电子科大随机过程总结 第6章 平稳过程
随机过程 第6章 平稳随机过程
2T
其中 B( 1 ) E[ X (t ) X (t ) X (t 1 ) X (t 1 )]
当 X (t) 是实均方连续平稳过程时，充要条件为
T
T T
X (t ) d t X (t ) X (t ) d t
T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
1 T X (t ) E[ X (t )] , 即 l .i . m X (t ) d t mX T 2T T
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有 关，因此它是平稳随机序列。
例2 (例6.4)
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X (t )] E [sin( 2 t )]
大数定律（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 lim P N N
Xk m 1 k 1
N
大数定律表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
例1 (例6.1)——白噪声
设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
随机过程第六章
T
T
X (t )dt
<x(t)>是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同， 是个随机变量。 对于一个确定的样本
X (t ) lim 1 T 2T
T
T
X (t )dt 常数
时间平均
集合平均
20
定义6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，若
n
lim E[| X n X |2 ] 0
成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作
Xn X
m. s
l.i.m X
n
n
X
称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分 布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有
n
lim Fn ( x) F ( x)
t
a
X ( ) d
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
18
推论：设X (t )均方可微，且X (t )均方连续，则 X (t ) X (a) X (t )dt.
a t
及
X (b) X (a) X (t )dt.
第六章：平稳随机过程
严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例
1
严平稳过程的定义
设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T， (X(t1),X(t2), …,X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有 相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或侠义 平稳过程。
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
随机过程知识点总结
∈
且
∑ = 1
∈
矩阵表示
= ()
3、 各状态平均返回时间
=
1
第五章 连续时间马尔可夫链
1、 转移概率 (, ) = {( + ) = |() = }
齐次转移概率 (, ) = ()
2、 转移速率
()
() = ∑ , ≥ 0
=1
[()] = [1 ]；[()] =
[12]
第四章 马尔可夫链
4.1 马尔可夫链概念与状态转移概率
1、
2、
马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
时间、状态都是离散的，称为马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{+1 = +1 | = }确定。
随机矩阵：各元素非负且各行元素之和为 1；
步转移矩阵是随机矩阵；
闭集 C 上所有状态构成的步转移矩阵仍是随机矩阵。
周期为的不可约马氏链，其状态空间可唯一地分解为个互不相交的子集之和，即
−1
= ⋃ , ∩ = ∅, ≠
=0
且使得自 中任一状态出发，经一步转移必进入+1 中( = 0 )。
[ ( + ) − ()] −[ (+)− ()]
!
+
( + ) − () = ∫
()
相较与齐次泊松过程 → ( + ) − ()
5、 复合泊松过程（独立增量过程）
是由对泊松过程的每一点赋予一独立同分布的随机变量而得的随机过程。
=1
′′ (0)(− 2 )
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
随机过程平稳过程第六
• 宽平稳过程 • 严平稳过程 二阶矩存在 • 严平稳过程
正态过程
严平稳过程 宽平稳过程 宽平稳过程
4.严平稳与宽平稳的关系 严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳 定义只涉及有限维分布 ，而并不要求一、二阶 矩 存在，但对二阶矩过程 ，严平稳必是宽平稳。 反过来，宽平稳也不一 定是严平稳，因为宽 平稳只要求均值函数与 t无关，导不出一维分布 与 t无关，又相关函数 Rt , t 与t无关，导不出二维 分布F x1 , x2 ; t , t 与t无关。 但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程 的概率密度是由均值和 相关函数完全确定，另 外正 态过程的二阶矩总是存 在的。
x(t) 1 o -1
t
9
平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在 [0,t]内随机点出现k次的概率 k ( t ) P (t)=e-λt ,k=0,10(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
解 m X (t ) EX (t ) E[Y cos(t ) Z sin(t )] cos(t ) EY sin(t ) EZ 0 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
随机过程第六章平稳随机过程
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在 宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
4
6.1 平稳随机过程的概念
例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且Y, Z相互独立， EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳 性。
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
36
6.3 随机分析简介
定义6.8 如果当n0时，Sn均方收敛于S,即
，
则称 f (t) X (t) 在区间[a, b]上均方可积，并记为
b
n
S
a
f (t) X (t)dt
l.i.m n 0
i 1
f (ti)X (ti)(ti ti1)
令
l.i.m
n
Xn
X,
l.i.m
n
Yn)
l.i.m
n
cn
lim
n
cn
c
(2) l.i.mU U n
(3)
l.i.m
n
cnU
cU
27
6.3 随机分析简介
(4)
l.i.m
n
aX
n
bYn
aX
bY
(5)
lim
n
EX
n
EX
E
ln.i.m
X
n
(6)
lim E
n
XnYm
E[XY ]
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
18
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平 稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
随机数学 第9讲 第六章平稳过程(1)
