最新整理数学教学教案2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示及运算.doc
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教案+习题
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________． 解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)题型一 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23． 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13． 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
学案6：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算【课前准备】1．课时目标（1）掌握平面向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标判断向量是否平行（或共线）．2．基础预探（1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________．若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =________，a －b =________．（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数________原来向量的相应坐标． 若a =（x 1，y 1），则λa =________．（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标________始点的坐标． 若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =________．（4）若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）（b ≠0）共线，当且仅当________=0．【知识训练】1．若向量)2,3(=a ，)1,0(-=b ，则向量b a 2-的坐标是（ ）A ．)4,3(-B ．)4,3(C ．)4,3(-D ．)4,3(--2．已知A 、B 、C 三点共线，且)6,3(-A ，)2,5(-B ，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A ．－13B ．13C ．－9D ．93．若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则c ＝（ ）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+- 4．已知向量)43,3(2--+=x x x a 与AB 相等，其中A （1，2），B （3，2），则实数x =________．5．已知M （3，－2），N （－5，－1），且MN MP 21=，则P 点的坐标为________． 6．已知平行四边形ABCD 的其中三个顶点分别为)1,2(-A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，求其第四个顶点D 的坐标．【题型探究】题型一：坐标运算的概念问题例1．已知向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），且b ≠0，给出以下结论：（1）a =λb （λ∈R 且λ≠0）； （2）x 1y 1－x 2y 2=0； （3）x 1y 2－x 2y 1=0；（4）11y x －22y x =0； （5）22x y －11x y =0； 则在以上各结论中能推导出a //b ，但由a //b 却推不出该结论的条件有________．思路导析：在判断两向量平行的条件中，根据两向量平行的共线定理与相应的坐标运算中，要注意相应的条件的限制．特别对于相应的条件，往往容易出现遗漏而导致错误．点评：对于两向量a 与b 共线（b ≠0），则必存在实数λ，使a =λb ．对于b ≠0这一限制条件往往忽略了，导致错误．特别在坐标运算中，当a =（a 1，a 2），b =（b 1，b 2）时，而且a //b ，则必有a 1b 2－a 2b 1=0，而很多情况下错误地写成了11b a =22b a ，忽略了b 1、b 2可能为0的情形而导致错误． 变式练习1：已知A （－1，－1），B （1，3），C （2，5），D （3，7），向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与CD 平行吗？题型二：向量的坐标运算例2．已知A （1，－2），B （2，1），C （3，2）和D （－2，3），以AB 、AC 为一组基底来表示CD BD AD ++．思路导析：求解时首先由A 、B 、C 、D 的坐标求得向量AB 、AC 、AD 、BD 、CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式CD BD AD ++=AC n AB m +，再列出关于m 、n 的方程组，进而解方程组求出所表示的系数．变式练习2：已知A （1，2），B （3，2），a =（x +3，x －3y －4），若a =AB ，求实数x 、y 的值．题型三：向量共线的坐标表示例3．已知a ＝（1，2），b ＝（－3，2），当实数k 取何值时，b a k 2+与b a 42-平行？思路导析：结合两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔01221=-y x y x 加以解决此类问题，要先对应求解出各自的坐标，再加以解决．点评：解决这类问题的关键是找出对应向量的坐标，通过适当地坐标运算，必要时可以加以设元，再结合两个向量平行的充要条件加以分析解决．变式练习3：已知10||=a ，)4,3(-=b ，且a 与b 共线，求向量a 的坐标．题型四：创新应用问题例4．设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），约定两个向量之间的运算“◎”为：a ◎b =（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．若m =（1，2），m ◎n =（1，2），则n =________．