新华教育高中部数学同步人教A版必修五第二章数列-等比数列基础训练

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【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________．解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《数列》单元测试题(含答案)

高中数学必修5第二章《数列》单元测试题（含答案）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6722．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．16．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1；②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列；③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为S n，b n＝1 S n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设数列{b n}前n项和为T n，求T n.20．(本小题满分12分)求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)a n－1的前n项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.高中数学必修5第二章《数列》单元测试题（含答案）（参考答案）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672.答案：D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋n ，所以λ＝－1.答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1. 答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7，即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，故数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，故S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.答案：A6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.所以q ＝－1或q ＝2.答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3，又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2.故a n ＝q ·q n －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4. 答案：B11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，所以a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，所以a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34. 答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2.答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63. 答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)；所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合．所以{a n }是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，有下列三个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n＝a n＋1；②若S n＝a n(a为非零常数)，则{a n}是等比数列；③若S n＝1－(－1)n，则{a n}是等比数列．其中真命题的序号是________．解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和S n＝a1（1－q n）1－q＝a11－q－a11－q·q n知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）.解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝1，前n 项和为S n ，b n ＝1S n. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }前n 项和为T n ，求T n .解：因为等差数列{a n }中a 1＝1，公差d ＝1.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋n 2. 所以b n ＝2n 2＋n. (2)b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1，aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ，此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1. 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)． (2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

人教版高二数学必修5等比数列同步训练(带答案)

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一、选择题1.数列{an}为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q为常数)B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q为常数)D.an+1=anan+2解析：各项都为0的常数数列不是等比数列，A、C、D选项都有能够是0的常数列，应选B.答案：B2.等比数列{an}的公比q=-13，那么a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3解析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q= -3，应选B.答案：B3.假定a，b，c成等比数列，其中0A.等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项区分是第一项与第二项的n次幂解析：∵a，b，c成等比数列，且0答案：C4.(2021江西文)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5a2，那么an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n剖析：此题主要考察等比数列的基本知识.解析：a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8，q=-2.又a5a2，即a2a2，q3=-8.可得a20，a10.a1=1，q=-2，an=(-2)n-1.应选A.答案：A5.在等比数列{an}中，a6a7=6，a3+a10=5，那么a28a21=()A.23B.32C.23或32D.732解析：由及等比数列性质知a3+a10=5，a3a10=a6a7=6.解得a3=2，a10=3或a3=3，a10=2.q7=a10a3=23或32，a28a21=q7=23或32.应选C.答案：C6.在等比数列{an}中，a5a11=3，a3+a13=4，那么a15a5=()A.3B.13C.3或13D.-3或-13解析：在等比数列{an}中，∵a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，a15a5=a13a3=3或13.应选C. 答案：C7.(2021重庆卷)在等比数列{an}中，a2021=8a2021，那么公比q的值为()A.2B.3C.4D.8剖析：此题主要考察等比数列的通项公式.解析：由a2021=8a2021，可得a2021q3=8a2021，q3=8，q=2，应选A.答案：A8.数列{an}中， a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5() A.成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D.每项的倒数成等比数列解析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，①a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，那么a5a1+a3a5=a3a5+a23，即a23=a1a5，a1，a3，a5成等比数列，应选A.答案：A9.x是a、b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，那么a 与b的关系是()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b或a=3b解析：由得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故①2-②2得a2-2ab-3b2=0，a=-b或a=3b.答案：D10.(2020广东卷)等比数列{an}满足an0，n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，那么当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+ 3++(2n-1)=1+2n-12n=n2，应选C.答案：C二、填空题11.等比数列{an}中，a3=6，a10=768，那么该数列的通项an=________.解析：由得q7=a10a3=128=27，故q=2.an=a3qn-3=32n-2. 答案：32n-212.在1和100之间拔出n个正数，使这(n+2)个数成等比数列，那么拔出的这n的数的积为________.解析：应用性质aman=apaq(其中m+n=p+q).设拔出的n个数为a1，a2，，an，G=a1a2an，那么G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n，G=10n，故填10n.答案：10n13.-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，那么b2(a2-a1)=________.解析：∵-9，a1，a2，-1成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，那么b22=-9(-1)=9，b2=3.当b2=3时，由于-9与3异号，此时b1不存在，b2=-3，b2(a2-a1)=-8.答案：-814.假定a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且解析：a，b，a+b成等差数列有b=2a，a，b，ab成等比数列有b=a2，那么有a=2，所以ab=8,0答案：{n|n8}三、解答题15.(2021全国卷Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn.设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn.解析：设数列{an}的公差为d.依题设有2a1a3+1=a22，a1+a2+a3=12，a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4. 解得a1=1，d=3，或a1=8，d=-4.因此Sn=12n(3n-1)，或Sn=2n(5-n).16.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d1，且a1=b1，a4=b4，a10=b10.(1)求a1及d的值;(2)b16是不是{an}中的项?解析：(1)由a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d，a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去)，d2=3-2=-32.所以d=-32，a1=-d=32，b1=32.(2)由于b16=b1d15=-32a1，假设b16是{an}中的项，那么有-32a1=a1+(k-1)d.所以(k-1)d=-33a1=33d.所以k=34，即b16是{an}中的第34项.17.四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数.解析：设这四个数区分为a，aq，aq2，aq3.那么a4q6=1，①aq1+q=-32 ②由①得a2q3=1，即a2q2=由②得a2q2(1+q)2=94，③把a2q2=1q代入③得q2-14q+1=0，此方程无解.把a2q2=-1q代入③得q2+174q+1=0，解得q=-4或q=-14.当q=-4时，a=-18或a=18(舍);当q=-14时，a=8或a=-8(舍).这四个数区分是8，-2，12，-18或-18，12，-2,8.18.在各项均为正数的数列{an}中，2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.(2)试问-1681能否为该数列的项?假定是，是第几项;假定不是，请说明理由.解析：(1)∵2an=3an+1，an+1an=23，故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2a5=827，那么a1qa1q4=827，即a21(23)5=(23)3，由于数列各项均为正数，那么a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2，即(23)4=(23)n-2.依据指数的性质有4=n-2，n=6.因此-1681是这个数列的第6项.以上是数学必修5等比数列同步训练及答案的一切内容，请同窗们好好应用，提高自己。

