中职双曲线定义及标准方程16页PPT
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双曲线及其标准方程 课件
2.双曲线的标准方程
标准 方程
焦点 坐标
a、b、c 关系
焦点在x轴上
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
(-c,0),(c,0)
焦点在y轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
(0,-c),(0,c)
c2=a2+b2
1.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？ 提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c 满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大. 2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？ 提示:要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还 要确定焦点的位置.
顶点),所以m＞0.
所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？ 提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双曲 线靠近F2点的右支上.
3
(2)焦点在坐标轴上，且过点(3，－ 4
2
)，(
9 4
，5)．
【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10,c=5.
将P(2,1)代入y= bx得a=2b.
a
a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20, 所以方程为 x2 y2 1.
双曲线及其标准方程一ppt
M F1 o F2
思考：去掉绝对值，则点的轨迹是 什么呢？
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？(1)以F1、F2为端点的两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？(2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
生活中的双曲线
双曲线冷却塔
双曲线墩钢模板
双曲线的标准方程
16 4
总结：与双曲线
x2 a2
by22
1(a0,b0)
有公共焦点的
双曲线方程为 a 2 x 2 b 2 y 2 1 (a 0 ,b 0 , a 2 b 2 ).
例 2 已 知 两定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
变式2答案
变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y 2
思考：a>b吗？
cx a2 a (x c)2 y 2
双曲线及其标准方程 PPT
设 c2-a2＝b2 得 b2x2 a2 y2 a2b2
双即曲：a线x22 上 by每22 一 1点(a到 0两,b焦 点0) 距双离曲之线差的的标绝准对方值程为2a．
哪个系数是正的，它对应的字母
（x或y）就是焦点所在轴．
如ax22 果 by焦22 点 1在(a y轴0,上b ，0)则双曲 线表的示焦标点准在方x轴程上为的：双曲线
y2 x2 a2 b2 1
F(0, ± c)
c2 a2 + b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的
关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
+
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0， 但a不一定大于b，
c2=a2+b2
讨论:
1）当2a 等于|F1F2|时，动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
双即曲：a线x22 上 by每22 一 1点(a到 0两,b焦 点0) 距双离曲之线差的的标绝准对方值程为2a．
哪个系数是正的，它对应的字母
（x或y）就是焦点所在轴．
如ax22 果 by焦22 点 1在(a y轴0,上b ，0)则双曲 线表的示焦标点准在方x轴程上为的：双曲线
y2 x2 a2 b2 1
F(0, ± c)
c2 a2 + b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的
关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
+
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0， 但a不一定大于b，
c2=a2+b2
讨论:
1）当2a 等于|F1F2|时，动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点
为何看不见，等式成立要条件
难道正如书上说的，无限接近不能达到
为何看不见，明月也有阴晴圆缺
此事古难全，但愿千里共婵娟
||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) （1）2a<2c；
注意 （2）2a>0.
【举一反三】 1.定义中为什么要强调差的绝对值？ 若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支. 2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？ 不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了； 若为2a=2c,曲线应为两条射线； 若为2a>2c,这样的曲线不存在.
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
焦点
a,b,c的 a>b>0，a2=b2+c2 关系
例 1 已知双曲线两个焦点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) ,双曲线
F2距离差的绝对值等于 6, 求双曲线 上一点 P 到 F 1， 的标准方程.
线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是
F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
2.3.1 双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点
为何看不见，等式成立要条件
难道正如书上说的，无限接近不能达到
为何看不见，明月也有阴晴圆缺
此事古难全，但愿千里共婵娟
||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) （1）2a<2c；
注意 （2）2a>0.
【举一反三】 1.定义中为什么要强调差的绝对值？ 若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支. 2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？ 不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了； 若为2a=2c,曲线应为两条射线； 若为2a>2c,这样的曲线不存在.
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
焦点
a,b,c的 a>b>0，a2=b2+c2 关系
例 1 已知双曲线两个焦点 F1 ( 5, 0) , F2 (5, 0) ,双曲线
F2距离差的绝对值等于 6, 求双曲线 上一点 P 到 F 1， 的标准方程.
