北京中考几何压轴

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2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题一、倍长八字共5小题1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ．（1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ．（1）求∠EDF 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线C D ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF=EC ，连接BF 交CD 于G.(1)依题意补全图形； (2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明.4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. （1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。

5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为边BC 上一点（不与点C 重合），CD ＜BD ，点E 在AD 的延长线上，且ED =AD ，连接BE ，过点B 作BE 的垂线，交边AC 于点F ．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE =BF ；（3）用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．ABCDABCD二、一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ．（1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠；（2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC 的度数.四、手拉手共5小题8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= ° （2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．（1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．AB C A B C AB C10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；∠=∠；①求证：BDP PCBBC BD BP之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段,,BC BD BP之间的数量关系．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为边BC 上一动点，点E 在边AC 上， C E CD =．点D 关于点B 的对称点为点F ，连接AD ，P 为AD 的中点，连接,,PE PF EF ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，写出线段PE 与PF 之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D 与点,B C 不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

中考数学：以三角形为载体的几何压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学以三角形为载体的几何压轴问题【方法归纳】北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP 绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA= 90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC= m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON 的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证ME明你的判断．14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P 为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE （其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。

北京中考数学几何压轴题

1.在平行四边形ABCD中，若∠A = 110°，则∠B的度数为：
A.70°（答案）
B.80°
C.90°
D.100°
2.一个圆的半径为r，其内接正方形的边长为：
A.r
B.√2r（答案）
C.2r
D.πr
3.在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若AC = 3，BC = 4，则AB的长度为：
A.5（答案）
B. 6
C.7
D.8
4.已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为：
A.13
B.17（答案）
C.13或17
D.无法确定
5.圆的切线垂直于过切点的半径，这是：
A.公理
B.定理（答案）
C.推论
D.假设
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A = 120°，则∠D的度数为：
A.60°
B.120°
C.60°或120°（答案）
D.无法确定
7.正方形的对角线长度为d，则其边长为：
A.d/2
B.d/√2（答案）
C. d
D.√2d
8.在圆O中，弦AB的长度为8，圆心O到弦AB的距离为3，则圆O的半径为：
A. 4
B.5（答案）
C. 6
D.7
9.已知三角形的三边长为连续整数，且最长边为8，则这个三角形的最短边长为：
A. 4
B. 5
C.6（答案）
D.7
10.在平行四边形ABCD中，若AB = CD，且∠A = ∠C，则平行四边形ABCD是：
A.矩形
B.菱形（答案）
C.正方形
D.无法确定。

北京市大兴区第八中学中考数学几何综合压轴题模拟专题

北京市大兴区第八中学中考数学几何综合压轴题模拟专题一、中考几何压轴题1．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．2．综合与实践（1）问题发现：正方形ABCD 和等腰直角△BEF 按如图①所示的方式放置，点F 在AB 上，连接AE 、CF ，则AE 、CF 的数量关系为，位置关系为．（2）类比探究：正方形ABCD 保持固定，等腰直角△BEF 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α(0°<α ≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB = 2 BF = 4，在等腰直角△BEF 旋转的过程中，当CF 为最大值时，请直接写出DE 的长．3．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形证明：连接EF 交AC 于点O∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，AB ∥CD又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点∴AE =CF又∵AB ∥CD∴∠EAO =∠FCO又∵∠AOE =∠COF∴△AOE ≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将△DEF 绕点O 旋转180°得到△DGF ，若四边形DEFG 的面积为8，则△ABC 的面积为．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为．4．综合与实践背景阅读：“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形ABCD 中，点O 是线段BC 上的一个动点，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．设旋转角为α（0180α<<︒）．操作猜想：（1）如图1，若点O 是BC 中点，在正方形ABCD 绕点旋转过程中，连接AA '，BB '，DD '，则线段AA '与DD '的数量关系是_______；线段AA '与BB '的数量关系是________．探究验证：（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形ABCD 绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '，B ．判断四边形''BB CC 的形状，并说明理由．拓展延伸：（3）如图3，若2BO CO =，在正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转的过程中，设直线BB '交线段AA '于点P ．连接OP ，并过点O 作OQ BB '⊥于点Q ．请你补全图形，并直接写出OP OQ 的值． 5．（问题探究）（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明．②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长．（拓展延伸）（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．6．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．动手操作：如图①，矩形纸片ABCD 的边AB ＝3ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合，折痕为EF ，然后展开，EF 与AC 交于点H ；如图②，将矩形ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在对角线AC 上，且点B 与点H 重合，展开图形，折痕为AG ，连接GH ；若在图①中连接BH ，得到如图③，点M 是线段BH 上的动点，点N 是线段AH 上的动点，连接AM ，MN ，且∠AMN ＝∠ABH ；若在图②中连接BH ，交折痕AG 于点Q ，隐去其它线段，得到如图④．解决问题：（1）在图②中，∠ACB ＝，BC ＝，AG GF ＝，与△ABG 相似的三角形有个；（2）在图②中，AH 2＝AE ·（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；（3）在图③中，△ABH 为三角形，设BM 为x ，则NH ＝（用含x 的式子表示）；拓展延伸：（4）在图④中，将△ABQ 绕点B 按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A ′BQ ′，连接DQ ′，则DQ ′的最小值为，当tan ∠CBQ ′＝时，△DBQ ′的面积最大值为． 7．综合与实践操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论；拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______；②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______；③ME 的最小值为______．8．等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC 于F ，将腰AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过C 作CE 垂直于直线BB ′，垂足为E ，连接CB ′．（1）问题发现：如图1，当40α=︒时，CB E ∠'的度数为_______；连接EF ，则EF AB '的值为________．（2）拓展探究：当0360α︒<<︒，且120α≠︒时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②解决问题：当A ，E ，F 三点共线时，请直接写出BB BE'的值． 9．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AF EF =，求CD CG的值．（1）尝试探究在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，CD CG的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CD CG的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，//DC AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BC b BE=，()0,0a b >>，则AF EF 的值是________（用含a 、b 的代数式表示）． 10．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．11．如图l ，在正方形ABCD ABCD 中，8AB =AB=8，点E E 在AC AC 上，且22AE =，22AE =过E 点作EF AC ⊥于点E ，交AB 于点F ，连接CF ，DE ．（问题发现）（1）线段DE 与CF 的数量关系是________，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是___________；（拓展探究）（2）当AEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．12．（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；（类比探究）（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（拓展提升）（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．13．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC 上一动点，连接DE．填空：①则ADEC的值为______；②∠EAD的度数为_______．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出ADEC的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．14．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，GH 分别交AB 、DC 于点G 、H ，求证：EF AB GH AD=；（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使得点B 和点D 重合，若AB ＝2，BC ＝3．求折痕EF 的长；（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD 沿EF 折叠．使得点D 落在AB 边上的点G 处，点C 落在点P 处，得到四边形EFPG ，若AB ＝2，BC ＝3，EF ＝2103，请求BP 的长． 15．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD 与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明．16．（1）问题发现如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，若∠ADE ＝60°，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是．（2）拓展探究如图2，ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠B ＝α，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）解决问题如图3，在ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A→B 方向勾速运动，同时点M 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿B→C 方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM ，在PM 右侧作∠PMG ＝30°，该角的另一边交射线CA 于点G ，连接PC ．设运动时间为t （s ），当△APG 为等腰三角形时，直接写出t 的值．17．问题呈现：已知等边三角形ABC 边BC 的中点为点D ，120EDF ∠=︒，EDF ∠的两边分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，现要探究线段BE ，CF 与等边三角形ABC 的边长BC 之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且DE AB ⊥，DF AC ⊥时，请直接写出线段BE ，CF 与BC 的数量关系：________；（2）问题解决：如图2，当点E 落在射线BM 上，点F 落在线段AC 上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE ，CF 与等边三角形ABC 的边长BC 之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点E 落在射线BA 上，点F 落在射线AC 上时，若2CD =，45CDF ∠=︒62sin CFD -∠=BE 的长和此时DEF ∆的面积． 18．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．19．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积；（4）拓展延伸：在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．20．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DG CF ＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．【问题探究】（1）；（2）．【拓展应用】．【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AEAC=．【拓展应用】26解析：【问题探究】（1）72︒；（2）6【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BE== =2，得DF EF DEAE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出出AB=2DF，EF=12DF=AF×tan∠333AC=AB，在Rt△ABC 中，求出26即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD=，ED CD∵BD=2CD，∴AD=2，ED∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BE===2，DF EF DE∴AB=2DF，EF=1AE=1，AF=AE+EF=3，2∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠33，∴∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴故答案为：【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．2．（1）相等，垂直；（2）成立，见解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△CBF，延长CF交AB于点M，证明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的证明方法求解即可；（3）根据解析：（1）相等，垂直；（2）成立，见解析；（3）【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△CBF，延长CF交AB于点M，证明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的证明方法求解即可；（3）根据题意，得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上运动，根据直径最大原理，知道当C，B，F三点一线时，CF最大，此时点E恰好在AB的延长线上，连接DE，利用勾股定理求值即可.【详解】（1）如图①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延长CF交AE于点M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案为：相等，垂直；（2）结论还成立．理由如下：如图②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，∴∠EBF-∠ABF =∠ABC-∠ABF，∴∠EBA =∠FBC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延长CF交AE于点N，交AB于点G，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AGN=∠BGC，∴∠ANG=∠GBC=90°，∴AE⊥CF，故结论成立；（3）如图③，根据题意，得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上运动，根据直径最大原理，知道当C，B，F三点一线时，CF最大，此时点E恰好在AB的延长线上，连接DE，∵AB= 2BF = 4，∴AE=AB+BE=6，在直角三角形ADE中，DE2222++1364AE AB【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，直径是圆中的最大的弦，垂直的定义，熟练掌握三角形全等，垂直的证明是解题的关键． 3．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：2【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得4DGF S =，再根据等底同高可得2ADE DOE EOF S S S ===，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得；拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得2,4,2AC GH AE ===，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得2OE =角形的面积公式可得22EGH S =【详解】解：教材呈现：补充完整证明过程如下：∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，又∵AG ＝CH ，∴OA －AG ＝OC －CH ，即OG ＝OH ，∴四边形EHFG 是平行四边形；探究：如图，连接OE ，BO ，由旋转的性质得：118422DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形，点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，AD OD OF CF ∴===，由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF S S S S ====⨯=，224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=，又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，∴S △BEO =S △AEO =4，∴S △ABO = S △BEO +S △AEO =8，22816ABC AOB S S ∴==⨯=，故答案为：16；拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，四边形ABCD 是面积为16的正方形，4,90AB BC B ∴==∠=︒，在Rt △ABC 中，由勾股定理得22224424A C B B A C ++=∵AC 为正方形的对角线，∴∠EAO =45°，点E 是AB 的中点，122AE AB ∴==， ∵EO GH ⊥，∴45AEO EAO ∠=∠=︒，∴AO =EO ，在Rt △AEO 中由勾股定理的AO 2+EO 2=AE 2，即2OE 2=4 解得2OE =GH AB =，4GH ∴=，11422222EGH S GH OE ∴=⋅=⨯ 由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，则四边形EHFG 的面积为222242EGH S=⨯，故答案为：42【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．4．（1）；；（2）矩形，见解析；（3）见解析，．【分析】（1）如图，连接OA 、OA′、OD 、OD′，根据旋转的性质可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根据勾股定理可得OA=O解析：（1）AA DD ''=；5AA BB ''=；（2）矩形，见解析；（3）见解析，13OP OQ 【分析】（1）如图，连接OA 、OA ′、OD 、OD ′，根据旋转的性质可得OA =OA ′、OD =OD ′，∠AOA ′=∠DOD ′=α，根据勾股定理可得OA =OD ，利用SAS 可证明△AOA ′≌△DO D′，根据全等三角形的性质可得AA ′=DD ′，根据旋转的性质可得∠BOB ′=α，根据5OB OB OA OA'='△OAA ′∽△OBB ′，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据旋转的性质可得BC B C ''=，OB OB '=，OC OC '=，根据点O 是BC 中点即可得出OB OC OB OC ''===，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可证明四边形''BB CC 是矩形；（3）根据题意，补全图形，连接OA 、OA ′，作AM ⊥BP 于M ，A ′N ⊥BP 于N ，根据勾股定理可得13OA OA ''==，根据平角的定义及直角三角形两锐角互余的性质可得''ABM A B N ∠=∠，利用AAS 可证明△ABM ≌△A ′B ′N ，可得AM =A ′N ，利用AAS 可证明△APM ≌△A ′PN ，可得AP A P '=，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A ′OP =12∠AOA ′=12α，∠QOB ′=1122BOB α'∠=，根据角的和差关系可得∠POQ =∠A ′OB ′，即可证明△OQP ∽△OB ′A ′，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】（1）如图，连接OA 、OA ′、OD 、OD ′，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，旋转角为α，∴OA =OA ′、OD =OD ′，∠AOA ′=∠DOD ′=α，∴△AOA ′≌△DO D′，∴AA ′=DD ′，∵点O 是BC 中点，∴OB =1122BC AB =， ∴OA =225OB AB OB +=，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，旋转角为α，∴∠BOB ′=∠AOA ′=α，∵5OB OB OA OA'=='， ∴△OAA ′∽△OBB ′，∴''AA OA BB OB==5， ∴5AA BB ''=，故答案为：AA DD ''=；5AA BB ''=（2）四边形''BB CC 是矩形；理由如下：∵正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，∴BC B C ''=，OB OB '=，OC OC '=，∵点O 是BC 中点，∴OB OC OB OC ''===四边形''BB CC 是平行四边形，∵BC B C ''=，∴四边形''BB CC 是矩形．（3）如图，补全图形如下：连接OA 、OA ′，作AM ⊥BP 于M ，A ′N ⊥BP 于N ， ∵2BO CO =，∴AB =BC =32OB ， ∴OA ′=OA =22132AB OB OB +=='132OB ， ∵∠OB ′A ′=90°， ∴'''90A B N OB B ∠+∠=︒，∵'OB OB =，∴''OB B OBB ∠=∠，∵'90ABM OBB ∠+∠=︒，∴ABM A B N ''∠=∠，∵''AB A B =，''AMB A NB ∠=∠，∴△ABM ≌△A ′B ′N ，∴AM =A ′N （AAS ），∵''AMB A NB ∠=∠，'APM A PN ∠=∠，∴△APM ≌△A ′PN ，∴AP=A′P ，∵OA =OA ′，∴∠A ′OP =12∠AOA ′=12α， ∵OB =OB ′，OQ ⊥BB ′，∴∠QOB ′='1122BOB α∠=， ∴∠QOB ′+∠B ′OP =∠A ′OP +∠B ′OP ，即∠POQ =∠A ′OB ′，∵∠OQP =∠OB ′A ′=90°，∴△OQP ∽△OB ′A ′，∴''132OP OA OQ OB ==．【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定定理并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键．5．（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或【分析】（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似解析：（1）①AD BD ⊥，证明见解析；②4；（2）画图见解析，33或23【分析】（1）①由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得45ADC BEC ∠=∠=︒，可得AD BD ⊥；②过点C 作CF AD ⊥于点F ，由勾股定理可求DF ，CF ，AF 的长，即可求AD 的长；（2）分点D 在BC 左侧和BC 右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）ABC ∆和DEC ∆均为等腰直角三角形，AC BC ∴=，CE CD =，45ABC DEC CDE ∠=∠=︒=∠，90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，且AC BC =，CE CD =，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，45ADC BEC ∴∠=∠=︒，90ADE ADC CDE ∴∠=∠+∠=︒，AD BD ∴⊥，故答案为：AD BD ⊥；②如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，45ADC ∠=︒，CF AD ⊥，2CD =，1DF CF ∴==，223AF AC CF ∴-=，4AD AF DF ∴=+=，故答案为：4；（2）若点D 在BC 右侧，如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．ACD BCE ∠∠∴=，3AC CD BC CE==， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=， 3CD =，1CE =，222DE DC CE ∴=+=，ADC BEC ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，DCE CFD ∴∆∆∽，∴DE DC CE DC CF DF==，即2313CF DF ==， 32CF ∴=，32DF =， 22532AF AC CF ∴=-=， 33AD DF AF ∴=+=，若点D 在BC 左侧，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC 7BC =3CD =1CE =．ACD BCE ∠∠∴=，3AC CD BC CE=， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=，CED CDF ∴∠=∠，3CD =1CE =，2DE ∴，CED CDF ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，DCE CFD ∴∆∆∽， ∴DE DC CE DC CF DF==，1DF =，32CF ∴=，DF =，AF ∴=AD AF DF ∴=-=【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．6．（1）30°，6，4，7；（2）AG ；（3）等边，；（4）3，，6【分析】（1）由点H 为AC 中点，可得AC=2AH ，由折叠，点B 与点H 重合，与四边形ABCD 为矩形，可证GH 为AC 的垂直平分线，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG ；（3）等边，2+x x ；（4）6 【分析】（1）由点H 为AC 中点，可得AC =2AH ，由折叠，点B 与点H 重合，与四边形ABCD 为矩形，可证GH 为AC 的垂直平分线，可得AG =CG ，∠GCH =∠GAH ，可求∠ACB =30°，利用三角函数可求BC =6，AG =4，BF =FC =3，可求4==41AG GF ，与△ABG 相似的三角形由7个；（2）由EF 为折痕，可证△AEH ∽△AHG ，可得2=AH AE AG ⋅即可；（3）由四边形ABCD 为矩形，点H 为对角线AC 中点，可证△ABH 为等边三角形，再证△ABM ∽△MHN ，可得x HN =即可；（4）连结BD ，当点Q′在BD 上时，Q′D 最小，先求BC =Q′D 最小=BD BQ '-BQ′⊥BD 时，△BDQ′面积最大∠CB Q′=60°，S △BDQ′最大=162BD Q B '⋅=．【详解】解（1）∵点H 为AC 中点，∴AC =2AH ，∵折叠，点B 与点H 重合，∴AB =AH =23，BG =HG ，∠BAG =∠HAG =12BAC ∠，∠B =∠AHG ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B =90°，∴∠AHG =∠B =90°，∴GH 为AC 的垂直平分线，∴AG =CG ，∠GCH =∠GAH ，∴∠BAG =∠HAG =∠GCH ，∵∠BAH +∠BCH =180°-∠B =90°，∴3∠ACB =90°∴∠ACB =30°，∴∠BAG =∠HAG =∠GCH =30°，∴tan30°=33AB BC =，AB =23， ∴BC =3=6AB ，∵tan ∠BAG =tan30°=33BG AB =， ∴BG =33=23=233AB ⨯， ∴AG =2BG =4，BF =FC =116322BC =⨯=， ∴GF =BF -BG =3-2=1，∴4==41AG GF ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB =30°，∴∠BAG =∠HAG =∠GHF =∠HCF =∠GCH =∠EAH =∠DAC =∠BCA =30°，∵∠B =∠AHG =∠HFG =∠HFC =∠AEH =∠D =∠GHC =∠CBA =90°，∴△ABG ∽△AHG ∽△HFG ∽△CFH ∽△CHG ∽△AEH ∽△ADC ∽△CBA ，∴与△ABG 相似的三角形由7个，故答案为：30°；6；4；7；（2）∵EF 为折痕，∴EH ⊥AD ，∵∠EAH =∠HAG =30°∠AHG =∠AEH =90°∴△AEH ∽△AHG ， ∴AE AH AH AG=， ∴2=AH AE AG ⋅故答案为AG ；（3）∵四边形ABCD 为矩形，点H 为对角线AC 中点，∴AH =CH =BH ，由图2知AB =AH ，∴AH =BH =AB ，∴△ABH 为等边三角形，∴∠ABH =∠AHB =60°，∵∠AMN ＝∠ABH ；∴∠AMN ＝∠ABH =∠AHB =60°，∴∠BAM +∠AMB =180°-∠ABH =120°，∠AMB +∠NMH =180°-∠AMN =120°，即∠BAM +∠AMB =∠AMB +∠NMH ，∴∠BAM =∠NMH ，∴△ABM ∽△MHN ， ∴AB BM MH HN=， ∵AB =MH =x ，∴x HN =，∴2x xHN x x ，故答案为：等边；2x x ，（4）连结BD ，当点Q′在BD 上时，Q′D 最小 ∵AB AD =BC =6，∴BC∵AQ′=Q′H=12AB ∴Q′D最小=BD BQ '-=当BQ′⊥BD 时，△BDQ′面积最大∵tan ∠DAC =CD BC ==， ∴∠DAC =30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC =90°-30°=60°∴tan ∠CBQ'S △BDQ′最大=11433622BD Q B '⋅=⨯=；故答案为3336．【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，线段垂直平分线，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，两图形的最小距离，最大面积，掌握查折叠性质，矩形性质，线段垂直平分线，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，两图形的最小距离，最大面积求法是解题关键．7．（1）①；或；证明见解析；②菱形，证明见解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性质与轴对称的性质证明如图1，连接证明即可得到答案； ②如图1，由①得：再证明四边形为平行四边形解析：（1）①CFG △；ACD △或CAB △；证明见解析；②菱形，证明见解析；（2）①m n =；②b =52a -；5【分析】（1）①利用矩形ABCD 的性质与轴对称的性质证明.AEG CFG ≌ 如图1，连接,,CE AF 证明,AGE ADC ∽ ,AGE CBA ∽ 即可得到答案； ②如图1，由①得：.AEG CFG ≌,AE CF = 再证明四边形AFCE 为平行四边形与,AC EF ⊥ 可得结论；（2）①如图2，连接,,,MF FN EN 由折叠可得：,ME NE = 再利用勾股定理可得答案；②如图3，连接,AC 交MN 于,G ' 证明四边形MFNE 是菱形，2222,AM MB BF AE =+- 可得()()222224,b b a a =-+-- 从而可得答案；③由②得：AE a =, 52,AM a =- 可得()2222252ME AE AM a a =+=+- ，再利用二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）① 矩形,ABCD //,AD BC ∴ 90,∠=︒D,,AEF CFG EAG FCG ∴∠=∠∠=∠由折叠可得：,AG CG =.AEG CFG ∴≌如图1，连接,,CE AF由折叠可得：,,EA EC EGA EGC =∠=∠180,EGA EGC ∠+∠=︒90,AGE D ∴∠=︒=∠,GAE DAC ∠=∠,AGE ADC ∴∽同理：,AGE CBA ∽故答案为：CFG △，ACD △或CAB △②如图1，由①得：.AEG CFG ≌,AE CF ∴=矩形,ABCD//,AD BC ∴∴ 四边形AFCE 为平行四边形，90,AGE ∠=︒,AC EF ∴⊥∴ 四边形AFCE 为菱形，（2）①如图2，连接,,,MF FN EN由折叠可得：,ME NE =矩形,ABCD90,A D ∴∠=∠=︒222222,,ME AE AM EN ED DN ∴=+=+22m AM AE =+，22n ED DN =+，∴ m n =故答案为：m n =②如图3，连接,AC 交MN 于,G '矩形,ABCD ,AM CN =//,,90,AB CD AB CD BAD B D ∴=∠=∠=∠=︒,,,AMG CNG MAG NCG BM DN ''''∴∠=∠∠=∠=,AMG CNG ''∴≌,,MG NG AG CG ''''∴==,MG NG =,G G '∴重合，同理可得：,AEG CFG ≌,EG FG ∴=由对折可得：,,MG NG EF MN =⊥∴ 四边形MFNE 是菱形，,EM MF NF EN ∴===222222,,BF MF BM DE EN DN =-=-,BF DE ∴=22222222,AM ME AE MF AE MB BF AE ∴=-=-=+-,,AE a AM b == 2AB =，4BC =，()()222224,b b a a ∴=-+--∴ b =52a - 故答案为：b =52a -③由②得：AE a =, 52,AM a =-()2222252ME AE AM a a ∴=+=+-252025,a a =-+ 50,＞当20225a -=-=⨯时， 2ME 最小，最小值为252202255,⨯-⨯+=0,ME ＞ME ∴ 5. 5.本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（1）∠CB′E=60°，；（2）①两个结论成立，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可；（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直解析：（1）∠CB ′E =60°，32EF AB '=；（2）①两个结论成立，理由见解析；（3）333-或333+．【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可；（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②当A ，E ，F 三点共线时，分两种情况讨论，利用三角函数解答即可．【详解】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC ，∴∠ABC =∠ACB =30°，BF =FC ，根据旋转的性质得：AB =AC =AB ′，∴∠ABB ′=∠AB ′B =180402︒-︒=70°， ∵AC =AB ′，∠B ′AC =120°-40°=80°，∴∠AB ′C =218080︒-︒=50°， ∴∠CB ′E =180°-70°-50°=60°，连接EF ，∵BF =FC ，则EF 为直角三角形BEC 斜边上的中线，∴EF = BF =FC ，在Rt △ABF 中，3cos30BF AB ︒== ∴3EF AB '= （2）①两个结论成立，理由如下：根据旋转的性质得：AB =AC =AB ′，等腰△ABB ′中，∠BAB ′=α，则∠AB ′B =1802α︒-=90°−12α，等腰△AB ′C 中，∠CAB ′=α−120°，则∠AB ′C =()1801202α︒--︒=150°−12α， ∴11150906022CB E αα⎛⎫'∠=︒--︒-=︒ ⎪⎝⎭； ∵AB =AC ，AF ⊥BC ．∴∠FAC =60°，Rt △CEB ′中，CE CB '==sin 60°=32， Rt △CFA 中，CF AC =sin 60°=32， ∴CE CF CB AC='， ∵∠FCE =∠ACB ′=30°+∠ACE ，∴△CEF ~△CB ′A∴32EF CE AB CB ='='； ②当A ，E ，F 三点共线时，分以下两种情况讨论，（Ⅰ）当点E 在FA 的延长线上时，如图，由①可知，∠B '=60°，∵CE ⊥BB '，90,CEB ∴∠=︒ 而,BF CF =∴ BC =2EF =2BF ，EB =CE ，设BF =x ，则EF =CF =x ，EB =CE 2x ，在Rt △CB 'E 中，B 'E =CE 36tan 30x ︒=， ∴BB '=EB +B 'E =3236x +， ∴32633332x BB BE x++=='；（Ⅱ）当点E 在AF 的延长线上时，如图，同理可得，∠CB 'E =60°，BC =2EF =2BF ，∵CE ⊥BB '，∴∠CEB '=∠CEB =90°，EB =CE ，设BF =x ，则EF =CF =x ，EB =CE 2x ，在Rt △CB 'E 中，B 'E =CE 6tan 30x ︒=， ∴BB '=EB -B 'E 326-， ∴3263332x BB BE x--=='；综上，BB BE'33-33+ 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最。

