∅C ．MN U = D ．()U M N ⊆3．>e e ab>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或(第4题图)6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13 B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r+-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D ．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．月23415689 10 7111258(第7题图)侧视图俯视图9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=______．11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 2x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分 （Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+ 1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ． 解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====；2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====； 44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-． 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--=n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aag x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e<e ax =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]aa a+=-+．设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x +=-，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=211)(1)(x x -+-====2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ， 即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数.显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅， 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数， 故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学理试题含答案
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()UAB =A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.DCA（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围. 17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长. 18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减. 19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值． 20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分） （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅． 即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立． 即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．a,的最大公约数．……………14分集合A中的最小数是b。
辽宁省2016-2017学年高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含解析
辽宁省高级中学2016-2017学年高三上学期期末考试数学理试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i3．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣34．点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或5．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．66．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞67．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．08．已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±29．椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]10．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）11．二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．5 D．1512．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= ．14．若x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．16．某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，恰有1门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a 2﹣（b ﹣c ）2=bc ，cosAcosB=． （1）求角A 和角B 的大小；（2）若f （x ）=sin （2x+C ），将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求函数g （x ）的解析式及单调递减区间．18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=2AF ，BE 与平面ABCD 所成角为45°．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的大小．19．（12分）从2名女生和5名男生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的数学期望．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率，AF 2与x 轴垂直，且|AF 2|=． （1）求椭圆的方程；（2）若点A 在第一象限，过点A 作直线l ，与椭圆交于另一点B ，求△AOB 面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．辽宁省高级中学2016-2017学年高三上学期期末考试数学理试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】先求出=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），再由向量与垂直，能求出实数λ的值．【解答】解：∵，，∴=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），∵向量与垂直，∴（）（）=﹣3（λ+1）+4λ=0，解得λ=3．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．4．点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，a＞0时，准线方程为：y=﹣，a＜0时准线方程为：y=点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+=2，解得a=，﹣﹣1=2，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图，求出棱锥的底面积和高，进而可得棱锥的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得：棱锥的底面积S=×2×4=4；高h=×2=，故棱锥的体积V==4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6．（2016•中山市模拟）如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，依次将按照程序依次进行运行即可．7．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数的值；周期函数．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性结合函数在在区间（﹣2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．【解答】解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，﹣1）点都适合直线的方程，a=±1；故选C．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．9．椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；法二：问题转化为m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函数y=x+≥2，故m≤2；故选：C．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．11．二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．5 D．15【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；二项式定理．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．