实变函数--ch4可测函数

(4)若g在 上Borel可测， 在X上可测，则 在X上可测．
证：(1)首先，由 A，故 ．若 ，则 A，即 ；
若 ，则 A，即 ， 是 代数．
(2)对于 ，有 ，由Th4.1.1，知 ．而 中开集均为至多可数个形如 及 区间的并集．由(1)得(2)．
(3)B是由 生成的 代数，而 是包含 的 代数，(3)成立．
(开集)．对于 中任一收敛于 的点列 ， ．于是 ， ．
即 上的限制函数在 点连续．故 上的限制是连续函数．
(B)设 上的有界可测函数．
据Th4.1.5推论1，存在一致有界的简单函数列 在E上一致收敛于f．据(A)， ，使得 上的连续函数 ．令 的闭子集，且 ．
由于 ，故 上的一致有界连续函数，且在 上一致收敛于f． 在 上的限制为有界连续函数．
第四章 可 测 函 数
§ 4.1.可测函数及其性质
定义4.1.1．设 ,A)是可测空间，A是 代数， A，函数 ．若 ，有
A，称 为E上的（A）可测函数．
如：常值函数 是E上的可测函数．
定理4.1.1．设 ,A)是可测空间， A，函数 ．则以下四命题等价．
(1) A；(2) A；
(3) A；(4) A．
推论．设 为 可测集E上的a.e.有限的可测函数，则存在R上的连续函数列 在E上a.e.收敛于 ．
证：由Th4.3.2， 上的连续函数 满足 ．
记 ，则 ．
故 ．而 ．这样， ，使
时，有 ． 即 在 上每一点收敛于 ．
关系图：
Lebesgue定理
叶果洛夫Riesz
定理定理
第四章习题 ．
2．设 ,A)是可测空间， 为 A上的可测函数列．证明： 的收敛点集与发散点集均为可测．
．若 ，记“ ，a.e.于E”．
依测度收敛：设 A， 是E上的可测函数， ，有 ，称 在E上依测度 收敛于 ，记 或 ．
定理4.2.1．设 ,A, 是测度空间， 是 A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数 ，使 于E．
证：存在零测集 ，使 ， ．令 ，则 在E上可测，且 于E．
推论．若 ,A, 是完备的测度空间，则 A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数．
，使 ．
从而 ．
令 ，则 A即为所求．
事实上， ． ．对于此 ，
，使得 有 ，即 ．说明 在 上一致收敛于 ．
定理4.2.5．(Riesz定理，匈牙利)设 ,A, 是测度空间， A， 在E上可测， 于E．则存在子列 在E上a.e.收敛于 ．
证： 使 ．
注意到 ，由Th3.2.1(10)得 ．
记 ， ．则 ，
定理4.3.2．(鲁金第二定理)设 为 可测集E上的a.e.有限的可测函数，则 ，存在R上的连续函数 使得 ．若E是有界集，则可使 的支集
为紧集．
证：首先， ，存在闭集 ， ，且 在 上的限制是有限值连续函数．再据Th2.3.3，存在R上的连续函数 使得 ，且 ．可知， 的可测子集，故 ．
若 是有界集，则存在 ．注意到 为R中闭集，且 ，据Th2.3.3前面的引理知，存在连续函数 ．将上述的 替换为 即得所求．
↗ ．
证：先设 ．令 ， ，
．易知， 为E上非减的非负简单函数列．下证 ↗ ．
若 ，则 ，于是 ↗ ．若 时， ，使 ．此时
，于是 ， ．从而 ↗ ．
若 是E上的一般可测函数，则 ．由已证结论，存在E上非减的非负简单函数列 与 ，使 ↗ ↗ ．令 ，则 为简单函数，且
．于是有 ↗ ，
．
推论1．若 是 A上的有界可测函数，则存在一致有界的简单函数列 在E上一致收敛于 ．
易知 在 上收敛于 ．事实上， 时有
，即 ．
关于Lebesgue定理、叶果洛夫定理的4个注记见书上 (简说)．
§4 3. 可测函数与连续函数的关系
定理4.3.1．(鲁金第一定理，前苏联)设 为 可测集E上的a.e.有限的 可测函数，则 ，存在闭集 ，满足 且 (限制)是有限值的连续函数．
证：首先，可假设 为E上的有限可测函数．这是由于 ．
(4) B；由(3)， A，据(2)， 在X上可测．
推论1．设 是拓扑空间，A为X上的 代数，且A ，若 连续，则 在X上A可测．
( 书上错)
如：取 ，则一切连续函数均为R上的Lebesgue可测函数； 上的连续函数均为E上的Lebesgue可测函数．
推论2．R上的严格单调函数均为R上的Lebesgue可测函数； 上的单调函数均为E上的Lebesgue可测函数．