2024年北京市中考数学押题预测试卷

2024年北京市中考数学押题预测试卷一、单选题1．下列几何体中，三视图都是圆的是（）A ．B ．C ．D ． 2．2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（）A ．110.110⨯B ．10110⨯C ．11110⨯D ．91010⨯ 3．如图，ABCD Y 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()0,1,2,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ． 2,14．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a ＞bB ．a + b ＞0C ．bc ＞0D ．a ＜﹣c 5．已知点12(1,),(2,)P y Q y 是反比例函数3y x =图像上的两点，则（）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y << 6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（）A．3 B．2 C．1 D7．小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．13B．23C．19D．298．如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（）A．224m B．2C．248m D．2二、填空题9有意义，则a的取值范围是．10．分解因式：2818a-=．11．方程43312x x=--的解为.12．已知x2-+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．某居民小区共有300户家庭，有关部门对该小区的自来水管网系统进行改造，为此该部门通过随机抽样，调查了其中20户家庭，统计了这20户家庭的月用水量，如下表：根据上述数据，估计该小区300户家庭的月总用水量约为m3．14．如图，若AD 是ABC V 的高线，DBE DAC ∠=∠，BD AD =，120AEB ∠=︒，则C ∠=．15．如图，在ABC V 中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A 得1A ∠，1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，…，5A BC ∠的平分线与5A CD ∠的平分线交于点6A ，得6A ∠，则6A ∠=．16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝CD 且BC ＞AB ，BD ＝8．给出以下判断： ①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S ＝AC •BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；④将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，四边形ABCD 的内切圆半径为227．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）三、解答题17．计算：112sin 605⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭． 18．解不等式组： 232113x x x x +≤+⎧⎪+⎨>-⎪⎩ 19．已知320x y --=，求代数式22264693x y x xy y x y-+-+-的值． 20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，CE AB ∥，EB CD ∥，连接DE 交BC 于点O ．(1)求证：四边形CDBE 是矩形；(2)如果5AC =，1tan 2ACD ∠=，求BC 的长． 21．小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A 处放一平面镜，从A 处沿NA 方向后退1米到点B 处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M ，再将平面镜沿NA 方向继续向后移动15米放在D 处（即15AD =米），从点D 处向后退1.6米，到达点E 处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M 、已知小明眼睛到地面的距离 1.74CB EF ==米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN （平面镜大小忽略不计）22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由正比例函数y x =的图象向上平移2个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当1x >-时，对于x 的每一个值，正比例函数()0y ax a =≠的值小于一次函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出a 的取值范围．23．为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛．(1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数）(2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下：2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！”14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______；(3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38．你认为______号选手的成绩比较稳定．24．如图，AB 是O e 的直径，AC 是弦，D 是»AB 的中点，CD 与AB 交于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 为O e 的切线；(2)连接BD ，取BD 的中点G ，连接AG ．若4CF =，1tan 2BDC ∠=，求AG 的长． 25．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 1.4）26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --都在该二次函数图象上，①请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“=”“<”填空）；②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．在ABC V 中，D 是BC 的中点，且90≠︒∠BAD ，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作CE AB ∥交直线AB '于点E ．(1)如图，若AB AC >，①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；(2)若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．28．如图，(1)【提出问题】将一次函数24y x =-+的图象沿着y 轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______；(2)【初步思考】将一次函数24y x =-+的图象沿着x 轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点(04)A ，，(20)B ，，将它们沿着x 轴向左平移3个单位长度，得到点A '，B '的坐标分别为______，从而求出经过点A '，B '的直线对应的函数表达式为______；(3)【深度思考】已知一次函数24y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ． ①将一次函数24y x =-+的图象关于x 轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线24y x =-+绕点A 逆时针旋转60o ，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线24y x =-+绕点A 逆时针旋转45︒，求所得图象对应的函数表达式．。

北京国子监中学数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]

北京国子监中学数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a 和b 之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8+)，F 1(，，G 2，F 2，) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出131t -4+=，2t -4=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题(含解析)

