高考数学一轮复习,题型归纳系列资料,数列专题

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高考数学一轮复习考点知识专题讲解43---数列中的构造问题

高考数学一轮复习考点知识专题讲解

数列中的构造问题

题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型

命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)

例1(2022·九江模拟)在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝3a n－4，求数列{a n}的通项公式．解由a n＋1＝3a n－4，

可得a n＋1－2＝3(a n－2)，

所以a

n＋1

－2

＝3.

又a1＝5，所以{a n－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，

所以a n－2＝3n，所以a n＝3n＋2.

命题点2a n＋1＝pa n＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)

例2已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{a n}的通项公式．解∵a n＋1＝2a n－n＋1，

∴a n＋1－(n＋1)＝2(a n－n)，

∴a

n＋1

－(n＋1)

－n

＝2，

∴数列{a n－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n－n＝2·2n－1＝2n，

∴a n＝2n＋n.

命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)

例3在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式．解方法一原递推式可化为

a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)．① 比较系数得λ＝－4，①式即是

a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)．

则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴a n －4·3n －1＝－5·2n －1，即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.

专题6-1 数列递推与通项公式22种归类2023年高考数学一轮复习热点演练(全国通用)(原卷版)

三、模拟检测 .............................................................................................................................................. 14
【题型十八】三阶递推 .............................................................................................................................. 11
【题型十九】前 n 项积求通项 .................................................................................................................. 11
【题型八】二阶等比 .................................................................................................................................... 6
【题型九】二阶等差数列 ............................................................................................................................ 7

新高考一轮复习人教A版专题三数列课件(36张)

则数列{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列；由①与②相减得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2(其中 n∈N*)，又 a1－b1＝1－0＝1，则数列{an－bn}是以 1 为首项，
以 2 为公差的等差数列.
(2)解：由(1)知，an＋bn＝1×12n－1(其中 n∈N*)， ③ an－bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1(其中 n∈N*)， ④ ③＋④得 an＝1×12n－21＋2n－1＝21n＋n－21，(n∈N*)，即 bn＝12n－1－an＝12n－n＋12，(n∈N*).
题型一等差、等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合应用时常出现在全国各地高考试卷中，主要考查等差数列、等比数列的基本概念、
基本公式、基本性质及基本运算，对于 Sn与an的关系式，
备考复习时应该予以重视.
[例 1](2020 年天津卷)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3).
【互动探究】
3.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1， b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记ci＝ai＋bi (i＝ 1,2,3,4).
(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列. (2)设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求 b2关于d的函数关系式及其定义域. (3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由.

2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第05讲数列求和(九大题型)(课件)

2.分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解. 3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4.裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从
而求得其和.
(2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1.
②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－ n.
题型一：通项分析法
题型一：通项分析法
2023年甲卷（理）第17题，12 分
2023年II卷第18题，12分 2023年I卷第20题，12分
查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前n项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数
稿定PPT
列求和问题以解答题的形式为主，偶
稿定PPT，海量素材持续更尔出现在选择填空题当中，常结合函
题型一：通项Hale Waihona Puke Baidu析法
题型二：公式法

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

高三数学第一轮复习——数列

一、知识梳理数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式：如果数列

{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.

3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n .

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.

②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使

+∈≤N n M a n ,.

⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.

等差数列

1.等差数列的概念

2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲数列的基本知识与概念(六大题型)(课件)

题型六：递推数列问题
题型六：递推数列问题
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点
的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？
04
真题感悟
C
D
10
感谢观看
THANK
表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那
么这个式子叫做这个数列的递推公式.
常用结论
S1，n＝1，
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝
Sn－Sn－1，n≥2.
an≥an－1，
2.在数列{an}中，若 an 最大，则
大．重点是数列与函数结合考查单调
（2）了解数列是自变量为正
整数的一类特殊函数．
2021年北京卷第10题，4分
2020年浙江卷第11题，4分
性、周期性、最值性.
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02
网络构建
03
知识梳理
题型归纳
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数
2024
高考一轮复习讲练测
第01讲数列的基本知识与概念