线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是
F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线及其标准方程ppt课件
两边同除以 a2 (c2
a2 ) ，得 x2
a2
y2
c2 a2
1.
由双曲线的定义知， 2c 2a ，即 c a ，所以 c2 a2 0 .
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2 c2 a2 ，其中b 0 ，代入上式，得
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) .②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x, y) 都是方程②的解；以方程
O
x
F1
方程 焦点 a,b,c之间的关系
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
c2=a2+b2 a，b大小不定
椭圆与双曲线的比较
曲线
椭圆
定义
标准方程 根据标准方程确定
a,b的方法
x2 b2
1a
0, b
0，
焦点位置不确定时，亦可设为 Ax2 +By2 1 AB 0 .
寻关系
根据已知条件列出关于a，b（A，B）的方程组
得方程
解方程组，将a，b（A，B）代入所设方程即为所求
课堂巩固
A 1.“ k 4 ”是“方程 x2 y2 1 表示的曲线是双曲线”的( ) k2 4k
双曲线及其标准方程(带动画)PPT课件
y
焦点在y轴上 y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0 ， b 0 )并 且 c 2= a 2 b 2
10
2019/12/30
11
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
(( x c ) 2 y 2 ) 2 (( x c ) 2 y 2 2 a ) 2
cxa2 a(xc) 2y2
F1
( c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( c 2 a 2 )
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
9
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要大于0小于|F1F2|
0<2a<2c
6Hale Waihona Puke Baidu
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M F1
F2
M
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
焦点在y轴上 y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0 ， b 0 )并 且 c 2= a 2 b 2
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双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
(( x c ) 2 y 2 ) 2 (( x c ) 2 y 2 2 a ) 2
cxa2 a(xc) 2y2
F1
( c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( c 2 a 2 )
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
9
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
| |MF1| - |MF2| | = 2a
F1 o F2
(2)常数要大于0小于|F1F2|
0<2a<2c
6Hale Waihona Puke Baidu
①常数等于|F1F2|时
P
Q
M F1
F2
M
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P， F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
【优质课件】高教版中职数学拓展模块2.2双曲线2优秀课件.ppt
对称轴：x轴，y轴 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
实轴：2a
长轴：2a 短轴：2b 虚轴：2b
e = ac ( 0＜e ＜1 )
e=
c a
(e1)
无
y =±
b a
x
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
a2
(-x,y)
(x,y)
x≥a, x ≤ a
wk.baidu.com
-a o a
x
另外,
x2 a2
y2 b2
0 可知并夹在两
(-x,-y)
(x,-y)
相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
(下一页)顶点
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件
3:如果方程 x2 y2 1表示焦点在y轴 的双曲线，求2m的m取m值范1 围.
变式一:x2
方程
y2
1表示双曲线时，则m的
2m m1
取值范围
变式二:
x2 y2 1 表示焦点在y轴的双曲线时， 2m m1
求m的范围。
思考探究
过双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点F1的
16 9
弦AB的长为6，则△ABF2（F2是右焦点）的 周长是
拉链
纸板
图钉
探究问题
❖ 1、在操作过程中，随着拉链的拉开与闭合,你得到了什 么 样的轨迹？
❖ 2、你得到的轨迹中，动点M（链头）满足什么条件？ ❖ 3、你能用数学语言表达动点M所满足的条件吗？ ❖ 4你画的轨迹中有优美的曲线吗？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线.
C2:(x+8)2+y2=1，
1 9 55
动圆P与其中一圆内切，与另一圆外切，求
圆心P的轨迹方程.
练3:已知双曲线 x 2 y 2 1 上一点 P 到 9 16
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另
一个焦点的距离为
3或15
.
思考：
若把距离9改为3， 则现在有几解？
2：求适合下列条件的双曲线的标准方程。
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
1
复习回顾： 1.定义： 2.双曲线的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
其中 c2 a2 b2
类似于椭圆几何性质的研究. 现在就用方 程来探究一下!
