【教案】利用一元一次方程解几何图形问题

合集下载

茶陵县五中九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题教案

6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）A.37B.5C.38D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，解得x1=1，x2=112-（不合题意应舍去）.即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为352x-m，若设AB = x m，则BC=(35-2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm，则AB=CD=352x-m，依题意可列方程为x·352x-=150，解这个方程，得x1=20，x2=15.（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知AB=352x-m，从而有x·352x-=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC的面积的一半等于12×12AC·BC=12（cm2），令12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）由题意，得S△AB C=12AC·BC=12×6×8=24（cm2），令12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.实际问题与二次函数一、知识点1、实物抛物线一般步骤①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；②据图象，结合所求解析式解决问题.2、实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；④解决提出的实际问题.3、结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；③根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；④利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题二、标准例题：例1：如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=33-x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y=13-x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？【答案】（1）y=-1 3x2+433x+5；（2）当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA =10×32=53，则A（53，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y=-13x2+bx+c，得：17553035b cc⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：4335bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=-13x2+433x+5；（2）水柱离坡面的距离d=-13x2+433x+5-（-33x+5）=-13x2+533x=-13（x2-53x）=-13（x-532）2+254，∴当x=532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD =3，则OD =43，当x =43时，y =-13×（43）2+433×43+5=5＞1+3.5，所以水柱能越过树．总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．例2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD （篱笆只围,AB BC 两边），设AB x =m .（1）若花园的面积为962m ，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙,CD AD 的距离分别是11m 和5m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值.【答案】（1）x 的值为8或12；（2）当9x =时，S 的值最大，最大值为99【解析】解：（1）(20)96x x -=，18x =，212x =x 的值为8或12（2）依题意得52011x x ≥⎧⎨-≥⎩，得59x ≤≤ 2(20)(10)100S x x x =-=--+当59x ≤≤时，S 随x 的增大而增大，所以，当9x =时，S 的值最大，最大值为99总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？【答案】（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价1 5元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20要求每件盈利不少于25元∴x2＝20应舍去，解得x＝10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元则：y＝（40﹣n）（20+2n）y＝﹣2n2+60n+800n＝﹣2＜0∴y有最大值当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.例4：随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用1122p x=+来描述。

七年级数学下册第6章一元一次方程6.3实践与探索第1课时体积和面积问题教案华东师大版

第1课时体积和面积问题1．使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理．2．能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．重点利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．难点找问题中的等量关系．一、创设情境、复习引入我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下,有哪些公式？回忆一些图形的有关公式,为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用．二、探索问题，引入新知问题：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形：(1）如果长方形的宽是长的错误!,求这个长方形的长和宽;（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；（3）比较(1)，（2)所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的长方形吗？解:（1）设长方形的长为x厘米，则宽为错误!x厘米．根据题意，得2（x＋错误!x)＝60，解这个方程，得x＝18，所以长方形的长为18厘米,宽为12厘米．（2）设长方形的长为x厘米,则宽为(x－4）厘米，根据题意,得2(x＋x－4)＝60，解这个方程，得x＝17，所以S＝13×17＝221（平方厘米)．（3)在（1）的情况下S＝12×18＝216（平方厘米)；在（2）的情况下S＝13×17＝221(平方厘米)．还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大,此时其边长为15厘米，面积为225平方厘米．讨论：在第（2）小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？如果直接设长方形的面积为x平方厘米,则如何才能找出相等关系列出方程呢？诱导学生积极探索:不能直接设面积为未知数,则需要设谁为未知数呢?那么设未知数的原则又是什么呢？结论：在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形,则圆的面积最大．【例】将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0。

小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧

小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧解方程的方法与技巧解方程是小学六年级数学学习的重点之一，既涉及到基本的代数知识，又需要灵活运用数学思维和方法，因此很多同学在这方面会遇到一些困难。