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8

= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，

又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2

127

B ．

350

C ．

280

D ． 350

第 7 单元数列（基础篇）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共

12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（

）

A ．2

【答案】C

2 C ．3

D ．4

【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2

d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．

n 8 1 ）

1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．1

4 4

【答案】D

【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 4

8 1 a 1 a 16 4

，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．

5 4

3．在等差数列{a n

}中， a 5

+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10

A ．72

B ．60

C ．48

D ．36

【答案】B

【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，

a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．

8 9

4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．

专题6-2 数列求和归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

1.已知在等比数列
an 中， a1 1 ，且 a2 是 a1 和 a3 1 的等差中项.
（1）求数列 an 的通项公式；

（2）若数列 bn 满足 bn 2n an n N
*
，求 b 的前 n 项和 S
n
2
2
2.已知正项数列 an 满足： a1 a ， an 1 4an an 1 2an
4 2
x
1
.
2
（1）求证：点 P 的纵坐标是定值；
的横坐标是
n
*
m N , n 1, 2,3,, m ，求数列{an}的前 m 项和 Sm.
m
（2）若数列{an}的通项公式是 an＝ f

【题型四】错位相消求和
【典例分析】
设 {an } 是公比不为 1 的等比数列， a1 为 a2 ， a3 的等差中项．（1）求 {an } 的公比；
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1
1
， S n S n 1 S n S n 1 0 n 2 .
2
1
是等差数列；
Sn
Sn
, n为奇数

（2）若 Cn n 3
，设数列 C n 的前 n 项和为 Tn ，求 T2n .
a n ga n 1

数列大题第一问题型总结专题练习-2023届高三数学一轮复习备考

数列大题第一问题型总结

类型一、等差，等比公式求解

例1设等比数列{}n

a 的前n 项和为n

S ，已知2

4S a =，且1

2a +，2

，3a 成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

类型二、已知等差，等比数列，即可对 S n 与a n 赋值. 例2.1已知{}n

a 是等差数列，其前n 项和为n

S ，若3

2a -，5

2a -，7

2a +成等比数列且1d ≠，

2(1)n n S n a =+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

例2.2已知等差数列{}n

a 满足1235n

n a

a n ++=+．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

类型三、已知a n+1与a n 的递推关系.

例3.1（累加法）已知a n+1=a n +22n−1−2n −1，a 1=1，求数列{}n

a 的通项公式.

例3.2（累乘法）已知a

n+1−a n=2a n

，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.3（待定系数法）已知a

n+1=1

a n+2

，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.4（待定系数法）已知a

n+1=3a n−3n−1，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.5（同除等比）已知a

n+1=4a n+4n，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.6（待定系数法）已知a

n+1=3a n+4n，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.7（取倒待定系数法）已知a

n+1=3a n

2a n+3

，a1=1，求数列{}

a的通项公式.

例3.8（取倒待定系数法）已知a n+1=3a

n 4a n

，a 1=1，求数列{}n

专题10 数列 10.4数列求和题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)

专题十《数列》讲义

10.4数列求和知识梳理.数列求和1．公式法

(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝

n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2

.推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ，

q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n 项和：

①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2

；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；

③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．

题型一.裂项相消

1．数列{a n}的通项公式a n=1or1)，已知它的前n项和S n=99100，则项数n＝（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：列{a n}的通项公式a n=1or1)=1−1r1，

所以=1−12+12−13+⋯+1−1r1=1−1r1，

由于前n项和S n=99100，

所以1−1r1=99100，

(完整版)高三总复习数列知识点及题型归纳总结

高三总复习----数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位

置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：5

4131211，，，，…

数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1

（n N +∈）。说明：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k

-=-⎧∈⎨

+=⎩；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列

实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

考点三等差数列性质的应用
考向 1 等差中项的性质
[例 2](1)(2022年淄博市模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，
且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝( )
A.72
B.36
C.18
D.9
解析：∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9(a12＋a9)＝9a5＝36.
答案：B
(2)(2022 年临沂市质检)在等差数列{an}中，若 a2＋a4＋a6＋
(3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn是等差数列.
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k， S4k－S3k是等差数列.
(5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列.
2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n(a12＋an)或 Sn＝na1＋n(n2－1)d(n∈N*).
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49

高三数学第一轮复习——数列（知识点很全）五篇范文

第一篇：高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式：如果数列

通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an-1（或前几{an}的第一项（或前几项）=f(n).3.递推公式：如果已知数列

