新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2平面的法向量导学案

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高二数学选修2第三章空间向量与立体几何教案苏教版

高二数学选修2第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习课时编号：SX2－03－01 教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e ρρ是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数21,λλ，使a =r；注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b rr 的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则//a b r r 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥rr 的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则a b ⊥r r 的充要条件是：；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p =u r ||3q =r ，p u r 、q r 的夹角为45︒，则以52a p q =+r u r r ，3b p q =-r u r r为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A ．),2()2,21(+∞-Y B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 7．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3_3.2.4预习导航学案新

3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量预习导航课程目标学习脉络1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2．掌握最小角定理及公式 cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．4．会利用向量法解决二面角的计算问题.1．直线与平面所成的角思考 1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？ππ 提示：直线与平面的夹角的取值范围是[0， 2]，斜线与平面的夹角的取值范围是(0， 2).2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos θ＝cos_θ1cos_θ2，如图，θ 是 OA 与 OM 所成的角，1θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？提示：不成立．3．二面角及其度量思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；2(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．2．二面角的范围是[0，π]．3。

新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算导学案

D1 A1 D A B B1 C
C1
1、有一个四边形 ABCD ，O 为空间任意一点，且 AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是（） A．平行四边形
王新敞
奎屯新疆
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
当 2 已知空间四边形 ABCD ，连接 AC，BD，则 AB BC CD 为（）堂检 A AD B BD C AC D0 测 3．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB a ， AD b ， AA 1 c ，则 D1 B （
王新敞
奎屯新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
）
Abc
王新敞
奎屯新疆
C a bc
王新敞
奎屯新疆
D abc
王新敞
奎屯新疆
4.若设 A, B, C , D 为空间任意四点，则 OA AB CB 等于学后反思
.
与向量 a 长度
1.在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中，与向量 AD 相等的向量共有（ A.1 个 2.判断：（1）零向量没有方向. 预习评价（2）在空间中，单位向量不唯一. （3）在空间中，任意一个向量都可以进行平移. （4）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线. （5）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小. （6）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. ( ( ( ( ( （ ) ) ) ) ) ） B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
（7）将空间中单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆. 课堂学习研讨、合作交流探究一:空间向量的基本概念思考 1：类比平面向量的定义，给出空间向量的定义。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后导