本篇文章将详细介绍六年上册解方程的方法与技巧，供同学们参考。

一、解一元一次方程1.1 原理一元一次方程的一般形式为：ax+b=c，其中a、b、c都是已知数，x是未知数。

解方程的过程就是求出未知数x的值使得等式成立。

要解一元一次方程，可以运用两种主要的方法：以图形法和代数法。

1.2 图形法图形法是一种基本的解方程方法，它通过几何图形的方式来解决方程。

解一元一次方程时，把等式两边看成两调线段，转化成求相等长度，然后利用几何图形，选取合适的图形来解决问题。

通常利用平行四边形、三角形等图形求解。

1.3 代数法代数法是一种通用的解方程方法，它可以应用到各种类型的一元一次方程。

代数法是通过移项、相乘、去分、对等牵连等基本代数运算方法，将方程变成x=常数式、常数式x=常数式、常数式÷x=常数式等，从而得出解法。

还可以利用分配律、合并同类项、因式分解等代数方法进一步简化式子，尽可能让x的系数为1，使求解变得更加简单易懂。

1.4 解题技巧在解题时，需要注意以下几点：（1）方程两边进行的任何变形，都必须同步进行,确保等式两边都变化了。

（2）方程两边变化的符号必须相反。

（3）解出的结果必须带入原方程，验证等式是否成立。

（4）注意避免分母为0的情况。

（5）方程式中系数为整数时，方式好记，一般只需按基本代数运算法则逐步对变量x进行移动和运算即可。

上述技巧将大大方便同学们在解方程时的思维和操作。

二、解一元一次方程组2.1 原理一元一次方程组是由多个一元一次方程组成的，是一个比较高级的解方程形式。

解一元一次方程组的方法有代数解法和消元法两种。

2.2 代数解法代数解法就是通过我们刚才学过的代数知识，将方程组转换为一元一次方程求解，然后将解代入另一个方程中，不断验证得到结果。

一元一次方程及其解法公开课教教案

一元一次方程及其解法公开课教案第一章：一元一次方程的概念与定义1.1 教学目标了解一元一次方程的概念及其在实际生活中的应用。

能够正确地书写一元一次方程。

1.2 教学内容引入方程的概念，引导学生理解一元一次方程的形式。

通过实例解释一元一次方程在实际生活中的应用。

引导学生掌握一元一次方程的解法。

1.3 教学步骤1. 引入方程的概念，引导学生理解一元一次方程的形式。

2. 通过实例解释一元一次方程在实际生活中的应用，如购物问题、速度问题等。

3. 引导学生掌握一元一次方程的解法，如代入法、消元法等。

4. 进行课堂练习，让学生独立解决一些简单的一元一次方程问题。

1.4 教学评价通过课堂练习的解答情况来评价学生对一元一次方程的理解和掌握程度。

第二章：一元一次方程的解法2.1 教学目标掌握一元一次方程的解法，包括代入法、消元法等。

能够应用一元一次方程的解法解决实际问题。

2.2 教学内容介绍一元一次方程的解法，包括代入法、消元法等。

通过实例讲解一元一次方程的解法步骤。

引导学生运用一元一次方程的解法解决实际问题。

2.3 教学步骤1. 介绍一元一次方程的解法，包括代入法、消元法等。

2. 通过实例讲解一元一次方程的解法步骤，让学生跟随步骤进行解题。

3. 引导学生运用一元一次方程的解法解决实际问题，如购物问题、速度问题等。

4. 进行课堂练习，让学生独立解决一些简单的一元一次方程问题。

2.4 教学评价通过课堂练习的解答情况来评价学生对一元一次方程解法的理解和掌握程度。

第三章：一元一次方程的解法应用3.1 教学目标能够应用一元一次方程解决实际问题。

能够应用一元一次方程进行简单的数学建模。

3.2 教学内容通过实例讲解一元一次方程在实际问题中的应用。

引导学生运用一元一次方程进行简单的数学建模。

3.3 教学步骤1. 通过实例讲解一元一次方程在实际问题中的应用，如购物问题、速度问题等。

2. 引导学生运用一元一次方程进行简单的数学建模，如成本问题、收益问题等。

数学学案沪科版七年级上册同步学习第3章一次方程与方程组第2小节一元一次方程的应用

列一元一次方程解实际问题的一般方法【学习目标】1、使同学们知道形积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题；2、使同学们了解列出一元一次方程解应用题的方法。

3、通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：列出一元一次方程解有关形积变化问题；难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系。

【学习过程】模块一预习反馈一、预习准备1、长方形的周长= ；面积=2、长方体的体积= ；正方体的体积=3、圆的周长= ；面积 =4、圆柱的体积=5、阅读教材：二、课堂学习6、理解解应用题的关键是找等量关系列方程将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：(值不用写出，在计算过程中可根据等式基本性质2约去.3、根据锻压前后体积不变这个等量关系来建立方程！)解：根据等量关系，列出方程: 解得x=因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 m.归纳：本节主要研究形积变化问题.对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：1、形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.2、形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.3、形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.实践练习：用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2（π-2）米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大.(分析：正方形周长=圆的周长)解：设归纳：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；（4）列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）检：检查所求解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）.三、教材拓展7、例1 制造一个长5cm ，宽3cm 的无盖水箱，箱底的造价每平方米为60元，箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的32，若整个水箱共花去1860元，求水箱的高度. 分析：本题已知箱底和箱壁每平方米的造价，所以应分两部分分别计算出箱底和箱壁的面积，相等关系是箱底的造价+箱壁的造价＝1860元，可直接设未知数来解.实践练习：有一个底面直径为0.2m的圆柱形水桶，把936g重的钢球（球形）全部浸没在水中，如果取出钢球，那么液面下降多少？（1cm³钢重7.8g，π取3.14，结果精确到0.01）模块二合作探究用一根长20m的铁丝围成一个长方形. （1）使得长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？（分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：20×½=10m.在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系.）解：（1）设此时长方形的宽为 m，则根据题意，得解这个方程，得此时长方形的长为，宽为，面积为（2）设此时长方形的宽为，则根据题意，得解这个方程，得此时长方形的长为，宽为，面积为此时长方形的面积比（1）中面积 m².（3）设根据题意，得解这个方程，得此时正方形的长为，面积为 __ 的面积比（2）中面积 __ m².实践练习：用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，问：需要截取多长的圆钢？分析：本题是等积变形问题，其相等关系是：铸造前圆钢的体积＝底面积×高.设所需圆钢的长为xcm，则铸造前圆钢的体积为x⎪⎭⎫⎝⎛•24π，铸造后3个圆柱的体积为16×22××32⎪⎭⎫⎝⎛π.模块三形成提升1、把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长。

浙教版七年级上册数学教案5.4 一元一次方程的应用

5.4 一元一次方程的应用（第1课时）一、教学目标：知识目标：会列一元一次方程解决实际问题．能力目标：会将实际问题转化成数学问题,学习分析实际问题的方法，提高分析能力。