3
•“如果我是双曲线，你就是那 渐近线。如果我是反比例函数, 你就是那坐标轴。虽然我们有 缘,能够生在同一个平面。然而 我们又无缘,漫漫长路无交点.为 何看不见,等式成立要条件。难 到正如书上说的,无限接近不能 达到。为何看不见,明月也有阴 晴圆缺,此事古难全,但愿千里共 婵娟。”
则
9
12
9
，解得
116
9 16
故所求双曲线方程为
x
2
y2
4
1
即 x2
双曲线及其标准方程 课件(人教版)
所以 a＝ 5，所以 b2＝c2－a2＝9－5＝4. 所以双曲线的方程为y52－x42＝1.
(2)设所求双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1. 将 点 M(1 ， 1) ， N( － 2 ， 5) 代 入 上 述 方 程 ， 得
A＋B＝1，
A＝87，
4A＋25B＝1，解得B＝－17.
故所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
＝0， 2|PF1|·|PF2| 所以∠F1PF2＝90°， 所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
归纳升华 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三 角形 PF1F2 称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠ F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cos θ.
所以 2c＝10，2a＝6.
因为 P 是双曲线左支上的点， 所以|PF2|－|PF1|＝6， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝ 100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 得 cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝ 100－100
双曲线及其标准方程ppt课件
13
栏目 导引
第二章 圆锥曲线与方程
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因为 P，Q 两点在双曲线上， 所以92m956＋m2＋12652n5n＝＝1，1，解得mn＝＝19－. 116， 所以所求双曲线的方程为－116x2＋y92＝1， 即y92－1x62 ＝1．
a＝2 5， 所以2a52－b42＝1，解得 a2＝20，b2＝16． 故所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62＝1．
17 栏目 导引
第二章 圆锥曲线与方程
(2)椭圆2x72＋3y62 ＝1 的两个焦点为 F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲 线与椭圆的一个交点为( 15，4)或(－ 15，4)． 设双曲线的标准方程为ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， 则4aa222－ ＋（ b2＝b13252，）2＝1，解得ba22＝＝54.， 故所求双曲线的标准方程为y42－x52＝1．
14
栏目 导引
第二章 圆锥曲线与方程
求双曲线的标准方程的方法 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定 型，后定量”，利用待定系数法求解． (2)当焦点位置不确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上 进行分类讨论． (3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，可把双 曲线方程设成 mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
双曲线的定义和标准方程 人教课标版精品公开PPT课件
2. x2 y2 1 F(±5,0)
9 16
4. y2 x2 1 F(0,±5)
9 16
判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 a, b, c及焦点坐标。
1x2
y2
1
42
2x2
y2
1
22
3x2
y2
1
4nx2my2 mn(m0,n0)
42
答案：
1 a 2 , b 2 , c 6( 6 , 0 ) . (6 , 0 ) ;
例4 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线
上两点P1、P2的坐标分别为（3， 4 2 ）、
（9/4,5），求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所
求双曲线的标准方程为：
y2 x2 a2 b2 1
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的 坐标适合方程①.将P1, P2 坐标分别代入方程 ①中，得方程组
| PF2 |1或33
2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒， 且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B地远；
P
PAPB2340.
爆炸点P的轨迹是靠近B处 A
B
的双曲线的一支。
解：建立如图所示的直角坐标系 xOy，使 A, B x 两点在 轴上，并且坐标原
双曲线及其标准方程 课件
练习
点P在双曲线x2/4-y2/9=1上，F1、F2为 两焦点，若︱PF1︱=7,则︱PF2︱ =__3_或_.11
改为：︱PF1︱=5呢？
如图过双曲线 x2 y2 1
16 9 的左焦点 F1的 弦 AB
y A
长度为5，求 ABF2 的周长.
F1
o
F2 x
B
练习巩固:
1.
过双曲线
x2 3
y2 4
图象
y
·· F1 o F2 x
y
· F2 ·o x
F1
方程 焦点
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的关 系
a2=b2+c2
y
yຫໍສະໝຸດ Baidu
双曲线图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
标准方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2 谁正谁对应a
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c 的关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
学习小结:
双曲线及其标准方程ppt
2
2
∴
∴
a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
x2 y2 练习1:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
分析: 由 (2 m)(m 1) 0
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：
y
M
1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系 a>b>0，a2=b2+c2
祝同学们身体健康,学习进步, 天 天 好 心 情!
思考:
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
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