推论2． 是 A上的可测函数 可表示为E上的简单函数列的极限．
§4.2.可测函数列
几乎处处a.e.：设 ,A, 是测度空间，A为 代数， ．存在零测集 ，命题P或条件P在 上成立，则称P在E上a.e.成立．
如： ．若 ，称 在E上a.e.有限，记“ ，a.e.于E”；
．若 ，记“ ，a.e.于E”；
证：收敛点集 ，可测； 发散点集 ，可测．
或者：利用 证之． ，可测； ，可测．
8.测度空间 ,A, ， A， 于E， ，证明：若 于E，
，则 于E．
证：由Riesz定理，存在子列 ， 于E．但 于E，故
于E．
11．设 为 可测集E上的a.e.有限函数．证明：若对于任一 ，存在闭集 ，使得 且 在 上的限制是有限值连续函数，则f为E上的 可测函数．
证： 闭集 ，使 是有限值连续函数， ．
记 ，则 均为 可测集，且 ，令 得 ． ，从而， 有
．
由于 ，而 是完备测度，故 ．又由于 包含R中的开集全体 ，据 Th4.1.2的推论1知， 在每个 上可测，所以 ．这样 ， 是E上的 可测函数．
12．证：(1)由于 ，有 ，
．
(2)若 ，则显然 ；
若 ，则 ．
(5) ．
证：(1) A知， 在E上可测． 若 ，则 在E上可测．
若 ，则 A；若 ，则
利用引理1(2)， 在E上可测．若 ，则 在E上可测．
(2), (3), (4)证略．
(5) ，应用(4)及Th4.1.2(4)即可得(5)．
定理4.1.4．设 是 A上的可测函数列，则 ， ， ， 均为E上的可测函数．
证：若 ↗，则 ；若 ↘，则 ．
引理1．(1)若 在 A上可测，则 在E的任一可测子集上可测；
(2)若 在 A上可测 ，则 在 上可测．
引理2．设 和g在 A上可测，则 A．
证：记有理数集 ，有 A．
定理4.1.3．设 和g在 A上可测，记 ，
则下列函数是E上的可测函数．
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ；
证：记 ， A， ． 在 上取值有限，且
，有 ．据引理有
．
于是， ．
从而 ．
定理4.2.4．(叶果洛夫定理)设 ,A, 是测度空间， A， ．可测函数列 在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数 ．则 ， A，使 上一致收敛于 ．
(称 在E上近一致收敛于 ，记为 于E．)
证：记 ，则 A， ． ，且 在 上取值有限，由引理知 ， ．
证： ，由于 A； A；
， ．可得以上四个函数均在E上可测．
推论1． 在 A上可测 正部 及负部 均在E上可测．
推论2．在 A上收敛的可测函数列 的极限函数 在E上可测．
简单函数： A， A且两两不交， ， ， ，称 为E上的简单函数．
定理4.1.5．设 是 A上的可测函数，则存在E上的简单函数列 满足 ，
若闭集 满足 ，则 ，复记 为E即可．
其次，由于在变换 下， 具有相同的可测性与连续性，故可进一步假定 上的有界可测函数．以下分两步证明．
(A)设 上的简单函数，可记 ， ， 两两不交、可测， ．据 Th3.4.2(2)， ，使 ，
．
记 为E的闭子集，且 ．
下证 是 上的连续函数． ，存在唯一的 ，使 ．从而
证：记 A， A． A．则
A．
定理4.2.2．设 ,A, 是测度空间， 是 A上的可测函数，且 ， ，则 于E．
证：由 ，可知
， ．故
，令 ，得
， ．而 ，知 ．
引理．设 ， ， 为有限函数，则 ，有 ．
证： ，使 ，即
．
从而 ．说明 ．故 ．
从而 (上限集为 ，极限存在)．
定理4.2.3．(Lebesgue定理)设 ,A, 是测度空间， A， ． 是E上的可测函数列， 于E， a.e.有限，则 于E．
证：(1) (2) (3)见书上．
(3) (4)． A．
(4) (1)． A．
定理4.1.2．设 ,A)是可测空间，函数 ．那么：
(1)集族 A}是 上的 代数．
(2)若 在X上可测，则 包含 中的全体开集 ．因此， 在X上可测 开集 ，有 A．
(3)若 在X上可测，则 包含 中的Borel集全体B．
(3) ，有 ，所以
．
(4)
， ．
， ．
(5)根据 Riesz定理， 存在子列 ；而 存在子列(不妨仍记为) ．这样， ，而
，据Lebesgue定理知 ．
反证法：假设 不成立， ，使 不成立．存在 及N的子列 ，使 ．
但 ，由已证结果知，存在子列(不妨仍记为) ，
． 矛盾．