情感目标：通过学习，增强用数学的意识，激发学习数学的热情．二、教学重难点：重点：掌握列方程解应用题的一般步骤难点：准确理解题意，找出相等关系，列出一元一次方程．三、教学过程：（一）导入新课：2010年广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌119枚，金牌数是铜牌数的2倍还多3枚。

请你算一算，其中金牌有多少枚？请讨论和解答下面的问题：（1）能直接列出算式求2010年亚运会我国获得的金牌数吗？（2）如果用列方程的方法求解，设哪个未知数为x ？（3）根据怎样的相等来列方程？方程的解是多少？经过分析可知用算术方法解决此问题比较繁琐。

用列方程的方法：设获得x 枚金牌，根据题意，得31194162x x -++=. 解这个方程，得x =199.当数量关系比较复杂时，列方程解应用题要比直接列算式解容易.适当地运用一元一次方程的知识，可以解决许多现实生活中遇到的有关实际问题.（二）探究新知：1.知识讲解通过上面的讨论，可知用列方程方法解比较方便.列出综合算式直接求未知量.列方程的方法是通过用字母表示未知量，并把这个未知量当作已知量,找出与题中的其他已知量形成的相等关系列出方程求解。

师生共同总结出运用方程解决实际问题的一般过程：（1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。

（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x ）.（3）列方程：根据相等关系列出方程。

（4）解方程：求出未知数的值。

（5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。

2.例题讲解例1 某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价。

某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？分析:题中涉及的数量有票数、票价、总价等,它们之间的相等关系有:票数×票价=总票价;学生的票价=1/2×全价票的票价;全价票张数+学生票张数=966;全价票的总票价+学生票的总票价=15480.x=15480.解这个方程,得x=212.检验:x=212满足方程,且符合题意.答:这场演出共售出学生票212张.从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：1.审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3.列方程：根据相等关系列出方程；4.解方程：求出未知数的值；5.检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.（三）课内小结：教师指导学生共同归纳本节的知识。

一元一次方程教案

两地间距离不变
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度－水流速度
三、设未知数的方法：
根据具体问题作具体分析，设未知数通常有两种方法：
①直接设未知数法：
即题目里问什么，就设什么作为未知数，这样设之后，只要能求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问。在多数情况下，应用题及其如何分析应用题，对学生要求来说很重要。
3、对边分析，列单分析、数量关系对解决应用题来说很重要。
4、应用题常见的类型，对于学生来说，引导总结，分析内在的原因。
5、能根据不同的题型，有自己的独特的解题方法，让学生能够真正的理解和灵活的运用。
6、反馈、总结
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
各部分量之和=总量
设其中一份为x，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式。
追及问题
路程、速度、时间的关系
路程=速度×时间
甲走的路程与乙走的路程之间关系等式。
相遇问题
路程、速度、时间的关系
甲走的路程+乙走的路程=A、B两地间的路程
航行问题
顺水速度、静水速度、水流速度、时间、路程、速度之间的关系。
龙文教育个性化辅导教案提纲
教师：学生：时间：年月日段
一、学习目标与考点分析：
1、培养学生对方程的理解能力。
2、增强学生的对应用题的理解能力。
二、导入：
如何解方程，想知道吗？今天就好好的跟我学，保证你能学会……相信你自己，也要相信我。
三、教学内容：
一、如何根据实际问题列方程
1、实际问题与数学知识的相互转换
例3.在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

第09讲用一元一次方程解决问题(12种题型)(解析版)

第09讲用一元一次方程解决问题（12种题型）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。

解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。

每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

三. 销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五、方案选择问题1.借助方程先求出相等的情况。

2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。

六、数字问题1、多位数的表示方法：①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a③四、五…位数依此类推。

2、连续数的表示方法:①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数）③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）七、几何问题1.将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类新问题，2.解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.八、和差倍分问题1.和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2.倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、增加百分之几、增长率……”来体现.3.比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x.解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系.九、分段计费问题分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算十. 行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