2 C X (τ ) = COV [ X (t ), X (t − τ )] = RX (τ ) − mX
2 C X (0) = DX ( t ) = RX (0) − mX .
则称 { X ( t ), t ∈ T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程 . 以下讨论中，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。
第六章 平稳过程随机过程 6.1 平稳过程概念 平稳过程是指过程的统计特性不随时间的推移而变 化的随机过程。 一般，为了便于研究，我们只考虑随机过程的数字 特征特性的平稳性，即有如下宽平稳过程的 定义：
注1 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) = mX 上下波动 , 平均偏离度为 σ X .
平稳过程X(t) 的“平均功率”
此式表明:
自相关 (自协方差 )函数都在 τ = 0处取到最大值 .
RX (0) ≥ 0.
RX (−τ ) = RX (τ ) ,
2 证明： RX (0) = E[ X (t ) X (t )] = E X (t ) 2 = Ψ X ≥ 0.
e − λt ( λt ) , k = 0,1, 2, k!
k
若随机点在[0,t]内出现偶数次 ，则
若随机点在[0,t]内出现奇数次 ，则 X ( t ) = −1; （1）计算 mX ( t ) , C X ( t1 , t2 )
⎛ ( λt )0 ( λt )2 ( λt )4 ⎞ = e − λt ⎜ + + + ⎟ ⎜ 0! ⎟ 2! 4! ⎝ ⎠ λt − λt −2 λ t ⎞ 1+ e − λt ⎛ e + e ［0,t]内随机 = e ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ 点出现奇数次
6-1平稳过程-定义和例子
…
2 , ak k
为平稳序列
E[Z (n)]
R(n, m n) E[Z (n)Z (n m)
k
ARMA
k j
a a E[ X (n k ) X (n m j)]
k j
k
aa
k
则对于任意的实数t和实数列{n }，
X (t )
n jnt Z e n
为平稳过程，
具有互不相关随机振幅不同频率的随 机振动的叠加为平稳过程。
解放军电子技术学院
卢
首先，可证 X N (t )
n N
N
Z n e jnt 均方收敛。 令
X (t ) l.i.m X N (t )
E[ X ( t ) ] E[ X ( s ) ] E[ X ( s )] 0,
解放军电子技术学院
卢
E[ X ( t ) ] 0,
即
E[Y ( t )] E[ X ( t )] 0.
(2) 对过程X(t) 有结论：
A.当 s 与 t 分属不同T 区间, X(s)与X(t) 相互独立,
m k
R ( m)
2
E[Z 2 (n)]
解放军电子技术学院
k
2 2 a k
卢
例 设
{Zn ,n 0, 1, 2, }
…
是复随机序列且
n n 2 n
2 E[Z n ] 0, E[ Z n Z m ] n n ,m ,
有限维分布不随时间 解放军电子技术学院 的推移而改变.
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
平稳过程
, xn ; t1 , t2 ,
, tn ) , tn )
, xn , t1 , t2 ,
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特] (t ) f ( )d
0 T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果
且
E [ X (t )] M X 常数
E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
性质4.2
6平稳过程2
RX
(
)
l.i.m T
1 T
T
X (t) X (t )dt
0
2 X
1 l.i.m
T T
T X 2 (t)dt
0
2 X
1 l.i.m
T T
T 0
[
X
(t )
mX
]2
dt
数值积分计算
该推论表明，当时间间隔无限变大时，两时刻 状态趋于不相关的平稳过程具有均值遍历性。
6.1 平稳过程的均方遍历性 三、遍历性条件：
3、自相关函数遍历性条件
定理2：（自相关函数各态历经定理）平稳过程{X(t), ∞<t<+∞}的四阶矩存在，则自相关函数具有均方遍历 性的充分必要条件是：
其中：
lim 1
证明：
E[ X (t) 2 ] E{[l.i.m 1 T X (t)dt]2} T 2T T
lim T
1 4T 2
E{[
T T
X (t)dt]2}
lim 1 T 4T 2
E[
T
T X (t1 )dt1
T
T X (t2 )dt2 ]
lim
T
1 4T
2
T T
T
T E[ X (t1)X (t2 )]dt1dt2
6.1 平稳过程的均方遍历性 二、遍历性定义：
均值遍历性、自相关函数遍历性和平稳过程遍历性：
设{X(t), -∞<t<+∞}是均方连续平稳随机过程，
（1）如果 P X (t) E{X (t)} mX 1
则称该过程的均值具有遍历性。
（2）如果 P X (t)X (t ) E[X (t)X (t )] RX ( ) 1
6-4平稳过程-各态历经性
解放军电子技术学院
卢
定义 设{X(t),t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程
1) 若P{ X ( t ) m X } 1,
称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).