北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是；∠CBQ＝；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，A（a，b），且a，b满足|3a﹣4b|+＝0．（1）求点A的坐标；（2）如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当S△AOD＜S△AOE时，求t的取值范围；（3）如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标．3．探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM⊥AB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：①线段BD、BE的数量关系为．②线段BC、DE的位置关系为．推广：（2）如图②，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝β，作CM⊥AB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转β度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB＝3．作BM⊥AC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．4．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是；NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是．5．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，连接DF，求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若＝，求；（3）如图3，点K、E分别在边AB、BC上，将线段EK绕点E逆时针旋转90°得到EF，连AF交CD于点G，连接KG，若KG∥BC，则＝，CE＝3，则AF的长为．6．在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连接DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连接EQ，则EQ的最小值为．7．同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，AB是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是DE，DH是法线，法线垂直于镜面AB．入射光线CD和平面镜所成的角∠BDC叫做入射角，反射光线DE与平面镜所成的角∠ADE叫做反射角．镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：（1）如图1，法线DH交x轴于点F，交y轴于点H，试探究∠DFC与∠DAH之间的数量关系并加以证明；（2）如图2，第一象限的平面镜AB交x轴于点B，交y轴于点A，x轴负半轴上也放置了一块平面镜，入射光线CD经过两次反射后得到反射光线EG，DH是法线．射线CD和EG 的反向延长线交于点P．①若第一象限平面镜与x轴夹角为26°，问入射角∠BDC为多少时，反射光线EG与AB平行？②若∠DCE＞∠DEC，平面镜AB绕点D旋转，是否存在一个定值k，使得∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由．8．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．9．如图1，点C是线段AB上一点，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，连接BE，AD，并延长AD交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）连接CF，猜想AF，EF，CF存在的等量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2，延长AB到G，使BG＝CB，将线段BG沿直线BE上下平移，平移后的线段记为B'G'，若∠ABE＝60°，当CB'+CG'的值最小时，请直接写出tan∠G'CG的值．10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），B（0，8），AB＝10，点C在线段OB上，现将△AOC翻折，使得线段AO的对应边AD落到AB上，点O的对应点是点D，折痕为AC．（1）求点C的坐标；（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于点H，求OH的长；（3）在（2）的条件下，若点P从点C出发，沿着C﹣D﹣A运动，速度为每秒1个单位，时间为t，是否存在t值，使得△AOP的面积为12，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．11．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．12．（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝ °．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB 边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE 的长是多少？（直接写出答案）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF 折叠，使得点A的对应点A′恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为．14．黄金三角形就是一个等腰三角形，且其底与腰的长度比为黄金比值．如图1，在黄金△ABC中，AB＝AC，点D是AB上的一动点，过点D作DE∥AC交BC于点E．（1）当点D是线段AB的中点时，＝；当点D是线段AB的三等分点时，＝；（2）把△BDE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连接AD，CE，判断的值是否变化，并给出证明；（3）把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，BD＝2，请直接写出线段CE的长的取值范围．15．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝30°．【操作发现】①如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，则∠ACD的度数是；②△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是．【探究论证】当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想△BDC的面积与△AEC的面积的数量关系，并说明理由．【拓展应用】已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使△DCF与△BDE的面积相等，请直接写出相应的BF的长．16．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为；（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是．②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．17．如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．（1）如图②，可以根据三角形全等判定定理证得△ADB≌△AEC．（A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边．（2）如图③，求证：△ADB≌△AEC．（3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．18．已知：在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，点B在第二象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．（1）直接写出点A，点B的坐标：点A（，），点B（，）；（2）在图①中的y轴上找到一点P，使得三角形ABP的周长最小，则这个最小周长是；（3）在图①中，若△ABC是等腰直角三角形，当点C在AB的左侧时，请直接写出点C 的坐标；（4）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D不与点A重合，是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE．把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE即（∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD．直接写出∠FCD的度数．19．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为．（不需要证明）；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20．（1）如图1，在正方形ABCD中，∠FAG＝45°，请直接写出DG，BF与FG的数量关系，不需要证明．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，∠EAF＝45°．①写出BE，CF，EF之间的数量关系，并证明；②若将（2）中的△AEF绕点A旋转至如图3所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．（3）如图4，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，则S△AEF＝．答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC＝AB＝OB，∴△COB为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COP+∠BOP＝60°，由旋转的性质可知，∠POQ＝60°，OP＝OQ，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°，故BQ＝CP；120°；（2）当点P在CB的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下：∵∠COB＝∠POQ＝60°，∴∠COB+∠BOP＝∠POQ+∠BOP，即∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°．2．解：（1）|3a﹣4b|+＝0，∴，∴，∴A（8，6）；（2）由（1）知，A（8，6），∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，∴AC＝8，AB＝6，由运动知，OD＝t，OE＝2t，当点E在OB上时，即0＜t＜4，则OE＝8﹣2t，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（8﹣2t）×6＝3（8﹣2t），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（8﹣2t），∴t＜，即0＜t＜，当点E在BO的延长线上时，即t＞4，则OE＝2t﹣8，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（2t﹣8）×6＝3（2t﹣8），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（2t﹣8），∴t＞12，即0＜t＜或t＞12；（3）如图，设点M（0，m），∴M（0，m）（m＜0），则OM＝﹣m，由平移的性质得，N（﹣8，m+6），过点N作NE⊥x轴于E，∴OB＝OE＝8，NE＝m+6，S△BEN＝BE×NE＝×16×|m+6|＝8|m+6|，S△BOP+S梯形OPNE＝×OB×OP+（OP+NE）×OE＝×8OP+（OP+|m+6|）×8＝4OP+4OP+4|m+6|，∵S△BEN＝S△BOP+S梯形OPNE，∴8|m+6|＝4OP+4OP+4|m+6|，∴OP＝|m+6|，∵OM＝3OP，∴﹣m＝3×|m+6|，∴m＝﹣或m＝﹣18，∴M（0，﹣）或（0，﹣18）．3．解：（1）如图①中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠DCF＝45°，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．故BD＝BE，BC⊥DE．（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由：如图②中，∵CA＝CB，∠ACB＝α，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠ECD＝α，∴∠ECF＝∠DCF＝α，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．（3）如图③中，当△AFE≌△AMD时，AF＝AM，∵∠AFD＝∠AMD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∴∠DAF＝∠DAM＝30°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴DA＝DB，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝60°，BF＝AF＝，∵BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴DF＝EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．如图③﹣1中，当点D在BM的延长线时，则AF＝AM＝，DE＝2DF＝3．如图③﹣2中，当EF＝AM＝DF时，也满足条件，此时DE＝BD＝AB＝3，综上所述，满足条件的DE的值为或3或3．4．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，方法一：在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1中，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，方法二：如图4，过点Q作QG⊥A1B于点G，过点P作PH⊥A1C1于点H，∵∠QA1G＝∠PA1H，∠A1GQ＝∠PHA1＝90°，A1Q＝A1P，∴△A1QG≌△A1PH（AAS），∴QG＝PH，∵∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝180°﹣∠A1B1C1﹣∠B1A1C1＝45°，∴△PHC1是等腰直角三角形，∴PH＝＝1，∴QG＝1，∴△A1B1Q的面积为．故．5．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CB＝CA，CD⊥AB，∴CD＝DB＝AD，∵CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AG＝GF．（2）解：如图2中，连接BF，过点E作EJ⊥BC交AB于J．∵CE：AC＝2：7，∴可以假设CE＝2k，AC＝7k，∵AC＝BC﹣EC＝7k，∠ACB＝90°，∴BE＝BJ＝5k，AB＝7k，∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝k，∴CD＝AD＝BD＝k，∵EJ∥AC，∴＝＝，∴AJ＝×7k＝2k，∴DJ＝k，∵∠DEF＝∠BEJ＝90°，∴∠BEF＝∠JED，∵∠ABC＝45°，JE⊥BC，∴∠EBJ＝∠E＝45°，∴EB＝EJ，∵EB＝EJ，EF＝DE，∴△BEF≌△JED（SAS），∴BF＝DJ＝k，∠EBF＝∠EJD＝45°，∴∠FBA＝∠GDA＝90°，∴GD∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝k，∴CG＝CD﹣DG＝k﹣k＝k，∴＝＝．（3）如图3中，连接BF，过点F作FH⊥BC于H．∵AK：KB＝4：3，∴可以假设AK＝4k，BK＝3k，则AD＝BD＝k，DK＝DB﹣BK＝k，∵∠KBE＝∠KFE＝45°，∴K，B，F，E四点共圆，∴∠KBF+∠KEF＝180°，∵∠KEF＝90°，∴∠KBF＝∠ADC＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴BF＝2DG，∵KG∥BC，∴∠DKG＝∠ABC＝45°，∵∠KDG＝90°，∴DG＝DK＝k，∴BF＝k，∴KF＝＝＝k，AF＝＝＝5k ，∴EK＝EF＝KF＝k，∵FH⊥BC，∠FBH＝45°，∴BH＝FH＝k，EH＝＝＝k，∴BE＝BH+EH＝2k，∵BC＝AB，∴（2k+3）＝7k，∴k＝，∴AF＝5×＝10．故答案为10．6．解：【探究】如图②中，结论成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠BAN＝∠CAM，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．【拓展】如图③中，在DF上取一点H，使DH＝DE＝8，连接PH，过点H作HM⊥EF 于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝75°，∵∠EDF＝75°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，过点D作DG⊥EF于G，在Rt△DEG中，DE＝8，∠DEG＝60°，∴∠EDG＝30°，∴EG＝DE＝4，∴DG＝EG＝4，∵∠F＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∠DGF＝90°∴∠F＝∠GDF＝45°，∴DG＝GF＝4，∴DF＝DG＝4∴FH＝DF﹣DH＝4﹣8，在Rt△HMF中，∠F＝45°，∴HM＝FH＝（4﹣8）＝4﹣4，即：EQ的最小值为4﹣4．故4﹣4．7．解：（1）∠DFC＝∠DAH，理由如下：∵∠ADF+∠DAH+∠AOF+∠DFO＝360°，∠ADF＝∠AOF＝90°，∴∠DAH+∠DFO＝180°，又∵∠DFO+∠DFC＝180°，∴∠DAH＝∠DFC；（2）①设∠BDC＝x°＝∠ADE，∵∠DBF＝26°，∠FDB＝90°，∴∠DFB＝64°，∵∠BDC＝x°，∴∠FDC＝90°﹣x°＝∠EDF，∵∠EDF+∠DEF＝∠DFB，∴90°﹣x°+∠DEF＝64°，∴∠DEF＝x°﹣26°，∴∠DEP＝2∠DEF＝2x°﹣52°，∵EG∥AB，∴∠ADE＝∠DEP，∴x°＝2x°﹣52°，∴x＝52，∴当入射角∠BDC为52°时，反射光线EG与AB平行；②k＝2，理由如下：∵∠DCE＝180°﹣∠CDF﹣∠DFC，∠EDF＝∠DFC﹣∠DEC，∠EDF＝∠CDF，∴∠DCE＝180°﹣∠DFC﹣（∠DFC﹣∠DEC）＝180°﹣2∠DFC+∠DEC，∵∠DFC＝∠OFH，∠OFH＝90°﹣∠OHF，∴∠DCE＝180°﹣2（90°﹣∠OHF）+∠DEC，∴∠DCE﹣∠DEC＝2∠OHF，又∵∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF，∴k＝2．8．证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．9．（1）证明：如图1中，∵将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CA＝CE，∠ACD＝∠ECB＝90°，∵将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，∴CD＝CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴∠A＝∠E，∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠EDF，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠EFD＝90°，∴AF⊥BE．（2）解：如图1中，连接CF．结论：AF﹣EF＝CF．理由：过点C作CT⊥CF，交AF于T．∵∠DFB+∠DCB＝90°+90°＝180°，∴D，C，B，F四点共圆，∴∠DFC＝∠DBC＝45°，∵∠FCT＝90°，∴∠CTF＝∠CFT＝45°，∴CT＝CF，FT＝CF，∵∠ACE＝∠TCF＝90°，∴∠ACT＝∠ECF，∵CA＝CE，CT＝CF，∴△ACT≌△ECF（SAS），∴AT＝EF，∴AF﹣EF＝AF＝AT＝FT＝CF．（3）解：如图2中，设CB＝BG＝m．∵CB＝BG＝B′G′，B′G′∥BC，∴四边形CBG′B′是平行四边形，∴CB′＝BG′，∴CB′+CG′＝CG′+G′B，作点C关于直线GG′的对称点T，连接BT交GG′于G′，此时CG′+G′B的值最小，作TH∥CG交GG′于H，设CT交GH于O．∵CO＝OT，∠THO＝∠OGC，∠HOT＝∠COG，∴△THO≌△CGO（AAS），∴TH＝CG＝2m，OG＝OH，在Rt△CGO中，∵∠CGO＝∠CBE＝60°，CG＝2m，∴OG＝OH＝CG•cos60°＝m，∵HT∥BG，∴HG′：GG′＝HT：GB＝2：1，∴HG′＝m，GG′＝m，过点G′作G′K⊥BG于K，则GK＝GG′＝m，G′K＝m，CK＝2m﹣m＝m，∴tan∠GCG′＝＝＝．10．解：（1）设C（0，m），∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，由翻折的性质可知，∠CDA＝∠AOC＝90°，OC＝CD＝m，∵S△AOB＝S△AOC+S△ACB，∴•OA•OB＝•OC•OA+•AB•CD，∴6×8＝6m+10m，∴m＝3，∴C（0，3）．（2）如图2中，由翻折的性质可知，OA＝AD＝6，CD＝OC＝3，∵AB＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，∴BD：AB＝4：10＝2：5，∴S△BOD＝•S△AOB＝××6×8＝，∵OC：OB＝3：8，∴S△CDO＝S△BOD，∵OH⊥CD，∴×3×OH＝×，∴OH＝．（3）如图3中，设P（m，n）．∴S△POA＝12，∴×6×n＝12，∴n＝4，∴当点P在线段AB上时，PA＝PB＝5，此时P（3.4），∴PD＝AD﹣PA＝6﹣5＝1，∴CD+PD＝3+1＝4，∴t＝4（s）．当点P′在线段CD上时，CP′＝t，则有S四边形AOCD﹣S△ADP′﹣S△P′OC＝S△P′OA，∴2××3×6﹣×6×（3﹣t）﹣××t＝12，∴t＝（s）．综上所述，满足条件的t的值为4s或s．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，∴∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，∴∠PDB＝90°，∴PB＝＝＝5；解：（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如答图1所示：则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；（2）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，∴PD2+BD2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC＝135°，∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，∴∠APC+∠CPD＝180°，∴A，P，D共线，∴AD＝AP+PD＝5，在Rt△ADB中，AB＝＝＝．12．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°．理由如下：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，∴，∴，又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵，∴，∴，∴；（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，综上所述，CE的长为或．13．（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．∵四边形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等边三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EA′T，∴＝，∵ET＝DE，AE＝A′E，∴＝．（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，∵DA′＝1，∴MA′＝x+1，∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等边三角形，∵A′是CD的中点，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，DA′＝A′C＝1，∴BA′＝，设BE＝y，则A′E＝2﹣y，∴（）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF＝＝＝．（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴A'Q＝∵A'与A关于EF对称，∴EF垂直平分AA'，AQ＝QA′，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'Q，∴GH＝A'Q＝，所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．故答案为．14．解：（1）如图1中，由题意，＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝∠B，∴DB＝DE，∵＝，∴＝＝．故答案为，．（2）结论：＝的值不变．理由：如图2中，∵△BDE∽△BAC，∴＝，∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△EBC∽△DBA，∴＝＝．（3）∵AB＝6，BD＝2，又∵＝＝，∴BC＝3﹣3，BE＝﹣1，∵BC﹣BE≤EC≤BE+BC，∴2﹣2≤EC≤4﹣4．15．解：（1）①∵∠C＝90°，∠B＝30°．∴∠BAC＝60°，∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．∴AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°；故60°；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；故S△BDC＝S△AEC；（2）如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，∵，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；（3）如图4，过点D作DF∥BE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，所以BE＝DF，且BE、DF上的高相等，此时S△DCF＝S△BDE；过点D作DF1⊥BD，∵∠ABC＝60°，FD∥BE，∴∠F1FD＝∠ABC＝60°，∵BF＝DF，∠FBD＝∠ABC＝30°，∠F1DB＝90°，∴∠FDF1＝∠ABC＝60°，∴△DFF1是等边三角形，∴DF＝DF1，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF1＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF＝∠CDF1，∵在△CDF和△CDF1中，，∴△CDF≌△CDF1（SAS），∴点F1也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF＝，BF1＝BF+FF1＝＝，故BF的长为或．16．解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，∴P，Q关于原点对称，∴P（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）．（2）①如图1中，当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，此时线段EF上存在1个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，此时线段EF上存在2个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，观察图象可知，满足条件的d的范围为：4＜d≤6故4＜d≤6．②如图2中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图3中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图4中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图5中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．17．（1）解：根据SAS可以证明△ADB≌△AEC．故答案为B．（2）证明：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC．由旋转得：∠DAB＝∠EAC，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）．（3）解：如图③，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠AEC＝120°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠EDB＝60°；如图④，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠EDB＝60°+60°＝120°，∴∠EDB的大小为60°或120°，故60或120．18．解：（1）∵点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，∴A（﹣3，0），∵点B在第二条象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．∴B（﹣2，3）．故﹣3，0；﹣2，3；（2）如图①﹣1中，取点A关于y轴对称的对称点A'，连接BA'交y轴于点，则点P即为所求，过点B作BC⊥x轴于点C．∴AP＝A'P，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+AA'+BA'．∵A（﹣3，0），B（﹣2，3），A'（3，0），∴AB＝＝＝，A'B＝＝，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+A'B＝+；（2）如图①﹣2中，。

北京中考数学--几何、二次函数综合题压轴题解析汇总

北京中考数学---几何、二次函数综合题压轴题解析汇总25、（2007•北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=错误！未找到引用源。

∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=错误！未找到引用源。

∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．考点：等腰梯形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是．（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形．解答：解：（1）回答正确的给（1分）（如：平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，∴∠A=∠BOD，四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．证法一：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．因为∠DCB=∠EBC=错误！未找到引用源。

∠A，BC为公共边，所以△BCF≌△CBG，所以BF=CG，因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC，可证△BDF≌△CEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等对边四边形．证法二：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．因为∠DCB=∠EBC=错误！未找到引用源。