【解答】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．其通项公式Tr+1=C6r•（）r•，令3﹣=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C62•（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．12．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的图象求解函数的零点个数．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F（x）=xf（x）﹣的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= 114 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列{an }的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6，则S19==19a10=114，故答案为：114．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若x，y满足约束条件，则的取值范围是[﹣，+∞）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率的几何意义利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得，即C（2，﹣1），则CD的斜率z==﹣，即的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．15．设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】利用y=x2在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵y=x2，∴y'=2x．x=2，y'=4∵y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，∴曲线（x＞0）上点P处的切线斜率为﹣．又y'=﹣，设点P（x0，y）∴﹣=﹣，∴x0=±2，∵x＞0，∴x=2，∴y=，∴点P．故答案为．【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于中档题．16．某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，恰有1门课程没有同学选修，共有18 种不同选课方案（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；排列组合．【分析】第一步：从3个社团中选2个，第二步：把3名同学分为（2，1）组，把这两组同学分配到两个社团中，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步：从3个社团中选2个，共有C32=3种，第二步：把3名同学分为（2，1），把这两组同学分配到两个社团中有A32=6，根据分步计数原理可得，共有3×6=18种，故答案为：18．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，以及分组分配，属于中档题．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=bc，cosAcosB=．（1）求角A和角B的大小；（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及单调递减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，利用两角和差的余弦公式化简cosAcosB=，可得B的值．（2）利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）△ABC中，∵a2﹣（b﹣c）2=bc，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，∴cosA==，∴A=．∵cosAcosB=，∴2cosAcosB=sinA+cosC，∴cosB=+cos（﹣B），即 cosB=+cos•cosB+sin sinB，即cosB=1+sinB，∴B=．综上可得，．（2）∵C=﹣B=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的余弦公式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE 与平面ABCD所成角为45°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）推导出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的大小．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵BE与平面ABCD所成角为45°，∴DE=BD=，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，），=（2，2，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（1，1，），∴=1﹣1+0=0，∴二面角F﹣BE﹣D的大小为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）从2名女生和5名男生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；概率与统计．【分析】（1）P（ξ≤1）=．（2）ξ的分布列为：P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，即可得出分布列．（3）利用数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）P （ξ≤1）==．（2）ξ的分布列为： P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，（3）E （ξ）=0×++=．【点评】本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率，AF 2与x 轴垂直，且|AF 2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A 在第一象限，过点A 作直线l ，与椭圆交于另一点B ，求△AOB 面积的最大值． 【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意求出椭圆方程，（2）然后求出和OA 平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA 的距离转化为原点O 到切线的距离，则三角形AOB 面积的最大值可求． 【解答】解（1）：由题意，，a 2=b 2+c 2解得a=2，b=c=2，则椭圆的方程为：（2）要使△AOB 面积最大，则B 到OA 所在直线距离最远． 设与OA 平行的直线方程为y=．由消去y并化简得．x2+x+b2﹣4=0．由△=0得b=±2，不妨取b＞0，∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=，则B到直线OA的距离等于O到直线：y=，的距离d，d=，又|OA|=，△AOB面积的最大值s=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣3=0，直线l的参数方程为（t为参数），将参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，整理得t2﹣8tcosα+12=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣48≥0，∴cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线上任意一点，∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2sin（θ+），∴x+y的取值范围是[1﹣2，1+2]．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；=﹣3，解之即可求（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立⇔1﹣2m≤f（x）min得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，∴函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，=﹣3，∴1﹣2m≤f（x）min∴m≥2．即m的取值范围为[2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期期中考试数学理试题Word版含答案.doc
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U A B = ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅ 等于A ．154-B． C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数DCA列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅． 即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =． 又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤ 所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=…………5分 （Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，24127DB DB =+-⋅⋅．所以230DB DB -=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=214214-⋅+=-14．在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(2714+-⨯-=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立． 即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=- 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10．设0x =->，则1x -=设()e x h x x =-，则()e (1)x h x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},max{21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},max{12212， 且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},max{},max{21222． 所以k k k k d c c d ≤=+++},max{12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},max{21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．a,的最大公约数．……………14分集合A中的最小数是b。