列一元一次方程解应用题的步骤

列一元一次方程解应用题的步骤
一元一次方程是代数中常见的一种类型的方程，其形式为ax+b=0，其中a和b
是已知数，x是未知数。

解一元一次方程的步骤如下：
1. 理解问题：仔细阅读问题并理解其中给出的条件和要求。

确定问题中未知数
的含义和符号。

2. 设变量：根据问题中给出的条件，设未知数为x，并列出相应的方程。

3. 化简方程：根据方程的形式，进行合并和化简，使方程变为ax + b = 0的标
准形式。

4. 消元：通过一系列代数运算，将方程中的未知数消去，得到解方程的步骤。

5. 解方程：根据方程的标准形式，求得未知数的解x。

这可以通过减法、加法、乘法和除法等运算来实现。

6. 检验解：将求得的解代入原方程中，验证方程的等式成立。

若等式成立，则
解是正确的；若不成立，则需要重新检查步骤。

7. 提出答案：将解写成有意义的句子或符号形式，回答问题所要求的内容。

通过以上步骤，我们可以解决各种应用题，其中包括计算物体运动速度、求解
几何图形的边长或面积、解决货币交换或时间计算问题等。

实践中，我们需要熟悉一元一次方程的基本概念和运算规则，以便准确解答各类应用题。

需要注意的是，解题过程中应仔细审题、灵活运用代数运算法则，并进行适当
的化简和验证，确保所得的解是可信的。

此外，解答过程中应注意单位和符号的一致性，避免因数值计算错误导致解答错误。

通过掌握解一元一次方程的步骤，我们可以更好地应用代数知识解决实际问题，提高数学解题能力。

数学利用一元一次方程解几何图形问题

知2－讲
解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为(x＋5)米．根据题意，得2x＋(x＋5)＝35. 解得x＝10.因此小王设计的长为10＋5＝15(米)，而墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际．根据小赵的设计可以设宽为y米，则长为(y＋2) 米．根据题意，得2y＋(y＋2)＝35.解得y＝11. 因此小赵设计的长为11＋2＝13(米)，而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合实际，按照他的设计养鸡场的面积是11×13＝143(平方米)．
这个长方形的长与宽分别是( )
A．9 cm，7 cm
B．5 cm，3 cm
C．7 cm，5 cm
D．10 cm，6 cm
知1－练
3 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
（来自教材）
知2－讲
例3 将装满水的底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为 50厘米的圆柱形水桶里，这时水面的高度是多少？
导引：本题中的相等关系为：底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径为50厘米的圆柱形水桶中水的体积，故可设这时水面的高度为x厘米，用含x的式子表示出水的体积即可．
4 一个长方形苗圃，长比宽多10 m，沿着苗圃走一圈要走40 m，这个苗圃的占地面积为( ) A．400 m2 B．75 m2 C．150 m2 D．200 m2
知识点 2 等积变形
知2－讲
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有： (1)形状变了，体积没变； (2)原材料体积＝成品体积．
圆柱体体积=长方体体积.

5.3-应用一元一次方程示范课-——-水箱变高了

§5.3 应用一元一次方程——水箱变高了学习目标：1、通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。

2、进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。

3、认识方程模型的重要性学习重点：列出一元一次方程解有关形积变化的问题学习难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系学法指导：阅读教材，完成自学检测和合作探究部分自学提示：阅读课本P141-142内容，完成书中提出的问题。

1．列方程解应用题应注意哪些事项？2．列方程解应用题的步骤是什么？自学检测：1.填空：长方形的周长= 面积= 长方体的体积=正方形的周长面积正方体的体积=圆的周长= 面积 = 圆柱的体积=合作探究：2、将一块橡皮泥由一个瘦长的圆柱捏成一个短胖的圆柱，其中的变量是，不变量是3、在较高的玻璃杯中倒入半杯水，再将水倒入较矮的玻璃杯中，不变的是。

4、将一根12cm长的细绳围成一个长为3cm的正方形，再改成一个长为4cm，宽为2cm的长方形，不变的是5、某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱，为减少楼顶原储水箱的占地面积，将它的底面直径减少为3.2米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度变为多少米？等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积解：设新水箱的高为x 米，填写下表旧水箱新水箱底面半径/米高/米容积/米3 根据等量关系，列出方程：解得：因此，高变为米。