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课后导练基础达标1.点A （a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC 的一个法向量为（） A.（bc,ac,ab ） B.(ac,ab,bc) C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc) 答案：A2.若△ABC 所在平面为α,P ∉α, 且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,则点P 在平面α内的射影是△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心答案：D3.已知：a,b 是直线，α是平面，则下列命题中正确的是（）A.a⊥α,a⊥b ⇒b∥αB.a⊥b,a∥α⇒b⊥αC.a∥b,b∥α⇒a∥αD.a⊥α,a∥b ⇒b⊥α 答案：D4.A ∉平面α,AB、AC 是平面α的两条斜线，O 是A 在平面α内的射影，AO=4，OC=3，BO⊥OC,∠OBA=30°.求C 到AB 的距离（）A.15B.4C.17D.13 答案：A5.如右图，直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E 分别为AB ，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D;(2)求异面直线CE 与AC′所成角的余弦值. 答案：(1)证明:设=a ,=b ,CC CC′=c ,根据题意,|a |=|b |=|c |且a ·b =b ·c =c ·a =0,∴=b +21c , A '=-c +21b -21a .∴·A '=-21c 2+21b 2=0.∴CE⊥A′D.(2)解:'AC =-a +c , ∴|'AC |=2|a |,|CE |=25|a |. 'AC ·CE =(-a +c )·(b +21c )=21c 2=21|a 2|,∴cos〈'AC ,CE 〉=1010||252||2122=•a a . 6.已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC. 证明：MN =MP +PB +BN=-PM +PB +BN =-135PA +PB +135BD =-135(BA -BP )+BP +135(BA +BC ) =135BP -BP +135BC =135BC -138BP =138(BP BC -85). 在BC 上取点E ，使BE=85BC, 于是MN =138(BE -BP )=138PE . ∴MN∥PE.∴MN∥平面PBC.7.如右图，已知空间四边形OABC 中，M 为BC 中点，N 为AC 中点，P 为OA 中点，Q 为OB 中点，若AB=OC ，求证PM⊥QN.证明：OM =21(+),ON =21(+), ∴PM =+OM =21(++)=21(-+)=21(AB +OC )， ON =QO +ON=21(BO +OA +OC ) =21(OA -OB +OC ) =21(BA +OC ) =21(OC -AB ). ∴PM ·QN=21(AB +OC )·21(OC -AB ) =41(OC 2-AB 2) =41(|OC |2-|AB |2). 由|AB |=|OC |， ∴PM ·QN =0, 即PM ⊥QN . 即PM ⊥QN .8.如右图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CD 1和DC 1相交于点O ，连结AO. 求证：AO⊥CD 1.证明:∵=+=AB +AD +211CD =++21(+1CD )=++21+211CD=21AB +AD +211CD , 1CD =CD +1CD =-AB +1DD ,∴AO ·1CD=（21AB +AD +211DD ）·（-AB +1DD ） =-21AB ·AB -AD ·AB -211DD ·AB +21AB ·1DD +AD ·1DD +211DD ·1DD =0，∴AO ⊥1CD 即AO⊥CD 1.9.如右图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1侧面的三条对角线AB 1、BC 1、CA 1中，如果AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.证明：取AB 、A 1B 1的中点D 、D 1，连A 1D 、BD 1,A 1B 1C 1—ABC 为正三棱柱⎭⎬⎫⊂⊥⇒ABC CD ABC AA 平面平面1综合运用10.如右图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA 1=2,D 为AB 的中点.