思路导析：约定新的运算问题，要按照规定的运算结合其他已有的运算加以分析运算，计算时要注意已有运算类型与新的运算类型之间的混淆．点评：注意新约定的运算与向量对应的运算的差别，以及题目中给出的特别的信息点，结合数学知识加以分析求解，注意不能利用向量对应的运算直接作用于新约定的运算． 变式练习4：设m =（a ，b ），n =（c ，d ），规定向量m 、n 之间的一个运算“⊗”：m ⊗n =（ac －bd ，ad+bc ），已知p =（1，2），p ⊗q =（－4，－3），则q =（ ）A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，－1）【随堂练习】1．已知四边形ABCD 的三个顶点A （0,2），B （－1，－2），C （3,1），且B C →＝2AD →，则顶点D 的坐标为（ ）A ．（2，72）B ．（2，－12） C ．（3，2） D ．（1，3） 2．设向量a ＝（m ，1），b ＝（1，m ），如果a 与b 共线且方向相反，那么m 应取值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．03．已知向量a ＝（2x ＋1，4），b ＝（2－x ，3），若a ∥b ，则实数x 的值等于（ ）A ．－12B ．12C ．1D ．－1 4．已知)3,4(-=a ，)5,(x b =，),1(y c -=，若c b a =+，则),(x y ＝________．5．已知O 为坐标原点，点P 在第四象限，||OP =4，∠x OP=︒30，则向量OP 的坐标为________．6．已知向量)3,2(-=a ，),(m m b =（R m ∈），||b a d +=，当m 为何值时，d 有最小值？并求出这个最小值．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）和（差），（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1－x 2，y 1－y 2）；（2）乘，（λx 1，λy 1）；（3）减去，（x 2－x 1，y 2－y 1）；（4）x 1y 2－x 2y 1．【知识训练】1．B ；【解析】b a 2-=（3，2）－2（0，－1）=（3，4）；2．C ；【解析】设C （6，y ），则AB =（－8，8），AC =（3，y +6），由于A 、B 、C 三点共线，则AB //AC ，则有8683+=-y ，解得y =－9； 3．B ；【解析】可设c =b y a x +，通过列方程组解得x 、y 的值即可；也可以直接通过计算各选项中对应的向量加以比较；4．－1；提示：由于AB =（2，0），而a =AB ，则有)43,3(2--+x x x =（2，0），即⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，解得⎩⎨⎧=-=-=411x x x 或，故x =－1； 5．（－1，－23）；提示：设点P 的坐标为（x ，y ），则)2,3(+-=y x MP ，MN =（－8，1），由MN MP 21=可得)2,3(+-y x =21（－8，1），即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ； 6．【解析】设平行四边形ABCD 的第四个顶点D 的坐标为D （x ，y ）， 由于DC AB =，则),()4,3()1,2()3,1(y x -=---，解得（x ，y ）=（2，2）， 则第四个顶点D 的坐标为D （2，2）．【题型探究】例1（1）、（4）、（5）【解析】由于（1）当a =λb 时，必有a //b ；但反过来，当a =0时，a //b ，而不存在非零的实数λ使a =λb 成立；故a =λb （λ∈R 且λ≠0）=>a //b ，但反过来却推不出；（2）向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）平行的条件为x 1y 2－x 2y 1=0，因为x 1y 1－x 2y 2=0推不出x 1y 2－x 2y 1=0，所以a 不平行于b ；反之由x 1y 2－x 2y 1=0也推不出x 1y 1－x 2y 2=0；（3）x 1y 2－x 2y 1=0 a //b ；（4）由于11y x －22y x =0可推出x 1y 2－x 2y 1=0，但是由x 1y 2－x 2y 1=0却推不出11y x －22y x =0（例如y 1=0或y 2=0的情况）；故11y x －22y x =0=>a //b ，但反过来却推不出； （5）与（4）一样，22x y －11x y =0=>a //b ，但反过来却推不出； 所以正确答案为：（1）、（4）、（5）．变式练习1：解析：因为AB =（2，4），CD =（1，2），则AB =2CD ，所以AB //CD ， 又因为AC =（3，6），AB =（2，4），则AB =32AC ，所以AB //AC ， 故A 、B 、C 、D 在同一条直线上，即直线AB 与直线CD 重合．例2．解：由于AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（－3，5），BD =（－4，2），CD =（－5，1）， 所以CD BD AD ++=（－3，5）+（－4，2）+（－5，1）=（－12，8），根据平面向量基本定理，一定存在实数m 、n ，使得CD BD AD ++=AC n AB m +， 所以（－12，8）=m （1，3）+n （2，4），即（－12，8）=（m+2n ，3m+4n ），可得⎩⎨⎧=+-=+843122n m n m ，解得⎩⎨⎧-==2232n m ，所以CD BD AD ++=AC AB 2232-． 点评：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识．变式练习2：解析：由A （1，2），B （3，2），知AB =（2，0）， 又由于a =（x +3，x －3y －4），a =AB ，所以⎩⎨⎧=--=+04323y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=351y x ． 例3．解：由于b a k 2+＝)2,1(k ＋)2,3(2-＝)42,6(+-k k ，b a 42-＝)2,1(2－)2,3(4-＝)4,14(-， 而b a k 2+与b a 42-平行，那么根据两个向量平行的充要条件，可得014)42()4()6(=⨯+--⨯-k k ，解得1-=k ．