2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

2023年各地中考几何压轴题汇编1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．4.(2023·广西)如图.ABC是边长为4的等边三角形.点D.E.F分别在边AB.BC.CA==．上运动.满足AD BE CF≌；（1）求证：ADF BED（2）设AD的长为x.DEF的面积为y.求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF的面积随AD的增大如何变化．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=；（2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值；①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE .①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△；②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E 是菱形ABCD 边BC 上一点.AEF △是等腰三角形.AE EF =.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF 交CD 于点G .探究GCF ∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小；（2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值．10.(2023·徐州)【阅读理解】如图1.在矩形ABCD 中.若,AB a BC b ==.由勾股定理.得222AC a b =+.同理222BD a b =+.故()22222AC BD a b+=+．【探究发现】如图2.四边形ABCD 为平行四边形.若,AB a BC b ==.则上述结论是否依然成立？请加以判断.并说明理由．【拓展提升】如图3.已知BO 为ABC 的一条中线.,,AB a BC b AC c ===．求证：222224a b c BO +=-．【尝试应用】如图4.在矩形ABCD 中.若8,12AB BC ==.点P 在边AD 上.则22PB PC +的最小值为_______．11.(2023·黄冈)【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形.90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==.连接AD .BE .探究AD .BE 的位置关系．（1）如图1.当1m =时.直接写出AD .BE 的位置关系：____________；（2）如图2.当1m ≠时.（1）中的结论是否成立？若成立.给出证明；若不成立.说明理由．【拓展应用】（3）当4m AB DE ===时.将CDE 绕点C 旋转.使,,A D E 三点恰好在同一直线上.求BE 的长．12.(2023·十堰)过正方形ABCD 的顶点D 作直线DP .点C 关于直线DP 的对称点为点E .连接AE .直线AE 交直线DP 于点F ．（1）如图1.若25CDP ∠=︒.则DAF ∠=___________︒；（2）如图1.请探究线段CD .EF .AF 之间的数量关系.并证明你的结论；（3）在DP 绕点D 转动的过程中.设AF a =.EF b =请直接用含,a b 的式子表示DF 的长．13.(2023·随州)1643年.法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A .B .C .求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明.该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”.该问题也被称为“将军巡营”问题．（1）下面是该问题的一种常见的解决方法.请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空.①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空.①处填写角度数.①处填写该三角形的某个顶点）当ABC 的三个内角均小于120︒时.如图1.将APC △绕.点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''.连接PP '.由60PC P C PCP ''=∠=︒，.可知PCP '△为 ① 三角形.故PP PC '=.又P A PA ''=.故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥.由 ① 可知.当B .P .P '.A 在同一条直线上时.PA PB PC ++取最小值.如图2.最小值为A B '.此时的P 点为该三角形的“费马点”.且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ① ；已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时.“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3.若120BAC ∠≥︒.则该三角形的“费马点”为 ① 点．（2）如图4.在ABC 中.三个内角均小于120︒.且3430AC BC ACB ==∠=︒，，.已知点P 为ABC 的“费马点”.求PA PB PC ++的值；（3）如图5.设村庄A .B .C 的连线构成一个三角形.且已知4km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A .B .C 三个村庄铺设电缆.已知由中转站P到村庄A.B.C的铺设成本分别为a元/km.a元/km元/km.选取合适的P的位置.可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）14.(2023·东营)（1）用数学的眼光观察．如图.在四边形ABCD 中.AD BC =.P 是对角线BD 的中点.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.求证：PMN PNM ∠=∠．（2）用数学的思维思考．如图.延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E .延长线段BC 交MN 的延长线于点F .求证：AEM F ∠=∠．（3）用数学的语言表达．如图.在ABC 中.AC AB <.点D 在AC 上.AD BC =.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.连接MN 并延长.与BC 的延长线交于点G .连接GD .若60ANM ∠=︒.试判断CGD △的形状.并进行证明．15.(2023·临沂) 如图.90,,,A AB AC BD AB BC AB BD ∠=︒=⊥=+．（1）写出AB 与BD 的数量关系；（2）延长BC 到E .使CE BC =.延长DC 到F .使CF DC =.连接EF ．求证：EF AB ⊥．（3）在（2）的条件下.作ACE ∠的平分线.交AF 于点H .求证：AH FH =．16.(2023· 烟台)如图.点C 为线段AB 上一点.分别以,AC BC 为等腰三角形的底边.在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE .且A CBE ∠=∠．在线段EC 上取一点F .使EF AD =.连接,BF DE ．（1）如图1.求证：DE BF =；（2）如图2.若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点G .求BE 的长．17.(2023·邵阳)如图.在等边三角形ABC 中.D 为AB 上的一点.过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E .点P 是线段DE 上的动点（点P 不与D E 、重合）．将ABP 绕点A 逆时针方向旋转60︒.得到ACQ .连接,EQ PQ PQ 、交AC 于F ．（1）证明：在点P 的运动过程中.总有120PEQ ∠=︒．（2）当APDP为何值时.AQF 是直角三角形？18.(2023·湘潭)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后.进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G.以BG为边长向外作正方形BEFG.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：，相交于点P.小红发现点P恰为DF的中点.如图（1）当BG在BC上时.连接DF AC①．针对小红发现的结论.请给出证明；（2）小红继续连接EG.并延长与DF相交.发现交点恰好也是DF中点P.如图②.根据小∆的形状.并说明理由；红发现的结论.请判断APE规律探究：（3）如图③.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α.连接DF.点P是DF中点.连接AP. EP.AE.APE∆的形状是否发生改变？请说明理由．19.(2023·岳阳)如图1.在ABC 中.AB AC =.点,M N 分别为边,AB BC 的中点.连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________.MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2.若90,BAC BC ∠=︒=先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角）.得到BEF △.当点,,A E F 在同一直线上时.AE 与BC 相交于点D .连接CF ．（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒.将BMN 绕点B 顺时针旋转α.得到BEF △.连接AE .CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒.点,,C E F 在同一直线上时.利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系.并说明理由．20.(2023·大连)综合与实践问题情境：数学活动课上.王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知,90AB AC A =∠>︒.点E 为AC 上一动点.将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时.2EDC ACB ∠=∠．”小红：“若点E 为AC 中点.给出AC 与DC 的长.就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1.请你回答：问题1：在等腰ABC 中.,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到．（1）如图1.当点D 落在BC 上时.求证：2EDC ACB ∠=∠；（2）如图2.若点E 为AC 中点.43AC CD ==,.求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形.可以将问题进一步拓展．问题2：如图3.在等腰ABC 中.90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒．若1CD =.则求BC 的长．2023年各地中考几何压轴题汇编详解1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．【答案】（1）90ADB ∠=︒ （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）21 【小问1详解】解：①MA MD MB ==.∴,MAD MDA MBD MDB ∠=∠∠=∠.在ABD △中.=180MAD MDA MBD MDB ∠+∠+∠+∠︒. ∴180902ADB ADM BDM ︒∠=∠+∠==︒. 【小问2详解】证明：（ⅰ）证法一：如图.延长BD AC 、.交于点F .则90BCF ∠=︒.∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点..∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴AE AM =．∵EM BD ∥. ∴AE AM AF AB=． ∴AB AF =．∵90ADB ∠=︒.即AD BF ⊥.∴BD DF =.即点D 是Rt BCF 斜边的中点．∴BD CD =．证法二：∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∵ME AD ⊥.∴ME 垂直平分AD ．∴EA ED =．∴EAD EDA ∠=∠．∵DE AB ∥.∴BAD EDA ∠=∠．∴EAD BAD ∠=∠．∴BD CD =．证法三：∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点.∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴EAD MAD ∠=∠．∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∴BD CD =．（2）如图所示.过点E 作EH AB ⊥于点H .①8,6AC BC ==.∴10AB =.则152AE AM AB ===. ∵,90EAH BAC ACB AHE ∠=∠∠=∠=︒.①AHE ACB ∽. ①510EH AH AE BC AC AB ===. ①3,4EH AH ==.∴1046BH AB AH =-=-=.∴31tan 62EH ABE BH ===. 2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．【答案】（1）见解析（2）90AEF ∠=︒.证明见解析【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∵C α∠=.∴D DEC M E C α∠-∠∠==.∴C DEC ∠=∠.∴DE DC =.∴DM DC =.即D 是MC 的中点；【小问2详解】 90AEF ∠=︒；证明：如图2.延长FE 到H 使FE EH =.连接CH .AH .∵DF DC =.∴DE 是FCH ∆的中位线.∴DE CH ∥.2CH DE =.由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∴2FCH α∠=.∵B C α∠=∠=.∴ACH α∠=.ABC 是等腰三角形.∴B ACH ∠∠=.AB AC =.设DM DE m ==.CD n =.则2CH m =.CM m n =+.∴DF CD n ==.∴FM DF DM n m =-=-.∵AM BC ⊥.∴BM CM m n ==+.∴()2BF BM FM m n n m m =-=+--=.∴CH BF =.在ABF △和ACH 中.AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ABF ACH ≅.∴AF AH =.∵FE EH =.∴AE FH ⊥.即90AEF ∠=︒．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．【答案】（1）见解析（2）135ABF ∠=︒ （3）见解析.【小问1详解】解： DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.45DFC ∴∠=︒.,AB AC AO BC =⊥.12BAO BAC ∴∠=∠． 90BAC ∠=︒.45BAO ABC ∴∠=∠=︒．BAO DFC ∴∠=∠．90,90EDA ADM M ADM ︒∠+∠︒=∠+∠=.EDA M ∴∠=∠．ADE FMC ∴△∽△．【小问2详解】解：如图1：设BC 与DF 的交点为I .45,DBI CFI BID FIC ︒∠=∠=∠=∠.BID FIC ∴△∽△.BI DI FI CI∴=. BI FI DI CI ∴=． BIF DIC ∠=∠.BIF DIC ∴△∽△.IBF IDC ∴∠=∠．又90IDC =︒∠.90IBF ∴∠=︒．45,ABC ABF ABC IBF ∠=∠︒=∠+∠.135ABF ∴∠=︒．【小问3详解】解：如图2：延长ON 交BF 于点T .连接,DT DO .90FBI BOA ∠︒∠==.BF AO ∴∥.FTN AON ∴∠=∠． N 是AF 的中点.AN NF ∴=．又TNF ONA ∠=∠.TNF ONA ∴△≌△.,NT NO FT AO ∴==．90,,BAC AB AC AO BC =︒∠=⊥.AO CO ∴=.FT CO ∴=．由（2）知.BIF DIC △∽△.DFT DCO ∴∠=∠．DF DC .DFT DCO ∴△≌△.,DT DO FDT CDO ∴=∠=∠.FDT FDO CDO FDO ∴∠+∠=∠+∠.即ODT CDF ∠=∠．90CDF ∠=︒.90ODT CDF ∴∠=∠=︒.12ND TO NO ∴==. 4.(2023·广西) 如图.ABC 是边长为4的等边三角形.点D .E .F 分别在边AB .BC .CA 上运动.满足AD BE CF ==．（1）求证：ADF BED ≌；（2）设AD 的长为x .DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF 的面积随AD 的增大如何变化．【答案】（1）见详解 ; （2）24y x =-+ ; （3）当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小.【小问1详解】证明：∵ABC 是边长为4的等边三角形.∴60∠=∠=∠=︒A B C .4AB BC AC ===.∵AD BE CF ==.∴AF BD CE ==.在ADF △和BED 中.AF BD A B AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ADF BED ≌；【小问2详解】解：分别过点C 、F 作CH AB ⊥.FG AB ⊥.垂足分别为点H 、G .如图所示：在等边ABC 中.60A B ACB ∠=∠=∠=︒.4AB BC AC ===.∴sin 60CH AC =⋅︒=∴12ABCSAB CH =⋅= 设AD 的长为x .则AD BE CF x ===.4AF x =-.∴)sin 6042FG AF x =⋅︒=-.∴()142ADFSAD FG x =⋅=-. 同理（1）可知ADF BED CFE ≌≌. ∴()344ADFBEDCFESSSx x ===-. ∵DEF 的面积为y .∴()234444ABCADFy SSx xx =-=-=-+ 【小问3详解】解：由（2）可知：2y x=-+∴04a =>.对称轴为直线2x ==. ∴当2x >时.y 随x 的增大而增大.当2x <时.y 随x 的增大而减小；即当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=；（2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值； ①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）．【答案】（1）见解析（2）①90CBD ∠=︒.13x =；①76①236 .（3）22816x x +. 【小问1详解】①将线段MA 绕点M 顺时针旋转()0180n n ︒<≤到MA '. ①A M AM '=.①A MA '∠的平分线MP 所在直线交折线AB BC -于点P . ①A MP AMP '∠=∠. 又①PM PM =.①)('SAS AMP MP A ∆≅∆. ①A P AP '=；【小问2详解】①①8AB =.6DA =.90A ∠=︒.①10BD ==.①=BC 12CD =.①(222210144BC BD +=+=.2212144CD ==.①222BC BD CD +=. ①90CBD ∠=︒；如图所示.当180n =时.①PM 平分A MA '∠. ①90PMA ∠=︒. ①PM AB ∥.①DNM ∆∽DBA ∆. ①DN DM MNDB DA BA ==. ①2DM =.6DA =. ①21068DN MN==. ①103DN =.83MN =.①203BN BD DN =-=. ①90PBN NMD ∠=∠=︒.PNB DNM ∠=∠. ①PBN ∆∽DMN ∆.①PB BNDM MN=.即203823PB =. ①解得5PB =.①8513x AB PB =+=+=．①如图所示.当P 点在AB 上时.2PQ =.A MP AMP '∠=∠.∵8,6,90AB DA A ==∠=︒.∴10BD ==.63sin 105AD DBA BD ∠===. ∴2103sin 35BQ BP DBA ===∠.①1014833AP AB BP =-=-= ∴1473tan tan 46AP A MP AMP AM '∠=∠===；如图所示.当P 在BC 上时.则2PB =.过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q .延长MP 交AB 的延长线于点H .∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒. ①90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠. ①PQB BAD ∽.∴PQ QB PBBA AD BD ==. 即8610PQ QB PB==.∴4855PQ PB ==.3655BQ PB ==. ∴465AQ AB BQ =+=. ∵,PQ AB DA AB ⊥⊥. ∴PQ AD ∥. ∴HPQ HMA ∽.∴HQ PQHA AM=. ∴854645HQHQ =+. 解得：9215HQ =. ∴922315tan tan tan 865HQ A MP AMP QPH PQ '∠=∠=∠===. 综上所述.tan A MP '∠的值为76①236① 【小问3详解】解：①当08x <≤时. ∴P 在AB 上.如图所示.过点A '作A E AB '⊥交AB 于点E .过点M 作MF A E '⊥于点F .则四边形AMFE 是矩形.①AE FM =.4EF AM ==.①A MP AMP '≌. ①90PA M A '∠=∠=︒. ①90PA E FA M ''∠+∠=︒. 又90A MF FA M ''∠+∠=︒. ∴PA E A MF ''∠=∠. 又∵90A EP MFA ''∠=∠=︒. ∴A PE MA F ''∽. ∴A P PE A EMA A F FM''==''. ∵A P AP x '==.4MA MA '==.设FM AE y ==.A E h '=即44x x y h h y-==-. ∴4hy x=.()()44x y x h -=-. ∴()444h x x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 整理得22816x h x =+. 即点A '到直线AB 的距离为22816x x +．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）正方形.见解析 .（2）①AM BE =.见解析；①275. 【小问1详解】解：四边形BCGE 为正方形．理由如下： ①90BED ∠=︒.①18090BEG BED ∠=︒-∠=︒． ①ABE A ∠=∠. ①AC BE ∥．①90CGE BED ∠=∠=︒． ①90C ∠=︒.①四边形BCGE 为矩形． ①ACB DEB ≅. ①BC BE =．①矩形BCGE 为正方形．【小问2详解】：①AM BE =．证明：①ABE BAC ∠=∠. ①AN BN =． ①90C ∠=︒. ①BC AN ⊥．①AM BE ⊥.即AM BN ⊥. ①1122ABN S AN BC BN AM =⋅=⋅△． ①AN BN =. ①BC AM =．由（1）得BE BC =. ①AM BE =．①解：如图：设,AB DE 的交点为M .过M 作MG BD ⊥于G . ①ACB DEB ≅.①9,12BE BC DE AC ====.A D ABC DBE ∠=∠∠=∠，. ①CBE DBM ∠=∠； ①CBE BAC ∠=∠. ①D BAC ∠=∠. ①MD MB =. ①MG BD ⊥. ①点G 是BD 的中点；由勾股定理得15AB ==.①11522DG BD ==； ①cos DG DED DM BD∠==.①1515752128DG BD DM DE ⨯⋅===.即758BM DM ==； ①75451588AM AB BM =-=-=； ①,AH DE BE DE ⊥⊥.AMH BME ∠=∠. ①AMH BME .①35AH AM BE BM ==. ①33279555AH BE ==⨯=.即AH 的长为275．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE . ①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△； ②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．【答案】（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3或4或32. 【详解】解：（1）①①四边形ABCD 是矩形.则90A ABC ∠=∠=︒. ①90ABE CBF ∠+∠=︒. 又①CF BC ⊥.∴90FCB CBF ∠+∠=︒.90CFB A ∠=∠=︒. ∴FCB ABE ∠=∠. 又∵BC BE =. ∴ABE FCB ≌△△；②由①可得FCB ABE ∠=∠.90CFB A ∠=∠=︒. ∴∽ABE FCB . ∴AB BE CF BC=. 又∵20ABCD S AB CD =⋅=矩形.∴20BE CF AB BC ⋅=⋅=.故答案为：20．（2）①在菱形ABCD 中.1cos 3A =. ∴AD BC ∥.AB BC =.则CBE A ∠=∠.①CE AB ⊥.①90CEB ∠=︒. ①cos BE CBE CB∠=. ∴1cos cos 3BE BC CBE BC A BC =⋅∠=⨯∠=. ①114333AE AB BE AB BC AB AB AB =+=+=+=. ①EF AD ⊥.CE AB ⊥.①90AFE BEC ∠=∠=︒.又CBE A ∠=∠.①AFE BEC △∽△. ∴AE EF AF BC CE BE==. ∴EF BC ⋅2443342433ABCD AE CE AB CE S =⨯==⨯⋅==菱形；（3）①当点G 在AD 边上时.如图所示.延长FE 交AD 的延长线于点M .连接GF .过点E 作EH DM ⊥于点H .①平行四边形ABCD 中.6AB =.2CE =.∴6CD AB ==.624DE DC EC =-=-=.①DM FC ∥.①EDM ECF ∽. ∴422EM ED EF EC ===. ∴2MGE FEG S EM SEF ==. ∴2MGE EFGS S ==EF EG ⋅=在Rt DEH △中.60HDE A ∠=∠=︒.则4EH ===.122DH DE ==. ∴12MG HE ⨯= ∴7MG =.∵,GE EF EH MG ⊥⊥.∴90MEH HEG HGE ∠=︒-∠=∠.∴tan tan MEH HGE ∠=∠.∴HE HM HG HE=. ∴2HE HM HG =⋅.设AG a =.则5GD AD AG a =-=-.527GH GD HD a a =+=-+=-.()77HM GM GH aa =-=--=.∴(()27x x =-.解得：3a =或4a =.即3AG =或4AG =.②当G 点在AB 边上时.如图所示.连接GF .延长GE 交BC 的延长线于点M .过点G 作GN AD ∥.则GN BC ∥.四边形ADNG 是平行四边形.设AG x =.则DN AG x ==.4EN DE DN x =-=-.①GN CM ∥.∴ENG ECM ∽. ∴42EG EN GN x EM EC CM -===. ∴21044GN CM x x ==--. ∴42GEF MEF S EG x S EM -==. ∵EF EG⋅=∴244GEF MEF S S x x==--. 过点E 作EH BC ⊥于点H .在Rt EHC △中.2,60ECECH =∠=︒.①EH =1CH =.①12MEF S MF EH =⨯⨯.则12MF = ∴144MF x =-. ∴14101444x FH MF CM CH x x x=--=--=---.1014144x MH CM CH x x-=+=+=--. 90MEF EHM ∠=∠=︒.∴90FEH MEH M ∠=︒-∠=∠.∴tan tan FEH M ∠=∠. 即FH EH EH HM=. ∴2EH FH HM =⋅.即21444x x x x-=⨯--. 解得：123,82x x ==（舍去）. 即32AG =； ③当G 点在BC 边上时.如图所示.过点B 作BT DC ⊥于点T .在Rt BTC 中.1522CT BC ==.2BT ==.∴115222BTC S BT TC =⨯==∵EF EG ⋅=∴EFG S =< ∴G 点不可能在BC 边上. 综上所述.AG 的长为3或4或32． 8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．【答案】（1）8（2）212S x =++ 【小问1详解】如图.连接BD 、BQ .四边形ABCD 为菱形.∴4CB CD ==.60A C ∠=∠=︒.∴BDC 为等边三角形． Q 为CD 中点.∴2CQ =.BQ CD ⊥.∴BQ =QB PB ⊥．45QPB ∠=︒.∴PBQ 为等腰直角三角形.∴PB =PQ =翻折.∴90BPB ∠='︒.PB PB '=.∴BB '=PE =同理2CQ =.∴CC '=QF = ∴((2211122228222PBB CQC BB C C PBCQ S S SS ''''=-+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=四边形梯形；【小问2详解】如图2.连接BQ 、B Q '.延长PQ 交CC '于点F ．PB x =.BQ =90PBQ ∠=︒.∴PQ=．∵1122PBQS PQ BE PB BQ =⨯=⨯.∴BQ PBBEPQ⨯==.∴QE=.∴21212QEBSx==+．90BEQ BQC QFC∠=∠=∠=︒.则90EQB CQF FCQ∠=︒-∠=∠.∴BEQ QFC~.∴2213QFCBEQS CQS QB⎛⎫===⎪⎝⎭.∴QFCS=．∵122BQCS=⨯⨯=∴()22222121212QEB BQC QFCS S S Sx x x⎛⎫=++=+=+⎪⎪+++⎝⎭．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E是菱形ABCD边BC上一点.AEF△是等腰三角形.AE EF=.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF交CD于点G.探究GCF∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小；（2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值．【答案】（1）45︒（2）3902GCF α∠=-︒ （3）23BE CE = 【解析】【小问1详解】延长BC 过点F 作FH BC ⊥.∵90BAE AEB ∠+∠=︒.90FEH AEB ∠+∠=︒.∴BAE FEH ∠=∠.在EBA △和FHE 中ABE EHF BAE FEH AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BHF ≌.∴AB EH =.BE FH =.∴BC EH =.∴BE CH FH .∴045=∠=∠FCH GCF ．故答案为：45︒．【小问2详解】解：在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE ．180∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ABC BAE AEB AEF FEC AEB . ABC AEF ∠=∠.∴∠=∠EAN FEC ．AE EF =.∴△≌△ANE ECF ．∴∠=∠ANE ECF ．,AB BC =BN BE ∴=α∠=EBN .1902α︒∴∠=-BNE ． ∴∠=∠-∠=∠-∠GCF ECF BCD ANE BCD()139********ααα⎛⎫=︒+-︒-=-︒ ⎪⎝⎭．【小问3详解】解：过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点P .设菱形的边长为3m . 1,2DG CGm CG m DG 2==∴，．在Rt ADP 中.0120=∠=∠ABC ADC .60ADP ∴∠=︒.3,2∴==PD m AP ． 120α=︒.由（2）知.390902∠=-︒=︒GCF a ．FGC AGP ∠=∠ .FCG ∽∆∆∴APG ． ∴=AP PG CF CG. 5222=m CF m.5CF m ∴=. 在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE .作BO NE ⊥于点O ．由（2）知.ANE ECF △≌△.①NE CF =.∵AB BC =.∴BN BE =.12OE EF EN ===． ∵120ABC ∠=︒.∴30BNE BEN ∠=∠=︒. BE OE =0cos30 . ∴6,5BE m m CE 59= . 23BE CE ∴=．。

