微分方程数值解试题库2011(试题参考)

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《常分方程数值解法》试题一及答案

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1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1

=060≤≤0--='2)()

.(y x xy y y ，取步长

h =0.2.计算

过程保留4位小数。

解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式

),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0

当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有

y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4

当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有

y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0

2．对于初值问题⎩

⎨⎧1=0='2

)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；

(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.

3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2

11+++k k k k y x f y x f h

, h =x k +1－x k

(k =0,1,2,…,n －1)，

4．将下列方程化为一阶方程组

（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨

'==⎩

（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨

'==⎩

（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''

⎧=⎨

'''==-=⎩

5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值

⎩⎨

⎧=≤≤+=1

)0(1

0'y x y x y

并用前题比较结果。

6．下列各题先用龙格――库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求以后各值

（1）⎩⎨

⎧==≤≤-=1

.03

)1(5.112'h y x y x y

（2）⎪⎩⎪⎨⎧

==≤≤=+1

.01

)1(5.1111'2

h y x x

y x y

7．试确定公式11211()n n n n n

n n y ay by cy h dy ey fy +--+-'''=+++++中的系数,,,,,a b c d e f ，使之成为一个四阶方法．

8.

xy dx

dy

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

2

2

,11,0,ln ,21

2

=====+==

9. 2

.(1)0,dx x dy y ++=并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：

。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1

,11ln 0,1112

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《常分方程数值解法》试题二及答案

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1．用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩

⎨⎧1=10

=++'2)(sin y x y y y ，取步长

h =0.2,计算 y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.l

解：步长h =0.2, 此时f (x ,y )=－y －y 2sin x .

欧拉预报－校正公式为：

⎪⎩

⎪⎨

⎧++=+=++++)]

,(),([2

),(111

1k k k k k k k k k k y x f y x f h

y y y x hf y y 校正值预报值

有迭代公式：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧+--=--+--+=-=--+=++++++++)

sin (1.0)sin 1.09.0()]

sin ()sin [(2

)

sin 2.08.0()

sin (12

111211212

1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y x y y x y y x y y h y y x y y x y y h y y 校正值预报值 当k =0，x 0=1, y 0=1时，x 1=1.2，有

631710=11⨯02-80⨯1=20-80=0001.)sin .()sin ..(x y y y

71549

0=21631710+63171010-1⨯1⨯10-90⨯1=≈2121.).sin ..(.)sin ..().(y y 当k =1，x 1=1.2, y 1=0.71549时，x 2=1.4，有

47697

0=21715490⨯02-80⨯715490=20-80=1112.)

.sin ..(.)sin ..(x y y y

)

.sin ..(.).sin ...(.).(41476970+47697010-21⨯715490⨯10-90⨯715490=≈412

2

y y