2020年高考数学总复习题库-常用逻辑用语II

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2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)

2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要条件的是 ( )
A.p:

全国通用2024年高考数学二轮复习易错题精选易错点02常用逻辑用语含解析

易错点02常用逻辑用语易错点1：混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p 的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p 则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.易错点2：充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A 和B.如果A ⇒B 成立.则A 是B 的充分条件.B 是A 的必要条件;如果B ⇒A 成立.则A 是B 的必要条件.B 是A 的充分条件;如果A ⇔B.则A.B 互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点3：“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q 真⇒p 真或q 真.命题p∨q 假⇒p 假且q 假(概括为一真即真);命题p∧q 真⇒p 真且q 真.命题p∧q 假⇒p 假或q 假(概括为一假即假);¬p 真⇒p 假.¬p 假⇒p 真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.1．“2log (1)0x ”成立的一个必要而不充分条件是（）A．112x B．0x C．10x D．0x 【答案】D 【详解】由2log (1)0x 有011x ，解得10x ，故“2log (1)0x ”成立的一个必要而不充分条件是“0x ”故选：D2．已知条件:12p x ，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A． 1, B． ,1 C． 3, D．,3 【答案】A 【详解】:12p x ，解得31x ，:q x a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以3,1,a ，即1a .故选：A3．已知集合 012M ,,， 1,0,1,2N ，则“a M ”是“a N ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】因为M N ,所以“a M ” “a N ”，但“a N ”推不出“a M ”，所以“a M ”是“a N ”的充分不必要条件.故选：A.4．设命题p ：R x ，(x －1)(x +2)>0，则p 为（）A．0R x ， 00120x x B．0R x ，00102x x C．R x ， 120x x D．0R x ，00102x x 或02x 【答案】D 【详解】p 为0x R ， 00120x x ，等价于0x R ，00102x x 或02x .故选：D5．设 0M x R x ，已知命题p ：x M ，11x x；命题q ：x M ，11x x ，则下列命题中为真命题的是（）A．p q B． p q C． p q D．p q 【答案】C 【详解】因为0x ，所以当0x 时，12x x，当且仅当1x x ，即1x 时取等号，当0x 时，11()2x x x x，当且仅当1x x，即1x 时取等号，综上，当0x 时，12x x，所以命题p 错误，p 正确，因为0x ，所以0x ，所以121x x ，当且仅当1x x ，即1x 时取等号，所以q 正确，q 错误，所以p q 为假命题， p q 为假命题， p q 为真命题， p q 为假命题，故选：C1．设命题0:p x R ，2010x ，则命题p 的否定为（）A．x R ，210x B．x R ，210x C．0x R ，2010x D．0x R ，2010x 【答案】B 【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ，2010x 的否定为：x R ，210x .故选：B.2．不等式1133x成立是不等式21x 成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】解不等式1133x，得1x ，解不等式21x ，得11x ，又(1,1)(,1) ，所以不等式1133x成立是不等式21x 成立的必要不充分条件.故选：B.3．已知命题:R,ln 1p x x x ：命题q ：若正实数x ，y 满足2x y xy ，则29x y ，则下列命题中为真命题的是（）A．p q B． p qC．p q D．p q 【答案】B 【详解】由ln y x x 且0x ，故1ln y x ，当10e x 时0y ，y 递减；当1ex 时0y ，y 递增，所以11ey ，故p 为假命题；由x ，y 为正实数且2x y xy ，即211y x，故222(2)()52591x y x y x y y x y x ，当且仅当3x y 时等号成立，故q 为真命题；所以p 为真命题、q 为假命题，综上，p q 为假， p q 为真， p q 为假， p q 为假.故选：B4．已知命题p ：1022x x的展开式中，第2项的二项式系数为210C ；命题q ：若a ，b 是两个非零向量，则a b a b 是a b r r的充要条件．下列命题为真命题的是（）A．p q B．p q C．p q D．p q【答案】B 【详解】由1022x x的展开式通项为210203110102C ()()(2)C r r r r r rr T x x x ，所以第2项为117210(2)C T x ，故二项式系数为110C ，p 为假命题；由22a b a b ，可得0a b 且它们为两个非零向量，即a b r r，充分性成立，由两个非零向量a b r r，则222222a b a a b b a b ，222222a b a a b b a b ，故a b a b，必要性也成立，所以q 为真命题.综上，p 为真命题，q 为假命题，所以p q 为假，p q 为真，p q 为假，p q 为假.故选：B5．已知命题4:(0,),sin 4sin p x x x ，命题001:(0,),22x q x ，则下列判断正确的是（）A．p 是真命题B．q 是真命题C．()p q 是真命题D．()p q 是真命题【答案】C 【【详解】因为(0,)x ，0sin 1x ，4sin sin y x x在(0,2]上单调递减，所以4sin 1454sin x x，所以p 为真命题；p 为假命题，故A 错误；当0x 时，0221x ，故q 为假命题，q 为真命题，则()p q 是真命题，()p q 是假命题，所以BD错误，C正确.故选：C1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ln x＞1，则¬p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）ln x0≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）ln x0≤1C．∃x0＞0，总有（x0+1）ln x0≤1D．∃x0≤0，总有（x0+1）ln x0≤1【答案】B【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）ln x＞1，则¬p为∃x0＞0，使得（x0+1）ln x0≤1.故选：B.3．下列命题正确的是（）A．命题“若2320x x ，则2x ”的否命题为“若2320x x ，则2x ”B．若给定命题:R p x ，210x x ，则:R p x ，210x x C．已知:12p x ， 12:2log 210x q x ，则p 是q 的充分必要条件D．若p q 为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D 【详解】命题“若2320x x ，则2x ”的否命题为“若2320x x ，则2x ”，A 错；命题:R p x ，210x x 的否定是R x ，210x x ，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x 在定义域内是增函数，()11f ，(2)10f ，所以12x 时， 1212log 210x x 满足 122log 210x x ，但 122log 210x x 时，22x 不满足12x ，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q 为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q 为真命题，D 正确．故选：D．4．下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x ”的充分不必要条件；②命题“R x ，sin 1x ”的否定是“R x ，sin 1x ”；③命题p ： 1,x ，lg 0x ，命题q ：R x ，210x x ，则p q 为真命题；④“若2，则为偶函数”的否命题为真命题.A．0B．1C．2D．3【答案】C 【详解】①，则或“”是“或”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：，，命题p 为真命题，，命题q为假命题，则为假命题，③为假命题；④“若，则为偶函数”的否命题为“若，则不是偶函数”若，则为偶函数，④为假命题故选：C．5．“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解：令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，即，故“”是“”的充分必要条件；故选：A6．已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为时，；，，所以p为假命题，q为真命题，为真命题，为假命题，根据复合命题的真假判断可得，，，均为假命题，为真命题．故选：D．7．已知，命题P：，，则（）A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，【答案】D【详解】∵，∴∴是定义域上的减函数，∴∴命题P：，，是真命题；∴该命题的否定是.故选：D.8．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由指数函数的性质易知显然是真命题，，当且仅当取等号，但是不存在使得等号成立，故为假命题，因此为假，为假，为真，为假，故选：C．9．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（）．A．1B．C．3D．【答案】A【详解】因为“，使得成立”是假命题，所以，都有成立是真命题，即，恒成立，，当且仅当，即时取等号，所以，比较可知，只有1满足条件，故选：A.10．已知命题：幂函数在上单调递减；命题：，都有.若为真命题，为假，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于命题：因为在上单调递减，所以，即；对于命题：由，得，所以．由为真，为假，可得，一真一假．若假真，则无实数解；若真假，则所以.故选：C．11。

