两角和与差的余弦公式证明

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两角和差正余弦公式证明

。由余弦定理得
。
从而有
。
注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于
是三角形的内角。因此 , 还需
要补充讨论角
wk.baidu.com
和的终边共线 , 以及
情形中依然成立。
在上边的证明中 , 用余弦定理计算
也可以用向量法来证明。
大于的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。
( 二 ) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式证明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式 (一 )
, 还可以在三角形中构造和角或差角来
(方法 3) 如图所示 ,
,
,
为
的
边上的高 ,
为
, 则。从而有
边上的高。设
,
,
, 。
因此
,
。
注意到从而有：
, ,
整理可得：
。
注记：在方法 3 中 , 用
和与底角 , 相关的三角函数 , 从两个角度来表示
注意到单位圆比较容易表示
,和
, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可
以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系函数值的等式。
与 , 的三角
1. 和角余弦公式
(方法 1) 如图所示 , 在直角坐标系

两角和与差的正弦余弦正切公式

1.两角和的正弦公式：

对于任意两个角A和B

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

证明：

利用三角和差化积的公式，我们有：

sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]

= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)

= sinAcosB + cosAsinB

这就是两角和的正弦公式。

2.两角差的正弦公式：

对于任意两个角A和B

sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB

证明：

利用三角和差化积的公式，我们有：

sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]

= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)

= sinAcosB - cosAsinB

这就是两角差的正弦公式。

3.两角和的余弦公式：

对于任意两个角A和B

cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB

证明：

利用三角和差化积的公式，我们有：

cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]

= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB

两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照

第一种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。

现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：

cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1

现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：

cosθ1 = adj1/hyp1

cosθ2 = adj2/hyp2

将这两个式子相加，得到：

cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)

这就是两角和的余弦公式。

第二种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

我们还知道余弦函数的复合角公式，即：

cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2

现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：

cosθ1 = adj1/hyp1

cosθ2 = adj2/hyp2

sinθ1 = opp1/hyp1

sinθ2 = opp2/hyp2

将这些式子代入复合角公式中，得到：

cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -

(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)

= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)

这就是第二种推导方式。

第三种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．

综上所述，

说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在

均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑

的角度从锐角向任意角的推广问题.

方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |=

在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和

，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、

∵

，且

，

∴

，∴

，

∴

，

∴

，

∴

，

说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角

有关的四个点

，

建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于

两角和与差的余弦公式

余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。

一、两角和与差的余弦公式的表述

对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：

①余弦和公式：

cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB

②余弦差公式：

cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB

其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。

二、两角和与差的余弦公式的证明

1.证明余弦和公式：

我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。

根据三角函数的定义，我们有：

cos(A + B) = cos(α + β)

= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)

= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)

= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *

sinα，同样对于exp(iβ))

= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2

两角和与差的正弦余弦正切公式

首先，让我们从两角和的正弦公式开始推导。假设有两个角A和B，那么它们的和角可以表示为A+B。根据三角函数的定义，正弦函数的定义式为：

sin(x) = 对边 / 斜边

我们可以将角A和B的对边和斜边代入这个公式中，得到：

sin(A + B) = (sin(A) * 斜边A + sin(B) * 斜边B) / 总斜边

这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于各自正弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。另外，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：

sin(A + B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

接下来，让我们推导两角和的余弦公式。余弦函数的定义式为：

cos(x) = 临边 / 斜边

同样地，根据这个定义式，我们可以得出两角和的余弦公式：

cos(A + B) = (cos(A) * 斜边A + cos(B) * 斜边B) / 总斜边

这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于各自余弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。同样地，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：

cos(A + B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

最后，让我们推导两角和的正切公式。正切函数的定义式为：

tan(x) = 对边 / 临边

我们可以将角A和B的对边和临边代入这个公式中，得到：

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

两角和与差的余弦公式的六种推导方法

两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。因此，两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注。认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用。下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：

方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法

这种方法简单明了，构思巧妙，容易理解。但是对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题。

方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式。在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线的情况需要特别解释和说明。

方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法

这种方法的推导过程比较繁琐，但是通过应用余弦定理和两点间的距离公式，可以得到和角与差角的三角公式。需要注意的是，推导过程中需要进行一些代数运算和三角函数的化简，需要一定的数学功底。

方法四：应用欧拉公式推导差角公式的方法

这种方法是利用欧拉公式和复数的性质，将三角函数转化为指数函数，从而得到和角与差角的三角公式。这种推导方法相对来说比较抽象，需要一定的数学知识和技巧。

两角和与差的正弦余弦和正切公式

1.两角和的正弦公式：

sin(a+b) = sinacosb + cosasinb

这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。

证明：

根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：

sin(a+b) = sin[(a)+(b)]

= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]

= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]

= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

这就是两角和的正弦公式。

2.两角和的余弦公式：

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。

证明：

同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：

cos(a+b) = cos[(a)+(b)]

= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]

= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]

= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

这就是两角和的余弦公式。

3.两角和的正切公式：

tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)

这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。

证明：

我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。

首先，根据正切的定义

tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)

然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：

两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程

两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。我们将利用这两个和与差来推导公式。

1.两角和的正弦公式的推导：

首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我

们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。然后，利用三角恒等

式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)

的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。即，sin(α+β) = sinαcosβ

+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。

这样，我们可以得到：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +

cosαsin(-β)。

2.两角和的余弦公式的推导：

首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，

我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。然后，利用三角恒

等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。即，cos(α+β) = cosαcosβ

- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。

这样，我们可以得到：

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -

sinαsin(-β)。

3.两角差的正弦公式的推导：

首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。

两角和与差的余弦公式的六种推导方法

沈阳市教育研究院王恩宾

两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：

方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

综上所述，.