变式练习3：解析：由于a 与b 共线，根据两个向量平行的充要条件，可设a ＝λb ＝)4,3(λλ-， 又由于10||=a ，则有100)4()3(22=-+λλ，解得2±=λ， 所以向量a 的坐标为)8,6(-或)8,6(-．例4．（1，0）【解析】设n =（x ，y ），则m ◎n =（x －2y ，y +2x ）=（1，2），所以⎩⎨⎧=+=-2212x y y x ，解得⎩⎨⎧==01y x ，即n =（1，0），即填答案：（1，0）．变式练习4：B ；解析：设q =（x ，y ），由p ⊗q =（x －2y ，2x +y ）=（－4，－3），即⎩⎨⎧-=+-=-3242y x y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ． 【随堂练习】1． A ；【解析】设D （x ，y ），∵B C →＝（4,3），A D →＝（x ，y －2），由B C →＝2AD →得2x ＝4，2（y －2）＝3，得x ＝2，y ＝72； 2．B ；【解析】根据题意，可设a ＝λb （λ<0），即m ＝λ且1＝λm ，解得m ＝±1，由于λ<0，故m ＝－1；3. B ；【解析】由a ∥b 得3（2x ＋1）＝4（2－x ），解得x ＝12； 4．)5,2(-；【解析】：由c b a =+可得（4+x ，2）=（－1，y ），解得x =－5，y =2；5．（23，－2）；【解析】设P （x ，y ），则x =︒30cos ||OP =234⨯=23，y =︒-30sin ||OP =－2，即P （23，－2），所以OP =（23，－2）；6．解：由于)3,2(-=a ，),(m m b =， 则||b a d +=22)3()2(|)3,2(|-++=-+=m m m m 225)21(22+-=m ， 所以当21=m 时，d 有最小值，这个最小值为225．。
教学设计--2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计1
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。
于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。
这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。
教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。
2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。
授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。
物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。
现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。
高中数学_平面向量的正交分解及坐标表示坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：1、掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算。
2、经历观察、操作、交流等活动，增强学生观察能力，培养学生从一般到特殊的认知规律和数形结合的思想。
3、通过平面向量坐标的学习，让学生感受平面向量的正交分解与现实生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学之美。
教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：平面向量坐标表示的理解及坐标运算的准确性。
教学过程：一、复习回顾1.平面向量基本定理的内容？2.分别用给定的一组基底表示向量思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？二、新知探究思考:1.光滑斜面上木块受到重力作用的分解特点？把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解思考:2.平面直角坐标系中点A可以用坐标来表示；平面向量是否也有类似的表示呢？课堂探究一：平面向量的坐标表示如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设→→==jOBiOA,填空：（1）|i |_____,|j |______,|OC |______;=== （2）若用 →→j i , 来表示OD OC ,，则： （3）向量 CD 能否由 →→j i , 表示出来？知识点1：平面向量的坐标表示概念如图， →→j i ,分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，若以 →→j i ,为基底，则对于该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数x,y,使得→→→+=j y i x a这样，平面内的任一向量→a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对（x,y ）叫做向量 →a 的坐标，记作()y x a ,=→显然，()()()0,00,1,0,0,1===→→→j i 。
知识点2：OA 的坐标就是点A 的坐标设 →→+=j y i x OA ，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标.例1.如图，分别用基底→→j i ,表示向量→→→→d c b a ,,,，并求出它们的坐标。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标． 解：由图可知
A2 A A1
a AA1 AA2 2i 3 j a ( 2,3)
同理， b 2i 3 j ( 2,3) c 2i 3 j ( 2,3)
课前 练习
例3
2.向量 P 1P 2 ( x2 x1 , y2 y1 ) ：
3.向量坐标下的运算： a b ( x1 x2 , y1 y2 ); a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a ( x1 , y1 )
1 3 x 2 4 y x 2 y 2
x
顶点D若M ( 3, 2), N ( 5, 1)且 MP MN , 2 求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C ( 3, 4), 则 AB 2 BC .