2020高考数学复习集合与常用逻辑用语

第一节集合[基础梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A B且B AA＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A B或B A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且xA}1．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B A.(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A ．{a}A B．a AC．{a}∈A D．a A答案：D2．已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁R A＝()A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}3．已知集合A ＝{0，1，2}，集合B 满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 有________个．答案：84．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则A ∪B ＝________．答案：{x |x ＜2}考点一集合的概念◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．故选A. 答案：A(2)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：a ∈{1，2，3}，b ∈{4，5}，则M ＝{5，6，7，8}，即M 中元素的个数为4，故选B. 答案：B(3)已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B ＝( )A ．{0，2}B ．{0，1，2}C ．{2，3}D ．{0，2，4}解析：∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0，1，2，5}，又B ＝{0，1，2，3，4}，∴A ∩B ＝{0，1，2}．故选B.本例(1)变为已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 答案：B与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)A解析：若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，即⎩⎨⎧a ＞32，a ≥0，解得a ＞32.即点(2，1)∈A ⇒a ＞32，其等价命题为a ≤32⇒点(2，1)A .故选D. 答案：D考点二集合间的基本关系◄考能力——知法[例2] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0，x ∈N *}＝{1，2，3}，真子集个数为23－1＝7，故选A. 答案：A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，则实数m 的取值范围为________．解析：因为BA ，所以①若B ＝，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案：(－∞，3]1．若本例(2)中，A B ，如何求解？解析：若AB ，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为．2．若本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，如何求解？解析：因为BA ，所以①当B ＝时，即2m －1＜m ＋1时，m ＜2，符合题意． ②当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＞4，或⎩⎨⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．求集合间关系的常用方法技巧方法解读适合题型列举法利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系集合为有限集转化法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系集合为无限集(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A B ，则实数c 的取值范围为( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D．(1，＋∞)解析：法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}＝{x|0＜x＜c}. 由A B，画出数轴，如图所示，得c≥1，故选B.法二：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝{x|0＜x＜1}，取c＝1，得B＝{x|0＜x＜1}，则A B成立，可排除C、D；取c＝2，得B＝{x|0＜x＜2}，则AB成立，可排除A，故选B.答案：B考点三集合的运算◄考基础——练透角度1集合的基本运算[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B(2)(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B.答案：B(3)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁U B)∩A＝()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0，3)C．[0，3) D．(0，3)解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，集合B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}．因为全集U＝R，所以∁U B＝{x|－1＜x＜3}，所以(∁U B)∩A＝(0，3)，故选D.答案：D对于集合的运算，一般涉及离散型数集、连续型数集或抽象集合，破解此类型问题的关键点：(1)化简集合，使集合中的元素特性更明朗；(2)画数轴或韦恩图，并标出元素(或范围)；(3)根据集合运算定义，得出结论．角度2集合的逆运算[例4](1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝()A．3B．2C．2或3 D．3或1解析：∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a ＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.答案：A(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：由|x＋2|＜3，得－3＜x＋2＜3，即－5＜x＜1，所以集合A＝{x|－5＜x＜1}，因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，代入可得3(1＋m)＝0，所以m＝－1，解不等式(x＋1)(x－2)＜0得－1＜x＜2，所以B＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝(－1，1)，即n＝1，所以m＝－1，n＝1.答案：－11由集合的运算结果，求集合中的参数是根据运算的意义和方法，先确定集合，再确定参数．1．(2019·济南期中测试)已知集合A ＝{x |ax －6＝0}，B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是( ) A ．{2} B ．{3} C ．{2，3}D ．{0，2，3}解析：B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}＝{2，3}．因为A ∪B ＝B ，所以A B ，当a ＝0时，集合A 为空集，符合题意，当a ≠0时，A ＝{x |ax －6＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6a ，由题意得6a ＝2或6a ＝3，解得a ＝3或a ＝2，所以实数a 的所有值构成的集合是{0，2，3}，故选D. 答案：D2．(2019·广州模拟)已知x ∈R ，集合A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0，2}，则x ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：因为A ＝{0，1，2，4，5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0x ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}．综上，x ＝0.故选B. 答案：B本题的易错点是由0∈B ，2∈B 得到x ＝2或x ＝0后，就直接得到错误答案(x ＝2或x ＝0)，忘记验证A ∩B ＝{0，2}是否成立．1.数学抽象——集合的新定义(创新题)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.[例1] (2019·中原名校3月联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A ＝{－1，12，1}，B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为________. 解析：当a ＝0时，B 为空集，满足B A ，此时A 与B 构成“全食”；当a ＞0时，B ＝{1a ，－1a }，由题意知1a ＝1或1a＝12，解得a ＝1或a ＝4.故a 的取值集合为{0，1，4}. 答案：{0，1，4}易错警示在解决有关A ∩B ＝，AB 等问题时，一定先考虑A 或B 是不是空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2.数学建模——集合思想与方法的应用(教材阅读)[例2] 某店统计了两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种.(1)第一天售出，但第二天未售出的商品有________种. (2)这两天共售出________种商品.解析：如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，则A∩B中共有3个元素.(1)第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种.(2)这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种.答案：(1)16(2)29课时规范练A组基础对点练1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝() A．{0，2}B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}解析：A∩B＝{0，2}∩{－2，－1，0，1，2}＝{0，2}．故选A.答案：A2．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}解析：∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1，2}．故选C.答案：C3．(2018·高考天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C ＝()A．{－1，1}B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{2，3，4}解析：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，∴A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}．故选C. 答案：C4．若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ∩N ＝D ．NM解析：因为M ＝{x ||x |≤1}，所以M ＝{x |－1≤x ≤1}，因为N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，所以N ＝{y |0≤y ≤1}，所以N M ，故选D.答案：D5．(2019·日照3月联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( )A ．B ．{(4，0)，(3，0)} C. [－3，3]D ．[－4，4]解析：由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4，4]．故选D. 答案：D6．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，6}解析：由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．答案：B7．设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，故选C.8．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________．答案：{－1，2}9．已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________．解析：∁U B ＝{2}，∴A ∪∁U B ＝{1，2，3}．答案：{1，2，3}B 组能力提升练10．已知全集U ＝{0，1，2，3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( ) A ．{1，3} B ．{0，1，3} C ．{0，3}D ．{2}解析：M ＝{0，1，3}．答案：B11．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2C ．0或2D ．0或1或2解析：∵A ∩B ＝B ，∴B A ，∴m ＝0或m ＝2.答案：C12．设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2＞0，B ＝{x ∈R |0＜x ＜2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1，2]B ．[1，2)C ．(1，2)D ．[1，2]解析：依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2)，选B. 答案：B13．(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D14．设集合A ＝{3，m }，B ＝{3m ，3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．15．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．答案：516．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝________．解析：∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}＝{x|2＜x＜5}，A－B＝{x|x∈A 且x B}，∴A－B＝{0，1，2，5}．答案：{0，1，2，5}17．已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝________．解析：由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．∴∁R(M∩N)＝{x|x＜1或x≥2}，即∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1)∪[2，＋∞)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[基础梳理]1．四种命题(1)四种命题及其相互关系(2)互为逆否命题的真假判断：互为逆否的两个命题同真或同假．2．充分条件与必要条件的判断若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p q且q pp是q的必要不充分条件p q且q pp是q的充要条件p qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．[四基自测]1．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” C ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 答案：B3．(2018·高考北京卷改编)设a 、b 、c 为非零实数，则“b 2＝ac ”是a 、b 、c 成等比数列的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C4．对于下列四个命题 (1)“x 2＋2x －3＜0”是命题．(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”． (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．正确的有________．答案：(3)(4)5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，则a ＋b 与a 平行的充要条件是m 为__________．解析：a ＋b ＝(－1＋m ，3)， a ＋b 与a 平行，则有 2(－1＋m )＝－3，∴m ＝－12. 当m ＝－12时，a ＋b 与a 平行．答案：－12考点一四种命题及其关系◄考基础——练透[例1](1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(2)给出下列四个结论：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题为真命题；②“∃x0∈R，使得x02－x0>0”的否定是：“x∈R，均有x2－x<0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q为真命题．其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号)解析：(1)易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．故选B.(2)对于①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“∃x0∈R，使得x02－x0>0”的否定应是：“x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．答案：(1)B(2)①④判断命题真假的方法方法解读适合题型直接法判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明简单命题判断反例法说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可简单命题判断转化法转化为等价的逆否命题复杂命题1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.答案：C2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x＞|y| ，则x＞y”，是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．答案：A考点二充分条件、必要条件的判断◄考能力——知法[例2](1)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－12＜12”是“x3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1. 