(1)求证：CD⊥平面ABB 1A 1；（2）过CD 作A 1B 的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）. 答案：(1)证明：∵⇒⎭⎬⎫⊂⊥ABC CD ABC AA 平面平面1CD⊥AA 1,又CD⊥AB,AA 1∩AB=A, ∴CD⊥平面ABB 1A.(2)解:如下图,作DE⊥A 1B 于E;连接CE,则CE⊥A 1B(三垂线定理).∴A 1B⊥平面CDE,则平面CDE 即为所求作的平面.11.如右图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE⊥A 1B ，AF⊥A 1D.求证：A 1C⊥平面AEF.证明:∵CB⊥平面A 1B,∴A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B,又A 1B⊥AE,AE ⊂平面A 1B. ∴A 1C⊥AE.同理A 1C⊥AF,∴A 1C⊥平面AEF.12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,EB 1=1,D 、F 、G 分别为CC 1、B 1C 1、A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于H.求证：B 1D⊥平面ABD.证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC⊥平面BB 1C 1C,又由已知,AB⊥BC. ∴AB⊥平面BB 1C 1C. 又B 1D ⊂平面BB 1C 1C,∴AB⊥B 1D.由已知,BC=CD=DC 1=B 1C 1.在Rt△BCD 与Rt△DC 1B 1中可求得∠BDC=∠B 1DC 1=45°.则∠BDB 1=90°,即B 1D⊥BD. 又AB∩BD=B,∴B 1D⊥平面ABD.13.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且|PQ|=2，建立如下图所示的坐标系;确定P 、Q 的位置，使得B 1Q⊥D 1P.解:如下图,设BP=t,则CQ=2)2(2t -- ,DQ=2-2)2(2t --,∴B 1(2,0,2),D 1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2)2(2t --,2,0). ∴1QB =(2)2(2t --,-2,2),1PD =(-2,2-t,2),∵B 1Q⊥D 1P 等价于1QB ·1PD =0，即-2)2(22t ---2(2-t)+2×2=0, 即2)2(2t --=t ，解得t=1.此时，P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点，即当P 、Q 分别是棱BC 、CD 的中点时，B 1Q⊥D 1P. 14.如下图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.证明:如下图,将BC 1平移,使其与A 1C 在一个平面内,所以延长B 1C 1至D,使C 1D=B 1C 1,于是BC 1DC为平行四边形,只需证明AB 1⊥平面A 1CD 即可,为此,连A 1D.∵A 1C 1=B 1C 1=C 1D,∴A 1B 1⊥A 1D, 又AA 1⊥A 1D,∴A 1D⊥面ABB 1A 1.因此AB 1⊥A 1D,又AB 1⊥DC,可得AB 1⊥平面A 1DC,∴AB 1⊥CA 1. 拓展研究15.如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2,侧棱长为3,E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF⊥平面AB 1C.证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,3),D 1(0,0,3),E(2,22,23),F(22,2,23). 设平面AB 1C 的法向量为n 1=(1,λ1,μ1),则n 1应垂直AC 和1AB . 而AC =(-2,2,0),1AB =(0,2,3),∴n 1·1AC =-2+2λ1=0及n 1·1AB =2λ1+3μ1=0. ∴λ1=1,μ1=32-.∴n 1=(1,1, 32-).再假设平面D 1EF 的法向量为n 2=(1,λ2,μ2),则n 2应垂直D 1、D 1,而D 1=(2,22, 23-),D 1=(22,2,23-), ∴n 2·D 1=2+22λ223-μ2=0,n 2·F D 1=22+2λ223-μ2=0.∴λ2=1,μ2=6. ∴n 2=(1,1,6). 由于n 1·n 2=1+132-·6=1+1-2=0,∴n 1⊥n 2.因此平面D 1EF⊥平面AB 1C.。

