错位相减法

1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足
*12
121
1,2
n n n b b b n N a a a +++=-∈g g g ，求{}n b 的前n 项和n T
2. （2012年天津市文13分）
已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式；
(Ⅱ)记1122=+++n n n T a b a b a b L ，+
n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+
(2)n N n >∈，。

【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
由1a =1=2b ，得3
44423286a d b q s d =+==+，，。

由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组
3
3
23227
86210
d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得 3 2d q =⎧⎨=⎩。

∴+
312n n n a n b n N =-=∈，，。

(Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =⨯+⨯+⨯+-⋯+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+- ②； 由②－①得，
()()234+1122232323+2332n n n T n =-⨯-⨯+⨯+⨯-+⋯⨯+
()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142
=8+3=+8
n n n n n n n n n n n n a b ----⨯+++⋯⨯---⨯
--⨯-----
∴1+18=n n n T a b --+
(2)n N n >∈，。

3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.
(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式；
(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -L ，+
n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+
()n N ∈.
【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，
由1a =1=2b ，得3
44423286a d b q s d =+==+，，。

由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组
3
3
23227
86210
d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得 3 2d q =⎧⎨=⎩。

∴+
312n n n a n b n N =-=∈，，。

(Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n
n n n n T a a a a --=+++⋯+ ①；[ ∴234+1
12122222n n n n n T a a a a --=+++⋯+ ②；
由②－①得，
()()()()234112232112+222+22n n n n n n n n n n T a a a a a a a a a a b -----=--+-+-+⋯-+
()()23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+612
12
=2+1012
n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b b a b -=-⨯+⨯+⨯+⋯⨯+⨯-⨯+++⋯⨯--⨯
--⨯-----
∴+12=2+10n n n T a b -+
()n N ∈。

4.（2012年江西省理12分）已知数列{}n a 的前n 项和2
12
n S n kn =-+（其中k N +∈）
，且n S 的最大值为8。

（1）确定常数k ，并求n a ； （2）求数列92{
}2n
n
a -的前n 项和n T 。

【答案】解：（1）当n ＝k N +∈时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2
＝12
k 2，
∴k 2
＝16，∴k ＝4。

∴1n n n a S S -=-＝9
2－n (n ≥2)。

又∵a 1＝S 1＝72，∴a n ＝9
2
－n 。

（2）∵设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n
2n －1，
∴T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2
2
n －1。

【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。

【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n ＝k N +∈时，2
12
n S n kn =-
+取得最大值，代入可求k ，然后利用1n n n a S S -=-可求通项，要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ，首项1a 一般通过11a S =来求解。

（2）设b n ＝9－2a n 2n ＝n
2
n －1，可利用错位相减求和即可。

5.（2009山东高考）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的*n N ∈点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （2）当2b =时，记 *1
()4n n
n b n N a +=
∈,求数列{}n b 的前n 项和n T 【解析】因为对任意的n N +
∈,点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. 所以得n
n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥时,111
1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1
(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11
(1)2n n n a b b --=-=, 11
111
4422n n n n n n n b a -++++=
==⨯ 则2341
23412222n n n T ++=
++++L 34512
1
2341
222222
n n n n n T +++=+++++L 相减,得2345121211111
2222222
n n n n T +++=+++++-L
31211(1)112212212
n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--
所以1131133
22222
n n n n n n T ++++=--=-
6. (山东理)设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （Ⅰ）2112333...3,3n n n a a a a -+++=22
1231133...3(2),3
n n n a a a a n ---+++=≥
1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式，*1
().3
n n a n N =∈
（Ⅱ） 3n n b n =⋅，232341
132333...33132333...3n n n n S n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ 231
233333n n n S n +-=+++-⋅
11332313n n n S n ++--=-⋅-， 1113
33244
n n n n S ++=⋅-⋅+⋅。