由x 3＜1得x ＜1.当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．答案：A(2)(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：|a －3b |＝|3a ＋b ||a －3b |2＝|3a ＋b |2a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 22a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0a ⊥b ，故选C.答案：C(3)(2019·日照3月联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＜0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A. 答案：A1．将本例(1)改为：设x ∈R ，“x 2＜1是|x －12|＜12”的什么条件？解析：由x 2＜1得－1＜x ＜1，集合A ＝(－1，1)，|x－12|＜12的解集为B＝(0，1)．∴A是B的必要不充分条件．2．将本例(2)改为：设“a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的什么条件？答案：充要条件充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：条件定义法集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}p是q的充分条件p⇒q A B p是q的必要条件q⇒p A B p是q的充要条件p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p A B p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p A Bp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/pA B且A B1．若p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A2．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B3．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A考点三充分条件、必要条件的应用◄考素养——懂理[例3] (1)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．答案：[0，3](2)已知p ：(1－x3)2≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，所以綈q ：A ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由p ：(1－x3)2≤4，解得－3≤x ≤9，所以綈p ：B ＝{x |x ＞9或x ＜－3}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件．所以AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－3，1＋m ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－3，1＋m ＞9，即m ≥8或m ＞8，所以m ≥8.答案：[8，＋∞)1.对于含有“否定”型的命题的充分、必要条件关系求参数，可以进行等价转化，具体关键点为：(1)求，分别求出p 、q 为真命题时的参数； (2)变，用到否定时，变为否定结论； (3)转，进行等价转化；(4)结，利用转化后的关系求解参数得出结论. 2.利用集合的包含关系求参数时，其关键点为： (1)化简，化简每个命题，成为集合形式； (2)转化，将充分必要条件关系转化集合包含关系； (3)求解，利用集合包含关系求解不等式； (4)结论，得出结论.1．已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知BA ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案：（－∞，－7]∪[1，＋∞)2．(2019·豫南九校联考)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件， ∴BA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)逻辑推理——命题及充要条件关系中的学科素养判断命题真假，判断条件的关系，都要用到逻辑推理，判断命题为真，需要用数学理论推理证明符合数学结论，判断命题为假，需要用反例验证产生矛盾.判断p是q的条件，既需要验证p能否推出q，也需要反推．都体现了“逻辑推理”的核心素养.[例] (2019·南昌二中月考)给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量a，b，“|a|＞1，|b|＞1”是“|a＋b|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；④命题p：“x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“x∈R，都有e x＜x＋1且ln x＞x－1”.其中正确命题的个数是()A.0B．1C.2 D．3解析：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”能够推出“ab＞1”，“ab＞1”不能推出“a＞1且b＞1”，故①正确；②已知平面向量a，b，“|a|＞1，|b|＞1”不能推出“|a＋b|＞1”，|a＋b|＞1不能推出|a|＞1且|b|＞1，故②不正确；③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5满足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5＜1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；④命题p：“x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“x∈R，都有e x＜x＋1或ln x＞x－1”，故④不正确.所以正确命题的个数为2.故选C.答案：C课时规范练A组基础对点练1．设a＞b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是()A．ac2＞bc2 B.ab＞1C．a－c＞b－c D．a2＞b2解析：对于选项A，a＞b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a＞b，若a＞0，b＜0，则a b＜1，故B错；对于选项C，a＞b，则a－c＞b－c，故C正确；对于选项D，a＞b，若a，b均小于0，则a2＜b2，故D错，综上，真命题为C.答案：C2．(2019·太原期末联考)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D3．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D. 答案：D4．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．答案：D5．“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的充分不必要条件，故选A. 答案：A6．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案：B7．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________．答案：若x ≤1，则x ≤08．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________解析：由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B.答案：充要9．“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的__________条件．解析：由log12(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要10．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的______条件．答案：既不充分也不必要B组能力提升练11．若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是()A．|x|>|y| B．x2>y2C.x>y D．x3>y3解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由x>y可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.答案：C12．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝12，x2＝20.故选A.答案：A13．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴当sin α＝cos α时，cos 2α＝0，充分性成立；当cos 2α＝0时，∵cos2α－sin2α＝0，∴cos α＝sin α或cos α＝－sin α，必要性不成立，故选A.14．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥4 B．a＞4C．a≥1 D．a＞1解析：要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B15．(2018·高考北京卷)能说明“若a＞b，则1a＜1b”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析：只要保证a为正b为负即可满足要求．当a＞0＞b时，1a ＞0＞1b.答案：1，－1(答案不唯一)16．如果“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为__________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[基础梳理]1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3.名称形式全称命题特称命题语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示x∈M，p(x)x∈M，p(x0)否定x0∈M，綈p(x0)x∈M，綈p(x)1．一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．两类否定(1)綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)．(2)綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈q)．3．三句口决p∧q全真为真，p∨q有真即真，綈p与p真假相反．[四基自测]1．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为() A．1B．2C．3 D．4答案：B2．设命题p：n0∈N，n02＞2n0，则綈p为()A．n∈N，n2＞2n B．n0∈N，n02≤2n0C．n∈N，n2≤2n D．n0∈N，n02＝2n0答案：C3．若命题p：x∈R，x2＋2x＋2≤0，其綈p为()A．x∈R，x2＋2x＋2＞0B．x0∈R，x02＋2x0＋2＞0C．x∈R，x2＋2x＋2≥0D．x0∈R，x02＋2x0＋2≤0答案：B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是5”5．给出下列命题：①x∈N，x3＞x2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③x0∈R，x02－x0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案：①②③考点一含有逻辑联结词的命题真假的判断◄考基础——练透[例1](1)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∧(綈q)B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝－5i＋i＝6i，故命题p为真命题，则綈p为假命题；复数1＋i1＋2i＝（1＋i）·（1－2i）（1＋2i）·（1－2i）＝35－15i，则z的虚部为－15，故命题q为假命题，则綈q为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，p∧q为假命题．故选C.答案：C(2)(2019·太原模拟)已知命题p：x0∈R，x02－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则1a＞1b，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞0，所以x0∈R，使x02－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题，又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B.答案：B1.复合命题的真假判断方法解读适合题型直接法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化法根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真.1．(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．綈p解析：取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题，故选B.答案：B2．①若命题p∧q为假命题，则命题p为假命题．②若命题p 或q 为假命题，则命题p 是假命题． ③若命题p 是假命题，则命题p ∨q 为假命题．④如果“若p 则q ”是真命题，则“若綈q 则綈p ”是真命题．其中真命题的是__________．解析：①假命题，若p ∧q 为假，只要其中一个命题为假，即可． ②真命题，p ∨q 为假，则p 、q 均假． ③假命题，因q 可能为真．④真命题，因后一个命题是前一个命题的逆否命题．答案：②④考点二全称命题、特称命题◄考基础——练透角度1 全称命题、特称命题的真假判断 [例2] (1)下列命题中的假命题是( ) A ．x ∈R ，x 2≥0 B ．x ∈R ，2x －1＞0 C ．x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2解析：对于sin x 0＋cos x 0＝2sin(x 0＋π4)≤2≠2， D 为假命题．答案：D (2)已知命题p ：x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 20恒成立，∴p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q 为假命题，綈q 为真命题．因此p ∧(綈q )为真命题．选B.答案：B角度2全称命题、特称命题的否定[例3](1)命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0D．x0∈[0，＋∞)，x03＋x0≥0答案：C(2)命题“x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．x(0，＋∞)，ln x＝x－1C．x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．x0(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A1．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真2.(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．1．下列命题中的假命题是( ) A ．x ∈R ，e x ＞0 B ．x ∈N ，x 2＞0 C ．x 0∈R ，ln x 0＜1D ．x 0∈N *，sin π2x 0＝1解析：当x ＝0时，x 2＝0. 答案：B 2．已知命题p ：x 0＞1，x 02－1＞0，那么綈p 是( )A ．x ＞1，x 2－1＞0B ．x ＞1，x 2－1≤0C ．x 0＞1，x 02－1≤0D ．x 0≤1，x 02－1≤0答案：B考点三根据量词的意义求参数◄考能力——知法角度1x 1∈D 1，x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)[例4] 已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，函数g (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 解析：当x ∈[0，1]时，f (x )∈[0，1]，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2，由题意得[0，1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2≠．若[0，1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2＝，则2－2a >1或2－3a 2<0，即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a≤43.故选A. 答案：Ax1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠．其解题关键点为：(1)当x1∈D1时，求f(x)的值域A；(2)当x2∈D2时，求g(x)的值域B；(3)若A∩B＝，求参数范围；(4)若A∩B≠，求A∩B＝时参数的补集．角度2x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)[例5]已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和函数g(x)＝2x＋x＋1，对任意x1∈[－1，＋∞)，总存在x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是__________．解析：因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x＋x＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]对x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集，即A B.其解法关键点为：(1)当x1∈D1时，求f(x)的值域A；(2)当x2∈D2时，求g(x)的值域B；(3)利用A B，求参数得结论．。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（） A ．{}02x x ≤，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（） A ．{}11x x -≤-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（） A ．{}11x x -≤-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y yy x y y -+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确，故选：D.。