新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算(2)导学案

学后反思
课前预习
复习：1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，作，则叫做向量与的夹角，记作.
2.向量的数量积：
已知向量，则பைடு நூலகம்做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
3.空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2）．
（3）＝.
预习评价
1.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段 ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间
3.1.3空间向量的数量积运算（2）
学习目标
1．向量的数量积运算；
2．利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
学习重点
难点
重点：1.向量的数量积运算；2.利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
难点：利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。
学法指导
通过课前自主复习，进一步理解向量的数量积运算；小组合作探究利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角．
例2、已知，，，则。
例3、已知和是非零向量，且 = = ，求与的夹角。
当堂检测
（备注：本节课重、难点知识的检测）
1.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则
(1) · ＝________；〈，〉＝________；(2) · ＝________。
的距离.
2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则 · ＝________.。
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
一、复习引入
1.① （用于判定垂直问题）
② （用于求模运算问题）
③ （用于求角运算问题）

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案

3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例1】已知四棱锥P-ABCD （如右图），底面是边长为2的正方形.侧棱PA⊥底面ABCD ，PA=a,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ⊥PD 于Q. (1)直线PC 与平面PBA所成角的正弦值为33.求PA 的长； (2)PA=2,求PM 与平面PCD 所成角的正弦值.解：(1)PC =（2，2，-a ），平面PBA 的一个法向量为n=AM =(0,1,0).∵直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为33， ∴|cos〈,n 〉|=33, 即33|010)(222|222222=++•-++a ∴a=2,即PA=2.(2)PM =（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）. 设平面PCD 的法向量为n =(x,y,1),则⎪⎩⎪⎨⎧=•+•+•=•=•+•-+•=•.01002,012)2(0y x n y x OP n 解得⎩⎨⎧==.1,0y x ∴n =(0,1,1).∴cos〈PM ,n 〉=1010251-=•±-. ∴PM 与平面PCD 所成角的正弦值为1010.温馨提示最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置. 二、利用三垂线定理求线面角【例2】如右图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.(1)证明：PA∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO.而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB. 所以,PA∥平面EDB.(2)解：作EF⊥DC 交DC 于F.连结BF. 设正方形ABCD 的边长为a, ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DC.∴EF∥PD,F 为DC 的中点.∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中, BF=a a a CFBC 25)2(2222=+=+.∵EF=21PD=2a,∴在Rt△EFB 中, tan∠EBF=55,则BE 与面ABCD 所成角的正切值为55. 温馨提示解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷. 三、利用向量求线面角【例3】如右图所示的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∶AB=2∶1,E、F 分别为面A 1C 1和面BC 1的中心.求（1）异面直线CE 与AF 所成的角；（2）A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角；解：如右图，以D 为原点，DA 为Ox 轴正方向，DC 为Oy 轴正方向，DD 1为Oz 轴正方向建立空间直角坐标系.∵A 1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （1，1，4），F （1，2，2），A 1（2，0，4），B 1（2，2，4），∴CE =（1，-1，4），AF =（-1，2，2），F A 1=（-1，2，-2），F B 1=（-1，0，-2），A A 1=（0，0，-4），EB =（1，1，-4）.(1)设异面直线CE 和AF 所成的角为α,则 2185918821=⨯+--=∴α=arccos2185,此即异面直线CE 和AF 所成的角. (2)∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F 与平面BCC 1B 1，所成的角为∠A 1FB 1（设为β）. 则cosβ=||||1111F B F A B A +•=59401⨯++=35. ∴β=arccos35.此即为A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角. 温馨提示充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练 1PA 、PB 、PC 从P 引出三条射线每两条的夹角都是3π，则直线PC 与面PAB 所成角的余弦值为多少？解析：设点C 在面PAB 上的射影为H ，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH 即为所求的线面角，有cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=3330cos 60cos =.变式提升 1面α垂直面β,交线为CD ，A∈CD,AP ⊂α,∠DAP=30°,QA ⊂β,∠DAQ=30°,求∠PAQ 的大小.解析：过P 作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM 为直线AP 与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=43,得θ=∠PAQ=arccos43.类题演练 2在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA 1=AC=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. 求AB 与平面ABD 所成角的大小.解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角，设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形.连结DF,G 是△ADB 的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=36,则FC=ED=2,BE=3,则sin∠EBG=EB EG =32,所求的角为arcsin 32.变式提升 2如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB.∴NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH=362233==ABABNBHB.类题演练 3如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成的角.解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，21,1），D（0，2，0）.(1）∵PB·DM=（2，0，-2）·（1，-23，1）=0，∴PB⊥DM.(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN.∵〈PB，DC〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.∵cos〈PB ，CD 〉=510||||=DC PB DC PB . ∴CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510. 变式提升 3如右图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,侧棱长为2a ，求AC 1与侧面AB 1所成的角.解:1AA =(0,0,2a).设侧面A 1B 的法向量n =(λ,x,y),所以n ·=0，且n ·1AA =0，∴ax=0,且2ay=0,∴x=y=0,故n =(λ,0,0).∵1AC =(23-a,2a,2a). ∴cos〈1AC ,n 〉11aa3||23••-λλ=||2λλ-.∴sinθ=|cos 〈1AC ,n 〉|=21,∴θ=30°.。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学案新人教A版选修2_1

第1课时空间向量与平行关系1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)A [AB →＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合D [∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB →＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(2，－2，4)，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥αD [因为n ·AB →＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n ⊥AB →.又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB ∥α，故选D.]4．若直线l 的方向向量a ＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S (0，0，1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量． (2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SC →＝(1，1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2，2，0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量．111111四边形AEC 1F 是平行四边形．[解] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵FAE ，F EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0，0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例3】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . 思路探究：[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN→∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面平面AEB ，BE ⊂平面AEB 两两垂直．0)，C (2，4，0)，F (00)，AB →＝(2，0，－2)．，z )，1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．1．已知向量a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ，则有2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行D ．yOz 相交 C [AB →＝(0，5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，因为AB →·n ＝0，所以AB →⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________．－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m ，1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0. 解得m ＝－8.]4．在长方体OAEB O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23，于是PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23.∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ ∥RS .。

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2

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3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．（重点）2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理,证明有关垂直问题．（难点)［基础·初探］教材整理1 平面的法向量与向量表示阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件错误!·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则（1）α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；（2）α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝（1,0,2），平面α的法向量为n＝（－2，0,－4），则( ）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵n＝（－2,0，－4)＝－2(1,0，2）＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】B2．若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0)，b＝(－1,－2，0),则α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】B教材整理2 三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直,则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√",错误的打“×”)（1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.（)（2）若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )（3）若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a ⊥b.（）(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影,则a⊥b。