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试(II)卷

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A . -8B . 5C . 8D . 152. （2分） (2019高三上·禅城月考) 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·郑州期中) 若等比数列{an}的前n项和为Sn ，，则 =（）A . 3B . 7C . 10D . 154. （2分）若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为（）B . 18C . 22D . 445. （2分）数列中，已知对任意正整数n，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）在等比数列中，已知其前项和，则的值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1 ，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A . 35B . 33C . 318. （2分） (2018高二上·兰州月考) 设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q ，前n项和为Sn .若对任意的n∈N* ，有S2n＜3Sn ，则q的取值范围是（）A . (0，1]B . (0，2)C . [1，2)D . (0， )9. （2分）等比数列{an}中，a3=6，前三项和S3=18，则公比q的值为（）A . 1B . -C . 1或﹣D . ﹣1或﹣10. （2分）设为等比数列的前项和，，则的值为（）A .B .C . 11D .11. （2分）(2018·茂名模拟) 是数列的前项和，且对都有，则（）A .C .D .12. （2分）已知等比数列的公比，则等于（）A .B .C .D . 313. （2分） (2016高二上·茂名期中) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A . 15B . 7C . 8D . 1614. （2分）已知数列的通项公式.若数列的前n项和，则n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 915. （2分） (2015高三上·孟津期末) 已知等比数列{an}的公比为4，且a1+a2=20，设bn=log2an ，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）B . 2n2+nC . 2（n2+n）D . 4（n2+n）二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=________．17. （1分）设，则数列{an}的各项和为________18. （1分）(2013·北京理) 若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．19. （1分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=54，前2n项和S2n=60，则前3n项和S3n=________．20. （1分） (2016高一下·苏州期中) 设等比数列{an}中，前n项和为Sn ，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=________．三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．22. （5分） (2019高三上·上海期中) 已知是公差为的等差数列，它的前项和为，等比数列的前项和为，，， .（1）求公差的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若，判别是否有解，并说明理由.23. （5分） (2016高一下·盐城期末) 设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设pn= ，数列{pn}的前n项和为Sn．①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．24. （5分） (2017高三上·嘉兴期末) 已知数列的前项和为，若，且，其中．（1）求实数的值和数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．四、综合题 (共1题；共10分)25. （10分） (2019高二上·拉萨期中) 等比数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求 .参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共20分)21-1、22-1、22-2、答案：略22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、四、综合题 (共1题；共10分) 25-1、25-2、。