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语含习题答案

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1，结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

专题02 常用逻辑用语--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．热点二充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（） A ．01a <”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．热点四全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。

2023高考数学二轮复习专题复习02 常用逻辑用语(解析版)

专题02 常用逻辑用语【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若pq 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)；（4）若pq 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立). 二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】函数()xf x a =为增函数,则 1a > ,此时10a ->,故函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时, ,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数.故选:C例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可. 【详解】∵公比0q ≠，∴20212024a a >，∴420212020a q a q >，∴4q q >，∴()310q q ->，∴()()2110q q q q -++>， ∴()10q q ->，∴01q <<，又∵20222023a a >，∴2320202020>a q a q ，∴23q q >，∴()210q q ->，∴1q <且0q ≠，∴011q q <<⇒<且0q ≠，即“20212024a a >”是“20222023a a >”的充分不必要条件．故选：A ．例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立. 【详解】由线面垂直的性质知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m 必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m α⊥，即必要性不成立. 故选：A.例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（） A ．m α⊥且n α⊥ B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥ 【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A ，若m α⊥且n α⊥，则m n ∥，故A 不符题意；对于B ，若m α∥且n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 不符题意；对于C ，若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥，故C 符合题意；对于D ，若m α∥且n α∥，则m 与n 平行、相交或异面，故D 不符题意. 故选：C.（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++> 【答案】BC 【解析】【分析】对于A 、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B ，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C ，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；【详解】对于A ，当1a b ==-时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当13,24a b ==时，满足1a b +>，不满足221a b +>，即1a b +>推不出221a b +>，不必要；A 错误；对于B ，当1a b ==-时，满足||||1a b +>，不满足1a b +>，即||||1a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，平方得2221a ab b ++>，又()22222221a b a ab b a ab b +=++≥++>，又||||0a b +>，故||||1a b +>，即1a b +>能推出||||1a b +>，必要；B 正确；对于C ，当0a b 时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，由20,20a b >>，221a b +≥>>，即1a b +>能推出221a b +>，必要；C 正确；对于D ，当12a b ==时，满足4110b a b ++>，不满足1a b +>，即4110b a b++>推不出1a b +>，不充分；当2,1a b ==时，满足1a b +>，不满足4110b a b ++>，即1a b +>推不出4110b a b++>，不必要；D 错误. 故选：BC.【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥．故答案为：[2,)+∞．例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（） A ．(,4]-∞ B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围. 【详解】由2()4x a -<，可得：22a x a -<<+；由131022xx x -+=≤--，则()()23020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，可得23x <≤；∵2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-， ∴2223a a -≤⎧⎨+>⎩，可得14a <≤.故选：D.例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,0- D ．(],1-∞-【答案】D 【解析】【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以{11}xx -<<∣ {}x x m >∣，即1m ≤-. 故选：D.例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4∞- B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4【答案】D 【解析】【分析】理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系. 【详解】由题意可得()211042x a x+≤⇒-<- ，而 ()()230131********x x x x x x x --≤⎧-⎪+≤⇔≤⇔⇔<≤⎨---≠⎪⎩()242222x a x a a x a -<⇔-<-<⇔-<<+则2232a a -≤⎧⎨<+⎩ ，故14a <≤，故选：D例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】1x a -<成立的充分条件是04x <<，则0a >，111x a a x a -<⇒-<<+，所以10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩. 故选：D例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥．故答案为：[2,)+∞．例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2a ≥ 【解析】【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式||x a <，当0a ≤时，不等式||x a <的解集为空集，显然不成立；当0a >时，不等式||x a <，可得a x a -<<，要使得不等式||x a <的一个充分条件为20x -<<，则满足{|20}{|}x x x a x a -<<⊆-<<，所以2a -≥-，即2a ≥ ∴实数a 的取值范围是2a ≥. 故答案为：2a ≥.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．【答案】33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求函数的值域求得集合A ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】函数2312y x x =-+的对称轴为34x =，开口向上，所以函数2312y x x =-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当34x =时，min 716y =；当2x =时，max 2y =.所以7,216A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.{}{}22|1|1B x x m x x m =+≥=≥-，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以27116m -≤，2916m ≥，解得34m ≤-或34m ≥，所以m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(,][3,)2-∞-⋃+∞；(2)(,2]-∞-. 【解析】【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A 和B ，利用集合的并补运算求()A B R ．（2）解含参一元二次不等式求集合B ，根据充分条件有A ⊆B ，列不等式求m 的范围即可． (1)由题设40210x x ->⎧⎨+>⎩得：142x -<<，即函数的定义域A ＝1(,4)2-，则R1(,][4,)2A =-∞-⋃+∞，当m ＝2时，不等式(4)(3)0x x --≤得：34x ≤≤，即B ＝[3,4]，所以()A B R ＝1(,][3,)2-∞-⋃+∞．(2)由2()(21)0x m x m --+=得： x ＝m 2或x ＝21m -，又2221(1)0m m m -+=-≥，即221m m ≥-，综上，2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ＝2[21,]m m -，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，即241212m m ⎧≥⎪⎨-≤-⎪⎩，得：2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞-．例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}|11A B x x ⋂=-≤<； (2)(][),12,-∞-⋃+∞ (3)(]1,2 【解析】【分析】（1）分别解出解出集合A ，B ，再求A B ；（2）由A B B ⋃=得到A B ⊆.对m 分类讨论，分0m >， 0m =和0m <三种情况，分别求出m 的范围，即可得到答案；（3）用集合法列不等式组，求出a 的范围. (1) 由5212xx ->+的解集是A ，解得：{}|21A x x =-<<. 当m =1时，22450x mx m --≤可化为2450x x --≤，解得{}|15B x x =-≤≤. 所以{}|11A B x x ⋂=-≤<. (2)因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 由（1）得：{}|21A x x =-<<.当0m >时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =-≤≤.要使A B ⊆，只需512m m ≥⎧⎨-≤-⎩，解得：2m ≥；当0m =时，由22450x mx m --≤可解得{}0B =.不符合A B ⊆，舍去；当0m <时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =≤≤-.要使A B ⊆，只需152m m -≥⎧⎨≤-⎩，解得：1m ≤-；所以，1m ≤-或2m ≥.所以实数m 的取值范围为：(][),12,-∞-⋃+∞. (3)设关于x 的不等式22430x ax a -+<（其中>0a ）的解集为M ，则(),3M a a =；不等式组2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩的解集为N ，则(]2,3N =；要使p 是q 的必要不充分条件，只需N M ，即233a a ≤⎧⎨>⎩，解得：12a <≤.即实数a 的取值范围(]1,2.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ． (1)若1a =，求()UA B ⋂．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【答案】(1)(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或(2)10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）首先求出集合,A B ，代入1a =，得出A ，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.（2）由（1）知，得出集合,A B ，再根据q 是p 的必要不充分条件转化为集合A 是集合B 的真子集，即A B ≠⊂即可求解. (1)由224410x ax a -+-≤，得2121a x a -≤≤+，所以{}2121A xa x a =-≤≤+∣，由220x x --≤，得12x -≤≤，所以{12}B xx =-≤≤∣ 当1a =时，{13}A xx =≤≤∣.所以{12}A B x x ⋂=≤≤∣ 所以(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或；(2)由（1）知，{}2121A xa x a =-≤≤+∣，{12}B x x =-≤≤∣， q 是p 的必要不充分条件，A B ≠∴⊂，所以212211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得102a ≤≤所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【答案】C 【解析】【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答. 【详解】对于①，由01b a <<<得：1a b >，(0,)∀∈+∞x ，01x x x a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x x a b >，①正确；对于②，(0,1)x ∀∈，log log log log 10x x xx aa b b-=<=，即0log log x x a b <<，则log log a b x x >，②正确；对于③，函数(01)x y m m =<<在(0,1)上为减函数，而01b a <<<，则a b m m <，即(0,1)x ∀∈，a b x x <，③错误；对于④，当(0,)x b ∈时，1x a <，log log log 1a a a x b a >>=，即log xa a x <，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】取特值可判断1p 和2p ，由辅助角公式化简可判断3p . 【详解】当02x =时，显然1p 成立；当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin(x )x x ϕ+=+，所以所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假. 故选：B例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C 【解析】【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件．故选：C例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（） A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤ B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ=，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4 D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由指数函数x y e =的性质，可判定A 为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B 为假命题；利用基本不等式和正弦函数的性质，可判定C 为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定D 为真命题.【详解】对于A 中，由指数函数x y e =的性质，可得0x e >恒成立，所以不存在0x R ∈，使得00x e ≤，所以A 为假命题；对于B 中，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面11A BCD 为平面α，平面ABCD 为平面β，直线1A B 为直线a ，直线BC 为直线b ，此时满足a b ⊥，且a ⊂平面α，平面b αβ=，但平面α与平面β不垂直，所以C 为假命题.