展示解疑，点拨提升6、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长和宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？（3）使得该长方形的长与宽相等，及围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？分享成功7、课本142页随堂练习8、将一块棱长为30厘米的正方形钢坯锻造成长为25厘米，宽为20厘米长方体钢材，则锻造成的钢材的高是多少厘米？小结：本节课我们通过建立方程模型，学习了形积变化，解决了生活中的实际问题，使数学应用于生活，学完以后你有什么收获？列方程时，关键是找出问题中的等量关系3应用一元一次方程——水箱变高了【教学目标】知识与技能：1.通过计算进一步思考量与量的关系,从中获得有用的信息.2.学会通过分析图形问题中的基本等量关系,并由此关系列方程解相关的应用题.过程与方法：在老师的指导下,经历分析具体问题中的等量关系的过程,列方程进行求解.通过比较不同状态下方程的解的情况,从中探索出规律.情感、态度价值观:1.在观察中思考问题,并选择适当的数学工具解决问题,初步培养分析问题、解决问题的意识和能力.2.了解方程模型对于解决实际问题的有效性,并增强学生学习数学的信心和决心.【教学重难点】【重点】根据实际问题中等量关系列出一元一次方程,利用方程解决实际问题.【难点】在具体实例中准确地找出等量关系,设出适当的未知数,列方程进行求解.【教学准备】【教师准备】教材引例(课件1)和例题(课件2).【学生准备】预习教材.【教学过程】【1 新课导入】导入一:成语“朝三暮四”的故事.从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃,猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话,等不到下一个栗子的收获季节,他和猴子都会饿死,于是他想了一个办法,并且把这个办法说给猴子听,当猴子听到只能早上吃四个,晚上吃三个栗子的时候很是生气,龇牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个,晚上四个,没想到猴子一听高兴得直打筋斗.请回答:猴子为什么高兴了?事实又是怎样的呢?【师生活动】学生先思考,后回答.教师给予积极的评价.[设计意图]通过故事引入,激发学生的兴趣,也为本节课后面“寻找不变的量”做铺垫.导入二:教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水(容量一样,一个短且粗,另一个长且细).请大家说一说哪瓶矿泉水多,为什么?【师生活动】让学生亲自动手操作,在动手操作的过程中,体会哪些量发生了变化,哪些量没有变化?教师对基础差的同学可适当引导.导入三:用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体,然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”,变成一个又矮又粗的圆柱,请思考下列几个问题:(1)在你操作的过程中,圆柱由“高”变“矮”,圆柱的底面直径是否变化?还有哪些量改变了?(2)在这个变化过程中,什么量没有变化呢?[设计意图]让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.【2 构建新知】探究活动1体积相等问题[过渡语]本节课我们将利用一元一次方程知识解决与体积变化有关的问题.(教师板书课题)【课件1】某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米?思路一列方程解决实际问题的关键是找等量关系,请大家根据提示完成下面的知识.问题1在这个问题中水箱的不变.根据题意,可以找出如下的等量关系:.问题2设水箱的高变为x m,试填写下表:旧水箱新水箱底面半径4 3.2(m)高(m) 4 x体积(m3)问题3根据等量关系,列出方程:.解得x=.因此,水箱的高变成了m.【师生活动】让学生独立读题并思考,然后再根据分析完成填空内容,教师适时点拨引导,并给予肯定性评价.思路二小组活动,共同探究,思考:(1)分析题意,水箱在改造前后有何变化?哪些量变了?(2)分析题意,不变的量是什么?从题中哪句话可以看出?(3)在这个问题中有如下的等量关系:.(4)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.[设计意图]利用生活中熟知的情境,使学生感受到数学与生活的紧密联系,让学生经历从实际问题中抽象出方程的过程,激发学生的学习热情.同时利用表格法培养学生分析问题的方法,提高解决问题的能力.探究活动2周长相等问题【课件2】用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.(1)若该长方形的长比宽多1.4 m,此时长方形的长、宽各为多少米?(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?它围成的正方形的面积与(2)中相比又有什么变化?【师生活动】学生分组完成前面三个小题.小组讨论解题过程中,教师巡视课堂,指导、参与学生的讨论制作,帮助有学习困难的个人或小组.在讨论解答完成后,让小组选代表阐述解题的步骤、思路,并展示自己小组所做的长方形(或正方形).通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.同时用多媒体展示解题步骤,进一步规范学生的解题格式.解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.根据题意,得x+x+1.4=10×.解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.问题:本题还有其他方法吗?生:设长为x m,则宽为(x - 1.4)m.(2)此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+0.8)m.根据题意,得x+x+0.8=10×.解这个方程,得x=2.1.2.1+0.8=2.9.此时长方形的长为2.9 m,宽为2.1 m,面积为2.9×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09 - 5.76=0.33(m2).(3)设正方形的边长为x m.根据题意,得x+x=10×.解这个方程,得x=2.5.正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面积增大6.25 - 6.09=0.16(m2).【思考】解决这道题的关键是什么?从解这道题中你有何收获和体验?[设计意图]鼓励学生通过独立思考发现:围成的长方形的长和宽在发生变化,但在围的过程中,长方形的周长不变,由此建立“等量关系”.通过分组解决问题,提高学生解决问题的能力,发展同学合作意识,提高课堂效率,并培养学生做好解题反思的能力和习惯.【探究总结】通过探究活动,我们知道了如何去解决生活中的实际问题:(1)物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.(2)固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.(3)图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变.即时演练把一块长、宽、高分别为5 cm,3 cm,3 cm的长方体铁块,浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水),水面将增高多少?(不外溢)【师生活动】独立思考,解决问题,积极发言,阐述自己的解题思路,计算后说出答案.相等关系:水面增高体积=长方体体积.解:设水面增高x cm,由题意,得5×3×3=π×42·x.解得x=≈0.9.因此,水面增高约0.9 cm.[设计意图]通过分析、演示、观察、思考,让学生直观地感受图形的变化过程中各个量的变与不变,从而逐步地领悟到寻找等量关系是列方程解决应用型问题的关键.[知识拓展]1.通过对“水箱变高了”的了解,我们知道:物体锻压或液体更换容器题,体积(或容积)不变.固定长度,虽然围成的图形形状及面积不同,但是应抓住图形的周长不变.图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题,应抓住图形的面积或体积不变,这是解决此类问题的关键,即变的是什么,不变的是什么.2.遇到较为复杂的实际问题时,我们可以借助表格分析问题中的等量关系,借此列出方程.3.解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性.【3 课堂小结】本节课通过分析一些几何图形,如圆柱、长方形的变化,寻找不变的量作为列方程中的等量关系做依据,从而用方程解决实际问题.列方程解决实际问题的关键是找等量关系,认识方程是解决实际问题的有效数学模型.【4 检测反馈】1.有一块长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,若设它的高为x cm,则可列方程为.解析:由题意列方程为3×4×5=π×1.52·x.故填3×4×5=π×1.52x.2.直径为30 cm,高为50 cm的圆柱形瓶里存满了饮料,现将饮料倒入底面直径为10 cm的圆柱形水杯,刚好倒满30杯.则水杯的高度是多少?解:设水杯的高度是x cm,根据题意,列方程得152×50π=52×30πx,解方程,得x=15.所以水杯的高度是15 cm.3.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?解:设圆柱的高是x cm,根据题意,得4×3×2=π×1.52x,解得x=.答:圆柱的高是cm.4.将一个底面直径是10 cm、高为36 cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?解:设锻压后圆柱的高为x cm,根据题意,列方程为π×(10÷2)2×36=π×(20÷2)2×x,解得x=9.答:高变成了9 cm.【5 板书设计】3应用一元一次方程——水箱变高了1.体积相等问题引例2.周长相等问题例题【6 作业布置】一、教材作业【必做题】教材第144页习题5.6的1,2题.【选做题】教材第144页习题5.6的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为()A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm2.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为()A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm3.用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架,使长比宽多1.2米,求这个长方形框架的宽是多少米.设长方形的宽是x米,可列方程为()A.x+(x+1.2)=7.8B.x+(x - 1.2)=7.8C.2[x+(x+1.2)]=7.8D.2[x+(x - 1.2)]=7.84.锻造直径为70 mm,高为25 mm的圆柱形零件毛坯,应取直径为50 mm的圆钢多长?设应取直径为50 mm的圆钢长x mm,则根据题意可列出方程:.解得x=.因此应取直径为50 mm的圆钢长mm.【能力提升】5.在底面直径为12 cm,高为20 cm的圆柱形容器中注满水,倒入底面是边长为10 cm 的正方形的长方体容器,正好注满.这个长方体容器的高是多少?【拓展探究】6.地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,则所钉长方形的长、宽各是多少?面积是多少?【答案与解析】1.C(解析:设小杯的高为x cm,大杯中水的体积为π×102×30 cm3,小杯的底面积为π×52 cm2,根据题意,列方程得π×102×30=π×52×12x,解得x=10,故选C.)2.B(解析:设正方形的边长为x cm,根据题意,列方程为2×(x+8+x - 2)=40,解得x=7,故选B.)3.C(解析:长方形框架的宽为x米,则长是(x+1.2)米,根据题意,列方程得2[x+(x+1.2)]=7.8,故选C.)4.(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x4949(解析:根据题意,列方程得(70÷2)2×π×25=(50÷2)2×π×x,解得x=49.)5.解:设长方体容器的高为x cm,根据题意,得π×(12÷2)2×20=102x.解得x≈22.6.答:这个长方体容器的高约是22.6 cm.6.解:设长方形的另一边长为x.当去掉∠A顶点的钉子时,6+8+10=6×2+2x,解得x=6,所以当长方形的长为6,宽为6时,面积为S1=6×6=36.当去掉∠B顶点的钉子时,6+8+10=8×2+2x,解得x=4,所以当长方形的长为8,宽为4时,面积为S2=8×4=32.答:所钉长方形的长为6,宽为6,面积为36,或长方形的长为8,宽为4,面积为32.【教学反思】【成功之处】通过引导学生进行探索,使学生确实是在旧知识的基础上探求新内容,探索的过程是任何学生都会动手操作,每个学生都有体会的过程,都有感悟的可能,这种形式让学生切身去体验问题的情景,从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题,再把实际问题抽象成数学问题.【不足之处】学生在完成课本上的表格时,部分同学把半径与直径混淆,方程中直接用3.14代替π,圆柱体的体积公式遗忘等,教学时只是随时加以纠正.如果做题之前就把这些问题加以复习或强调,那么效果会好得多.【再教设计】让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.。