(精校版训练)人教新课标A版高中数学必修5第二章数列2.5等比数列的前n项和同步测试(含答案可打印)

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.在等比数列中，如果那么该数列的前8项和为( )A. 12B. 24C. 48D. 2042.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A. 108B. 63C. 75D. 833.在各项为正的等比数列中，，前三项和为21，则等于（）A. 189B. 84C. 72D. 334.已知等比数列，它的前项为，前项和为，则使得的的值是（）A. B. C. D.5.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于( )A. B. C. D.6.在等比数列{a n}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )A. 4B. －4C. 2D. －27.已知等比数列｛a n｝的公比q= ，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于( )A. 100B. 90C. 60D. 408.设s n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0则=（）A. ﹣11B. ﹣8C. 5D. 119.在等比数列{a n}（n∈N*）中，若，则该数列的前10项和为（）A. B. C. D.10.在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为s n，若数列{a n+1}也是等比数列，则s n等于（）A. 2n+1﹣2B. 3n2C. 2nD. 3n﹣111.已知公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a5+a6=16，则S9=（）A. 56B. 128C. 144D. 14612.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于（）A. -11B. 11C. 331D. -3113.各项均为正数的等比数列{a n}中，a3，3a2，5a1，成等差数列且a n＜a n+1（n∈N*），则公比q 的值等于（）A. 1B. 2C. 3D. 514.在等比数列{a n}中，a1=4，a4=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A. 3（1﹣3﹣10）B. （1﹣3﹣10）C. ﹣6（1﹣3﹣10）D. 3（1+3﹣10）15.在等比数列{a n}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前12项和为（）A. 2﹣B. 2﹣C. 2﹣D. 2﹣二、填空题（共5题；共5分）16.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．17.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．18.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是________．19.若数列{a n} 满足：，则其前n 项和S n=________20.正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于________三、解答题（共4题；共20分）21.在等比数列{a n}中，a5=，q=﹣，求S7．22.已知等比数列{a n}的公比为﹣，S4=，求a1．23.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S9=146，求S6的值．24.等比数列{a n}的首项是6，第6项是﹣，这个数列的前多少项的和是．四、综合题（共1题；共10分）25.已知等比数列{a n}满足记其前n项和为（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】等比数列的前n项和【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列。

人教版新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析).doc

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】第二章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数．答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大．答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围．解 (1)证明：设{a n }的公比为q ，则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章数列 2.4 等比数列
一、学习任务理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系．二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质描述：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ．如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ．等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ．若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ．下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ．当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去．当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式(含答案)

第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n 项公式A 级基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ，所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________．答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