对于C 中，由224sin 4sin y x x =+≥=，当且仅当224sin sin =x x时，即2sin 2x =时，等号成立，显然2sin 2x =不成立，所以C 为假命题对于D 中，由1,1a b >>，可得1ab >，即充分性成立；反之：例如：1,42a b ==，此时满足1ab >，但1,1a b >>不成立，即必要性不成立，所以1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件，所以D 为真命题. 故选：D（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（） A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，根据指数函数值域即可得到A 正确；对选项B ，当1x =时，不满足题意，故B 错误；对选项C ，根据存在1x =，使得lg 1x <，故C 正确；对选项D ，根据正切函数的值域为R ，即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，令1t x =-，2t y =，因为x ∈R ，所以20t y =>，故A 正确；对选项B ，当1x =时，()210x -=，故B 错误；对选项C ，当1x =时，lg101=<，故存在x ∈R ，lg 1x <，C 正确；对选项D ，因为tan y x =的值域为R ，所以存在x ∈R ，使得tan 2x =. 故选：ACD例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >；（2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦；（3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >；（4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >．【答案】（2）（3）【解析】【分析】根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于（1），[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max max f x g x >，故（1）错误；对于（2），[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，即()()0f x g x ->恒成立，应需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦，故（2）正确；对于（3），[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，即需()()min max f x g x >，故（3）正确；对于（4），[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，，应需()()max min f x g x >，故（4）错误．综上，正确的命题是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可. 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（）． A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定可知：“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 20x +≤”. 故选：A.例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（） A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，202n n +< D ．*0N n ∃∈，202n n +< 【答案】D 【解析】p ⌝：*0N n ∃∈，2002n n +<.故选：D例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（） A．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<【答案】D 【解析】命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +x ∃∈R ，sin cos x x +< 故选：D ．例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（） A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <- B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <- D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥- 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-. 故选：C.例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解【答案】D 【解析】【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D 满足题意；故选：D例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（） A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C ．任意一个无理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方是无理数【答案】A 【解析】【分析】根据存在命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以p ⌝为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选：A例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________. 【答案】00x ∃≥，22002e 3x x -+>【解析】命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤. 则¬p 为：00x ∃≥，22002e 3x x -+> 故答案为：00x ∃≥，22002e 3x x -+>【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 1. 全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤【解析】【分析】结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. 【详解】依题意命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，当0a =时，10≥成立，当0a >时，210ax +≥成立，当0a <时，函数21y ax =+开口向下，210ax +≥不恒成立. 综上所述，0a ≥. 故选：B例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数m 的取值范围. 【详解】∵命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤” 是假命题，则其否定“任意R x ∈， 220x x m ++>” 为真命题, ∴2240m ∆=-< ，所以1m . 故选： C.例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（） A ．16m ≥ B ．m 1≥ C ．16m < D ．1m < 【答案】B 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围因为“[]1,4x ∀∈，2x m >”是假命题，则其否定“[]1,4x ∃∈，2x m ≤”为真命题则()2minxm ≤而当1x =时，2x 取得最小值1 所以m 1≥ 故选：B例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（） A ．[]1,4- B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解. 【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 小于等于函数tan y x =在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值，因为函数tan y x =在[,]34ππ-上为增函数，所以函数tan y x =在[,]34ππ-上的最小值为所以m ≤m 的最大值为故答案为：例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x 1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()1,3 【解析】【分析】构造函数2()()x H x h x e =⋅，利用导数结合已知条件可得()H x 的单调性，由(1)1H =，不等式2x1()e h x >等价于()(1)H x H >，由()H x 的单调性即可求得解集A ，再分别求得()f x ，()g x 的值域，由已知可得函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，从而可求得实数a 的取值范围. 【详解】解：构造函数2()()x H x h x e =⋅，所以''222'()()2()()2()x x x H x h x e h x e e h x h x ⎡⎤=⋅+⋅=+⎣⎦，因为定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>，所以'()0H x >，所以()H x 在R 上单调递增，且2(1)(1)1H h e ==，所以不等式2x 1()eh x >可化为2()1x h x e ⋅>，即()(1)H x H >，所以1x >，所以2x1()e h x >的解集()1,A =+∞，函数221(1)111()1113111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++≥=---，当且仅当111x x -=-，0x =或2x =时等号成立，在A 上仅当2x =时等号成立，所以()f x 在A 上的值域为[)3,+∞，()()1x g x a a =>为增函数，所以()g x 在A 上的值域为(),a +∞，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则[)()3,,a +∞⊆+∞，所以3a <，又因为1a > 即实数a 的取值范围是()1,3. 故答案为：()1,3.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】)+∞ 【解析】【分析】转化为命题的否定是真命题后求解【详解】由题意得“0,,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦0tan x m ≤”为真命题，故0πtan tan3max m x ≥==（）故答案为：)+∞例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．【答案】3 【解析】【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”，因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题，所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立，所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：3例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．【答案】答案见解析【解析】【分析】由命题p 为真命题可得1a ≤，选择①，可得方程2220x ax a ++-=有解，借助判别式求解即得；选择②，由给定条件列出不等式求解即得. 【详解】选条件①，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立，因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，由命题q 为真命题，即方程2220x ax a ++-=有解，则()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-，又p ，q 都是真命题，从而有2a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围是(]{},21-∞-.选条件②，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立，因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，因命题q 为真命题，由区间(),3B a a =得0a >，又A B =∅，即4a ≥或032a <≤，解得4a ≥或203a <≤，又p ，q 都是真命题，从而有203a <≤，所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦.例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数a 的取值范围. 【详解】由于函数g （x ）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g （x ）的值域是函数f （x ）值域的子集．()()[]22211,1,2f x x x x x =-=--∈-，()[]1,3f x ∈-，函数f （x ）的值域是[－1，3]，因为a >0，所以函数g （x ）的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即12a ≤．故a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断.【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】解：当直线l α⊄，且αβ⊥，//l α，则l β⊂，或l β//，l 与β相交，故充分性不成立，当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，//l α，故必要性成立，所以，“//l α”是“l β⊥”的必要而不充分条件. 故选：B3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性：令14i z =，22i z =，满足12z z -是纯虚数，不满足1z ，2z 互为共轭复数，不满足充分性. 必要性：若121z z ==，满足1z ，2z 互为共轭复数，则120z z -=，不满足12z z -是纯虚数，不满足必要性.所以“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的既不充分也不必要条件. 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（） A ．1a ≥ B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤【答案】A 【解析】【分析】求出当命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题时，实数a 的取值范围，结合题意可得出合适的选项. 【详解】命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题，则2max22x a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此，命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是1a ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>； 3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+； 4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ln 1f x x x =-+，求导判断单调性求最大值可判断1p ；对二次函数配方求21x x -+的最小值可判断2p ；举例子如0e x =可判断3p ；举反例如12x =可判断4p ，进而可得正确答案. 【详解】对于1p ，设()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-'=-=，由()0f x '>可得01x <<；由()0f x '<可得1x >，所以()ln 1f x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()max 1ln1110f x f ==-+=，所以()ln 10f x x x =-+≤恒成立，所以0x ∀>，ln 1≤-x x ，故1p 错误；对于2p ，R x ∀∈，都有22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故2p 正确；对于3p ：当0e x =时，011ln ln 1ex ==-， 011e x -+=-，此时满足001ln 1x x >-+，故3p 正确；对于4p ，当12x =时，1212⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 12=，不满足121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，故4p 错误；故正确是2p ，3p ，故选：C ．6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（）A ．02x ∃≥，204x < B ．2x ∀≥，24x <C ．02x ∃<，204x <D ．2x ∀<，24x <【答案】A 【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题否定为“02x ∃≥，204x <”.故选：A7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，。

