第七讲 刚体之一

第四章刚体

一．刚体运动学

给出定点转动的欧拉描述

二．刚体动力学

讨论处理欧拉陀螺和拉格朗日陀螺的一般方法

三．刚体转动的稳定性问题

一．刚体运动的自由度和广义坐标

1．刚体的性质：

（1）多个质点组成的质点系

（2）任意两个质点间的距离永远不变

（3）只要确定刚体内部任意三个不在一条直线上的质点的位置，刚体的位置也就确定了

（4）同一时刻，刚体内任意三点与刚体内或刚体外某一个点的相对位置被确定，则刚体的位置就被唯一确定了。

2．刚体的自由度

一个质点自由度：3

三个质点自由度：9

约束条件：每两个质点之间距离保持不变，约束条件有3个

刚体的独立坐标为9-3=6 刚体的自由度为6

3．刚体运动的分类：

（1）平动：

空间坐标（惯性系坐标）与固定在刚体上的坐标（不一定在质心）永远平行。

性质：

A．刚体上各点具有相同的速度和加速度

B．取刚体上某一点的运动就可以代表刚体

的全部运动

C．自由度：3

D．不一定是直线运动

（5）定点转动：

刚体转动时，有一点永远保持不动。物理过程：三个独立运动的合成。

（i ）0t =时刻坐标 000O x y z - 与O xyz - 重合，

（ii ）令O xy - 平面绕0oz 转过一个角度 ϕ -----进动角 O N -----节线 （iii ）令o x y '''- 平面绕节线 O N 转过一个角度 θ ------章动角 （iv ）令o x y ''- 平面绕o z ''转过 一个角度 ψ ----自转角

02002ϕπ

θπ

ψπ

≤≤≤≤≤≤

广义坐标（欧拉角）：

ϕ

θ

ψ

另一种方法： （i ） 绕

oz 轴转动

（ii ）

oz 轴可以沿各种方向变化

（5）一般运动：

可以分解为平动和绕定点转动，自由度为 6

A 操作

B 操作

（vi ）先转动 1n ∆ 然后转动 2n ∆

()

()

1

2

11211221n n r r r r r n r

r r r r r n r n r n r r n r n r n n r ∆∆'−−→=+∆=+∆⨯'''''−−→=+∆=+∆⨯+∆⨯+∆⨯=+∆⨯+∆⨯+∆⨯∆⨯ （vii ）先转动 2n ∆ 然后转动 1n ∆

()

()

2

1

22122112n n r r r r r n r

r r r r r n r n r n r r n r n r n n r ∆∆'−−→=+∆=+∆⨯'''''−−→=+∆=+∆⨯+∆⨯+∆⨯=+∆⨯+∆⨯+∆⨯∆⨯

比较前两个转动：

()()12

21

12212112n n n n r r r n r n r n n r r r r n r n r n n r ∆∆∆∆''−−→−−→=

+∆⨯+∆⨯+∆⨯∆⨯''−−→−−→=

+∆⨯+∆⨯+∆⨯∆⨯

由于n r r ∆⨯=∆

是线位移，所以满足对易关系：

1221n r n r n r n r

∆⨯+∆⨯=∆⨯+∆⨯

对于：

()

()2112n n r and

n n r ∆⨯∆⨯∆⨯∆⨯

（i ） 一般情况下大小和方向都不相等，只有当1n ∆ 和 2n ∆

方向相同时才相等---定轴转动

（ii ）

如果1n ∆ 和 2n ∆

为无穷小量，高阶无穷小量可以忽略，

转动引起的位矢的变化：

()1n

n

r r T r r T r ∆∆'-=-=-

设：

()1n

n R T ∆∆=-

考虑对易关系：

()

()1

2

1221

1212

12,,n n n n n n n

n n n R

R

r R R R R r n n r

R R R ∆∆∆∆∆∆∆∆∆⨯∆⎡⎤=-=∆⨯∆⨯⎣

⎦⎡⎤=⎣⎦

无穷小转动算符T 对易，但是，无穷小转动引起的变化算符R 不对易。

（2） 既有转动又有平动

证明，选取不同的基点，ω

相同

取C '点为基点：P C v v r ω'''=+⨯

对于坐标系000o x y z - P 点的速度相同：

A ． 基点固定法：

选取 C 为基点，P 点的速度为

P C v v r

ω=+⨯

C 点的选取是任意的，不同的C

点C v

和r 不同，但ω 相同

C '点的速度：C C C C v v r ω''=+⨯

C C v r r

v ωω'''+⨯=+⨯

而

C C r r r ''=+

代入上式：

()C C CC C C C C C C r v v r r v r v r r r ωωωωωω''''''+⨯=+⨯''+⨯+=+⨯'⨯'++⨯

()0r ωω'-⨯=

因为 P 点为任意一点，要使上式成立，必须有]：

ωω'=