数学概率

排列、组合、二项式定理和概率

南京市中华中学潘俊文

一高考考纲要求

(一)05年各地高考题排列组合、二项式定理和概率归类分析

(1)绝大多数都考查了排列、组合内容，并以选择题和填空题形式出现，其中有2／3试卷直接考查排列组合，另1／3试卷则是通过求等可能事件的概率考查排列组合，达到一题考查两个知识点的目的．

(2) 仅有全国Ⅱ理科卷和上海文科卷没有涉及二项式定理，其余27份试卷都以小题的形式考查了二项式定理，且大多数试题考查二项展开式通项公式的运用．

(3) 05年第一次全国各省市全部都考查了概率这一内容，这意味着全国范围内都完成了从老教材到新教材的过渡．大部分试卷概率题以解答题形式出现，同时有近1／3的试卷有一大一小两题考查概率，其中有一题是运用排列组合求概率．但是，上海和天津文理共4份试卷概率仅以小题形式呈现．

(二) 江苏近三年高考排列组合、二项式定理和概率试题分析

小题；03、04年概率以解答题形式出现，属于常规题型，04年概率仅考一道小题，占分比例较小；03、05年排列组合难度较大，得分率较低，解答这两个问题，要有较高的分析问题和解决

问题有能力．

1．(2003．15)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法 有 120 种。（以数字作答）

2．(2004．3)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( D )

A ．140种

B ．120种

C ．35种

D ．34种

3．(2005．12）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 ( B )

A ．96

B ．48

C ．24

D ．0

解析：相交两棱所代表的物品不同在一个仓库，设侧棱为1、2、3、4，底面上的边为5、6、7、8，画图分析可知，不可能有3种物资放在同一个仓库，故每个仓库放2种，且1、2、3、4必须

各放一个仓库，因此先将编号为1、2、3、4的物品入仓，则有4

4A 种放法，然后从有1的开始． A ：若有1 的仓库放5，则有2的仓库放6且8只能在含4的仓中，那么7只能放在含3的仓中． B ：若有1的仓库放8，同理可知也只有一种放法，故放法有2种．所以有244A ＝2×24＝48（种）． 命题立意：本题考查排列问题及两个原理思想．

4．(2003．13)92

)21(x x -

展开式中9x 的系数是 2

21- ． 5．(2004．7) 4)2(x x +的展开式中x 3的系数是( C )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

6．(2005．9)设5)2(,5,4,3,2,1+=x k 则的展开式中k

x 的系数不可能是（ C ）

A ．10

B ．40

C ．50

D ．80

解析：x 1的系数为4

5C •24＝80，x 2的系数为35C •23＝80，x 3的系数为25C •22＝40，x 4的系数为15C •2

1＝10，x 5的系数为05C •20＝1，所以系数不可能是50．

命题立意：本题主要考查二项式定理中指定项的系数．

7． ( 2004.9) 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( D )

A ．

2165 B ．21625 C ．21631 D ．216

91

8． (2003．17) 有三种产品， 合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率．

（17）本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。满分12

分

简解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．

（Ⅰ） P （A ）=0.90，P （B ）= P （C ）=0.95，P （A ）=0.10，P （B ）= P （C ）=0.05。 因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为

P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·

C ）+P （A ·B ·C ） = P （A ）·P （B ）·P （C ）+ P （A ）·P （B ）·P （C ）+ P （A ）·P （B ）·P （C ）

=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.90×0.95=0.176

答：恰有一件不合格的概率为0.176。 （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为

P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·

C ） =0.90×05.02

+2×0.10×0.05×0.95+0.10×05.02

=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 解法二：三件产品都合格的概率为

P （A·B·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90×05.02

=0.812

由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为

1-[ P （A·B·C ）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012

答：至少有两件不合格的概率为0.012。

9．（2005．20）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4

33

2和.假设两人射击是否击中目 标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率； (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率 是多少?

简解：（Ⅰ）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A ，则其对立事件A 为“4次均击中目

标”，由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故()()

4

26511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭

．

答：甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为

81

65

． （Ⅱ）设“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2, “乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件

B 2，则27832132)(2

42

24

2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-C A P ，64

2743143)(3

43

342=

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-C B P ． 由于甲、乙射击相互独立，故8

1

6427278)()()(2222=⨯==B P A P B A P ．

答：两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为

8

1． （Ⅲ）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3,“乙第i 次射击未击中”为事件D i （i ＝1，2，3，4，5），则)(123453D D D D D A ⋅⋅⋅=，且P (D i )4

1

=． 由于各事件相互独立，故

3543211131145

()()()()()(1)444441024

P A P D P D P D P D D =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯=．