2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc

限时规范训练二平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形．设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。

高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第二节充分条件与必要条件全称量词与存在量词练习含解析

高考数学总复习：第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词学习要求:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的①充分条件,q是p的②必要条件p是q的③充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的④必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的⑤充要条件p⇔qp是q的⑥既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“⑦∀”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“⑧∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题(命题p的否定记为¬p,读作“非p”)名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x,使p(x)成立简记⑨∀x∈M,p(x)⑩∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x) ∀x∈M ,¬p(x)知识拓展1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B).2.A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题. ()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.()答案(1)√(2)✕(3)√(4)√2.(新教材人A必修第一册P34复习参考题1T5改编)设a,b∈R且ab≠0,则“ab>1”是“a>1”的()bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.(新教材人A必修第一册P30例4改编)命题“∃x0∈N,b02≤0”的否定是.答案∀x∈N,x2>04.(新教材人A必修第一册P31习题1.5T3改编)命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是.答案∃x0∈R,b02+x0+1≤05.(易错题)若命题“∃t0∈R,b02-2t0-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,-1]解析易错原因:理解存在量词命题出现错误,写命题的否定时出错.命题“∃t0∈R,b02-2t0-a<0”是假命题,等价于∀t∈R,t2-2t-a≥0是真命题,∴Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.全称量词命题与存在量词命题典例1(1)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为()A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f (x )∈A ,|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ,|f (x )|∉B(2)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )=(12)b-m ,若∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是 .答案 (1)C (2)[14,+∞)解析 (1)全称量词命题的否定为存在量词命题:改写量词,否定结论, ∴¬p :∃f (x )∈A ,|f (x )|∉B.(2)∵∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2), ∴f (x )min ≥g (x )min .当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0, 当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m , 由f (x )min ≥g (x )min , 得0≥14-m ,∴m ≥14.◆变式探究若将本例(2)中条件“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”,则实数m 的取值范围是 .答案 [12,+∞)解析 ∵∀x 1∈[0,3],∀x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),∴f (x )min ≥g (x )max . 当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )max =g (1)=12-m , 由f (x )min ≥g (x )max ,得0≥12-m ,∴m ≥12.名师点评1.否定全称量词命题或存在量词命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.2.判定全称量词命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可.3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值求解.1.已知f(x)=x-sin x,命题p:∃x∈(0,π2),f(x)<0,则()A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x∈(0,π2),f(x)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x∈(0,π2),f(x)≥0答案A因为f'(x)=1-cos x>0,x∈(0,π2),所以函数f(x)=x-sin x在(0,π2)上单调递增,则0=f(0)<f(x)<f(π2)=π2-1,所以命题p是假命题,其否定为¬p:∀x∈(0,π2),f(x)≥0,故选A.2.若“∀x∈[-π4,π3],m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为.答案 1充分、必要条件的判断典例2(1)已知a,b为正实数,则“a>1,b>1”是“lg a+lg b>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020北京理,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)A(2)C解析(1)∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,∴lg a+lg b>0,即充分性成立;若lg a+lg b>0,则{lg(bb)>0,b>0,b>0,∴{bb>1,b>0,b>0,即必要性不成立.故选A.(2)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转换法:利用p⇒q与¬q⇒¬p,p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系进行判断,对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法.1.(2019北京石景山一模,6)已知平面向量a=(k,2),b=(1,k),k∈R,则“k=√2”是“a与b同向”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2020天津理,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A充分、必要条件的应用典例3 设p :|4x -3|≤1;q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A.[0,12] B.(0,12)C.(-∞,0)∪[12,+∞) D.(-∞,0)∪(12,+∞)答案 A 设A ={x ||4x -3|≤1},B ={x |x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0}. 由|4x -3|≤1,得12≤x ≤1,故A ={b |12≤b ≤1}.由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0, 得a ≤x ≤a +1,故B ={x |a ≤x ≤a +1}.所以¬p 所对应的集合为∁R A ={b |b <12或b >1}, ¬q 所对应的集合为∁R B ={x |x <a 或x >a +1}. 由¬p 是¬q 的必要不充分条件,知∁R B ⫋∁R A ,所以{b ≤12,b +1>1或{b <12,b +1≥1,解得0≤a ≤12.故实数a 的取值范围是[0,12].名师点评根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解;(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.若关于x 的不等式|x -1|<a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(3,+∞) D.[3,+∞) 答案 D2.设p :|2x +1|<m (m >0);q :b -12b -1>0.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (0,2]逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题1.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x ,g (x )=196x -13,若对任意x 1∈[-1,1],总存在x 2∈[0,2],使得f'(x 1)+2ax 1=g (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .答案 [-2,0]解析由题意知,g (x )在[0,2]上的值域为[-13,6].令h (x )=f'(x )+2ax =3x 2+2x -a (a +2)(x ∈[-1,1]), 则h'(x )=6x +2,由h'(x )=0得x =-13.当x ∈[-1,-13)时,h'(x )<0;当x ∈(-13,1]时,h'(x )>0, 所以h (x )min =h (-13)=-a 2-2a -13.又由题意可知,h (x )的值域是[-13,6]的子集,所以{b (-1)≤6,-b 2-2b -13≥-13,b (1)≤6,解得实数a 的取值范围是[-2,0].2.已知函数f (x )=x +4b ,g (x )=2x+a ,若∀x 1∈[12,1],∃x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是 .答案 [12,+∞)逻辑推理的关键要素:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.已知函数f (x )={2b 3b +1,b ∈(12,1],-13b +16,b ∈[0,12],函数g (x )=k sin πb 6-2k +2(k >0),若存在x 1∈[0,1],x 2∈[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数k 的取值范围.解析由题意,易得函数f (x )的值域为[0,1],g (x )在[0,1]上的值域为[2-2b ,2-3b 2],并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k >1或2-32k <0,解得0<k <12或k >43,所以要使两个值域有公共部分,k 的取值范围是[12,43].A 组基础达标1.(2020北京八中高三月考)已知命题p :∀x ∈R +,ln x >0,那么命题¬p 为 ( ) A.∃x ∈R +,ln x ≤0 B.∀x ∈R +,ln x <0 C.∃x ∈R +,ln x <0 D.∀x ∈R +,ln x ≤0答案 A 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p :“∀x ∈R +,ln x >0”的否定¬p 为“∃x ∈R +,ln x ≤0”.2.下列命题中,真命题是 ( )A.∃x 0∈R,e b 0≤0B.∀x ∈R,2x >x 2C.“a +b =0”的充要条件是“bb =-1” D.“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D 因为y =e x>0,x ∈R 恒成立,所以A 不正确;因为当x =-5时,2-5<(-5)2,所以B 不正确;“bb =-1”是“a +b =0”的充分不必要条件,C 不正确;当a >1,b >1时,显然ab >1,D 正确. 3.已知a ,b 是两条不同的直线,α是平面,且b ⊂α,那么“a ∥α”是“a ∥b ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D 由b ⊂α,a ∥α,得a ∥b 或a 与b 异面,故充分性不成立;由b⊂α,a∥b,得a∥α或a在α内,故必要性不成立.故“a∥α”是“a∥b”的既不充分也不必要条件,故选D.4.(2020北京西城高三一模)设a,b为非零向量,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a与b共线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若|a+b|=|a|+|b|,则a与b共线,且方向相同,充分性成立;当a与b共线,方向相反时,|a+b|≠|a|+|b|,故必要性不成立.5.(2020北京昌平高三期末(理))若∃x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是()A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1答案B由题意可知,∃x≥0,使a≥2x+x,则a≥(2x+x)min.由于函数y=2x+x(x≥0)在定义域内单调递增,故当x=0时,函数取得最小值20+0=1,所以实数a的取值范围是a≥1.6.已知直线m⊥平面α,则“直线n⊥m”是“n∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B当m⊥α且n⊥m时,可以得到n∥α或n⊂α,因为直线n与平面α的位置关系不确定,所以充分性不成立.当n∥α时,过直线n可作平面β,设平面β与平面α交于直线a,则有n∥a.又因为m⊥α,所以m⊥a,所以m⊥n,所以必要性成立.故选B.)=0,则“不等式7.(2020北京第五中学高三模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(12}”的()f(log4x)>0的解集”是“{b|0<b<12A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件)=0,答案C∵定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(12),∴f(log4x)>0,即f(|log4x|)>f(12即|log 4x |>12,即log 4x >12或log 4x <-12,解得x >2或0<x <12,∴{b |b >2或0<b <12}是{b |0<b <12}的必要不充分条件. 8.设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为x 2-b 24=1”是“C 的渐近线方程为y =±2x ”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由C 的方程为x 2-b 24=1,可知曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线,且a =1,b =2,则C 的渐近线方程为y =±bb x =±2x ,即充分性成立;若双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,则双曲线C 的方程为x 2-b 24=λ(λ≠0),故必要性不成立.故选A.9.(2019北京丰台二模,4)已知i 是虚数单位,a ∈R,则“a =1”是“(a +i)2为纯虚数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 由于(a +i)2=a 2+2a i+i 2=(a 2-1)+2a i 为纯虚数,则{b 2-1=0,2b ≠0,解得a =±1,所以“a =1”是“(a +i)2为纯虚数”的充分而不必要条件.故选A .10.已知不等式|x -m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12,则m 的取值范围是 .答案 [-12,43]解析解不等式|x -m |<1,得m -1<x <m +1.由题意可得(13,12)⫋(m -1,m +1),故{b -1≤13,b +1≥12,且等号不同时成立,解得-12≤m ≤43.B 组综合提升11.设p :2b -1b -1≤0,q :x 2-(2a +1)x +a ·(a +1)<0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.(0,12) B.[0,12)C.(0,12] D.[12,1)答案 B 令A ={b |2b -1b -1≤0},则A =[12,1). 令B ={x |x 2-(2a +1)x +a (a +1)<0},则B =(a ,a +1). ∵p 是q 的充分不必要条件,∴A ⫋B ,则{b <12,b +1≥1,解得0≤a <12,故实数a 的取值范围是[0,12),故选B .12.(2019北京海淀二模,7)已知函数f (x )=sin ωx (ω>0),则“函数f (x )的图象经过点(π4,1)”是“函数f (x )的图象经过点(π2,0)”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若函数f (x )的图象经过点(π4,1),则有f (π4)=sin πb 4=1,从而πb 4=π2+2k π(k ∈N),解得ω=2+8k (k∈N).若函数f (x )的图象经过点(π2,0),则有f (π2)=sinπb 2=0,从而πb 2=k π(k ∈N *),解得ω=2k (k ∈N *).因为{ω|ω=2+8k ,k ∈N}⫋{ω|ω=2k ,k ∈N *},所以“函数f (x )的图象经过点(π4,1)”是“函数f (x )的图象经过点(π2,0)”的充分而不必要条件.故选A .13.(2019北京东城一模,7)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“V 1,V 2相等”是“S 1,S 2总相等”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B14.设m ∈R 且m ≠0,则不等式m +4b >4成立的一个充分不必要条件是 ( )A.m >0B.m >1C.m >2D.m ≥2 答案 C 当m <0时,不等式m +4b >4不成立;当m >0时,m +4b≥2√b ·4b=4,当且仅当m =4b,即m =2时取等号.∴当m +4b >4时,m 的取值范围为(0,2)∪(2,+∞),故排除A 、B 、D .C 选项,m >2时,m +4b >4成立,即充分性成立,由上述可知必要性不成立,故C 选项满足题意.C 组思维拓展15.给出下列四个命题:p 1:对任意x ∈R,2x >0; p 2:存在x ∈R,x 2+x +1≤0; p 3:对任意x ∈R,sin x <2x ; p 4:存在x ∈R,cos x >x 2+x +1.其中的真命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 3C.p 3,p 4D.p 1,p 2 答案 A ∀x ∈R,2x>0恒成立,p 1是真命题. 由x 2+x +1=(b +12)2+34>0恒成立,知p 2是假命题.由sin (-3π2)=1>2-3π2,知p 3是假命题.当x =-12时,cos (-12)>cos (-π6)=√32,x 2+x +1=34<√32,故p 4为真命题.综上,p 1,p 4为真命题,p 2,p 3是假命题.16.能说明“若a >b ,则1b <1b ”为假命题的一组a ,b 的值依次为 .答案2,-1(答案不唯一,只需a>0,b<0即可)。