3. 已知四点A(5, 1), B( 3, 4), C (1, 3), D(5, 3), 求证 : 四边形ABCD是梯形.
课堂总结
1.向量 OP 点 P （ x , y） OP x i y j ( x, y ) (平面向量的唯一分解 )
d 2i 3 j ( 2,3)
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ( x1 , y1 )， b ( x2 , y2 )，求a+b，a-b． 解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j 即 同理可得 a + b ( x1 x2 , y1 y2 ) a - b ( x1 x2 , y1 y2 )
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案新人教A
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),푦=4, 푥=3,则{2푦-푥=5,解得{푦=4,即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.1变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设퐴퐵=a,퐵퐶=b,퐶퐴=c,且퐶푀=3c,퐶푁=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及푀푁的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴{-6푚+푛=5,-3푚+8푛=-5, 푚=-1,解得{푛=-1.(3)∵퐶푀=푂푀―푂퐶=3c,∴푂푀=3c+푂퐶=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又퐶푁=푂푁―푂퐶=-2b,∴푂푁=-2b+푂퐶=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴푀푁=(9,-18).2。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
【新课标必修】《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教学案例
课题 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教学目标：知识目标：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；能力目标：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；情感态度与价值观：激发学生学习的学习兴趣；渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法；充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的。
教学重点难点：1．重点：平面向量的坐标运算； 2．难点：平面向量的坐标运算。
教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索 1e ，2e 唯一概念介绍为解决难点作铺垫1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia+=…………○1我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa=…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(yx.特别地，)0,1(=i，)1,0(=j，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA=，则点A的位置由a唯一确定.设yjxiOA+=，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx++=，ba-),(2121yyxx--=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ba+)()(2211jyixjyi x+++=jyyixx)()(2121+++=即ba+),(2121yyxx++=，同理可得类点坐标的概念，请学生自己给出向量坐标的概念。
人教版数学高一教学设计2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
必修四第二章平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教师活动导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i ,j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i ,j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x , y )和实数λ,求λa 的坐标。
解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1-x 2, y 1-y 2)。
2..3..2平面向量正交分解及坐标表示(教、教案)
- 1 -????102. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：<1）理解平面向量的坐标的概念；<2）掌握平面向量的坐标运算；<3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2JKX7RIo84I (1>我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2>基底不惟一，关键是不共线；(3>由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4>基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量- 2 -????10二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得JKX7RIo84I…………○1错误! 我们把叫做向量的<直角）坐标，记作…………○2错误!其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2错误!式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.JKX7RIo84I 特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.JKX7RIo84I 2．平面向量的坐标运算- 3 -????10<1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、，则即，同理可得 <2） 若，，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =-=( x2， y2> - (x1，y1>= (x2- x1， y2- y1> <3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即三、讲解范例：例1 已知A(x1，y1>，B(x2，y2>，求的坐标.例 2 已知=(2，1>，=(-3，4>，求+，-，3+4的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1>， B(-1， 3>，C(3，4>，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.JKX7RIo84I解：当平行四边形为ABCD 时，由得D1=(2， 2>当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6>，当平行四边形为DACB 时，得D3=(-6， 0>例4已知三个力 (3， 4>，(2，-5>，(x， y>的合力++=，求的坐标.解：由题设++=得：(3，4>+ (2，-5>+(x，y>=(0， 0>即：∴∴(-5，1>四、课堂练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点的坐标2．若A(0，1>，B(1，2>，C(3，4> ，则-2= .3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，求证：四边形ABCD是梯形.JKX7RIo84I五、小结<略）六、课后作业<略）- 4 -????10七、板书设计<略）八、课后记：- 5 -????102.3.2平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案一、复习回顾：平面向量基本定理：理解：(1> 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2> 基底不惟一，关键是；(3> 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4> 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量二、提出疑惑：如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？课内探究学案一、探究学习1．平面向量的坐标表示- 6 -????10- 7 -????10如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得JKX7RIo84I…………错误! 我们把叫做 ，记作…………错误!