一元一次方程解法教学设计

一元一次方程解法教学设计一元一次方程解法教学设计 1一、教材分析：1、主要内容：一元一次方程的解法第一课时2、教材中的地位与作用：一元一次方程的解法是在学生已经具备了代数初步知识、系统学习了整式加减的基础上安排的，是对整式运算的进一步深化和认识。

本节课是在教授了一元一次方程解法第一课时因此尤为重要。

同时着力培养学生积极思维的优良品格，逐步形成具体问题具体分析的哲学思想，养成正确思考，善于思考的良好习惯，从而提高分析问题，解决问题的能力。

3、教学重点：熟练运用等式性质和移项解一元一次方程。

教学难点：学生如何在已有的基础上根据不同形式的问题选择合适的解题方法。

二、教学目标：（1）知识与技能：初步学习一元一次方程的一般解法，进一步巩固等式性质。

（2）过程与方法：通过寻找解题方法，提高学生发散思维能力，逐步培养创新意识。

（3）情感、态度与价值观：在教学过程中，充分体现和谐、简洁之美，使学生在获取知识的同时，又能对所学内容产生浓厚的兴趣，增强求知欲。

三、教法方法：自学探究指导法学法探究：自主、合作、探究学习法教学手段：多媒体辅助教学初步设想简单问题由学生自主完成，难度稍大同桌或小组互助完成，知识拓展由小组间互助完成，即同桌对学，小组对学，互查互助，学友展示师傅补充。

四、课前准备1、导学案的使用：由于七年级是课改的年段，教师在新课前一天将学习目标、学习内容、思路和方法等以“预习案”的形式明确给学生，学习目标、思路和方法要有层次性和逻辑性。

并印发“探究案”和“测评案”（三案合一），有意识地引导学生在课前自学。

2、分组：两个差异较大的学生结成一个学习对子，即：师傅和学友。

三个学习对子为一个学习小组。

桌椅按照面对面排列。

每一对学习对子中的师傅负责徒弟的学习，六人中挑选综合能力最优者为组长，负责本组合作学习的总组织者和协调者。

相邻的两个小组为结对组。

班级同学般6人一组，其中优中差相结合，不仅考虑数学学科同时考虑其他学科，由于学生各科不均衡，师徒角色有时会转化。

数学八年级上册第一章第二节课优质课解一元一次方程的几何意义

数学八年级上册第一章第二节课优质课解一元一次方程的几何意义一元一次方程在数学中有着重要的地位和意义，它不仅能够解决实际问题，还能帮助我们理解几何形状与方程之间的关系。