北京市朝阳区2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O 在△ABC 的内部，且有=，记△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积分别为S △AOB ，S △BOC ，S △AOC ．若x=y=z=1，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 4：2：3 ． 【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O 是△ABC 的重心，故S △AOB =S △BOC =S △AOC ，得出答案；（2）延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，结合已知可得O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O 是△ABC 的重心，∴S △AOB =S △BOC =S △AOC =S △ABC ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =1：1：1．若2+3+4=，延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，如图所示：则，∴O 是△DEF 的重心，∴S △DOE =S △EOF =S △DOF ．∴S △AOB ==×OD ×sin ∠AOB=S △DOE ，S △BOC ==OFsin ∠BOC=S △EOF ，S △AOC ==OFsin ∠BOC=S △DOF ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =：：=4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。
2016届高三朝阳一模数学理科文科试卷与答案解析-无水印汇编
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i 为虚数单位，复数2i 1i=+A ．1i-B ．1i --C ．1i -+D ．1i+2．已知全集U =R ，函数l n(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =∩B ．(N)UM =∅∩C ．M N U=∩D ．UM N ⊆()3．“a b >”是“e e a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π66．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上．9．二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项的系数是（用数字作答）．10．已知等差数列{}n a *()n ∈N 中，11a =，47a =，则数列{}n a 的通项公式n a =；2610410n a a a a ++++⋅⋅⋅+=．11．在直角坐标系x Oy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x t y t=-⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为．12．不等式组0290x y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥，≤，≤所表示的平面区域为D ．若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知M 为A BC △所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在A BC △的内部（不含边界），则实数n 的取值范围是．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1212i = ，，，）项能力特征用i x 表示，01.i i x i ⎧=⎨⎩，如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为()1212A a a a = ，，，，()1212B b b b = ，，，，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为（用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()213sin 3cos 222x f x x ωω=+-，0ω>．⑴若1ω=，求()f x 的单调递增区间；⑵若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）14322女生人数（人）1331⑴从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？⑵若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；⑶试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB =︒∠，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===，直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1A A 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段B C 的中点，P 为线段1B B 上的动点．⑴求证：11A C AP ⊥；⑵当点P 是线段1B B 的中点时，求二面角P AM B --的余弦值；⑶是否存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP ？如果存在，求出1B PPB 的值，若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()l n f x x a x =+，R a ∈．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当[]12x ∈，时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；⑶试问过点()13P ，存在多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点()21P ，和椭圆22:142x y C +=．⑴设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，试求12PF F △的周长及椭圆的离心率；⑵若直线():2200l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A B ，，直线P A PB ，与x 轴分别交于M N ，两点，求证：P M PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的通项公式()*31N n a n n =-∈．设数列{}n b 为等比数列，且n n k b a =．⑴若112b a ==，且等比数列{}n b 的公比最小，①写出数列{}n b 的前4项；②求数列{}n k 的通项公式；⑵证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习解析1．D【解析】222i 2i(1i)2i 2i 2i 2i 11i (1i)(1i)1i 2--+====+++--，故选D 2．D【解析】∵函数l n(1)y x =-的定义域{}1M x x =>{}{}2001N x x x x x =-<=<<，又RU =∴{}C 10U N x x x =≥≤或∴M N =∅ 故A ，C 错误，()C U M N M =≠∅ ，故B 错误，()C U M N ⊆，故选D ．3．A【解析】由a b >知0a b >≥，∴e e a b>由e e a b >知a b >，但是a ，b 取负值时，a 和b 无意义．∴“a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件4．B【解析】i 1=，1S =，i 4<2113S =⨯+=，i 112=+=，i 4<；2328S =⨯+=，i 213=+=，i 4<；28319S =⨯+=，i 314=+=，i 4≥．∴19S =5．C【解析】由余弦定理知2222cos a c b ac B+-=∴()222sin tan 32cos 3cos Ba cb B ac ac B ac B+-=⇔⋅=∴3s in 2B =∴π3B =或2π3．6．D【解析】A 、B 、C 均正确D ：前6个月的平均收入为406030305060456+++++=万元．7．A【解析】三棱锥如图所示，1CD =，2BC =，CD BC ⊥且1A BCD h -=底面积11212BCDS=⨯⨯=∴11111333A BCD BCD A BCDV S h--=⋅=⨯⨯=∴选A8．C【解析】只需求圆心()01，到曲线11yx=-上的点的最短距离，取曲线上的点11aa⎛⎫⎪-⎝⎭，，1a≠距离22111d aa⎛⎫=+-⎪-⎝⎭()()()2212121211a aaa=-+-+-+--211121411a aa a⎛⎫⎛⎫=--+--+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211131aa⎛⎫=--++⎪-⎝⎭3≥所以，若圆与曲线无公共点，则03r<<．9．10【解析】521xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的每一项为()521021035551C C Crrr r r r r rx x x xx----⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭令10342r r-=⇒=∴4x的系数为25C10=．10．21n-【解析】∵11a=，47a=，∴4123a ad-==∴{}n a通项公式为()()1112121na a n d n n=+-=+-=-()()2610410241032nna a a aa a n++++++++=…()()()()232410132411342333nnn nn n++-=+=++=++．