20202020年新课标高考数学理科试题分类精编2常用逻辑用语

20202020年新课标高考数学理科试题分类精编2常用逻辑用语第2部分-常用逻辑用语一、选择题1.( 2018年陕西理9).关于数列｛a n ｝，〝a n+1＞∣a n ∣〔n=1，2…〕〞是〝｛a n ｝为递增数列〞的【】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网](C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当),2,1(1 =>+n a a n n 时，∵n n a a ≥，∴n n a a >+1，∴{}n a 为递增数列.当{}n a 为递增数列时，假设该数列为1,0,2-，那么由12a a >不成立，即知：),2,1(1 =>+n a a n n 不一定成立.故综上知，〝),2,1(1 =>+n a a n n 〞是〝{}n a 为递增数列〞的充分不必要条件.应选B .2.〔2018年全国理5〕命题1p ：函数22x xy -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，那么在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是〔A 〕1q ，3q 〔B 〕2q ，3q 〔C 〕1q ，4q 〔D 〕2q ，4q【答案】C 解析：易知1p 是真命题，而对2p ：112ln 2ln 2ln 2(2)22x x x x y '=-=-，当[0,)x ∈+∞时，122x x ≥，又ln 20>，因此0y '≥，函数单调递增；同理得当(,0)x ∈-∞时，函数单调递减，故2p 是假命题．由此可知，1q 真，2q 假，3q 假，4q 真．另解：对2p 的真假能够取专门值来判定，如取1212x x =<=，得1251724y y =<=；取3412x x =->=-，得3451724y y =<=即可得到2p 是假命题，下略． 3.〔2018年天津理3〕命题〝假设()f x 是奇函数，那么()f x -是奇函数〞的否命题是〔A 〕假设()f x 是偶函数，那么()f x -是偶函数〔B 〕假设()f x 是奇数，那么()f x -不是奇函数〔C 〕假设()f x -是奇函数，那么()f x 是奇函数〔D 〕假设()f x -是奇函数，那么()f x 不是奇函数【答案】B 【解析】因为一个命题的否命题是只对其结论进行否定，因此选B 。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习02 常用逻辑用语

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识02 常用逻辑用语1. 【2022年浙江卷第4题】设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.2.【2022年天津卷第2题】“x 为整数”是“21x +为整数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，若x 为整数，则21x +为整数，故充分性成立；当12x =，21x +为整数，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A.3．【2021年全国甲卷第7题】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．设甲：0q >．乙：{}n S 是递增数列，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】11,2a q =-=时，{}n S 是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；{}n S 是递增数列，可以推出110n n n a S S ++=->，可以推出0q >，甲是乙的必要条件．故选：B ．【易错点1】混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.【易错点2】充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A 和B.如果A ⇒B 成立.则A 是B 的充分条件.B 是A 的必要条件; 如果B ⇒A 成立.则A 是B 的必要条件.B 是A 的充分条件; 如果A ⇔B.则A.B 互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.【易错点3】“或”“且”“非”理解不准致误命题p ∨q 真⇒p 真或q 真.命题p ∨q 假⇒p 假且q 假(概括为一真即真); 命题p ∧q 真⇒p 真且q 真.命题p ∧q 假⇒p 假或q 假(概括为一假即假);¬p 真⇒p 假.¬p 假⇒p 真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.1.设点A,B,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】选C ，充分性：AB AC 与的夹角是锐角，所以0AB AC ?. 则有()222222+=+=22AB AC AB AC AB AC AB ACAB AC AB AC ++?+-?22AB AC BC =-=;必要性：0AB AC BC AB AC AB AC AB AC +>?>-拮>, 所以AB AC 与的夹角是锐角.2．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.直线12l l ⊥的充要条件是(2)0(3)00a a a a a a ++=∴+=∴=或3a =-． 3．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（） A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤【答案】C【解析】选C.命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20010x x -+<”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系。

2020年高考数学总复习题库-常用逻辑用语CB

2020年高考总复习理科数学题库常用逻辑用语学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________题号一二三总分得分第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．若a R ，则“a =2”是“（a -1）（a -2）”=0的( )∈(A).充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C).充要条件 (D).既不充分又不必要条件（2011福建理2）2．设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件（2002北京理10）3．命题“若p 则q ”的逆命题是（A ）若q 则p （B ）若p 则 q⌝⌝（C ）若则（D ）若p 则q ⌝p ⌝q⌝4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（A ）所有不能被2整除的整数都是偶数（B ）所有能被2整除的整数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的整数是偶数（D ）存在一个不能被2整除的整数不是偶（2011安徽理7）5．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是p r q r s r q 的必要条件。