新华教育高中部数学同步人教A版必修五第二章数列-等比数列前n项和强化训练

等比数列前n 项和（强化训练）1、在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n 项和Sn=126,求n 及公比q.答案：n=6,公比q=2或q=21.解析：∵a1an=a2an-1=128,a1+an=66,∴a1,an 是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64.∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.若a1=2,an=64,由Sn=q qa a n --11=126,得q=2.由an=a1qn-1,得2n-1=32.∴n=6.若a1=64,an=2,同理可得q=21,n=6.综上所述,知n=6,公比q=2或q=21.2、若等比数列{an}的前n 项和Sn=3n+a,则a 等于() A.-4B.-2C.0D.-1答案:D解析:a1=S1=3+a,a2=S2-S1=32-3=6,a3=S3-S2=33-32=18.由a1a3=a22,得a=-1.2、在等比数列{an}中,S3=27,S6=263,求an.答案：an=2n-2.解析:由已知S6≠2S3,得q≠1.又S3=27,S6=263, 即q q a --1)1(31=27,q q a --1)1(61=263.两式相除,得1+q3=9,∴q=2.代入方程,得a1=21.∴an=2n-2.3、设等比数列{an}的公比为q ，前n 项和Sn ＞0（n=1，2，…）,（1）求q 的取值范围；（2）设bn=an+2-23an+1,记{bn}的前n 项和为Tn ，试比较Sn 和Tn 的大小．解析:（1）因为{an}是等比数列，Sn ＞0,可得a1=S1＞0,q≠0.当q=1时,Sn=na1＞0.当q≠1时,Sn=q q a n --1)1(1＞0，即q q n--11＞0(n=1,2,…),上式等价于不等式组)1(01,01⎩⎨⎧<-<-n q q 或⎩⎨⎧>->-01,01n q q ②（n=1，2，…）. 解①式,得q ＞1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，得-1＜q ＜1.综上，q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).（2）由bn=an+2-23an+1,得bn=an(q2-23q),∴Tn=(q2-23q)Sn.于是Tn-Sn=Sn(q2-23q-1)=Sn(q+21)(q-2).又∵Sn ＞0且-1＜q ＜0或q ＞0,当-1＜q ＜-21或q ＞2时,Tn-Sn ＞0,即Tn ＞Sn;当-21＜q ＜2且q≠0时，Tn-Sn ＜0,即Tn ＜Sn;当q=-21或q=2时，Tn-Sn=0,即Tn=Sn ．4、（2006四川高考，文17）数列{an}的前n 项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n 项和为Tn ，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn ．答案：an=3n-1. Tn= n2+2n.解析：（1）由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2).两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列.∴an=3n-1.（2）设{bn}的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,则b2=5.故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意,得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d1=2,d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d ＞0.∴d=2.∴b1=3.∴Tn=3n+2)1(-n n ×2=n2+2n.5、求数列的前n 项和．-1,4,-7,10,… ,(-1)n(3n-2),…;解析:(1)n 为偶数时，令n=2k(k ∈N*)，则Sn=S2k=(-1+4)+(-7+10)+…+［(-1)2k-1(6k-5)+(-1)2k(6k-2)］=3k=23n（相邻两项和为3）； n 为奇数时，令n=2k+1(k ∈N*)，则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=213+-n ．所以Sn=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-.,23,,213为偶数为奇数n n n n6、1,.,3211,,43211,3211,211 n ++++++++++答案：Sn=12+n n.解析：∵an=)111(2)1(2+-=+n n n n , ∴Sn=2［(1-21)+(21-31)+( 31-41)+…+(n 1-11+n )］ =2(1-11+n )=12+n n.。

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新课标数学必修5第二章：数列基础训练一、选择题1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）A ．66B ．99C ．144D ．297 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（）A ．81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（）A ．513B ．512C ．510D ．8225 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.6．计算3log n=___________. 三、解答题1．成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

2．在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。

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等比数列测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在等比数列｛a 」中,+a 2 =29a 3+a 4 =50,则公比g 的值为等比数列｛%｝中，a n > 0, a 3a 4 = 4,则 log 2 Oj 4- log 2 a 2 + • + log 2 a 6 值为5.等比数列｛咳｝中勺=9,侏=243,则｛色｝的前4项和为1.A. 25B. 5C. -5D. 土52.3.4. C. 7 =10,為+兔=则数列｛a n ｝的通项公式为 ~=2心 C.讣2 已知等差数列｛①｝的公差为2,若％,成等比数列，则色=A. 5B. D. 8 A. a fl = 24~nB. D. 3, A. -4 B. -6C. -8D. -10A. 81B. 120C. 140D. 192 6.设等比数列｛色｝的前料项和为若 S 6:53=l:2,则 S 9:S 3 = C. 3:4 D. A. 1:2 B. 2:3 7.已知等比数列｛ %｝的首项为8, S “是其前〃项的和，某同学经计算得52=20, 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 A. $ B. S 2 C. S3 1:353=36, ( 54=65，)D. S4 8.已知/（Q 二加+ 1为兀的一次函数，b 为不等于1 的常量，且g （n ）= <（心0）,设 a n =^(n)-g(n-l)(«e N )则数列他｝为A.等差数列B.等比数列C.递增数列 9.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10 H 到银行存入。