11．π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】将2C 方程2x ty t=-⎧⎨=⎩代入1C 方程得()2222t t -+=解得1t =∴1x =，1y =故极坐标为π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．12．34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】如图所示，直线()1y a x =+过点A ()10-，且该直线过图中B 点时为临界条件，并且当其斜率小于A B 斜率时均与区域D 有公共点．B 点坐标由0x y -=和290x y +-=联立得()33B ，∴()33314AB k ==--即34a ≤时均满足条件．故a 的取值范围为34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．13．304⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】法一：如图所示，点M 在ABC △内部（不含边界）则14AM AB AD ==为一临界条件，此时0n =，又M 不在边界上∴0n >．过D 点作平行于A C 的直线，并交B C 于F 点，则D F AE =，此时，A E nAC =，M 点与F 点重合，为另一临界条件．∵14AD AB =，∴34AE DF AC ==，即34n =，又M 不在边界上，∴34n <．综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．法二：根据平面基本定理，当114n +=时，M 点在直线B C 上，又点M 在A BC △内部，∴0n >，且114n +<，即34n <综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．14．11221212a b a b a b -+-++- ，22．【解析】设第三个学生为()1212C c c c = ，，，，i i i i i i i d a b b c c a =-+-+-，112i ≤≤因为i d 的奇偶性和()()()0i i i i i i a b b c c a -+-+-=一样，所以i d 为偶数．3名学生两两不同能力特征项数总和为1212s d d d =+++ 为偶数，又7321s ⨯=≥，所以22s ≥．取()011011011011A =，，，，，，，，，，，，()101101101101B =，，，，，，，，，，，，()110110110111C =，，，，，，，，，，，，则不同能力特征项数总和恰为22，所以最小值为22．15.【解析】由()1333sin cos 2222f x x x ωω=++-πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑴当1ω=时，()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 单调增区间，只需()πππ2π2π232k x k k -+++∈Z ≤≤解得()5ππ2π2π66k x k k -++∈Z ≤≤故()f x 的单调递增区间()5ππ2π2π66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，⑵πππsin 1333f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，πππ2π332k ω+=+（k ∈Z 且0k ≥）即162kω=+由2πT ω=知，()2π0162T k k k=∈+Z ，≥则m ax 4πT =，故()f x 的最小正周期T 的最大值为4π16．【解析】⑴两名学生阅读名著本数之和为4的概率是134134712812812896+⨯+⨯==⨯⑵x 的所有可能取值为0，1，2，3，4()4448C 10C 70P X ===；()134448C C 161C 70P X ===；()224448C C 362C 70P X ===()314448C C 163C 70P X ===；()4448C 14C 70P X ===随机变量X 的分布列为：X01234P170167036701670170()11636161012347070707070E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2=⑶2212S S >17.【解析】⑴∵11A ACC 为直角梯形，∴111A C A A⊥又∵面11AA C C ⊥面11AA B B且面11AA C C 面111AA B B A A =，111A C A A ⊥∴11A C ⊥面11AA B BA P ⊂面11AAB B ∴11AC AP⊥⑵∵A C ⊥面11AA B B ，∴1A A ，A C ，A B 两两垂直，故以A 为原点，A C 为x 轴，A B 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz-设面A MP 的法向量为()n x y z =，，，3012AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()110AM =，，300200n AP y z n AM x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩∴3112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，∵1A A ⊥面ABC ．∴面ABC 的法向量为()1002A A =，，113317cos 171722A A n A A n⋅===⋅⨯故二面角P AM B --的余弦值为31717⑶存在点P ，且12B PPB =时，有1A C ∥平面A MP 证明如下：设1B P BB λ=,()000,P y z ，()()00,0,20,1,2z y λ-=-，所以(),20,2P λλ-()202AC =- ，，，()110AM = ，，，(),20,2AP λλ=-设平面A MP 的法向量为()v x y z =，，．()0220x y x z λλ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，2112v λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，又10v A C ⋅= 解得2λ=18.【解析】()ln f x x a x =+，Ra ∈⑴()f x 的定义域{}0x x >()1a x a f x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>．此时()f x 在定义域上是增函数②0a <时，令()0f x '=．则x a =-．x (0)a -，a -()a -+∞，()f x '-0+()f x 极小值综上所述当0a ≥时()f x 在(0)+∞，上是增函数；当0a <时()f x 在(0)a -，上是减函数.⑵当[1,2]x ∈时()0f x >恒成立，即l n 0x a x +>恒成立ln xa x>-()()21ln ln ln x xF x F x x x-'=-=[1,2]x ∈()0F x '<函数()F x 单调递减，()min 22,ln 2F =-2ln 2a >-⑶设过P 点与曲线相切的切点为()00x y α，则01ak x =+∴切线方程为()0000x a y y x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭将()13，代入得：()()000003ln 1x ax a x x x +-+=-整理得()000ln 20ax x a x a ⋅-++=()00ln 20aa x a x ⇒+-+=令()()ln 2ag x a x a x=+-+()211a a a g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭①当0a =时，()2g x =-不存在直线与曲线()y f x =相切②当0a >时，()g x 在()01，是减函数，在()1+∞，上是增函数且()1220g a a =--=-<，当0a >时，存在0t >使得32e 1t t t a a>+>++即(e )(e 1)20t t g a t -=-+-->恒成立此时，存在0e t x ->且0(01)x ∈，时，0()0g x >故0()(1)0g x g ⋅<∴()g x 在(01)，上有且仅有一个零点同理，存在01x >时，0()0g x >∴()g x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点∴()g x 在()0+∞，上有2个零点即直线与曲线有2条切线③当0a <时，()g x 在()01，是增函数，在()1+∞，上是减函数且()1220g a a =--=-<，此时无零点综上所述：当0a >时，过P 有2条直线与曲线相切.当0a ≤时，不存在过P 的直线与曲线相切．19.【解析】⑴由题意，在椭圆22142x y +=中，2a =，2b =，2c =．∴()120F -，，()220F ，又∵()21P ，在椭圆上．∴12PF F △的周长22422C a c =+=+．22c e a ==⑵设()11A x y ，，()22B x y ，为直线l 与椭圆相交的两点．由题意222214222402222x y m x mx my x ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩()216044m m ∆=-+>⇒∈-，1222mx x +=-21224m x x ⋅=-要证PM PN =只需证0PA PB k k +=则：121211022y y x x --+=--()()()()1221122212122222022m m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--即()()1212222202m x x x x m ⎛⎫+-+--= ⎪⎝⎭左边22222222422m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222222244m m m m =--+-+0==右边∴无论m 为何值，P M PN =20．【解析】⑴（i ）设数列{}n b 公比为q ，则22231222k a b k q -===，于是()2*232231312k k b b q a q k -===-⋅∈N ，所以2k 为奇数，又21k ≠，则23k ≥，从而231331422k q -⨯-==≥．当4q =时，28b =，332b =，4128b =．（ii ）{}n b 是首项为2公比为4的等比数列，所以124n n b -=⋅，*n ∈N ．由13124n n n k n b a k -==-=⋅，解得12413n n k -⋅+=．