X X |2 | T 0 1 2T T 2T2T 1 2 2T T t T lim (1 ) R ( ) d (t1 , t ) 1 1 2 2 2 T T 0 2T 2 T ; 1 2 2T t T 2T ( 1 , 2 ) 2 2 ( 1 2 lim (1 T )[ R ) m ]d
1 2T lim 0 1 C X d 0 T T 2T
或
1 2T lim 1 RX mX T T 0 2T
2
d 0
卢
解放军电子技术学院
证 均值各态历经
由概率论知识，对于随机变量X而言： P{X E[ X ]} 1 D( X ) 0 故,要证明我们的定理，只须证明： E X (t ) E[ X (t )] mx , D X (t ) 0
2
2 2
1 1 |2 | 1 2T lim (1 ) R ( ) d 令 1 ,T 2 t22 1 t21. 则 t1 X(t) 为实平稳过程 ( 1 2 ), t2 ( 1 2 ) 2tT2 t12 2 T若 T 2T 2 2 2
6.4 平稳过程的均方遍历性
类似于处理随机变量的办法，通过统计试验的 方法，由所取得的数据，求出这些统计特征和 估计值．确定随机过程的统计特性 ， 所需试验 的工作量很大，实际上这种做法也难以办到．
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
平稳随机过程和各态历经过程ppt课件
当两个随机过程 X (t)和Y (t)分别是广义 平稳过程时 , 若它们的互相关函数满 足 :
RXY (t1, t1 ) E[ X (t1)Y (t1 )] RXY ( )
则称X (t)和Y (t)是联合广义平稳过程 , 或 称为联合宽平稳过程 .
各态历经性
• 平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。
X (t)Y (t ) lim 1 T 2T
T
T X (t)Y (t )dt RXY ( )
则称它们是联合各态历经过程.
• 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。
• 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
E[ (t)] x1 f1( x1, )dx1 a
• R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1, t1+τ)=R(τ)
随机过程的各个样 本函数都同样地经 历了随机过程的各 种可能状态，因此 从随机过程的任何 一个样本函数就能
得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
1. 对于二阶平稳过程X (t), 若X (t) E[ X (t)] mX以概 率1成立,则称随机过程X (t)的均值具有各态历经性.
X (t) X (t ) lim 1
T
X (t) X (t )dt
T 2T T
3、 若X (t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,
且X (t)是广义平稳过程,则称X (t)是广义各态历经 过程, 简称为各态历经过程.
4、 如果两个随机过程X (t)和Y (t)都是各态历经过程,
第六章 平稳随机过程.
S d 常数 T
T 0
t T t
RX t , t E S t S t
S t S t 1 d 1 T T
T 0
S S d
＝＝＝ 1 T
,0,1,2, 。
tn T 和任意实数h
, X tn h
对任意的n n 1,2,
，t1, t2 ,
当t1 h, t2 h,
, tn h T 时,
d
X t , X t ,
1 2
, X tn X t1 h , X t2 h ,
解： (1)因为E( A) E( B) E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
故 X (t ) E Acost Bsint
E ( A)cost E ( B)sint 0
RX (t1 , t2 ) E[( Acost1 Bsint1 )( Acost2 Bsint2 )]
是平稳序列.