其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，错误!式叫做 与相等的向量的坐标也为.JKX7RIo84I 特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.JKX7RIo84I 2．平面向量的坐标运算<1）若，，则= ，= .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、，则- 8 -????10即= ，同理可得= . <2） 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =-=( x2， y2> - (x1，y1>= .<3）若和实数，则. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、，则，即二、讲解范例：例 1 已知A(x1，y1>，B(x2，y2>，求的坐标.例2 已知=(2，1>，=(-3，4>，求+，-，3+4的坐标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1>， B(-1， 3>， C(3， 4>，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.JKX7RIo84I 例4已知三个力(3， 4>，(2， -5>，(x ， y>的合力++=，求的坐标.三、课堂练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点的坐标2．若A(0，1>，B(1，2>，C(3，4> ，则2= .3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，求证：四边形ABCD是梯形.JKX7RIo84I五、小结<略）六、课后作业<略）七、板书设计<略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为<2，3），点B的坐标为<6，5），则=_______________，=__________________。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
j o iA
y a
C
A
j o iB
D
C x
35
D
x
这样，平面内的任一向量 a 都可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
A
（x,y）叫做向量
r
a
的坐标，记作
a (x, y)
①
j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
Байду номын сангаас
显然，i 1,0, j 0,1,0 0,0.
1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解; 2.了解平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来 表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用 基底来表达. 4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
1.思考平面向量基本定理的内容. 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那
么对于这一平面内的任一向量 a 有且只有一对实数λ1, λ2 使得 a 1e1 2 e2. 2.什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1,e2 叫做这一平面内所有向量的 一组基底.
3.平面的基底有多少组?
无数组
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
AB (1,3) (2,1) (1, 2)
B
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
且 AB DC
A
(1, 2) (3 x, 4 y)
O
13x
D x
2. 3. 2平面向量的正交分解及坐标表示2. 3. 3平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示学习目标1、能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。
2、会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教案重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教案难点:理解平面向量的坐标表示．教案过程对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？——上节课针对这一问题我们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便。
b5E2RGbCAP正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
提出问题我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标>表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？p1EanqFDPw解答问题如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得DXDiTa9E3d=x+y①这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y>叫做向量的坐标,记作=(x,y>②RTCrpUDGiT其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,=(1,0>,=(0,1>,=(0,0>.提出问题在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？解答问题如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.5PCzVD7HxA例题讲解例1、如图,分别用基底、表示向量、、、,并求出它们的坐标.例2、请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=<1,-3）、=<-3，-1）.课堂小结：<1）什么是正交分解？<2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？<3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面直角坐标系中画出其对应的向量？jLBHrnAILg2．3．3平面向量的坐标运算教案目的：<1）理解平面向量的坐标的概念；<2）掌握平面向量的坐标运算；教案重点：平面向量的坐标运算教案难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教案过程：情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向量还能不能进行线性运算？讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：已知：，，你能得出、、的坐标吗？结论：<1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 结论：<2）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考2：已知，，怎样求的坐标？结论：<3）若，，则-( x2， y2> - (x1，y1>(x2- x1，y2- y1>一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1>的P点吗？结论：<4）向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
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教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
yj xi a +=…………○
1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作
),(y x a =…………○2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置
由a 唯一确定.
设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=
（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)
（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=
三、讲解范例：
例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.
例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐
标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.
解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)
即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=1
5y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：。