人教版高中数学全套教案导学案第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与

§3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB ＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC →= 0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE是平面A 1D 1F 的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE 是平面A 1D 1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12. .D 1＝(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)．1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1,0,0)． ∵AE ·1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－12＝0， AE ·A 1D 1→＝0，∴AE ⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴ AE 是平面A 1D 1F 的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明方法一 ∵1B C =1A D ，∴ B 1A D ∉∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥面ODC 1.方法二 ∵1B C =11B C +1B B=1B O +1OC +1D O +OD =1OC +OD .∴1B C ，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C ＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， 1OC ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C ⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1.【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.求证：AE ∥平面DCF.证明如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE ＝(0，b,0)，所以CB ·AE →= 0，CB ·BE = 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB ⊥平面ABE.因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF.故AE ∥平面DCF.知识点三利用向量方法证明垂直关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M （2，2，m ），则EF =（-1，1，0），B 1E →=（0， -1， -2）， 1D M =（2，2，m -2）.∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ，∴1D M ·EF = 0且1D M ·B 1E →= 0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩∴m ＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.证明建立空间直角坐标系C 1—xyz ，设AB ＝a ，CC 1＝b. 则A 1⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b ， C 1(0,0,0)．于是1A B =⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b 1B C =（0，- a ，b ），1AC ＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a2，－b .∵B 1C ⊥A 1B ，∴ 1B C ·1A B ＝－a 22＋b 2＝0,而1A C ·1A B ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2＝0∴ 1A C ⊥1A B即AC 1⊥A 1B.课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(4)根据法向量定义建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0b·n ＝0.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB ＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．一、选择题1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB 按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0) D ．(－2，－2,0) 答案 BAB ＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定答案 C解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31) 答案 B解析，设B （x ，y ，z ），AB =（x -2，y+1，z -7）=λ（8，9，- 12），λ>0.故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，又（x -22+（y+12+（z -72 = 342，得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.∴x = 18,y = 17,z =-17, 即B （18，17，- 17）.4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则有23＝4x ＝5y ，解方程得x ＝6，y ＝152. 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ． D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵u ＝－2a ， ∴a ∥u ，∴l ⊥α. 二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23，23或⎝⎛⎭⎫－13，－23，－23 解析，AB =（1，2，2），|AB | = 3 . 模为1的方向向量是±||ABAB , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案 (1,4，－5)(答案不唯一)解析设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为n 1，n 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，则有n ＝(1,4，－5)．三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC =（0，2，1），DA =（2，0，0），AE =（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量, 则n 1 ⊥ DA， n 1⊥AE，即 1,11·2·2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩11n n 得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩ 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.（2）∵11C B =（2，0，0），设n 2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量. 由n 2⊥FC 1→,n 2⊥11C B ,得21222112·20,·20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩得得2220,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AP ＝BQ ＝b (0<b<1)，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(3)若b ＝12，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值．解以D 为原点，射线DA 、DC 、DD ′分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D —xyz ，由已知得DF ＝1－b ，故A(1,0,0)，A ′(1,0,1)，D(0,0,0)，D ′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．(1)，证明在所建立的坐标系中,可得PQ = (0,1,0),PF = ( -b , 0, -b),PH = (b -1,0,1 -b),'AD = ( -1,0,1),AD = ( -1,0, -1),因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PF= 0，所以'AD 是平面PQEF 的法向量.因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PH =0，所以'AD 是平面PQGH 的法向量.所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直. (2)证明，因为EF = (0, -1,0),所以EF ∥PQ , |EF | = |PQ |,又PF ⊥PQ ,所以四边形PQEF 为矩形, 同理四边形PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得|PH | = (1-b), |PF | = b,所以|PH | + |PF |,又|PQ | = 1,所以截面PQEF 和截面PQGH 是定值. (3)解由(1)知'AD ＝(－1,0,1)是平面PQEF 的法向量．由P 为AA ′的中点可知，Q 、E 、F 分别为BB ′、BC 、AD 的中点．所以E （ 12，1，0,），'D E ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，因此D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos 〈AD ′→,'D E > ＝22.。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1数学教案

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量我们把直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)A [AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝________.[解析] AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.[答案] －23．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .]4．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量可表示为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23 [设平面的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧ AB →·a ＝0，AC →·a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝12，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1 故平面ABC 的一个单位法向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.] 直线的方向向量及其应用1l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________．[思路探究] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标．(1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115 [(1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量．由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →. 设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)，即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35，解得x ＝2，y ＝185，z ＝115，所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，185，115.] 1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．1．若直线l 1的方向向量a ＝(1,3x ，－2)，直线l 2的方向向量b ＝(－2,2y,5)，且l 1⊥l 2，则xy ＝________.2 [因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即－2＋6xy －10＝0，所以xy ＝2.] 求平面的法向量【例2】如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量． [思路探究] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[解] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1. 设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).方向向量与法向量的特征[探究问题]1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？[提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．【例3】根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.[思路探究] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[解] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α.3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．[解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系(如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直)都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方向向量．( )(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 B [AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.]3．已知A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的法向量为________．(1,1,0)(答案不唯一) [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0，即n ＝(1,1,0)．则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)．]4．如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)， ∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。