现有下列命题：①是的充要条件；②是s s q p q的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④r q sp ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ r s ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ． ②④⑤ （2007湖北）6．命题：“若，则”的逆否命题是（）12<x 11<<-x A ．若，则B ．若，则12≥x 11-≤≥x x ，或11<<-x 12<x C ．若，则D ．若，则11-<>x x ，或12>x 11-≤≥x x ，或12≥x (2007重庆)7．下列各小题中，是的充分必要条件的是（）p q ①有两个不同的零点3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或②是偶函数()()()x f y q x f x f p ==-:1:；③βαβαtan tan :cos cos :==q p ；④AC B C q A B A p U U ⊆=::； A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④(2007山东)8．命题p ：若、∈R ，则＞1是＞1的充分而不必a b ||||b a +||b a +要条件；命题q ：函数的定义域是（－，，＋). 则（ 2|1|--=x y ∞][31 -∞）DA ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真(2007福建）9．设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件10．设集合，，那么“”是“}30|{≤<=x x M }20|{≤<=x x N M a ∈Na ∈”的（）BA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2006试题)11．下列命题中，真命题是A. 0,00≤∈∃x eR x B. 22,xR x x >∈∀C.a+b=0的充要条件是=-1a bD.a>1,b>1是ab>1的充分条件12．设集合{(,)|,},{(,)|20},U x y x R y R A x y x y m =∈∈=-+>，那么点P （2，3）的充要条件是（） A{(,)|0}B x y x y n =+-≤()U A C B ∈ A ．B ．C ．D ．5,1<->n m 5,1<-<n m 5,1>->n m 5,1>-<n m (2004湖南)13．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条p r s r q s 件．那么是成立的：（）Ap q A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2006重庆）14．“”是“A=30º”的（）B 21sin =A A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件(2006浙江)15．，，，，，均为非零实数，不等式和1a 1b 1c 2a 2b 2c 01121>++c x b x a 02222>++c x b x a 的解集分别为集合和，那么“”是“”的D M N 212121c c b b a a ==N M =A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件(2006试题)16．设，已知命题；命题，则是成立的（ ,a R ∈b :p a b =222:22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭p q ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2006试题)17．若a 与b-c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a (b-c)”的（）⊥ （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(2006北京文)18．函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（）A ．ab=0B ．a+b=0C ．a=bD ．a 2+b 2=0(2006试题)19．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ B ）()()f x x ∈R ()f x R A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（北京卷3）20．设分别是的三个内角所对的边，则是的A,,a b c ABC ∆,,A B C ()2a b b c =+2A B =A ．充分条件B ．充分而不必要条件C ．必要而充分条件D ．既不充分又不必要条件(2006试题)21．已知是实数，则“且”是“且”的 ( ),a b 0a >0b >0a b +>0ab >A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2009浙江理）22．设，其中，则是偶函数的充要条件是( D )()()sin f x x ωϕ=+0ω>()f x A ．B ．C ．D ．()01f =()00f =()'01f =()'00f =（四川卷10）23．“”是“”的（）2π3θ=πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(天津理3）A24．条件，条件，若是的充分不必要条件，则:|1|1p x x ->-:q x a >p q a的取值范围是---------（）(A) (B) (C) (D) 1a >1a ≥1a <1a ≤25．，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的命题是---------------------------------x y R ∈、---------（）(A)甲：乙： (B)甲：乙：0xy =220x y +=0xy =||||||x y x y +=+(C)甲：乙：中至少有一个为零 (D)甲：乙：0xy =x y 、x y <1x y <26．已知命题：，在上为增函数,命题Q ：P [)+∞∈∀,0b c bx x x f ++=2)([)+∞,0 使，则下列结论成立的是（）{},|0Z x x x ∈∈∃0log 02>x A ．﹁P 或﹁Q B ．﹁P 且﹁Q Ｃ．Ｐ或﹁Q Ｄ．Ｐ且﹁Q27．命题“若，则”的逆否命题为-----------------------------------------------（ a b >a c b c +>+）(A)若，则 (B)若，则a b <a c b c +<+a b ≤a c b c ++≤(C)若，则 (D)若，则a c b c +<+a b <a c b c ++≤a b≤28．对任意实数，在下列命题中，真命题是----------------------------------------（）a b c 、、(A)“”是“”的必要条件 (B)“”是“”的必要条件ac bc >a b >ac bc =a b =(C)“”是“”的充分条件 (D)“”是“”的充分条ac bc >a b >ac bc =a b =29．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）a b ||||a b a b = A 、 B 、 C 、 D 、且a b =- //a b 2a b = //a b ||||a b =30．下列说法错误的是（）A ．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠B ．“”是“”的充分不必要条件1x >||1x >C ．若为假命题，则、均为假命题. .q p ∧p q D ．若命题：“，使得”，则：“，均有”p x R ∃∈210x x ++<p ⌝x R ∀∈210x x ++≥31．“0<x<5”是“不等式|x －2|<3”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件(2006试题)32．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件33．若均为单位向量，则是的（ 123,,a a a1a =123a a a ++= ）．Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件34．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A ．如果，，那么B ．如果，那么a b =0c ≠a b c c=a b =22a b =C ．如果，，那么 D ．如果，，那么a b =c d =a d b c +=+a b =c d =a d b c -=-35．对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x 是奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要36．若为实数，则“”是的,a b 01ab <<11a b b a<>或（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(2011年高考浙江卷理科7)37．“”是“”的（）1x >2x x >A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2010浙江理1）38．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）a b ||||a b a b =A 、且B 、C 、D 、||||a b = //a b a b =- //a b 2a b= 39．设a ，b R ，那么“”是“a>b>0”的( ) ∈1a b> (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件40．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ 2210,(0)ax x a ++=≠）CA ．B ．C ．D ．(2006重庆）0a <0a >1a <-1a >41．设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2008重庆理)42．“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（）A ．必要条件但不是充分条件B ．充分条件但不是必要条件C ．充分必要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件（1995上海9）43．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则是A B Ø)A B U= U （C （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2005山东理)44．给出下列三个命题①若1->≥b a ，则bb a a +≥+11②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(nm n m ≤-③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1．当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．345．2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件； 46．"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件(2006陕西理)47．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件；(2006上海理)48．设,那么 .1111()()1232f k k N k k k k*=++++∈+++ (1)()f k f k +-=49．若非空集合，则“或”是“”的（）N M ⊂M a ∈N a ∈N M a ∈（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件(2004上海春季)50．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（）A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，(2008天津理)51．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（B ）A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2006湖北文)52．设命题p :函数的最小正周期为;命题q :函数的图象关于直线sin 2y x =2πcos y x =2x π=对称.则下列判断正确的是（）A ．p 为真B ．为假C ．为假D ．q ⌝p q ∧p q∨为真（2012山东文）53．在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,p q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A ．B ．C ．D ．()()p q ⌝∨⌝()p q ∨⌝()()p q ⌝∧⌝p q∨（2013年高考湖北卷（理））54．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件（2013年高考上海卷（理））55．设a , b 为向量, 则“”是“a //b ”的（）||||||=a a b b ·A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013年高考陕西卷（理））56．“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013年高考北京卷（理））57．双曲线的充分必要条件是（）221y x m -=A ．B ．C ．D ．12m >1m ≥1m >2m >（2013年高考北京卷（文））58．“1<x<2”是“x<2”成立的______（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013年高考湖南（文））59．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件（2013年上海高考数学试题（文科））60．“”是“对任意的正数，”的（）18a =x 21ax x +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2008陕西理)61．“x ＞1”是“x 2＞x ”的（）AA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2006浙江文3)62．命题：若、，则是的充分而不必要条件；p a R b ∈1<+b a 1<+b a 命题：函数的定义域是．则q 21-+=x y ),1[]3,(+∞⋃--∞A ．“或”为假命题B ．“且”为真命题p q p q C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题(2006试题)p q p q 63．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M ＝N” ( )111222a b c a b c ==A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件(2006试题)64．“x>1”是“|x|>1”的（A ）．充分不必要条件（B ）．必要不充分条件（C ）．充分必要条件（D ）．既不充分又不必要条件（2011湖南文3）65．已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“”是“1223PP P P =12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件（2011江西理8）66．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（）a b a b =- ||||a b = （A ）若，则（B ）若，则a b ≠- ||||a b ≠ a b =- ||||a b ≠ （C ）若，则（D ）若，则（2011陕西理1）||||a b ≠ a b ≠- ||||a b = a b =- 67．已知命题P ：n ∈N ，2n ＞1000，则p 为∃⌝（A ）n ∈N ，2n ≤1000 （B ）n ∈N ，2n ＞1000∀∀（C ）n ∈N ，2n ≤1000 （D ）n ∈N ，2n ＜1000（2011辽宁文4）∃∃68．若p 是真命题，q 是假命题，则（）是真命题（B ）是假命题（C ）是真命题（D ）()A p q ∧p q ∨p ⌝q ⌝是真命题（2011北京文4）69．“”“A=30º”的（）21sin =A (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件（2004浙江文）70．若a 、b 为实数，则a>b>0是a 2>b 2的（）AA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件（2001上海春）71．已知命题,;命题,:p x R ∀∈23x x <:q x R ∃∈321x x =-,则下列命题中为真命题的是:（）A ．B ．C ．D ．p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝（2013年高考课标Ⅰ卷（文））72．“”是“”的什么条件……（）A2x <260x x --<A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要(2006福建文4)73．已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的a b c d c d a b a c b d A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（2009四川卷文）74． “”是“b a <<0ba 41()41(>”的___________(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一种)条件．75．下列选项中，是的必要不充分条件的是p q A ．， d b c a p +>+:d c b a q >>且:B ．，的图像不过第二象限11:>>b a p ，:q )1,0()(≠>-=a a b a x f x 且C ．， 1:=x p xx q =2:D ．，在上为增函数(2009安徽理)1:>a p :()log (0,1)a q f x x a a =>≠且),0(+∞[解析]：由且,而由，且c ＞d ,可举反例。