说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.

方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .

在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函

数值。这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。下面将详

细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公

式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式

tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))

其中A和B为任意两个角。

这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。使用公

式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。例如，我们可以将

它们用于证明或求解三角恒等式。以下是一些常见的应用示例：

两角和差的正余弦公式的若干证明方法

两角和差的正余弦公式的若干证

明方法

两个角的和与差的正余弦公式是整个三角形恒定变形的基础，由这些公式推导出其他的恒定变形公式。因此，如何证明第一个公式是一个非常重要的问题。

这里我们整理几种常见证明方法。

1. 几何方法

几何法的优点是和初中的锐角三角函数内容关系密切，缺点是只对锐角成立(甚至两个角之和都是锐角)，不容易普及。

1.1. 矩形

如图1，

由矩形的对边相等可得

\begin{aligned}

\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin \beta \\ \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-

\sin\alpha\sin\beta \end{aligned} \\

1.2. 面积法

在 \triangle ABC 中，AD \perp BC 于 D， \angle BAD = \alpha，\angle CAD = \beta，如图2，

有

S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} \\

即

\frac12 AB\cdot AC\sin(\alpha+\beta) = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha+\frac12 AC\cdot AD\sin\beta \\

于是

\begin{aligned}

\sin(\alpha+\beta)&=\frac{AD}{AC}\cdot\sin\alpha+\frac {AD}{AB}\cdot\sin\beta \\[1ex] &=

浅谈两个角和与差的余弦和正弦公式的证明（文末有思考题！）

浅谈两个角和与差的余弦和正弦公式的证明（文末有思考

题！）

最近因为疫情转为线上教学了，正巧教学内容是三角这一块内容。提到三角，自然避不开三角恒等变换，也就是常用的三角公式。这一部分内容中，基本上教材的处理办法均是：

两角差的余弦→两角和的余弦→两角和差

的正弦→两角和差的正切。

按照这样的思路展开教学，自然是从余弦公式易于证明的想法出发的。值得注意的是，笔者目前在教学中见过了以下三种证明两角差的余弦公式。

沪教版教材证明

向量法证明

几何图形证明

当然，这些证明过程都是为了帮助说明两角差的余弦公式为什么长成课本那个样子，由于课堂时间有限也只能讲授第一种证明方法。

第一种证明方法和第二种方法可以针对任意角度均是可以的，但是第三种证明方法里面局限性很大，它并没有完全证明针对任意角的两角差的余弦公式，注意到它题目中要求α，β，α-β均为锐角。但尽管如此，第三种证明方法给我们一种几何上的直观感觉，也就是说在数学上一些恒等式或者不等式往往可以利用几何图形来加以描述，比如平均值不等式、勾股定理等。

有趣的是，笔者在一本数学史书籍中发现了从几何图形中证明两角和与差的正弦公式的习题，颇为有趣，主要是用到了一个折弦定理。权且留成一道思考题，看班里的娃娃们能否解决它？

“

思考题:

”

两角和与差的余弦公式的推导

两角和的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 的推导：

复习：两点间的距离公式：

设),(111y x P ，),(222y x P 2212

2121()()PP x x y y =-+-

推导过程：

由三角函数定义知：

(1,0)A ， (cos ,sin )B αα, (cos(),sin())C αβαβ++， (cos(),sin())D ββ--，由已知：

AOC BOD ∠=∠;

∴ DAB ABC =

∴DB AC =

∴[][]2222cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ--+--=+-++ ∴ [][]2

22cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ--+--=+-++

展开并整理得: 22(cos cos sin sin )22cos()αβ

αβαβ--=-+ ∴ βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

上述公式称为两角和的余弦公式

记为 ()

:C αβ+βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

两角和的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 的推导：

复习：两点间的距离公式：

设),(111y x P ，),(222y x P 2212

2121()()PP x x y y =

-+-

推导过程：

由三角函数定义知：

(1,0)A ， (cos ,sin )B αα, (cos(),sin())C αβαβ++， (cos(),sin())D ββ--，

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

沈阳市教育研究院王恩宾

方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

综上所述，.

说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.

方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .

两角和与差的余弦公式推导过程

余弦定理是高中数学中的一道重要定理，它用于求解三角形的边长或者角度。在余弦定理的基础上，可以推导出两角和与差的余弦公式，它们可以用于求解两个角的和、差的余弦值。

一、余弦定理的推导

我们首先考虑一个三角形ABC，假设其三边长度分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。现在我们要推导出余弦定理。

由于三角形是平面上的图形，我们可以将其放在一个坐标系中进行研究。假设三角形的三个顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C

（x3,y3），则边AB的长度a可以表示为：

a=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

同样地，可以得到边BC和AC的长度分别为：

b=√((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)

c=√((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)

根据三角形的余弦定理，我们知道：

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

将abc都展开并整理，可以得到：

(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 - 2√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) * √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) * cosC

化简上式，得到余弦定理：

(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (x3

- x2)^2 + (y3 - y2)^2 - 2(x2 - x1)(x3 - x2) - 2(y2 - y1)(y3 - y2) * cosC