=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数

列{an}的递推公式.如数列{an}中，a1=1,an=2an+1，其中an=2an+1是数列{an}的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式

⎧S1(n=1)①Sn=a1+a2+Λ+an；②an=⎨.S-S(n≥2)n-1⎩n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何n∈N+,均有an+

1②递减数列:对于任何n∈N+,均有an+1

③摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,Λ.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使>an.<an.an≤M,n∈N+.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an>M.等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式

数列的综合课件-2025届高三数学一轮复习

((12))求设{ban＝n}通na+n项1，公在式数；列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p) 成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
题后师说对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时，注意对性质的灵活运用．
巩固训练1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[2024·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等
比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足：cn＝
an， bn，
n为奇数 n为偶数
，求数列{cn}的前2n项和
高考大题研究课五数列的综合
会用数列知识以及函数、不等式等知识解决数列的综合问题、数列与函数、数列与不等式交汇问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析题型一等差数列、等比数列的综合运算
例1 [2024·河北邯郸模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an ＋1＝3Sn＋1(n∈N*)．
题后师说解决数列中的新定义数列问题的一般步骤
巩固训练2 [2024·河南郑州模拟 ] 已知数列 {an} 的前 n 项之积为 Tn ＝

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典型题型

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典

型题型

高考数学一轮总复习：数列与数学归纳法的典型题型

在高考数学中，数列与数学归纳法是一个重要的考点。掌握这部分

知识点，不仅可以解决与数列相关的各种问题，还能够培养学生的逻

辑思维和问题解决能力。本文将针对数列与数学归纳法的典型题型展

开论述。

一、数列的定义与分类

数列是按照一定规律排列的数的集合，常用的数列有等差数列、等

比数列和等差等比数列等。等差数列是指一个数列中的每一项与前一

项之间差值相等，而等比数列则是指一个数列中的每一项与前一项之

间的比值相等。等差等比数列则是等差数列和等比数列的组合。

数列的通项公式是计算数列中任意一项的公式，通过观察数列的规

律可以得到其通项公式，进而可以求解数列中的各项。

二、数列的性质和应用

1. 等差数列的性质和应用

对于等差数列，我们可以利用其通项公式推导出多项求和公式，从

而能够快速计算数列中的各项之和。此外，通过等差数列的性质，我

们还能够解决一些实际问题，如利用等差数列求解速度、距离等问题。

2. 等比数列的性质和应用

等比数列同样具有一些重要的性质和应用。我们可以利用等比数列

的通项公式计算数列各项，也可以通过等比数列的性质解决一些实际

问题，如利用等比数列解决增长、衰变等问题。

三、数学归纳法的基本原理和应用

数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过证明一个命题在某个情

况下成立，再证明它在下一个情况下也成立，从而推断该命题对于所

有情况都成立。

数学归纳法的基本步骤如下：

1. 基础步骤：证明命题在第一个情况下成立。

2. 归纳假设：假设命题在某个情况下成立。

高考数学一轮资料

1. 数列基础知识：等差、等比数列，递推式，通项公式，求和

公式等。

2. 函数基础知识：函数的定义、性质，函数图像的性质与变化，常见函数类型及其特点等。

3. 几何基础知识：平面向量、三角形内角、重心、垂线定理、

勾股定理、圆的性质等。

4. 解析几何：直线和平面的方程，二次曲线的方程，并熟练掌

握它们的性质、图像和参数方程等。

5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义、性质、图像、变化规律以及相关的奇偶性、周期性等。

6. 导数与微积分：导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数、参数方程、微分、极值和拐点等。

7. 矩阵代数：矩阵和向量的基本概念，矩阵的运算法则，矩阵

的逆与转置，解线性方程组，矩阵的特征值和特征向量等。

8. 概率统计：事件及其概率、概率的计算方法、条件概率和独

立性、基本离散型和连续型随机变量，变量的分布函数和密度函数，期望和方差等。

9. 综合应用：多元函数优化、极限、积分应用、级数等，考查

考生对多个数学概念相互结合的理解和应用能力。

10. 解题技巧：学会分类讨论、必要性证明、充分性证明和反证法等，培养审题、灵活变形、合理估计和快速解题的能力。

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