本文将以优质课的形式来解析一元一次方程的几何意义。

【引入】老师：同学们大家好！今天我们将学习一元一次方程的几何意义。

一元一次方程是我们学习数学的基础，通过解一元一次方程，我们可以更好地理解几何图形之间的联系。

让我们一起来看一个问题。

【情境示例】问题：有一条长为x的线段，将其平均分成5段，每段的长度分别为x/5。

如果我再从这5段中选择其中的一段来分成3段，每段的长度都是原始线段的1/3，那么这一段的长度是多少呢？【解题过程】老师：首先，让我们设原始线段的长度为x，每段的长度为x/5。

我们需要计算从这5段中选择出来的一段再分成三段，每段的长度为1/3。

我们假设这一段的长度为a。

老师：根据题目的描述，我们可以列出方程：x/5 = a/3。

这个方程是一个一元一次方程，我们接下来就要解这个方程。

【解方程】老师：首先，我们可以通过两边乘以3来消去分数：3 * (x/5) = 3 * (a/3)。

【计算过程】老师：计算左边的结果，我们得到3x/5 = a。

【解方程】老师：接下来，我们通过交换两边的位置，得到a = 3x/5。

这就是我们要求解的一元一次方程的解。

【几何意义】老师：同学们，我们已经解出了一元一次方程的解，但是我们必须要知道这个解的几何意义是什么。

让我们通过几何图形来理解。

老师：首先，我们画一条长度为x的线段AB，并将其平均分成5段，每段的长度为x/5。

然后，我们从这5段中选择其中的一段，假设为CD，并将其再分成三段，每段的长度为1/3。

老师：根据题目的描述，我们知道CD的长度是a。

而根据解出的方程a = 3x/5，我们可以得出结论：CD的长度等于原始线段AB的长度的3/5。

【总结】老师：通过解一元一次方程和几何图形的对应关系，我们可以得出结论：一元一次方程的几何意义是，在平面上表示一条线段的长度与方程中的变量之间存在着特定的比例关系。

一元一次方程的代数与几何意义教学策略

一元一次方程的代数与几何意义教学策略一、引言代数与几何是数学中两个重要的分支，它们相辅相成，相互依存。

而在数学教学中，如何将代数和几何相结合，使学生更好地理解和应用其中的概念和方法，是一个关键的问题。

本文将探讨一元一次方程的代数与几何意义教学策略，旨在帮助教师在课堂上更好地引导学生理解和掌握这一概念。

二、代数与几何的关系代数是从符号运算的角度研究数学问题，主要涉及代数式、方程、函数等内容；而几何则是通过图形和空间的观察和变换来研究数学问题。

一元一次方程作为代数中的一个基础概念，在几何上也有着重要的意义。

1. 代数意义一元一次方程可表示为ax+b=0的形式，其中a和b为已知常数，x为未知数。

通过解方程，我们可以求得x的值。

这个过程在数学中有着广泛的应用，比如在物理学中，可以利用一元一次方程来解决速度、距离、时间等相关问题。

2. 几何意义一元一次方程在几何中表现为直线的方程，即直线方程y=ax+b。

其中，a为斜率，b为截距。

当我们在平面直角坐标系中绘制这条直线时，可以发现直线的斜率和截距与直线的特性有着密切的关系。

三、教学策略为了使学生更好地理解一元一次方程的代数与几何意义，教师可以采用以下教学策略：1. 将代数和几何相结合教师可以通过具体的例子，引导学生通过代数方式解答与几何有关的问题。

例如，通过给定一条直线的斜率和截距，要求学生写出直线方程的过程，或者给定方程，要求学生画出对应的直线。

通过这种方式，学生将更好地理解直线方程与代数和几何之间的联系。

2. 培养几何思维在教学中，可以鼓励学生多绘制几何图形，通过观察和分析图形，培养他们的几何思维。

例如，给定一元一次方程，要求学生通过绘图解方程，从几何的角度来解释方程的含义。

通过这种方式，学生将加深对一元一次方程的理解，并培养几何思维。

3. 创设情境与实际应用教师可以提供一些与实际生活相关的问题，让学生通过一元一次方程求解。

例如，通过解方程来计算速度、距离、时间等实际问题，让学生感受方程在实际应用中的作用。

人教版七年级数学上册解一元一次方程应用题的十六种常见题型教案

（3）运用比例分配问题解题方法：对于比例分配问题，学生需要理解比例关系，并能将其应用于解题。
举例：工资分配问题，理解按比例分配工资的方法，列出方程并求解。
（4）解决交叉相乘问题：对于一些涉及交叉相乘的题型，学生可能不熟悉这种解法。
举例：线性方程组的交叉相乘解法，如2x + 3y = 8，3x + 4y = 11，通过交叉相乘法求解。
人教版七年级数学上册解一元一次方程应用题的十六种常见题型教案
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学上册，针对解一元一次方程应用题的十六种常见题型进行教学。教学内容主要包括以下几种题型：
1.简单的线性方程应用题，如年龄问题、速度问题等。
2.比例分配问题，如物品分配、工资分配等。
3.水电费用问题，如单价、用量与总价的关系。
4.电话卡费用问题，如不同的通话套餐计算。
5.购物优惠问题，如打折、满减等。
6.数字问题，如数字间的和差倍分关系。
7.长度、面积、体积问题，如几何图形的计算。
8.时间和路程问题，如行程速度与时间的计算。
9.利润与百分比问题，如商品利润率的计算。
10.零件加工问题，如工作效率与工作总量的关系。
11.速度与路程问题，如不同速度下的行程计算。
5.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作解决应用题，让学生学会倾听、交流、分享，提高合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握一元一次方程的解法：熟练运用等式性质、移项、合并同类项等方法解一元一次方程，特别是含未知数的表达式简化。
举例：解方程2x + 5 = 3x + 10，需将方程两边的x项移到一边，常数项移到另一边，然后合并同类项求解。