2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的坐标学案湘教版选修2_1

3．2 空间向量的坐标1.理解空间向量基本定理并会用其解决一些几何问题．2.掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐标．3．掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量加减法、向量与实数相乘及数量积的坐标运算．1．空间向量的分解与坐标定理1：设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合．即：v＝x e1＋y e2＋z e3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定．即：如果v＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′(表达式中的系数组成的有序数组(x，y，z)称为v在这组基下的坐标)．2．空间向量基本定理定理2：(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量．则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝x e1＋y e2＋z e3．(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定．即：如果v＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1)向量的加减法(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)求向量v＝(x，y，z)的模的公式|v|＝x2＋y2＋z2．(5)求向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)；(2)d AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2； (3)线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：选A.因为p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，所以p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．在空间直角坐标系中，已知点A 的坐标为(－1，2，1)，AB →＝(2，1，3)，则点B 的坐标是( )A ．(－2，4，2)B ．(0，5，5)C ．(1，3，4)D ．(－3，1，－2)解析：选C.AB →＝OB →－OA →，所以OB →＝AB →＋OA →＝(2，1，3)＋(－1，2，1)＝(1，3，4) 所以点B 的坐标是(1，3，4)．3．已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________．答案：1空间向量基本定理及应用如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心．求下列各式中x ，y ，z 的值：(1)BD 1→＝xAD →＋yAB →＋zAA 1→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA 1→.【解】 (1)因为BD 1→＝BC →＋CC 1→＋C 1D 1→，而BC →＝AD →，CC 1→＝AA 1→，C 1D 1→＝BA →＝－AB →，所以BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →＝AD →－AB →＋AA 1→.因为BD 1→＝xAD →＋yAB →＋zAA 1→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1. (2)由于AE →＝AA 1→＋A 1E →，而A 1E →＝12A 1C 1→＝12(AD →＋AB →)，则AE →＝AA 1→＋12AD →＋12AB →.因为AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA 1→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.以AD →，AB →，AA 1→为基来表示BD 1→，AE →，与已知条件中向量BD 1→，AE →的表达式进行比较，根据空间向量基本定理可知分解式唯一，从而可求x ，y ，z 的值．四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解：连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(OP →＋BO →)＝12(c －b －a ) ＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .空间向量的坐标表示在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0，2)，C 1(12，0，2)，所以AA 1→＝(0，0，2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．用坐标表示空间向量的方法步骤在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中(其中i ，j ，k 为单位向量)以i ，j ，k 为基，求DO →、A 1B →的坐标．解：因为DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →) ＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →.又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2，所以DO →＝－12×4i －12×2j －4k ，所以DO →＝(－2，－1，－4)．因为A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→.又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4，所以A 1B →＝－4i ＋2j －4k . 所以A 1B →＝(－4，2，－4)．空间向量的坐标运算(1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )．(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．②设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．因为AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3y ＋1＝32，z －2＝－2解得x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为(5，12，0)．空间向量的坐标运算的解题思路及技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算．(3)向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解．解题时应恰当选择解题方法．已知△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B 、C 的坐标及CA →.解：设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )．因为AB →＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)．因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)．利用向量的坐标表示求夹角和距离在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．【解】如图，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基向量建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0.(1)易得EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1，0，－1)，则EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1，0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C . 所以EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)C 1G →＝(0，－14，－1)，则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝3832×174＝5117.即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)因为H 是C 1G 的中点，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12，则FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12.所以FH ＝|FH →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为夹角与距离问题．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)，求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．解：(1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14， |AC →|＝ 22＋02＋（－8）2＝217.(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834. 因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834.1．空间向量基本定理说明用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．3．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．1．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . 2．已知a ＝(1，2，－3)，b ＝(5，－7，8)，则2a ＋b 的坐标为( ) A ．(7，－3，2) B ．(6，－5，5) C ．(6，－3，2)D ．(11，－12，13)解析：选A.2a ＋b ＝2(1，2，－3)＋(5，－7，8)＝(2，4，－6)＋(5，－7，8)＝(7，－3，2)．3．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)．答案：(－1，3，3)[A 基础达标]1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a·b ＝10D ．|a |＝6解析：选D.a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2，1，－6)，a·b ＝22，|a |＝6，所以A 、B 、C 错．2.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .3．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系O xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )A ．(－1，1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定解析：选D.由AB →＝－i ＋j －k ，只能确定向量AB →＝(－1，1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．4．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：选A.因为c －a ＝(0，0，1－x )，2b ＝(2，4，2)，所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.5．已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是( )A ．0 B.π2 C ．πD.3π2解析：选C.设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝－1－4－361＋4＋361＋4＋36＝－1，所以OA →与OB →的夹角是π.6．已知空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x ，2，－4)，c ＝(－1，y ，3)，若它们分别两两垂直，则x ＝________，y ＝________，z ＝________．解析：因为a ⊥b ，所以x －4－4z ＝0. 因为a ⊥c ，所以－1＋(－2)y ＋3z ＝0. 因为b ⊥c ，所以－x ＋2y －12＝0，所以x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 答案：－64 －26 －177．已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)、B (4，－3，7)、C (0，5，1)，M 为BC 的中点，则|AM →|＝________．解析：M (2，1，4)，所以AM →＝(－1，－2，2)．所以|AM →|＝1＋4＋4＝3. 答案：38．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a·b|a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)．求： (1)|b |；(2)(2a ＋3b )·(a －2b )．解：(1)|b |＝b 2＝62＋（－3）2＋22＝7. (2)(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2＋3a·b －4a·b －6b 2＝2×62－22－6×72＝－244.10．已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 解：(1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)．所以|c |＝（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1，所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[B 能力提升]11．已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( )A.55 B.555 C.355D.115解析：选C.|b －a |＝（1＋t ）2＋（2t －1）2＋0 ＝5t 2－2t ＋2＝5（t －15）2＋95≥355.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13]．所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83)．13．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c . (1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219.14．(选做题)在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF →与C 1G →所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：建立如图所示空间直角坐标系，D 为坐标原点，设正方体棱长为1个单位，则有E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12、F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0、C (0，1，0)、C 1(0，1，1)、B 1(1，1，1)、G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)证明：EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)．所以EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C .(2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0，1，1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1.所以|C 1G →|＝174.又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32，所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF →与C 1G →所成角的余弦值为5117. (3)因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0、H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12，所以FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，所以|FH →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418. 即FH 的长为418.。