(完整版)北京中考压轴几何综合分类解析

二、几何综合题几何综合题是中考试卷中常有的题型，它主要考察学生综合运用几何知识的能力，这种题常常图形较复杂，波及的知识点许多，题设和结论之间的关系较隐蔽，经常需要增添协助线来解答．解几何综合题，一要注企图形的直观提示；二要注意剖析发掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创建条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转变结论来探究思路，找到解决问题的重点．常有的几何综合有六类：此中包含几何的三大变换，平移、旋转、对称。

还有特别角，比如 30°，45°，60°，120°，150°等。

此外还有特别点问题，比如线段中点。

四点共圆在模拟考试中也略有波及。

自然还有一些比较特别的，需要详细剖析题意得出结论。

一、几何三大变换几何变换一般解题思路依据变换性质，变换前后对应线段，对应角相等阶梯。

平移类：做协助线方向，对应点连线，中（石景山） 27．如图，在等边△ABC中，D为边AC的延伸线上一点(CD AC) ，平移线段 BC，使点 C 挪动到点 D ，获得线段 ED，M 为 ED 的中点，过点 M 作 ED 的垂线，交 BC 于点F，交 AC 于点 G．（1）依题意补全图形；（2）求证： AG = CD ；（ 3 ）连结DF并延伸交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数目关系，并证ABCE M D明．旋转类：确立已知旋转线段，找寻与已知旋转线段有关的线段，进行旋转，结构全等三角形。

特别角易（房山）27．已知：Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图 1，点 D 是 BC 边上一点 (不与点 B， C 重合 ) ，连结 AD ，过点 B 作 BE⊥ AD，交AD 的延伸线于点 E，连结 CE．若∠ BAD =α，求∠ DBE 的大小 (用含α的式子表示 ) ；（2）如图 2，点 D 在线段 BC 的延伸线上时，连结 AD ，过点 B 作 BE⊥AD，垂足 E 在线段AD 上，连结CE．①依题意补全图2；②用等式表示线段EA， EB 和 EC 之间的数目关系，并证明．CCD EBA B A图 1图 2中（门头沟） 27．如图，∠ AOB = 90°， OC 为∠ AOB 的均分线，点 P 为 OC 上一个动点，过点P 作射线 PE 交 OA 于点 E．以点 P 为旋转中心，将射线 PE 沿逆时针方向旋转 90°，交OB 于点 F．（1）依据题意补全图（2）如图 1，假如点证明；（3）如图 2，假如点量关系．1，并证明PE = PF；E 在 OA 边上，用等式表示线段OE，OPE 在 OA 边的反向延伸线上，直接写出线段和OF 之间的数目关系，并OE， OP 和 OF 之间的数AACCEPPOO B BE图 1 图 2中（密云） 27．已知△ ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与A、 B 重合）．将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转60°获得线段CE．连结 DE 、 BE．（1）依题意补全图 1 并判断 AD 与 BE 的数目关系．（2）过点 A 作AF EB 交EB延伸线于点 F ．用等式表示线段EB、DB 与 AF 之间的数目关系并证明．C CA DB A D B图 1 图 2易（平谷） 27．在△ABC 中，∠ ABC=120°，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60°获得线段 AD ，连结 CD，BD 交 AC 于 P．（1）若∠ BAC =α，直接写出∠ BCD 的度数（用含α的代数式表示）；（2）求 AB， BC，BD 之间的数目关系；（3）当α=30°时，直接写出 AC， BD 的关系．DCPA B对称：依据垂直均分线的性质，连结协助线，结构全等三角形（通州） 27．如图，在等边△ ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点．作射线 AD，点 B 对于射线 AD 的对称点为 E．连结 CE 并延伸，交射线 AD 于点 F．（1）设∠ BAF＝α，用α表示∠ BCF的度数；（2）用等式表示线段 AF、 CF、 EF 之间的数目关系，并证明．ADB CEF对称（大兴） 27．在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CA =CB．点 D 为线段 BC 上一个动点（点 D 不与点 B， C 重合），连结 AD，点 E 在射线 AB 上，连结 DE ，使得 DE=DA．作点 E 对于直线 BC 的对称点 F ，连结 BF， DF .（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ CAD=∠ BDF ；（3）用等式表示线段 AB， BD ， BF 之间的数目关系，并证明．二、特别角类：依据特别角，以不损坏特别角为原则，结构直角三角形。

北京满井中学中考数学几何综合压轴题易错专题

北京满井中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：________；②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，则线段AD的长为________；拓展延伸（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．解析：（1）①垂直，②4；（2）作图见解析，3323【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案为：垂直②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC=45°，CF ⊥AD ，CD=2∴DF=CF=1∴22AF AC CF 3=-=∴AD=AF+DF=4故答案为：4．（2）①如图：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC 21BC 7CD 3CE ＝1，∴7,DE=2,∠ACD ＝∠BCE,7AC BC DC CE= ∴△ACD ∽△BCE ．∴∠ADC ＝∠E ，3AD AC BE BC =．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．∴AD ⊥BE ．设BE=x ，则3．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(2)(27)x x +-=（．解得123,2x x ==-（负值舍去）．∴AD=33②如图，同①设BE=x ，则AD=3x ．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(+2)(27)x x +=（．解得122,3x x ==-（负值舍去）．∴AD=23．综上可得，线段AD 的长为332 3.或【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．2．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF的取值范围．解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC == 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题．【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ， ∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =，∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=， ∴321651895AM BM ==；（3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC == ∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′，∴△PFA ′∽△MFC ， ∴PF PA FM CM '=， ∵CM ＝5， ∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（了解概念）定义：在平面直角坐标系xOy 中，组成图形的各点中，与点Р所连线段最短的点叫做点Р关于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点Р到这个图形的短距．（理解运用）（1）已知点()3,0P -，以原点为圆心，l 为半径作O ，则点Р关于O 的短距点的坐标是；（2）如图，点(3P ，等边三角形OAB 的顶点A 的坐标为()6,0，顶点B 在第一象限，判断点Р关于OAB 的短距点的个数，并说明理由；（拓展提升）（3）已知(),6P p p -+，()6,0A ，()0,6B ，点C 在第一象限内，且75CBO ∠=︒，90ACB ∠=︒，若点Р到四边形OACB 的短距大于2，请直接写出p 的取值范围．解析：（1）(-1，0)；（2）点Р关于OAB 的短距点的个数有3个；（3）当p ＜-2或22＜p ＜4或p ＞6+2时，点Р到四边形OACB 的短距大于2．【分析】（1）连接PO ，交O 于点M ，点M 即是点Р关于O 的短距点，进而即可求解；（2）根据题意得点P 是三角形OAB 的中心，进而即可求解；（3）由题意得点P ，A ，B 在直线y =-x +6上，以点P 为圆心，半径长为2画圆，分3种情况：①当点P 在AB 的延长线上，圆P 过点B 时，②当点P 在线段AB 上，圆P 与BC 相切于点N ，过点P 作PM ⊥y 轴，③当点P 在BA 的延长线上，圆P 过点A 时，过点P 作PM ⊥y 轴，分别求解，即可得到答案．【详解】解：（1）连接PO ，交O 于点M ，点M 即是点Р关于O 的短距点，∵()3,0P -，、O 的半径为1，∴M (-1，0)，故答案是：(-1，0)；（2）∵点(3P ，等边三角形OAB 的顶点A 的坐标为()6,0，∴点P 是三角形OAB 的中心，∴点P 到OA ，OB ，OC 3∴点Р关于OAB 的短距点的个数有3个；（3）∵(),6P p p -+，()6,0A ，()0,6B ，∴点P ，A ，B 在直线y =-x +6上，∴∠ABO =∠BAO =45°，∵点C 在第一象限内，且75CBO ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴∠ABC =75°-45°=30°，以点P 为圆心，半径长为2画圆，如图所示：当点P 在AB 的延长线上，圆P 过点B 时，过点P 作PM ⊥y 轴，∵PB=2，∠PBM=45°，∴PM=2×22=2，∴p＜-2时，点Р到四边形OACB的短距大于2；①当点P在线段AB上，圆P与BC相切于点N，过点P作PM⊥y轴，则BP=2PN=2×2=4，PM=BP×22=22，②当点P在线段AB上，圆P与OA相切于点N，过点P作PM⊥y轴，则AP=2PN=22，BP=AB-AP=62-22=42，PM= BP×22=42×22=4，∴22＜p＜4时，点Р到四边形OACB的短距大于2；③当点P在BA的延长线上，圆P过点A时，过点P作PM⊥y轴，则PM=（2）22∴p ＞6+2时，点Р到四边形OACB 的短距大于2；综上所述：当p ＜-2或22＜p ＜4或p ＞6+2时，点Р到四边形OACB 的短距大于2．【点睛】本题主要考查图形与坐标以及圆的综合题，根据题意画出图形，掌握圆与直线相切的性质是解题的关键．4．（了解概念）在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．（理解运用）（1）在邻等四边形ABCD 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒，若CD 是这个邻等四边形的邻等边，则C ∠的度数为__________；（2）如图，凸四边形ABCD 中，P 为AB 边的中点，ADP PDC ∽，判断四边形ABCD 是否为邻等四边形，并证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，AB 为邻等四边形ABCD 的邻等边，且AB 边与x 轴重合，已知(2,0)A -，(,3)C m ，(2,4)D ，若在边AB 上使DPC BAD ∠=∠的点P 有且仅有1个，则m 的值是__________．解析：（1）130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由见解析；（3）﹣6【分析】（1）根据邻等四边形的定义即可求解；（2）由△ADP ∽△PDC ，可得AP AD PC PD =，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，由P 为AB 的中点，可得AP ＝BP ，则PB AD PC PD=，可证△BPC ∽△ADP ，由相似三角形的性质得出∠A ＝∠B 即可；（3）①若点B 在点A 右侧，如图，由AB 为邻等边，则有∠DAB ＝∠ABC ＝∠DPC ，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP，设点P （n ，0），由等腰直角三角形可求∠BAD ＝45°，可求B 、C 横坐标之差为3，B （m +3，0），将AP ，BP ，AD ，BC ，代入得：n 2+（m +1）n +2m ﹣18＝0，由题意可知n 只有一个解，可求得m ＝﹣；②若点B 在点A 左侧，可求得∠BAD ＝135°，可证△ADP ∽△BPC ，可得APBC ＝AD BP ，可求得B 、C 横坐标之差为33m n=+-，可求得m ＝﹣5﹣．【详解】解：（1）∵CD 为邻等边，∴∠C ＝∠D ，又∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴∠C ＝∠D ＝（360°﹣∠A ﹣∠B ）÷2＝130°，∴∠C ＝130°．故答案为：130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由如下：∵△ADP ∽△PDC ， ∴AP AD PC PD=，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，∠ADP ＝∠PDC ，又∵P 为AB 的中点，∴AP ＝BP ， ∴PB AD PC PD =， ∴PB PC AD PD=， ∵∠APD +∠BPC ＝180°﹣∠DPC ，∠PCD +∠PDC ＝180°﹣∠DPC ，且∠APD ＝∠PCD ，∴∠BPC ＝∠PDC ，∵∠ADP ＝∠PDC ，∴∠ADP ＝∠BPC ，∴△BPC ∽△ADP ，∴∠B ＝∠A ，∴四边形ABCD 为邻等四边形；（3）若点B 在点A 右侧，如图，∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，设点P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵点C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD22(22)4++2BC2233+32代入APBC＝ADBP得：4232整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由题意可知n只有一个解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣6又∵点C在点D右侧，∴m＝﹣5+46；②若点B在点A左侧，如图，此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝42BC＝32∴4232=，解得：m＝﹣6又∵点C在点D左侧，∴m＝﹣5﹣6；综上所述：m＝﹣6．【点睛】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于n的一元二次方程是解题关键．5．情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF6．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？（2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值：（3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．拓展如图．当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x （x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．解析：发现：（1）在，15°；（2）当α=60°时，最小距离为1；（3）30°，324S π阴影．拓展：x 的范围是0221x <≤；探究：sinα433-621-或3 【详解】解：发现（1）在；当OQ 过点B 时，在Rt △OAB 中，AO ＝AB ，得∠DOQ ＝∠ABO ＝45°，∴α＝60°－45°＝15°．（2）如图3．连AP ，有OA ＋AP≥OP ，当OP 过点A ，即α＝60°时等号成立．∴AP≥OP －OA ＝2－1＝1．∴当α＝60°时．P ，A 间的距离最小．∴PA 的最小值为1．（3）如图3，设半圆K 与PC 交点为R ，连接RK ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，过点R 作RE ⊥KQ 于点E ．在Rt △OPH 中，PH ＝AB ＝1，OP ＝2，∴∠POH ＝30°，∴α＝60°－30°＝30°．由AD//BC 知，∠RPQ ＝∠POH ＝30°．∴∠RKQ ＝2×30°＝60°．2160236024KRQ S ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∴==扇形，在Rt △RKE 中，3sin 60RE RK =⋅︒=13·2PRK S PK RE ∆∴== 324S π∴=阴影；拓展如图5，∠OAN ＝∠MBN ＝90°，∠ANO ＝∠BNM ，所以△AON ∽△BMN ． ∴AN AO BN BM =，即11BN BN x-=，∴1x BN x =+．如图4，当点Q 落在BC 上时，x 取最大值，作QF ⊥AD 于点F ． 2222311221BQ AF OQ QF AO ==--=--=-．∴x 的范围是0221x <≤-．【注：如果考生答“221x ≤-或221x <-”均不扣分】探究半圆与矩形相切，分三种情况：①如图5，半圆K 与BC 切于点T ，设直线KT 与AD 和OQ 的初始位置所在直线分别交于S ，O′，则∠KSO ＝∠KTB ＝90°，作KG ⊥OO′于点G ．Rt △OSK 中，222253222OS OK SK ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． Rt △OSO′中，tan 6023SO OO ︒''==，3232KO '=-． Rt △KGO′中，∠O′=30°，KG=13=3-.24KO ' Rt △OGK 中，334334sin 5102KG OK α--===②半圆K 与AD 切于点T ，如图6，同理可得11()22sin 5522O K O T KT KG OKα''-===225113222621510⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==．③当半圆K 与CD 相切时，成Q 与点D 重合，且为切点．∴α＝60°，∴3sin sin 602α=︒=．综上述，sinα的值为43310-或62110-或32．考点：圆，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，相似，三角形法则求最值7．如图，E F ，分别为ABC 中AC AB ，上的动点（点、、A B C 除外），连接EB FC ，交于点P ，6BC =.我们约定：线段BC 所对的CPB ∠，称为线段BC 的张角.情景发现（1）已知三角形ABC 是等边三角形，AE BF =，①求线段BC 的张角CPB ∠的度数；②求点P 到BC 的最大距离；③若点P 的运动路线的长度称为点P 的路径长，求点P 的路径长.拓展探究（2）在（1）中，已知A BC '是圆P 的外切三角形，若点A '的运动路线的长度称为点A '的路径长，试探究点A '的路径长与点P 的路径长之间有何关系？请通过计算说明.解析：（1）①BPC ∠＝120°，②点P 到BC 的最大距离3PN =433π；（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.【分析】（1）①利用等边三角形的性质证△AEB 与△BCF 全等，得到∠EBA ＝∠BCF ，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB 的度数；②由题意可知当PO ⊥BC 于点N 时，点P 到BC 的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P 到BC 的最大距离；③由题意知点P 的路径长为弧BC 的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果；（2）由题意可知张角∠CPB 的度数始终为120°，可得∠CBP ＋∠BCP ＝60°，因为圆P 是△A'BC 的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，其半径为23，圆心角240°，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P 的路径长的2倍．【详解】解：（1）①∵ABC 是等边三角形， ∴60CBA A AB BC ∠∠︒=＝＝，，∵AE BF =，∴AEB BCF △≌△，∴EBA BCF ∠∠＝.∵60180EBA EBC EBC BCF BPC ∠+∠︒∠+∠+∠︒＝，＝， ∴180180BPC EBC BCF EBC EBA ∠︒-∠-∠=︒-∠-∠＝， 180********ABC ︒-∠=︒-︒︒＝＝. ②（2）如图所示，由于BPC ∠始终为120︒，故过点B C P 、、作圆O,∴120BOC ∠︒＝. 当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大.∵OB OC =，∴11 60,322BOP BOC NB BC ∠∠=︒==＝， ∴3,23ON OB ==，∴点P 到BC 的最大距离2333PN =-=.③由②可知点P 的路径为BC 的长度，即x（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2:1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍），理由：由（1）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒，可得60CBP BCP ∠+∠=︒，又因为圆P 是A BC '△的内切圆，所以120CBA BCA ''∠+∠=︒，所以 60CA B ∠'=︒，所以A '是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，由题意可得等边三角形ABC 外接圆的半径为23A '的路径是优弧BAC 的长度，即以240︒的圆心角，半径为23的弧长，如图，所以点A '的路径长=24023831801803n r πππ⋅==，点A '的路径长与点P 的路径长的比值是：843:32:133ππ=，所以点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆的有关性质，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形.8．如图，已知ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠的度数为__________，线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系是__________；（2）拓展探究如图②，当90ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ．请判断CEB ∠的度数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，25AC =2AE =，连接CE 、BD ，在AED ∆绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长解析：（1）60,BE AE CE ︒=+；（2）45,2CEB BE AE CE ∠=︒=+；（3）2242【分析】（1）证明△ACE ≌△ABD ，得出CE=AD ，∠AEC=∠ADB ，即可得出结论；（2）证明△ACE ∽△ABD ，得出∠AEC=∠ADB ，BD =，即可得出结论；（3）先判断出BD =，再求出AB =，①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根据勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，进而得出BD=BP+DP=8，即可得出结论．【详解】（1）在△ABC 为等腰三角形，AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB ，∠CAB=60°，同理：AE=AD ，∠ADE=∠EAD=60°，∴∠EAD=∠CAB ，∴∠EAC=∠DAB ，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴CE=AD ，∠AEC=∠ADB ，∵点B 、D 、E 在同一直线上，∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠AEC=120°，∴60CEB ∠=︒∵DE=AE ，∴BE=DE+BD=AE+CE ，故答案为60°，BE=AE+CE ；（2）45,CEB BE AE ∠=︒=．理由如下：ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形， 90ACB AED ∠=∠=︒，,,45AD AB EAD CAB EDA ∴===∠=∠=∠=︒，EAC DAB ∠=∠∴，AEC ADB ∴∆∆∽，AB AD BD AC AE CE∴===,BD AEC ADB ∴=∠=∠，点B 、D 、E 在同一直线上，180135,135ADB EDA AEC ∴∠=︒-∠=︒∴∠=︒，1359045,CEB AEC AED EB ED BD AE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=+=+．45,CEB BE AE ∴∠=︒=；（3）由（2）知，△ACE ∽△ABD ， ∴BD =，在Rt △ABC 中，AC = ∴AB ==①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP ⊥BD 交BD 的延长线于P ，∵DE ⊥BD ，∴∠PDE=∠AED=∠APD ，∴四边形APDE 是矩形，∵AE=DE ，∴矩形APDE 是正方形，∴AP=DP=AE=2，在Rt △APB 中，根据勾股定理得， 226BP AB AP =-=∴BD=BP-AP=4， ∴1222CE BD ==； ②当点E 在点D 下方时，如图④，同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，∴BD=BP+DP=8，∴22CE == 即：CE 的长为2242【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出△ACE ∽△ABD 是解本题的关键． 9．（基础巩固）（1）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ，分别过AB 、两点作,AE l BD l ⊥⊥，垂足分别为E D 、．求证：BDCCEA ∆∆．（尝试应用）（2）如图2，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若4,tan ,205BE DE BAD AC =∠==，求BD 的长．（拓展提高）（3）如图3，在ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED ∠=︒，若4,,143BE AE AB CD EC ===，求ABCD 的面积．解析：（1）见解析；（2）32BD =；（3）710【分析】（1）由直角三角形的性质证得∠BDC =∠AEC ，由相似三角形的判定定理可得出结论；（2）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由相似三角形的性质得出DE DF DA AC =，由锐角三角函数的定义求出DF =16，则可求出答案；（3）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥BC ，交BC 的延长线于点N ，证明△ABM ≌△DCN （AAS ），由全等三角形的性质得出BM =CN ，AM =DN ，设BE =4a ，EC =3a ，由（1）得△AEM ∽△EDN ，得出比例线段AM EN ME DN =，求出a =1，b =10，由平行四边形的面积公式可得出答案．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90BCD ACE ∠+∠=︒，∵AE CE ⊥，∴90AEC ∠=︒，∴90ACE CAE ∠+∠=︒，∴BCD CAE ∠=∠．∵BD DE ⊥，∴90BDC ∠=︒，∴BDC AEC ∠=∠，∴BDC CEA ∆∆（2）过点E 作EF BC ⊥于点F ，由（1）得EDFDAC ∆∆， ∴DE DF DA AC=∵AD DE ⊥，4tan ,205BAD AC ∠==， ∴4520DF =， ∴16DF =∵BE DE =，∴BF DF =∴32BD =（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥的延长线于点N ，∴090AMB DNC ∠=∠=∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//,AB CD AB CD =，∴B DCN ∠=∠，∴ABM DCN ∆≅∆，∴,BM CN AM DN ==，∵,AB AE AM BC =⊥，∴BM ME = ∵43BE EC =，设4,3BE a EC a == ∴2,5BM ME CN a EN a ====∵90AED ∠=︒，由（1）得AEMEDN ∆∆， ∴AM EN ME DN =， ∴25b a a b= ∴10b a =∵14CD =∴()22214a b += ∴1,10a b ==∴ABCD 的面积177102BC DN a b =⨯⨯=⨯=【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()32565 【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可．【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒， EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，2AD DC .EDAGDC ∴ 12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ，则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE ＝22224225AD DE +=+= ，如图1，当点G 、P 重合时，则点A 、E 、G 在同一直线上，∵AD ＝DG ＝4，∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ，∴∠DAG ＝∠COG ，∴∠DGA ＝∠COG ，又∵∠GDO ＝∠CDG ，∴△GDO ∽△CDG ，∴DO DG OG DG DC CG==48CG∴DO＝2，CG＝2OG，∴OC＝DC－DO＝8－2＝6，∵在Rt△COG中，OG2＋GC2＝OC2，∴OG2＋（2OG）2＝62，∴OG＝655（舍负），∴CG＝1255，由（2）得：12 AE CG=∴AE＝655，综上所述，AE的长为25或655．【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．11．（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．解析：【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cos（180°﹣α），理由见解析【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．理由：在AB 上取一点E ′，使得BD ＝CE ′，则AD ＝AE ′．过点C 作CT ⊥AE 于T ． ∵CE ′＝BD ，CE ＝BD ，∴CE ＝CE ′，∵CT ⊥EE ′，∴ET ＝TE ′，∵AT ＝AC •cos （180°﹣α）＝m •cos （180°﹣α），∴AE ﹣AD ＝AE ﹣AE ′＝2AT ＝2m •cos （180°﹣α）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.12．在Rt ABC 中，9072ACB AB AC ∠=︒==，，，过点B 作直线m AC ∥，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '''（点A B ，的对应点分别为A B ''，）．（1）问题发现如图1，若P 与A 重合时，则ACA '∠的度数为____________；（2）类比探究：如图2，设AB 与BC 的交点为M ，当M 为A B ''的中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸在旋转过程中，当点P Q ，分别在CA CB ''，的延长线上时，试探究四边形PA B O ''的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形PA B O ''的最小面积；若不存在，请说明理由．解析：（1）60︒；（2）72；（3）33 【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得3cos BC A CB A C ''∠==，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到332PB ==，依据tan ∠Q=tan ∠，进而得出PQ=PB+BQ=72；（3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =12，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-【详解】解：（1）由旋转可得：2AC A C ''==，90,2ACB AB AC ∠=︒==，BC ∴90ACB ∠=︒，m AC ∥， 90A BC '∴∠=︒，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB '∴∠=︒，60ACA ∴'∠=︒．（2）M 为A B ''的中点，A CM MA C ''∴∠=∠,山旋转可得，MA C A '∠=∠， A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∴∠-∠32PB ∴==，tan tan BQC PCB ∠=∠=2BQ BC ∴===， 72PQ PB BQ ∴=+=；（3）S 四边形PA B Q PCQ A CB PCQ S S S ''''==-△△△S ∴四边形PA B Q ''最小即PCQS最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯⨯=△，取PQ 的中点C ，90PQC ∠=︒，12CC PQ '∴=，即2PQ CC '=，当CG 最小时，PQ 最小，CG PQ ∴⊥，即CG 与CB 正合时,CG 最小，min CG ∴=min PQ =，PCQ S ∴△的最小值3=， S 四边形PA B Q ''=3【点睛】此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13．问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．解析：(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．【解析】试题分析：（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，S2=•（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得S1•S2=x•y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；试题解析：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，∴S1•S2=12，（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴，∴，∴xy=8，∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，∴S1•S2=x•y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy=ab ， ∵S 1=•AD•AM•sinα=axsinα，S 2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S 1•S 2=（ab ）2sin 2α．Ⅱ如图4中，设AM=x ，BN=y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy=ab ， ∵S 1=•AD•AM•sinα=axsinα，S 2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S 1•S 2=（ab ）2sin 2α．考点：几何变换综合题．14．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解:如图1,在ABC ∆中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=︒,试判断ABC ∆是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究:如图2, ABC ∆是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ∆关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '∆,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是AA C '∆的重心,求ACBC的值. （3）应用拓展:如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ∆的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 2倍.将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''∆,A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.解析：（1）证明见解析；（2）132AC BC =（3）CD 的值为2103,22,2 【解析】分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论；（2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ，再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称，得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC =13x ，即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：①当AB =2BC 时，再分两种情况讨论； ②当AC =2BC 时，再分两种情况讨论即可．详解：（1）是．理由如下：如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ， ∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°． ∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =12AC =3， ∴ AD =BC =3，即ΔABC 是“等高底”三角形．（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ， ∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°． ∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ， ∴由勾股定理得AC =13x ， ∴131322AC x BC x ==．（3）①当AB 2时，Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ．∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2， l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ， ∴BC =AE =2，AB =22， ∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°．设DF =CF =x ．∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴12DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =253，∴CD =2x =2103．Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形， ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ， ∴ ΔACD 是等腰直角三角形， ∴ CD =2AC =22．②当AC =2BC 时，Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形． ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C ， ∴A ′C ⊥l 1，∴CD =AB =BC =2．Ⅱ．如图6，作AE ⊥l 1于点E ，则AE =BC ， ∴AC =2BC =2AE ，∴∠ACE =45°，∴ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C 时，点A ′在直线l 1上，∴A ′C ∥l 2，即直线A ′ C 与l 2无交点．综上所述：CD的值为2103，22，2．点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．15．(1)方法选择如图①，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，AB BC AC==．求证：BD AD CD=+.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM AD=，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD=…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，AB AC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，30ABC∠=︒，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，::::BC AC AB a b c=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．解析：(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD=；【探究2】32BD CD AD=+；(3)拓展猜想：c aBD CD ADb b=+.【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根据全等三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；（2）类比探究：如图②，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得2根据全等三角形的性质得到结论；【探究2】如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A作AM⊥AD 交BD于M，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD，根据相似三角形的性质得到3，于是得到结论；。