元定期储蓄，若年利率为"且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将D.递减数列所有的存款及利息全部取冋，则可取冋的钱的总数（元）为 ( )A ・a(\ + p)1 B. «(1 + /?)8c. —［（1+卩）7 -（1+P ）］ D . —r （1+p ）8 -（1+p ）~|P 」10.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a + b + c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知等比数列｛aj,a 2>a 3=l,则使不等式 (山--) + (d ・ ---- ) + •• ・ + (a 〃 -—) n 0A. 4B. 5C. 6D. 712.在等比数列｛陽｝中,公比gHl,设前〃项和为S”,则x = S； + Sj, y = S2（54 + S6）的大小关系是（）A. x> yB. x= yC. x< yD.不确定第II卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.等比数列仏”｝的前斤项和S〃二a・2"+d — 2,则色二 ______ :14.已知数列前斤项和必=2"—1,则此数列的奇数项的前刃项的和是____________15.已知等比数列｛%｝及等差数列｛$｝,其中/,.=（）,公差〃工（）.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1, 1, 2,…，则这个新数列的前10项之和为____________________ .16.如果b是a与C的等差中项，y是兀与Z的等比中项，月？,x,z都是正数，则0 一c） log w:兀 + （c 一a） log,” y + （a一b） log w z 二（m>0,m^L）三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知数歹ij ｛a…｝, ｛b n｝满足a】=2, a2 =4, h n = a n+i - a n, b n+｛ = 2b n +2.（12 分）（1）求证:数列｛久+2｝是公比为2的等比数列;（2）求给.18.已知数列仏｝的前n项和为S〃,S” =丄（色一1）（必M）. （12分）（1）求（2）求证数列仏｝是等比数列.+ 219.数列｛禺｝的前n项和记为S”己知G = l, a n+i= -----------S n5=1, 2, 3,…）•证明：（12分）nS（1）数列｛」｝是等比数列；（2）盼1=4如n20.已知数列｛a“｝满足：a x,且a” - a n_x =厶.（12分）2 2（1）求a2,a3f©；（2）求数列｛%｝的通项色.21.已知数列｛a“｝是等差数列,且% =2,%+偽+偽=12・（12分）（1）求数列｛色｝的通项公式;（2）令b n=a n x n（xe /?）・求数列｛仇｝前n项和的公式.22.甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球.（14分）（1）若经过5次传球后，球仍冋到甲手小，则不同的传球方式有多少种？（2）设第n次传球后，球回到甲手小不同的传球方式有如种，求％答案一、选择题1. B2. D 3・ A 4. B 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. A ll.B 12.B二、填空题三、解答题17. (1)由处=级+2得如出=如兰=2, A ｛b n + 2)是公比为2的等比数列.久+ 2 b n +2(2)由(1)可知 b“+2 = 4・2”T =2"+1 . :.b n =2n+1-2.则 a fl+l =2,,+1 - 2.令兀二1, 2,・••/?— 1,贝0 ci2 -a\ =22 -2,f73 -«2 =23 -2,«--a n -a n -\ =2n - 2 ,各式相加得=(2 + 22 +23 +... + 2")-2(w-l) = 2,,+l -2-2n + 2 = 2,t+i -2n .18. (l)|l ：| S] = —(Q] — 1)，得 — — (t?j ~ 1), d x — --- , 乂 S?=—(①一1)， 3 3 2 3即务 +a 2 = —(a 2 _ 1),得 a?=—. I(2)当n»时,"—冷⑷-1)*”,得介T ，所％｝是首项弓公比为冷的等比数列•19. (1) 由 ai= 1 ,a n+i= - S n (n= 1,2,3, …)，a2=^^-Si=3a h ^- = —= 2, — = 1,= 2 .n 12 2 1、 T又 a n+i=S n+rS n (n= 1,2,3» …)，则 S n+i-S n =-^i^ S…(n=l,2,3, •••), /.nS n+1=2(n+l)S n n21. (1)设数列[a n ]公差为 d ，则 a x +a 2 +a 3 = 3q + 3d = 12,又q = 2,d = 2.所以= In.(2)令 S” 二也 + 仇 + …+ 仇，则由仇=a n x n = 2nx n ,得 S” = 2x + 4x 2+--(2n-2)x n '] + 2nx n ,① = 2x 2 + 4x 3 4-+ (2n-2)x H + 2/u ,,+l ,② 当兀幻时， ①式减去②13. 2灯1 ° 「(27). 15, 978. 16. 0. ^J- = 2(n=l,2,3,…).n 故数列｛警｝是首项为1，公比为2的等比数列•(2) 由(I)知，A±L = 4.A Z L (H >2),于是 S n+i=4(n+l) •乩=4^01^2).// +1 W-1 川一 1又a 2=3S|=3,则S2=ai+a 2=4=4a h 因此对于任意正整数n>l 都有S n+i=4a n ._15 “、 _ 1 _ 1 _ 1 =©•(2)。