⑵令31q k =+，123k =，，，取{}n b 是首项为5公比为q 的等比数列，则()1531n n b k -=⋅+．只需证明，*n ∀∈N ，存在*m ∈N ，使得31n b m =-即可．由()153131n n b k m -=⋅+=-，得()153113n k m -⋅++=，只需证明()153113n k m -⋅++=是正整数即可．2n ≥时，()()()1101111153115C C 3C 31n n n n n n k k k ------⎡⎤⋅++=++++⎣⎦()()111115C 3C 36n n n n k k ----⎡⎤=+++⎣⎦ 所以()15311n k -⋅++是3的倍数，因此()1*53113n k m -⋅++=∈N ．因此首项为5公比为()31k +的等比数列{}n b 满足要求，显然有无穷多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，{}|3A x x =≤，{}|2B x x =<，则()U B A =A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤2．已知i 为虚数单位，则复数2i 1i=+A ．1i+B ．1i -C ．1i-+D ．1i--3．已知非零平面向量a ，b，“a b a b +=- ”是“a b ⊥ ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos sin 0a B b A +=，则B =A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．33+B ．36+C ．123+D ．126+7．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误．．的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元8．若圆()2221x y r +-=与曲线()11x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.）9．已知函数()()22l og 300.x x f x x x ⎧+⎪=⎨<⎪⎩,, ,≥则()()1f f -=_________.10．已知双曲线221x y m -=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为________.11．已知递增的等差数列{}()*n a n ∈N 的首项11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式n a =；481244n a a a a +++++=．12．已知不等式组0290y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≤表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知圆C ：()()22355x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为．14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜，如果从甲开始，则甲要想获胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()()π2sin cos 03f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．⑴求ω的值；⑵求()f x 在区间ππ62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，*n ∈N ，⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）31213女生人数（人）13312⑴试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；⑵若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；⑶试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面902ABC BAC AB AC ∠=︒==,, , 13A A =.M N ,分别为B C 和1C C 的中点，P 为侧棱1B B 上的动点.⑴求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；⑵若P 为线段1B B 的中点，求证：1A N ∥平面APM ；⑶试判断直线1B C 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由.19．（本小题共14分）已知椭圆22:142x y C +=的焦点分别为12F F ,.⑴求以线段12F F 为直径的圆的方程；⑵过点()40P ,任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N , .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.20．（本题满分13分）已知函数()()e xk x f x k k x+=⋅∈-R .⑴若1k =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶设0k ≤，若函数()f x 在区间()322, 上存在极值点，求k 的取值范围.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试卷答案与解析数学试卷（文史类）2016.31．D 【解析】{}|2UB x x =≥(){}|23UB A x x = ≤≤2．A 【解析】()()()()22i 1i 2i 1i 2i i i i 11i 1i 1i 2--===-=+++-3．C【解析】a b a b +=- 平方：()()22a ba b+=-∴222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅ ∴0a b ⋅= ∴a b⊥ 4．B【解析】i 1=，1S =3S =，i 2=8S =，i 3=19S =，i 4=输出19S =5．C【解析】3cos sin 0a Bb A ⋅+⋅=3sin cos sin sin 0A B B A +⋅=∴3cos sin 0B B +=π2sin 03B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π3B =6．B 【解析】12212PAD S =⨯⨯=△1232PAB S =⨯⨯△62=由于对称性62P CD S =△12222PBC S =⨯⨯=△。
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北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()U A B = ðA ． {|2}x x >B ．{}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =-C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 CD ．4正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC = ,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ．21 D ．19 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的；②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的； ③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述定义下，集合},n m n +∈Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?FAD CBE若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题满分13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1kk m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥L ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：()170280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙， 甲乙9884215350035025789()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙 ()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．所以变量ξ的分布列为：11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCB EOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩ 取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ， 得000020,20.x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是y x =，由22236,,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取(2M，则(1)2N -．所以OMN ∆的面积为2②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取012x a-=，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xxx h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C =种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个， 有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<L ． 把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L ，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤L ， 又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L 每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+L ，即1212m a a a n m ++++≥L ．…………………13分。