2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题）如图, 在等边中, 点在的延长线上, 点是边上的一个动点 (点不与点重合), 将线段绕点逆时针旋转得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题中点问题（附加2题）一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。

2023北京中考数学几何压轴题

一、引言2023年北京中考数学压轴题一直备受关注，其中几何部分更是考生们备考的重点之一。

几何在数学中占据着重要地位，其几何解题能力直接关系到学生对数学的掌握程度。

在2023年北京中考数学压轴题中，几何题目的设计将着重考察学生对几何知识的理解和运用能力，而且题目的难度和考点也将更加贴近生活和实际应用。

本文将结合以往的中考试题，对2023年北京中考数学几何压轴题进行分析和预测，以期帮助考生们更好地备考。

二、2023年北京中考数学几何压轴题考点预测根据往年的中考试题和教学大纲，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题的考点可能包括以下几个方面：1. 直线、线段、射线和角的关系：包括垂直、平行、相交和角的性质等；2. 三角形的性质：包括三角形内角和为180度、直角三角形的性质、等腰三角形和等边三角形的性质等；3. 四边形的性质：包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等四边形的性质；4. 圆的性质：包括圆的基本性质、圆心角和弧度的关系、切线和弦的性质等；5. 相似三角形和全等三角形的性质：包括相似三角形和全等三角形的判定条件、相似比和相似三角形的性质等。

以上五个方面是几何学习中的重点，也是考生需要重点复习和掌握的知识点。

基于这些考点，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题可能涉及到的题型和难度。

三、2023年北京中考数学几何压轴题题型预测根据对考点的分析，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题可能包括以下几种题型：1. 直线、线段和角的性质题：可能涉及到直线的垂直、平行、夹角和对顶角的性质，以及根据已知条件求证等；2. 三角形和四边形的性质题：可能涉及到三角形内角和、外角和、中位线、高线等性质，以及四边形的各种性质的运用和证明等；3. 圆的性质题：可能涉及到圆的基本性质、圆心角和弧的关系、切线和弦的性质等；4. 相似三角形和全等三角形的性质题：可能涉及到相似三角形和全等三角形的性质运用、相似比和相似三角形的判定等。