新疆阿克苏地区温宿县高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2 空间距离导学案(无答案)新人教A版选修2-1

（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离；
图4
当堂检测
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
(1)求B1到面A1BE的距离；
(2)求D1C到面A1BE的距离;
(3)求面A1DB与面D1CB1的距离.
学后反思
3.线面距离，面面距离都可以转化为。
预习评价
（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）
如图3，在四棱锥P-ABCD中，PD 平面ABCD，PD=DC=BC=AB=1，AB//DC, BCD=90°。
（1）求证：PC BC;
（2）求点A到平面PBC的距离；
图3
课堂学习研讨、合作交流
一．新课探究：
如何求平面外一点一点P到平面α的距离（如图4）
3.2利用空间向量求距离学习 Nhomakorabea标1.了解空间中的各种距离，掌握各种空间距离的转化方法，利用空间向量求各种空间距离.
2.通过将空间距离转化求解的过程，使学生体会类比，转化、化归及数形结合思想的应用；
3.通过求解空间距离，培养学生观察、分析和解决问题的能力。感受数学之妙，激发学生学习数学的热情
学习重点
难点
重点：空间距离的转化和求解。
难点：空间距离的转化。
学法指导
通过课前自主预习，理解距离的定义；小组合作探究得出空间中关于距离的求法．
课前预习
1.点到直线的距离：A为直线l外一点，点A到直线l的距离为d=（如图1）
图1
图2
2.点到平面的距离：设P为平面内的一点，为平面的法向量，A为平面外一点，点A到平面的距离为d=（如图2）
已知：为斜向量, 为法向量， =< , >