人教A版高中数学必修五同步练测：第二章数列本章练测(含答案解析).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章同步练测（人教A 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.数列{}21n +的第40项40a 等于( )A.9B.10C.40D.412.在等差数列{23}n －中，公差d 等于( ) A.2 B.3 C.－1 D.－33.已知数列{}n a 的通项公式是2n n a ＝，n S 是数列{}n a的前n 项和，则10S 等于( ) A.10 B.210C.210－2D.211－24.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项1a ＝3，前三项和为21，则3a ＋45a a +＝( ) A ．33B ．72C ．84D ．1895.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a成等差数列．若11a ＝，则4S 等于( )A.7B.8C.15D.166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a ＋＝，则19S 的值是( )A.55B.95C.100D.不确定7.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ＋＋＝，12380a a a ＝，则111213a a a ＋＋等于( )A.120B.105C.90D.758.数列是首项1a ＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果n a ＝2 005，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6709.已知三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab等于( )A.－2B.2C.－4D.410．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n ＝1,2，…，且25252n n a a －＝（n ≥3)，则当n ≥1时，2123log log a a ＋＋…＋221log n a －等于( )A.(21)n n －B.2(1)n ＋C.2nD.2(1)n －11.在一条笔直的公路上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A.7B.6C.5D.4 12.若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，20072008a a >＋0， 2 007 2 0080a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若数列{}n a 的前n 项和222n S n n ＝－＋，则通项公式n a ＝________.14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若 2 006a 和 2 007a 是方程24830x x －＋＝的两根，则 2 008 2 009a a ＋＝_____.15.在等差数列{}n a 中，若1248S S ＝，且0d ≠，则1ad＝________． 16.在等比数列{}n a 中： (1)若345a a a ⋅⋅＝8，则234a a a a a⋅⋅⋅⋅＝；(2)若12a a +＝324，34a a +＝36，则56a a +＝；(3)若n S 为{}n a 的前n 项和，4S ＝2，8S ＝6，则17181920+++=a a a a .三、解答题(共70分)17．(10分)已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．18．(12分) (1)已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝232-，n n 求证：数列{}n a 是等差数列. (2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证：a c b +，ba c +，cba +也成等差数列. 19．(12分)已知数列{}n a 是等差数列，25618a a ＝，＝；数列{}nb 的前n 项和是n T ，且n T ＋12n b ＝1.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：数列{}n b 是等比数列．20．(12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4 750万平方米？21．(12分)设1a ＝1，2a ＝53，2n a +＝531n a +－23na*()n ∈N ．(1)令1n n n b a a ＋＝－*()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .22．(12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列,且132,,a a a 成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．第二章同步练测（人教A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第二章同步练测（人教A 版必修5）答案一、选择题1.A 解析：40a ＝2×40＋1＝81＝9.2.D 解析：设23n a n ＝－，则1[23(1)](23)3n n a a n n ＋－＝－＋－－＝－. 3.D 解析：∵ 11222n n n n a a ++==，∴ 数列{}n a 是公比为2的等比数列且1a ＝2，∴ 1011102(12)2212S -==--. 4.C 解析：设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞0)，由题意得1a ＋23a a +＝21，即1a (1＋2q q +)＝21.又1a ＝3，∴ 1＋2q q +＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)， ∴ 345a a a ++＝a 1q 2(1＋2q q +)＝3×22×7＝84．5.C 解析：设公比为q ，由于1234,2,a a a 成等差数列，则21344a a a ＝＋，所以244q q ＝＋，解得2q ＝.所以4414(1)1215112a q S q --==--＝.6.B 解析：∵ 317119a a a a ＋＝＋，∴ 1191919()2a a S +＝＝192×10＝95.7.B 解析：∵ 12315a a a ＋＋＝，即32a ＝15，∴ 2a ＝5.又123a a a ＝80，∴ 13a a ＝(5)(5)d d －＋＝16.又数列{}n a 是公差为正数的等差数列，∴ d ＝3. ∵ 1221035a a d =+=，∴ 111213123105a a a a ++==.8. C 解析：由题意知2 005＝1＋3(n －1)，∴ n ＝669．9.D 解析：∵ 2b a c ＝＋，∴ 2c b a ＝－.∵ 2c ab ＝，∴ 22540a ab b －＋＝，∴ a b ＝(舍去)或4a b ＝，∴ ab＝4.10.C 解析：设公比为q ，则42622225251112n n n n a a a q a q a q ---=⋅==，所以112n n a q -=，即2n n a =，所以原式=2132122132122log ()log 2log 2n n n a a a n +++--===.11.A 解析：设将小旗集中到第x 面小旗处，则从第一面小旗处到第x 面小旗处共走的路程为10(x －1)m ，然后回到第二面小旗处再到第x 面小旗处的路程为20(x －2)m ，…，从第（x －1）面小旗处到第x 面小旗处来回共20 m ，从第x 面小旗处到第(1)x ＋面小旗处来回的路程为20 m ，从第x 面小旗处到第(2)x ＋面小旗处的来回路程为20×2 m ，…. 总共的路程为10(1)20(2)20(3)20120120220(13)s x x x x ⨯⨯⨯⨯＝－＋－＋－＋＋＋＋＋＋－10(1)x ＝－＋(2)(1)202x x --⋅＋(13)(14)202x x --⋅＝210[(1)(2)(1)(13)(14)]10(229183)x x x x x x x －＋－－＋－－＝－＋229 3 1152044x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝.∵ *x ∈N ，∴ 当x ＝7时，s 有最小值为780 m ，即将小旗集中到第7面小旗处所走的路程最短． 12.B 解析：由已知10a >， 2 007 2 0080a a <，可得数列{}n a 为递减数列，即0d <， 2 0070a >， 2 0080a <.利用等差数列的性质及前n 项和公式，得1 4 014 2 007 2 0084 014()4014() 4 014022a a a a S +⨯ +⨯==>，1 4 0154 015() 4 0152a a S +⨯== 2 0084 0150a <，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4 014，故选B.二、填空题13.1,1,23,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：当n ＝1时，11a S ＝＝1；当n ≥2时，221(22)[(1)2(1)2]23n n n a S S n n n n n －＝－＝－＋－－－－＋＝－. 又当n ＝1时，2n －3≠1a ，所以1,1,23, 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14.18 解析：方程24830x x －＋＝的两根是x =12或x =32.又1q >，所以 2 00612a =.所以 2 0072 0063aq a ==.所以2 008 2 009a a +=2 2 006 2 007()18q a a +=.15.910 解析：∵ 1211266S a d ＝＋，4146S a d ＝＋，又124=8S S ，∴ 1112663248a d a d ＋＝＋.∴12018a d ＝.∴1910a d =. 16.（1）32 （2）4 （3）32 解析：（1）由35a a ⋅＝24a ，得4a ＝2，∴ 23456a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ，，∴ 56a a +＝(12a a +)4q ＝4．（3）2＝6＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎩⎨⎧=⋅⋅⋅，， ∴ 17181920a a a a +++＝164S q ＝32．三、解答题17.解：设这三个数分别为,,a a aq q .由题意，得3512,222,a a aq a q ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩解得8,2a q =⎧⎨=⎩或8,1.2a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18. 分析：判定给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：（1）n ＝1时，11a S =＝3－2＝1；当n ≥2时，1n n n a S S -=-＝322n n -－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. n ＝1时，亦满足，∴ n a ＝6n －5*()n ∈N ．首项1a ＝1，n a －1n a -＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)， ∴ 数列{}n a 是等差数列且1a ＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴ b 2＝a 1＋c 1，化简得2ac ＝()b a c +．∴ a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b ca ＋，∴ a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列．19.(1)解：设{}n a 的公差为d ，则116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 24(1)42n a n n ＝＋－＝－.(2)证明：当n ＝1时，11b T ＝，由11112T b ＋＝，得123b ＝；当n ≥2时，∵ 112n n T b ＝－，11112n n T b －－＝－，，∴ 111()2n n n n T T b b －－－＝－．∴ 11()2n n n b b b －＝－．∴ 113n n b b －＝..∴ 数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列．20.解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为n a .由题意可知{}n a 是等差数列，其中1a ＝250，d ＝50，则2(1)25050252252n n n S n n n -⨯＝＋＝＋. 令225225 4 750n n ＋＝，即291900n n ＋－＝，解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴ n ＝10.故到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米．21.解：(1)因为1211115222()3333n n n n n n n n n b a a a a a a a b ＋＋＋＋＋＋＝－＝－－＝－＝，所以数列{}n b 是首项为12123b a a ＝－＝，公比为23的等比数列，所以*2(N )3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝nn b n ．（2）由123nn n n b a a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11111212222()()()213333n n n n n n n n a a a a a a a a -++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-=+++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为11a =，所以12323nn a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以*123(N )3-=-∈n n n a n .设数列1123n n n --⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则21222123333n n T n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①则23222222333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.② ①-②，得2112222221313333333n n n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以122(3)29139333n nn n n n T n -⎡⎤+⋅⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 所以11213(3)223(123(1)1823n n n n n n S a a na n T n n +-+⋅=+++=++++-=++-）2.22. 解：（1）由题设2312a a a =+，即221a q ＝1a ＋1a q . ∵ 1a ≠0，∴ 221q q --＝0，∴ q ＝1或q ＝－21．（2）若q ＝1，则2n S n =＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝22＋1－))((n n ＞0，故n S ＞n b ．若q ＝－21，则2n S n =＋21－)(n n ⨯ (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，1n n n S b S --=＝4－11－)0)((n n .故对于*∈N n ，当2≤n ≤9时，n S ＞n b ；当n ＝10时，n S =n b ；当n ≥11时，n S <n b ．。