北京市昌平区第三中学中考数学几何综合压轴题易错专题

北京市昌平区第三中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积1S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，BF a =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．解析：（1）6S =，19S =，21S =；（2）见解析；（3）18【分析】（1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题．（2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出S 1、S 2即可解决问题．（3）过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形，利用（2）的结论求出□DBHG 的面积，△GHC 的面积即可．【详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴S=2×3=6，116392S =⨯⨯= ∴∠AED=∠C ，∠A=∠CEF∴△ADE ∽△EFC2211(),9s DE s CF ∴== ∴S 2=1，故答案为6，9，1．（2）证明： ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 为平行四边形，AED C ∠=∠，A CEF ∠=∠．∴△ADE ∽△EFC ．∴22212()DE FC S a S b==． ∵112S bh =， ∴222122a a h S S b b=⨯=． ∴2212144()22a h S S bh ah b=⨯⨯=．而S ah =，∴2124S S S =（3）解：过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ，则四边形DBHG 为平行四边形．∴∠GHC=∠B ，BD=HG ，DG=BH ，∵四边形DEFG 为平行四边形，∴DG=EF ．∴BH=EF ．∴BE=HF ，∴△DBE ≌△GHF ．∴△GHC 的面积为5+3=8．由（2）得，□DBHG 的面积为2288⨯=．∴△ABC 的面积为28818++=．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的题型，属于中考压轴题，2．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ，B 和C ，D ，AB 和CD 相交于点P ，求tan ∠BPD 的值．方法归纳：利用网格将线段CD 平移到线段BE ，连接AE ，得到格点△ABE ，且AE ⊥BE ，则∠BPD 就变换成Rt △ABE 中的∠ABE ．问题解决：（1）图1中tan ∠BPD 的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A ，B 和 C ，D ，AB 与CD 交于点P ，求cos ∠BPD 的值；思维拓展：（3）如图3，AB ⊥CD ，垂足为B ，且AB ＝4BC ，BD ＝2BC ，点E 在AB 上，且AE ＝BC ，连接AD 交CE 的延长线于点P ，利用网格求sin ∠CPD ．解析：（1）2；（22；（32【分析】（1）由题意可得BE ∥DC ，则∠ABE =∠DPB ，那么∠BPD 就变换到Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，那么∠BPD 就变换到等腰Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC 为边长构造网格，然后把PC 平移到AN ，则∠CPD 就变换成Rt △ADN 中的∠NAD ，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）由勾股定理可得：22222222112AE BE =+=+=，∵CD//BE ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==；（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°，由勾股定理可得：22221251310AE AB =++=，，∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522101010AE AB ⨯===⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD =+==+= ∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552210225255DN AD ⨯====⨯，【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．ABC 和DCE 都是等边三角形，DCE 绕点C 旋转，连接,AE BD ．猜测发现：（1）如图1，AE 与BD 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．问题解决：（2）若B C E 、、三点不在一条直线上，且30,4,3ADC AD CD ∠=︒==，求BD 的长．拓展运用：（3）若B C E 、、三点在一条直线上（如图2），且ABC 和DCE 的边长分别为1和2，ACD △的面积及tan ADC ∠的值．解析：（1）AE =BD ，理由见解析；（2）5；（33tan ADC ∠3【分析】（1）根据等边三角形的性质，容易证明△BCD ≌△ACE ，从而问题即可解决；（2）根据∠ADC=30゜及△DCE 是等边三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，从而可计算出AE ，再由（1）即可得BD 的长；（3）过A 点作AF ⊥CD 于F ，根据ABC 和DCE 都是等边三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF 中利用三角函数知识可求得AF 的长，从而可求得△ACD 的面积；在△ACF 中还可求得CF 的长，从而可得DF 的长，这样在直角△ADF 中即可求得结论．【详解】（1）AE =BD ．理由如下：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴,,60AC BC DC EC ACB DCE ==∠=∠=︒，∴ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴() ACE BCD SAS ≅△△，∴AE BD =；（2）如图3，由（1）得：BD AE =，∵DCE 是等边三角形，∴60,3CDE CD DE ∠=︒==，∵30ADC ∠=︒，∴306090ADE ADC CDE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt ADE △中，4,3AD DE ==， ∴2222435AE AD DE =+=+=，∴5BD =；（3）如图2，过A 作AF CD ⊥于F ，∵B C E 、、三点在一条直线上，∴180BCA ACD DCE ∠+∠+∠=︒，∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴60BCA DCE ∠=∠=︒，∴60ACD ∠=︒，在Rt ACF 中，sin AF ACF AC ∠=， ∴33sin 122AF AC ACF =⨯∠=⨯=，11cos 122CF AC ACF =⨯∠=⨯=， ∴113322222ACD S CD AF =⨯⨯=⨯⨯=，13222FD CD CF =-=-=，在Rt AFD 中，3tan 3AF ADC DF ∠==．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，带有一定的综合性．4．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC ）得到Rt △AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD ，理由见解析；（3）10417 或1237 【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD ，理由为：连接PD ，PC ，如图1所示，根据PE 、PF 分别为AD 、BC 的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB ，利用SAS 得到三角形ACB 与三角形DPB 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i ）当∠AD′B=∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ，如图3（i ）所示，由S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，由S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD ，理由为：连接PD ，PC ，如图1所示：∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线，∴PA=PD ，PC=PB ，∴∠PAD=∠PDA ，∠PBC=∠PCB ，∴∠DPB=2∠PAD ，∠APC=2∠PBC ，即∠PAD=∠PBC ，∴∠APC=∠DPB ，∴△APC ≌△DPB （SAS ），∴AC=BD ；（3）分两种情况考虑：（i ）当∠AD′B=∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ，如图3（i ）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，设EB=ED′=x ，由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F ⊥CE 于F ，∴D′F ∥AC ，∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=，即 4.544 4.5D F '=+，解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117，则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417；（ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：AE=7，∴S △AED′=12AE×ED′=12×7×3=372，S 矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣7）×3=12﹣37，则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′=372+12﹣37=12﹣372．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题． 5．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点D 是射线BC 上一动点，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ，交直线AC 于点P ．（问题发现）（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系为_______；（类比探究）（2）如图2，若点D 在线段BC 上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系，并说明理由；（拓展应用）（3）当点E 为BP 的中点时，直接写出线段CD 的长度．解析：（1）BC AP CD =+；（2）AP BC CD =+，理由见解析；（3）CD 的长为22或222【分析】（1）通过证明BPC ADC ≅，可得CP CD =，再根据,AP CP AC BC AC +==，即可得证AP CD BC +=；（2）通过证明()ACD BCP ASA ∆∆≌，可得CD CP =，再根据AP AC CP =+，即可得证AP BC CD =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段BC 上时；②当点D 在线段BC 的延长线上时，求解即可．【详解】解：（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，且点E 在线段AD 上，AP ，CD ，BC 之间的数量关系为BC AP CD =+，理由如下90ACB ︒∠=9018090PBC BPC ACD ACB ︒︒︒∴∠+∠=∠=-∠=，BE AD ⊥，垂足为点E90BED ︒∴∠=90PBC ADC ︒∴∠+∠=BPC ADC ∴∠=∠在△BPC 和△ADC 中90BPC ADC BCP ACD BC AC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩BPC ADC ∴≅CP CD ∴=,AP CP AC BC AC +==AP CD BC ∴+=（2）AP BC CD =+．理由如下，如图∵90ACB ∠=︒，BE AD ⊥∴90P PAE ∠+∠=︒，90P PBC ∠+∠=︒，∴PAE PBC ∠=∠∵90ACB BCP ∠=∠=︒，AC BC =∴()ACD BCP ASA ∆∆≌∴CD CP =∵AP AC CP =+∴AP BC CD =+ （3）CD 的长为222-或222+①当点D 在线段BC 上时∵()APE ABE SAS ∆∆≌， ∴22AP AB == ∴222CP AP AC =-=-∴222CD CP ==-②当点D 在线段BC 的延长线上时222CD CP AP AC ==+=+【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 6．在Rt ABC ∆中，90,7,2ACB AB AC ︒∠===，过点B 作直线//m AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到A B C ''∆（点,A B 的对应点分别是,A B ''），射线,CA CB ''分别交直线m 于点,P Q ．（1）问题发现：如图1所示，若P 与A '重合，则ACA '∠的度数为_________________ （2）类比探究：如图2，所示，设A B ''与BC 的交点为M ，当M 为A B ''中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点,P Q 分别在,CA CB ''的延长线上时，试探究四边形PA B Q ''的面积是否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA B Q ''的最小面积；若不存在，请说明理由解析：（1）60°；（2）72；（3）存在，33【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得cos ∠A'CB=3BC A C '=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到PB=BC A C '=tan ∠BQC=tan ∠，进而得出PQ=PB+BQ=72；（3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =12，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-【详解】解（1）由旋转得：2AC A C '==，90,2,ACB AB AC BC ︒∠===∴=90,//ACB m AC ︒∠=， 90A BC ︒'∴∠=，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB ︒'∴∠=，60A CA ︒'∴∠=；(2)因为M 是AA '中点，所以A CM MA C ''∠=∠，A MA C '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∠=∠=∴，32PB ∴==． ∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A ，tan tan BQC A ∴∠=∠= 2BQ BC ∴==， 72PQ PB BQ ∴=+=；(3) PA B Q PCQ A CB PCQ S S S S ''''∆=-=PA B Q S ''∴最小，即PCQ S 最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯=，取PQ 的中点G ，190,2PCQ CG PQ ︒∠=∴=，即PQ=2CG ，当CG 最小时， PQ 最小，CG PQ ∴⊥， CG 与CB 重合，CG 最小，∵CG 的最小值为3，PA B Q S ''∴33=-．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________．猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12．②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒，∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴=AB AB '，=AC AC '，∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩ ∴BAC B AC ''∆∆≌，∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形， ∴1122AD B B C C ''==，又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯．故答案为：4．（2）12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =，∴四边形AC MB ''是平行四边形，∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒，∴=BAC AB M '∠∠，∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =， ∴12AD BC =．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒， ∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒，∴3CM =43DM =60M ∠︒，在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，BM BC CM =+==30MDC ∠︒，∴12EM BM ==， ∴DE EM DM =-=∵AD ∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中，∵=6CD ，CF∴tan CDF ∠=∴60CDF CPF =︒=∠∠，∴FCP CFD ∆∆≌，∴CD PF =，∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒，∴ADP ∆是等边三角形， ∴=PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒，∴120BPC ∠=︒，∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，PD PA AD ===132DQ CD ==，∴PQ =【点睛】本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．8．如图1，边长为4的正方形与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．问题发现（1）如图1，AE 与BF 的数量关系为______．类比探究（2）如图2，将正方形CFEG 绕点C 旋转m 度（030m ︒<<︒）．请问（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由．拓展延伸（3）若F 为BC 的中点，在正方形CFEG 的旋转过程中，当点A ，F ，G 在一条直线上时，线段AG 的长度为______．解析：（1）2AE BF =；（2）成立，见解析；（3）302+或302-【分析】问题发现：证出AB ∥EF ，由平行线分线段成比例定理得出2AE CE BF CF ==，即可得出结论；类比探究：证明△ACE ∽△BCF ，得出2AE AC BF CB==，即可的结论；拓展延伸：分两种情况，连接CE 交GF 于H ，由正方形的性质得出AB=BC=4，242AC AB ==，2GF CE CF ==，GH=HF=HE=HC ，得出122CF BC ==，22GF CE ==，2HF HE HC ===，由勾股定理求出2230AH AC HC =-=，即可得出答案．【详解】[问题发现]解：2AE BF =，理由如下：∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=2CF ，CE ⊥GF ，∴AB ∥EF ，∴2AE CE BF CF∴==， 2AE BF ∴=；故答案为：2AE BF ∴=；[类比探究]解：上述结论还成立，理由如下：连接CE ，如图2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF ，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中， 2,2CE CF CA CB ==， 2CE CA CF CB∴==， ∴△ACE ∽△BCF ， 2AE AC BF CB ∴==， 2AE BF ∴=；[拓展延伸]解：分两种情况：①如图3所示：连接CE 交GF 于H ，∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形，∴AB=BC=4，AC=2AB=42，GF=CE=2CF ，HF=HE=HC ，∵点F 为BC 的中点，∴CF=12BC=2，GF=CE=22，GH=HF=HE=HC=2，∴2222(42)(2)30AH AC HC =-=-=，∴302AG AH HG =+=+；②如图4所示：连接CE 交GF 于H ，同①得：2∴2222(42)(2)30AH AC HC --，∴302AG AH HG =-=302302【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．9．[问题解决]（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上的点B '处，折线AE 交BC 于点E ，连接B 'E ．求证：四边形ABEB '是菱形．[规律探索]（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，点B 恰好落在AD 上的点Q 处，点A 落在点A ′处，得到折痕FP ，那么△PFQ 是等腰三角形吗？请说明理由．[拓展应用]（3）如图3，在矩形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，得到折痕FP ，点B 落在纸片ABCD 内部点B '处，点A 落在纸片ABCD 外部点A '处，A B ''与AD 交于点M ，且A 'M ＝B 'M ．已知：AB ＝4，AF ＝2，求BP 的长．解析：（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）422．【分析】（1）由平行线的性质和翻折可推出CEB ABE '∠=∠，即//AB B E '．故四边形ABEB '是平行四边形，再由翻折可知AB AB '=，即证明平行四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折和平行线的性质可知BPF QPF ∠=∠，BPF QFP ∠=∠，即得出QPF QFP ∠=∠，即PFQ △是等腰三角形．（3）延长PB '交AD 于点G ，根据题意易证()FA M GB M ASA ''≅，得出结论2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形，即FG =PG ．再在Rt A FM '中，2222FM A M A F ''=+242PG FG FM ===422PB PB PG B G ''==-=．【详解】（1）由平行四边形的性质可知//AD BC ，∴AB E CEB ''∠=∠，由翻折可知AB E ABE '∠=∠，∴CEB ABE '∠=∠，∴//AB B E '．∴四边形ABEB '是平行四边形．再由翻折可知AB AB '=，∴四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折可知BPF QPF ∠=∠，∵//AD BC ，∴BPF QFP ∠=∠，∴QPF QFP ∠=∠，∴QF =QP ，∴PFQ △是等腰三角形．（3）如图，延长PB '交AD 于点G ，根据题意可知90FA M GB M ''∠=∠=︒，在FA M '和GB M '中，90FA M GB M A M B M FMA GMB ''''∠=∠''=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FA M GB M ASA ''≅，∴2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形．∴FG =PG ．∵2A F AM '==，∴在Rt A FM '中，2222FM A M A F ''=+=，∴242FG FM ==， ∴42PG =，∴422PB PB PG B G ''==-=-．【点睛】本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12AB ．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由见解析；（3）ED=EB；拓展应用：C（1，2+3）．【分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题.【详解】探究结论（1），如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=1AB=AE=EB，2∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为：EC=EB；（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为：ED=EB；拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，∵A31），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+3）2，∴3∴C（1，3【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键.11．（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．解析：【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cos（180°﹣α），理由见解析【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM ＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC•cos（180°﹣α）＝m•cos（180°﹣α），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣α）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.12．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在BC 边上时，填空：线段DE 与AC 的位置关系是；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2．则S 1与S 2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE ∥AB 交BC 于点E （如图4），若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDC ,请直接写出相应的BF 的长解析：解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（2）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）433或833．【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC ，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC 是等边三角形．∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE ∥AC ．②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．∴CF=EM ．∵∠C=90°，∠B =30°∴AB=2AC ．又∵AD=AC∴BD=AC ．∵1211S CF BD S AC EM 22=⋅=⋅， ∴12S S =．（2）如图，过点D 作DM ⊥BC 于M ，过点A 作AN ⊥CE 交EC 的延长线于N ，∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD N AC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△DCM （AAS ），∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S 1=S 2；（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF1=S △BDE ；过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 2DB=90°，∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1=DF 2，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=12×4÷cos30°=433 ， ∴BF 1=433，BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833，故BF 的长为433或833．13．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB ∆的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD的边长为1，求PQB ∆的面积．解析：（1）12PQ BO =，PQ BO ⊥；（2）PQB ∆的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）316 【分析】（1）根据题意可得PQ 为△BOC 的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接O P '并延长交BC 于点F ，根据题意证出 O PE FPC ∆'∆≌，'O BF ∆为等腰直角三角形，BPO ∆'也为等腰直角三角形，由'PQ O B ⊥且PQ BQ =可得PQB ∆是等腰直角三角形；（3）延长O E '交BC 边于点G ，连接PG ，'O P ．证出四边形O ABG '是矩形，EGC ∆为等腰直角三角形，' O GP BCP ∆∆≌，再证出O PB ∆'为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A ，O′B 和BQ 的长度，即可计算出PQB ∆的面积．【详解】解：（1）∵点P 和点Q 分别为CB ，BO 的中点，∴PQ 为△BOC 的中位线，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BO ，∴12PQ BO =，PQ BO ⊥；故答案为：12PQ BO =，PQ BO ⊥；（2）PQB ∆的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O P '并延长交BC 于点F ，由正方形的性质及旋转可得AB BC =，∠90ABC =°，AO E ∆'是等腰直角三角形，//O E BC '，O E O A '='．∴O EP FCP ∠'=∠，'PO E PFC ∠=∠．又∵点P 是CE 的中点，∴CP EP =．∴ ()O PE FPC AAS ∆'∆≌．∴''O E FC O A ==，'O P FP =．∴AB O A CB FC -'=-，∴BO BF '=．∴'O BF ∆为等腰直角三角形．∴'BP O F ⊥，'O P BP =．∴BPO ∆'也为等腰直角三角形．又∵点Q 为'O B 的中点，∴'PQ O B ⊥，且PQ BQ =．∴PQB ∆的形状是等腰直角三角形．（3）延长O E '交BC 边于点G ，连接PG ，'O P ．∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴45ECG ∠=︒．由旋转得，四边形O ABG '是矩形，∴O G AB BC '==，90EGC ∠=︒．∴EGC ∆为等腰直角三角形．∵点P 是CE 的中点，∴PC PG PE ==，90CPG ∠=︒，45EGP ∠=︒．∴' ()O GP BCP SAS ∆∆≌．∴O PG BPC ∠'=∠，O P BP '=．∴90O PG GPB BPC GPB ∠'-∠=∠-∠=︒．∴'90O PB ∠=︒．∴O PB ∆'为等腰直角三角形．∵Q 是O B '的中点， ∴12PQ O B BQ ='=，PQ O B ⊥'． ∵1AB =， ∴2O A '=2226()12O B '=+， ∴6BQ∴11663224416PQB S BQ PQ ∆=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=︒，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若6,9AB CE ==，求AD 的长．解析：（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3245【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E ，再通过AB=BD 求出∠A=∠ADB ，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC ，由此得出∠E=∠FDE ，据此进一步得出∠ADB=∠FDE ，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，从而可得BDC EDF ∠=∠，接着证明出A EDF ∠=∠，利用A E ∠=∠可知E EDF ∠=∠，从而推出=EF FD ，最后通过证明ECD CDF ∠=∠得出CF DF =，据此加以分析即可证明结论；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）得DG BD ⊥，故而92GD GC ==，在Rt GDB △中，利用勾股定理求出152GB =，由此得出159322CB =-=，紧接着，继续通过勾股定理求出226335AC +=ABCEDC ，再根据相似三角形性3CD=，从而求出CD =. 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD ，∵∠ACB=∠ECD ，∴∠A=∠E ，∵AB=BD ，∴∠A=∠ADB ，在Rt ECD △中，∵F 是斜边CE 的中点，∴FD=FE=FC ，∴∠E=∠FDE ，∵∠A=∠E ，∴∠ADB=∠FDE ，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD ⊥DF ，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：∵BD DF ⊥，ED AD ⊥∴BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°， ∴BDC EDF ∠=∠，∵AB BD =，∴A BDC ∠=∠．∴A EDF ∠=∠．又∵A E ∠=∠，∴E EDF ∠=∠．∴=EF FD ．又E ECD ∠+∠=90°，EDF FDC ∠+∠=90°，E EDF ∠=∠， ∴ECD CDF ∠=∠，∴CF DF =．∴CF EF =．∴F 为CE 的中点；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）可知DG BD ⊥，∴1922GD EC EG GC ====，又∵6BD AB ==，在Rt GDB △中，22915622GB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴159322CB =-=，在Rt ABC 中，226335AC =+=，在ABC 与EDC △中， ∵∠ABC=∠EDC ，∠ACB=∠ECD ， ∴ABCEDC ，∴3539CD=， ∴955CD =， ∴952453555AD AC CD =+=+=．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.15．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的。