一元一次方程优秀教学设计(教案)

一元一次方程第一课时【课题】：一元一次方程【学情分析】：方程是刻画现实生活的有效数学模型，方程是应用广泛的数学工具，一元一次方程是学生最先接触的最简单的整式方程，是所有代数方程的基础，一般地，解任何一个代数方程（组）时最终都要化归为一元一次方程来解，所以一开始就让学生学习好一元一次方程具有重要意义.学生已经在小学学习了简易方程及解法，学习了用字母表示运算律、表示几何图形的周长、面积、体积，还学习了用字母表示简单的等量关系，有部分学生还学习过列方程解应用题，这为学习好一元一次方程赋予了准备，这对学习这节课有很大的帮助。

这班学生大部分已能熟练准确地解简易方程，并对列算式解答各类应用题的能力较强，有超过30％的学生有用算术解应用题很方便很便捷的体会，但用字母表示等量关系还是模糊的，不够明晰的，对列方程解应用题是否方便是不明确的，所以必须要让学生体会到通过列方程解决实际问题是一种更为简捷的方法。

【教学目标】：（1）知识目标：会列代数式并理解所列式子的意义，理解问题中的相等关系，了解等式、方程的概念，学生会设未知数并正确列出方程.（2）过程与方法目标：通过处理实际问题，初步学会如何寻找问题中的相等关系，通过如何用两种不同方法表示同一个量，掌握列方程的方法.（3）情感与能力目标：让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，体验到列方程并不困难,鼓励学生进行观察思考，发展合作交流的意识和能力，培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力.【教学重点】：正确列出方程.【教学难点】：让学生体验到列方程不困难，从而建立解决实际问题由从算术方法转变为代数方法的意识.【教学突破点】：通过举一反三，一题多解，比较对比，交流总结，取得突破。

【教法、学法设计】：合作探究，获得体验，讲授、练习相结合。

【课前准备】：幻灯片，练习卷【教学过程设计】：【练习与检测】1．用含有a 的式子表示：（1）比a 的2倍多1．（2）a 的一半与4的差． 2．列等式表示：（1）x 的3倍等于5．（2）比x 的31少5的数等于1．． 3．“x 与y 互为相反数”，用等式表示为．4．黄红买了a 本同样的笔记本，每本3．5元，则黄红要付元．5．张老师8：00从A 地出发，11：00到达B 地，已知A 、B 之间的路程是x 千米，则张老师走这段路的平均速度是千米／小时．6．正方形的边长是a ，则它的周长是．7．长方形的长是a 米，比宽长1米，则长方形的周长是米．8．小东的妈妈三年前为小东存了一份5000元的三年期教育储蓄,三年期的年利率为x ,今年到期时取出,得到的本利和为元.9．张童买了10本作业本和2支铅笔, 用去7元,每支铅笔0.5元,则每本作业本多少元？设每本作业本x 元，则10本作业本需要元．0．5×2表示．根据等量关系：买的钱+买的钱=7元，列方程．10．初一（1）班同学外出秋游，第一小组的同学在溪流边的甲码头租了一艘小艇，逆行划行至乙码头，平均速度为4千米／时．到乙码头后沿原路返回，速度提高了50%，回到甲码头比去时少花30分钟．求甲、乙码头之间的路程．设甲、乙码头之间的路程为x 千米，则从甲码头到乙码头用了小时，从乙码头回到甲码头用了小时．这两个时间相等吗？（填“相等”或“不相等”），为什么？（从题目中摘抄句子回答） .请你列出方程 .11. 下图是测量一物体体积的过程：步骤一：将200毫升的水装进一个容量为360毫升的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没满；步骤三：将同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满但没有溢出.步骤三步骤二步骤一根据以上过程，请你列出计算玻璃球的体积的方程（1毫升=13cm ）．12. 小琦学习了“从算式到方程”后，联系实际编了这样一道题：我是五月份出生的，我现在的年龄的2倍加上7，正好是我出生那个月的总天数．你猜我现在几岁？(1)请你列出求小琦现在年龄的方程；(2)你能用自己的年龄或者是你与家人的年龄来编一道应用题吗?试试看吧. 【练习与检测解答】1．（1）12+a （2）421-a 2．（1）53=x （2）1531=-x 3．0=+y x 4．a 5.3 5．3x 6．a 4 7．24)1(2-=-+a a a 8．（)150005000x + 9．x 10，2支铅笔的钱，作业本，铅笔，725.010=⨯+x 10．4x ，%5044⨯+x ，不相等，回到甲码头比去时少花30分钟，21%50444+⨯+=x x 11. 设一个玻璃球的体积为x 3cm ，依题意得3604200=+x ，40=x 12. (1)设小琦现在的年龄为x ，得3172=+x ，12=x ；（2）略。