高中数学第二章数列等比数列前n项和基础训练新人教A版必修5

等比数列前n 项和（基础训练）1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）A 、为任一常数数列B 、为非零的常数数列C 、存在且唯一D 、不存在答案：B2、如果一个数列的通项公式为n n a k q =⋅ (,k q 为不等于零的常数)，则有（）A 、数列{}n a 是首项为k ，公比为q 的等比数列B 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为q 的等比数列C 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为1q -的等比数列 D 、数列{}n a 不一定是等比数列答案：B解析：1.n n a kq q -=故选B3、求等比数列111,,248 的第5项到第10项的和. 答案：S解析：此等比数列的第5项到第10项构成一个首项是5512a =公比为12q = 项数n=6的等比数列4、在等比数列{an}中，已知对任意正整数n ，有Sn=2n －，则＋＋…＋等于1a a a 1222n 2 []A (21)B (21)C 21D (41)n 2n 2n n ．－．－．－．－1313答案：D ．解析：∵a1=S1=1，an=Sn －Sn-1=2n-1∴an=2n-1∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-12112112165--=)(S 1042121-=631024=631024=∴＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋b b b =a a a =1444=414112n 1222222n 1n ---=-1341()n5、.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=.A ()1614n -- .B ()1612n -- .C ()32143n -- .D ()32123n --答案：C解析：等比数列{}n a的公比12q ===，显然数列{}1n n a a +也是等比数列，其首项为222122812a a a q ===，公比2211111124n n n n n n a a a q q a a a ++--⎛⎫'===== ⎪⎝⎭，∴()12231181432141314n n n n a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++==--。