北京第二十二中学中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编

北京第二十二中学中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编一、中考几何压轴题1．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EF AB GH AD=；（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝2103，请求BP的长．2．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ AE⊥于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF AE⊥．求证：FG AE=；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，23BCAB=将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若34BE BF =，210GF =，求CP 的长． 3．《函数的图象与性质》拓展学习展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线1G ：232yax bx与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，则a =______，b =______．（操作）将图①中抛物线1G 沿BC 方向平移BC 长度的距离得到拋物线2G ，2G 在y 轴左侧的部分与1G 在y 轴右侧的部分组成的新图象记为G ，如图②．请直接写出图象G 对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点C 作直线l 平行于x 轴，与图象G 交于D ，E 两点，如图③．求出图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（应用）P 是抛物线2G 对称轴上一个动点，当PDE △是直角三角形时，直接写出P 点的坐标．4．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点求证：四边形EHFG是平行四边形证明：连接EF交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F分别是AB，CD的中点∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO 的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．5．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：GFAE的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF 于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝23时，若tan∠CGP＝34，GF＝210，求CP的长．6．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1ax．（概念与理解）将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．（猜想与证明）在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．（1）填空：当x=1时，ABCD=______；当x=2时，ABCD=_______；（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．（探究与应用）①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为；②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；（联想与拓展）若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A 作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．7．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．8．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，∠ADB＝∠EFC＝90°，∠B＝45°，AB＝6．将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2． ①FG ：GA ＝；②PF 与DC 的位置关系为； ③求PQ 的长；开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为．9．在ABC 中，AB AC =，点D ､E 分别是BC AC ､的中点，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD AE ､．观察猜想（1）如图①，当60BAC ∠=︒时，填空： ①AEBD=______________； ②直线BD AE ､所夹锐角为____________；类比探究（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试判断AEBD的值及直线BD AE ､所夹锐角的度数，并说明理由；拓展应用（3）在（2）的条件下，若2DE =CDE △绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在射线AC 上时，请直接写出2AE 的值． 10．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DGCF＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC ＝135°，求AP 长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，已知AB ＝6，AC ＝CD ，∠ACD ＝90°，∠ACB ＝45°，则对角线BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．11．如图1，已知直角三角形ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，点D 是AC 边上一点，过D 作DE AB ⊥于点E ，连接BD ，点F 是BD 中点，连接EF ，CF ．（1）发现问题：线段EF ，CF 之间的数量关系为______；EFC ∠的度数为______；（2）拓展与探究：若将AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角()030α︒<<︒，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落到AB 边上时，AB 边上另有一点G ，AD DG GB ==，3BC =，连接EG ，请直接写出EG 的长度．12．问题发现：（1）如图1，ABC 与DCE 同为等边三角形，连接,BD AE 则BD 与AE 的数量关系为________；直线BD 与AE 所夹的锐角为_________；类比探究：（2）BC A △与DCE 同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；拓展延伸：（3）ABC 中90,30BAC C ∠=︒∠=︒，DE 为ABC ∆的中位线，将CDE △绕点C 逆时针自由旋转，已知2AB =，在自由旋转过程中，当ADE 、、在一条直线上时，请直接写出AD 的值．13．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，E 是AC 上的一点，且2CE =，过E 作ED BC ⊥于D ，取AE 中点F ，连接BF ，则BF 的长为_______（请直接写出答案）小明采用如下的做法：延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，B 为AH 中点，F 为AE 的中点，BF ∴是AEH ∆的中位线……请你根据小明的思路完成上面填空；（2）迁移应用：将图1中的CDE ∆绕点C 作顺时针旋转，当CE AC ⊥时，试探究BF 、AC 、CE 的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A 、C 、D 三点共线时，直接写出线段BF 的长． 14．问题呈现：已知等边三角形ABC 边BC 的中点为点D ，120EDF ∠=︒，EDF ∠的两边分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，现要探究线段BE ，CF 与等边三角形ABC 的边长BC 之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DE AB⊥，DF AC⊥时，请直接写出线段BE，CF与BC的数量关系：________；（2）问题解决：如图2，当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2CD=，45 CDF∠=︒62sin CFD-∠=BE的长和此时DEF∆的面积．15．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．（观察）①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．（发现）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）①a＝；②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．（拓展）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）16．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．18．问题情境：两张直角三角形纸片中，90BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ，过点A 作BD 的垂线，分别交线段BD ，CE 于点M ，N （ABC ∆与ADE ∆在直线MN 异侧）．特例分析：（1）如图1，当AB AC AD AE ===时，求证：2BD AN =；拓展探究：（2）当12AB AD AC AE ==，探究下列问题： ①如图2，当AB AD =时，直接写出线段BD 与AN 之间的数量关系：；②如图3，当AB AD ≠时，猜想BD 与AN 之间的数量关系，并说明理由；推广应用：（3）若图3中，AB AD k AC AE==，设ABD ∆的面积为S ，则ACE ∆的面积为．（用含k ，s 的式子表示）19．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积；（4）拓展延伸：在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．20．已知：60AOC BOC ∠=∠=︒，过平面内一点P 分别向OA 、OB 、OC 画垂线，垂足分别为D 、E 、F ．（问题引入）如图①，当点P 在射线OC 上时，求证：OD OE =．（类比探究）（1）如图②，当点P 在AOC ∠内部，点E 在射线OB 上时，求证：OD OE OF +=．（2）当点P 在AOC ∠内部，点E 在射线OB 的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段OD 、OE 、OF 之间的数量关系．（知识拓展）如图④，AB 、CD 、EF 是O 的三条弦，都经过圆内一点P ，且60FPD BPD ∠=∠=︒．判断PA PD PE ++与PB PC PF ++的数量关系，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．（1）见解析；（2）EF ＝；（3）BP ＝．【分析】（1）过点A 作AP ∥EF ，交BC 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交CD 于Q ，如图1，易证AP=EF ，GH=BQ ，△ABP ∽△BCQ ，然后运用相似三角形解析：（1）见解析；（2）EF 2133）BP 35．【分析】（1）过点A 作AP ∥EF ，交BC 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交CD 于Q ，如图1，易证AP=EF ，GH=BQ ，△ABP ∽△BCQ ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；(2)连接BD ，根据矩形的性质得出BD 的长，再根据结论（1）得出D F BDE AB A ，进而可求出EF 的长.（3）过点F 作FH ⊥EG 于H ，过点P 作PJ ⊥BF 于J ．根据矩形的性质得到AD 、CD 的长，由结论（1）可得出DG 的长，再由勾股定理得出AG 的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF 是矩形，进而得出FH 的长度，最后根据相似三角形得出BJ 、PJ 的长度就可以得出BP 的长度.【详解】（1）如图①，过点A 作AP ∥EF ，交BC 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交CD 于Q ，BQ 交AP 于T ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ．∴四边形AEFP 、四边形BGHQ 都是平行四边形，∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠BAT+∠ABT ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABP ＝∠C ＝90°，AD ＝BC ，∴∠ABT+∠CBQ ＝90°，∴∠BAP ＝∠CBQ ，∴△ABP ∽△BCQ ， ∴AP AB BQ BC =, ∴EF AB GH AD=. （2）如图②中，连接BD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ＝2，∴BD 22223213BC CD ++∵D ，B 关于EF 对称，∴BD ⊥EF ，∴D F BDE AB A = , ∴2313= ,∴EF ＝2133. （3）如图③中，过点F 作FH ⊥EG 于H ，过点P 作PJ ⊥BF 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，∠A ＝90°，∴2103DG = 23 , ∴DG 10∴AG 22109DG AD -=-1，由翻折可知：ED ＝EG ，设ED ＝EG ＝x ，在Rt △AEG 中，∵EG 2＝AE 2+AG 2，∴x 2＝AG 2+AE 2，∴x 2＝（3﹣x ）2+1，∴x ＝53， ∴DE ＝EG ＝53， ∵FH ⊥EG ，∴∠FHG ＝∠HGP ＝∠GPF ＝90°，∴四边形HGPF 是矩形， ∴FH ＝PG ＝CD ＝2，∴EH 22222102233FF FH ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴GH ＝FP ＝CF ＝EG ﹣EH ＝53﹣23＝1， ∵PF ∥EG ，EA ∥FB ， ∴∠AEG ＝∠JPF ，∵∠A ＝∠FJP ＝90°，∴△AEG ∽△JFP ，∴P A J E AG EG F PJ F ==，∴451331PJ FJ ==，∴FJ ＝45，PJ ＝35， ∴BJ ＝BC ﹣FJ ﹣CF ＝3﹣45﹣1＝65，在Rt △BJP 中，BP == 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．（1）见解析；（2）；见解析；（3）【分析】（1）先△ABE ≌△DAQ ，可得AE ＝DQ;再证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GM ⊥AB 于M ．然后证明△ABE ∽△GM解析：（1）见解析；（2）23GF AE =；见解析；（3【分析】（1）先△ABE ≌△DAQ ，可得AE ＝DQ ;再证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GM ⊥AB 于M ．然后证明△ABE ∽△GMF 即可解决问题；（3）如图3中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即可解决问题．【详解】（1）如图（1），∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAQ ．∴∠QAO +∠OAD ＝90°．∵AE ⊥DQ ，∴∠ADO +∠OAD ＝90°．∴∠QAO ＝∠ADO ．∴△ABE ≌△DAQ （ASA ），∴AE ＝DQ ．∵四边形ABCD 是正方形，AE ⊥DQ ，AE ⊥GF ，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四边形DQFG是平行四边形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）23 GFAE．理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF ：AE ＝AD ：AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ，∴GF ：AE ＝BC ：AB ， ∵23BC AB =， ∴23GF AE =．（3）解：如图（3）中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．由BE ：BF ＝3：4 ，设BE ＝3k ，BF ＝4k ，则EF ＝AF ＝5k ，∵23GF AE =，210GF = ∴AE ＝310在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得222BE AB AE +=，∴222(3k)(9k)(310)+=∴k ＝1或﹣1（舍去），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB +∠PEM ＝90°，∠PEM +∠EPM ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ，∴FB FE BE EM EP PM ==， ∴4536EM PM==， ∴EM ＝245 ，PM ＝185， ∴CM ＝EM ﹣EC ＝245﹣3＝95，∴PC = 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．3．【问题】，1；【操作】当时，，当时，；【探究】或；【应用】点的坐标为：或【分析】问题:即可求解；操作：抛物线G1沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平解析：【问题】12-，1；【操作】当0x <时，213222y x x =--+，当0x ≥时，21322y x x =--+；【探究】42x -<<-或01x <<；【应用】点P 的坐标为：32,2⎛-+ ⎝或32,2⎛-- ⎝ 【分析】问题:23(1)(3)2y ax bx a x x =++=+-即可求解；操作：抛物线G 1沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线G 2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移32个单位，即可求解；探究：将点C 的坐标代入两个函数表达式，求出G 1、G 2的顶点坐标，即可求解；应用：证明∠EPN =∠MDP ，利用tan ∠EPN =tan ∠MDP ，即可求解．【详解】解：问题：()()23132y ax bx a x x =++=+-，解得：12a =-，1b =，故答案为：12-，1；操作：抛物线1G 沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线2G ，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移32个单位， 1G ：()2223131122222y ax bx x x x =++=-++=--+， 2G ：()22131313222222y x x x =--+++=--+，当0x <时，213222y x x =--+，当0x ≥时，21322y x x =--+；探究：C 点的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．当32y =时，2133222x x -++=，解得：10x =，22x =，∴32,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当32y =时，21332222x x --+=，解得：10x =，24x =-，∴34,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()2213112222y x x x =-++=--+，()221317222222y x x x =--+=-++， ∴抛物线1G 的顶点为()1,2，抛物线2G 的顶点为72,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴42x -<<-或01x <<时，函数y 随x 的增大而增大；应用：如图，过点P 作x 轴的平行线交过点D 与x 轴的垂线于点M ，交过E 点与x 轴的垂直的直线于点N ，设点()2,P m -，则32EN m =-，4PN =，32DM m =-，2PM =， ∵90EPN MPD ∠+∠=︒，90MDP DPM ∠+∠=︒，∴EPN MDP ∠=∠，∴tan tan EPN MDP ∠=∠，即EN MP PN DM =，即322342m m -=-，解得：32m =± 故点P的坐标为：32,2⎛-+ ⎝或32,2⎛-- ⎝．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、图形的平移等，具有一定的综合性，关键在于根据题意作出图形进行解答．4．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得4DGF S =，再根据等底同高可得2ADE DOE EOF S S S ===，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得；拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得4,2AC GH AE ===，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得OE =角形的面积公式可得EGH S =【详解】解：教材呈现：补充完整证明过程如下：∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，又∵AG ＝CH ，∴OA －AG ＝OC －CH ，即OG ＝OH ，∴四边形EHFG 是平行四边形；探究：如图，连接OE ，BO ，由旋转的性质得：118422DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形，点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，AD OD OF CF ∴===，由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF SS S S ====⨯=， 224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=，又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，∴S △BEO =S △AEO =4，∴S △ABO = S △BEO +S △AEO =8，22816ABC AOB S S ∴==⨯=，故答案为：16；拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，四边形ABCD 是面积为16的正方形，4,90AB BC B ∴==∠=︒，在Rt △ABC 中，由勾股定理得22224424A C B B A C =+=+=，∵AC 为正方形的对角线，∴∠EAO =45°，点E 是AB 的中点，122AE AB ∴==， ∵EO GH ⊥，∴45AEO EAO ∠=∠=︒，∴AO =EO ，在Rt △AEO 中由勾股定理的AO 2+EO 2=AE 2，即2OE 2=4解得2OE =，GH AB =，4GH ∴=，11422222EGH S GH OE ∴=⋅=⨯⨯=，由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，则四边形EHFG 的面积为222242EGH S=⨯=，故答案为：42．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．5．（1）①见解析；②1；（2）＝k ，理由见解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性质得AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH ．所以∠HAO+∠OAD ＝90°，又知∠ADO+∠OAD ＝90°，所以∠解析：（1）①见解析；②1；（2）FG AE ＝k ，理由见解析；（3【分析】（1）①由正方形的性质得AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH ．所以∠HAO +∠OAD ＝90°，又知∠ADO +∠OAD ＝90°，所以∠HAO ＝∠ADO ，于是△ABE ≌△DAH ，可得AE ＝DQ ．②证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题．（2）结论：FG AE＝k ．如图2中，作GM ⊥AB 于M ．证明：△ABE ∽△GMF 即可解决问题．（3）如图2中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即可解决问题．【详解】解：（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAQ ．∴∠QAO +∠OAD ＝90°．∵AE ⊥DQ ，∴∠ADO +∠OAD ＝90°．∴∠QAO ＝∠ADO ．∴△ABE ≌△DAQ （A S A ），∴AE ＝DQ ．②解：结论：GF AE ＝1．理由：∵DQ ⊥AE ，FG ⊥AE ，∴DQ ∥FG ，∵FQ ∥DG ，∴四边形DQFG 是平行四边形，∴FG ＝DQ ，∵AE ＝DQ ，∴FG ＝AE ， ∴GF AE＝1．故答案为1．（2）解：结论：FG k AE ．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GFAE ＝GMAB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF AD BC kAE AB AB===．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝34BE BF =，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵FGAE ＝23，FG＝10，∴AE＝10∴（3k ）2+（9k ）2＝（2，∴k ＝1或﹣1（舍弃），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB +∠PEM ＝90°，∠PEM +∠EPM ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ， ∴EF PE ＝BF EM ＝BE PM ， ∴5436EM PM==， ∴2418,55EM PM ==， ∴249553CM EM EC =-=-=，∴PC ==【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．【概念与理解】，；【猜想与证明】（1），；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①；②△COD 与△AOB 面积之差为或；【联想与拓展】n3=9m3．【分析】【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案解析：【概念与理解】214y x =，2y x =；【猜想与证明】（1）12，12；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①12；②△COD 与△AOB 面积之差为116或12；【联想与拓展】n 3=9m 3．【分析】【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案；【猜想与证明】：（1）当x =1时，求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案；当x =2时，求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案；（2）任意x （x ＞0），求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案；【探究与应用】：①根据已知条件表示出△AOB 与△COD 面积即可得出答案；②设M （x ，0）（x ＞0），根据已知条件可得出2COD AOB x S S -=△AOB 是直角三角形时解得14x =，当△COD 是直角三角形时，解得1x =，把x 代入即可；【联想与拓展】：根据题意求出AEDF 的坐标然后表示出面积再利用△PAE 与△PDF 面积的比值1:3，即可得出关系式；【详解】【概念与理解】∵y 1=4x 2∴由题意可得C 1：214y x = ∵y 2=x 2∴由题意可得C 2：2y x =故答案为：C 1：214y x =，C 2：2y x =；【猜想与证明】（1）当x =1时，∵点A 、B 在抛物线C 1上∴令x =1，则112y =± ∴A 1(1,)2，B 1(1,)2- ∴AB =1∵点C 、D 在抛物线C 2上 ∴令x =1，则21y ==±∴C (1,1)，D (1,1)- ∴CD =2∴AB CD =12当x =2时，∵点A 、B 在抛物线C 1上∴令x =2，则1y ==∴A (2,)2，B (2,2 ∴AB∵点C 、D 在抛物线C 2上 ∴令x =2，则2y =∴C ，D (2,∴CD =∴AB CD =21222= （2）对任意x （x ＞0）上述结论仍然成立理由如下：对任意x （x ＞0），1142x y x =±=± ∴A (,)2x x ，B (,)2x x - ∴AB =x对任意x （x ＞0），2y x =±∴C (,)x x ，D (,)x x -∴CD =2x∴AB CD =122x x = 【探究与应用】①连接OA ，OB ，OC ，OD12AOB SAB OM = 12COD S CD OM = ∴12AOB COD S AB S CD == 故答案为：12②设M （x ，0）（x ＞0），∵M （x ，0）∴1y =∴AB∵M （x ，0），∴2y =∴CD =∵122AOB x SAB OM == 1222COD x S CD OM ==∴2COD AOB x S S -=当△AOB 是直角三角形时，由题意可知OA =OB∴△△AOB为等腰直角三角形∴OM =AM ∴x =解得：14x =∴1216COD AOB x S S -== 当△COD 是直角三角形时，由题意可知OD =OC∴△△COD 为等腰直角三角形∴OM=CM∴x =解得：1x =∴122COD AOB x S S -== 综上所述：△COD 与△AOB 面积之差为116或12 【联想与拓展】∵M （k ，0）且点A 、B 在抛物线C 3上∴令x =k，则1y ==∴A (k∵AE ∥x 轴，且交C 4于点E∴E (km n ()km AE k n -∴= ∵M （k ，0）且点C 、D 在抛物线C 4上∴令x =k，则2y ==∴D (k∵DF ∥x 轴，且交C 3于点F∴F (kn m ()kn DF k m =∴- ∵AE ∥x 轴，且交C 4于点E∴△PEA 的高∵DF ∥x 轴，且交C 3于点F∴△PDF 的高∴11(22PEA km SAE km k n ==- 11(22PDF kn S FD kn k m ==-∵△PAE 与△PDF面积的比值1:3 ∴ 1(1213(2PEAPDF km k Sn kn S k m-==- ∴13= ∴339n m =故答案为：339n m =【点睛】本题考出了抛物线性质的综合运用以及旋转等知识，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．7．（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4【分析】（1）借助问题情景即可得出结论；（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性解析：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4【分析】（1）借助问题情景即可得出结论；（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性质得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性质证得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出结论；（3）过点B作BM⊥AP，垂足为M．结合（2）所得结论利用等腰直角三角形的性质可得BM=PM=ME，设BM=ME=x，则AM=x+3-1．则根据三角函数解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性质求出正方形的边长，即可得出结果．【详解】解：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形．依据2：对角线相等的平行四边形是矩形．（2）证明：连接CE，由题意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四边形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：过点B作BM⊥AP，垂足为M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．设BM=ME=x，则AM=x．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形、全等三角形及三角函数等相关知识点是解题的关键．8．等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根据三角形的中位线定理得出PQ//BD，PQ=，结合已知即可得出答案；（1）①先根据勾股定理得出EF解析：等腰直角三角形；（1）①1；②互相平行；③32）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根据三角形的中位线定理得出PQ//BD，PQ=12BD，结合已知即可得出答案；（1）①先根据勾股定理得出EF=△EGF∽△BGA得出FG EFAG AB=，从而得出FG：GA的值；②过P作PM//BC交CE与点M，再证得F在PM上即可；③根据三角形的中位线定理得出PD//CE，结合已知得出P在AD上，得出PQ=12AF，再利用勾股定理得出PQ的长；（2）分点F在BC的下方和上方两种情况加以讨论即可【详解】解：特例感知：∵P、Q分别为BE、AF的中点，∴PQ//BD，PQ=12BD，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴△APQ 为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（1）①∵AB =6，∠B =45°，∠ADB =90°， ∴22AD BD AB +=， ∴AD =BD =32，∴EF =32，∵∠BFC =∠BAC =90°，∴∠GFE =∠BAG ，∵∠AGP =∠EGF ，∴∠ABQ =∠GBF ，∴△EGF ∽△BGA ，∴FG EF AG AB =， ∴3221622FG EF AG AB ==== 故答案为：1:2；②如图，过P 作PM //BC 交CE 与点M ，∴11EM EP CM BP ==， ∴EM =CM∴FM //BC ，∴F 在PM 上，∴PF ∥CD ，故答案为：平行；③∵BP =PE ，BD =CD ，∴DP 为△BCE 的中位线，∴PD //CE ，∵CE ⊥BC ，。