证：E Yn ak E X n k 0
又自相关函数RY n, n m E YnYnm
N N E ak X n k a j X n m j j 0 k 0
即：F x1 , x2 , F x1 , x2 ,
, xn ; t1 , t2 ,
tn , tn h
3
则称随机过程 X t , t T 具有平稳性，
, xn ; t1 h, t2 h,
称此过程为严平稳随机过程，简称严平稳过程。
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程 X t , t T 是二阶矩过程，则
随机过程(平稳过程)、第六章
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程， 对任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn))与 (X(t1+), X(t2+),, X(tn+)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
15
§6.2平稳过程及其相关函数的性质
一.相关函数的性质(实平稳过程)
X t , t T 是平稳过程，相关函数为RX 2 (1) RX 0 E X 2 t X 0 (2) RX RX ，即RX 是偶函数。 RX E X t X t E X t X t RX 由此性质，在实际问题中只需计算或测量RX
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
解 因为E[Xn]=0， RX ( n,n ) E[ X n X n ]
注：
i , j 1
n E X ti X t j ai a j i , j 1
2
X ti X t j ai a j ( X ti ai )( X t j a j )
n n n i 1 j 1
n E X ti ai 0 i 1 在理论上可证明：任一连续函数只要具有非负 定性，则该函数必是某平稳过程的自相关函数。
定义平稳过程课件
在选择和优化模型后，需要对模型进行评估。评估的指标包括模型的拟合优度、预测精度、解释性等。 通过评估，可以了解模型的优缺点，为后续的改进和优化提供参考。
01
平稳过程的应用实 例
时间序列分析
时间序列分析是平稳过程的一个重要 应用领域。在金融、经济、气象等领 域，时间序列数据被广泛收集和分析 ，以揭示数据背后的规律和趋势。平 稳过程能够有效地描述时间序列数据 的统计特性，帮助我们更好地理解和 预测未来的发展趋势。
在控制工程和系统稳定性分析中，系 统的输出信号或响应常常被视为平稳 过程，对其进行平稳性分析有助于评 估系统的稳定性和性能。
信号处理
在通信、雷达、语音识别等领域，信 号常常被视为平稳过程，对其进行平 稳性分析和处理有助于提高信号质量 和识别准确率。
01
平稳过程的统计特 性
均值和方差
01
描述平稳过程的中心趋势和波动 程度。
02
平稳过程的均值是常数，表示过 程的中心趋势。方差则描述了过 程的波动程度，即数据点与均值 的偏离程度。
自相关函数
衡量平稳过程数据点之间的相关性。
自相关函数用于描述平稳过程中时间延迟的数据点之间的相关性。在时间延迟为 0时，自相关函数的值为1，表示数据点之间完全相关；随着时间延迟的增加，自 相关函数的值逐渐减小，表示数据点之间的相关性逐渐减弱。
非线性平稳过程在自然现象、金融市 场和通信信号等领域有广泛应用，例 如地震、股票价格和无线电信号等。
高阶平稳过程
高阶平稳过程是指其高阶统计特性（如高阶矩、高阶谱等）也保持恒定的时间序列 。
高阶平稳过程在处理高维数据、复杂网络和多变量系统等领域有重要应用，例如脑 电波、气候变化和社交网络等。
研究高阶平稳过程需要采用高阶统计分析方法，以提取更多维度的信息，揭示其隐 藏的模式和规律。
6平稳过程1
E[ X (ti ) X (t j )]g(ti )g(t j )
i1 j 1
i1 j 1
n
E[
i 1
n j 1
X (ti ) X (t j )g(ti )g(t j )]
E
n i 1
X
(ti
)
g
(ti
)
2
0
可以证明，任一连续函数，只要是非负定的，则必是某一平稳 过程的自相关函数。
6.2 平稳过程及其相关函数性质 一、平稳过程相关函数性质
当t1 > t2时， RX (t1, t2 ) e2 (t1t2 ) e2| |
对于任意t1, t2,
RX (t1, t2 ) e2|t2 t1| e2| |
半随机电报信号是非平稳随机过程
6.1 平稳过程的概念 例4 随机电报信号。
（2）随机电报信号。给定一个随机变量A，它以等概 率取+1和-1，即
3!
] et ch t ] et sh t
E[ X (t)] et (ch t sh t) e2t
6.1 平稳过程的概念 例4 随机电报信号。
求自相关函数：假定t2>t1, τ= t2 - t1
RX (t1,t2 ) E[ X (t1)X (t2 )] 1 P{X (t1)X (t2) 1} (1) P{X (t1)X (t2) 1}
3、对于正态随机过程来说，严平稳与宽平稳是等价 的。 (Gussian)
6.1 平稳过程的概念
例1
6.1 平稳过程的概念
例2 白噪声。白噪声随机过程{X(t), -∞<t<+ ∞}的均值为0，
方差为 ，2相关函数满足
R(t1,
t2
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一、 平稳过程的概念定义1：设{XX (tt ),tt ∈TT }是一个随机过程，如果对∀tt 1,tt 2,⋯,tt nn ∈TT 及∀τ,tt 1+ττ,⋯,tt nn +ττ∈TT ，nn 维随机变量�XX (tt 1),XX (tt 2),⋯,XX (tt nn )�与�XX (tt 1+ττ),XX (tt 2+ττ),⋯,XX (tt nn +ττ)�有相同的nn 维联合分布函数，即FF nn (tt 1,⋯,tt nn ;xx 1,⋯,xx nn )=FF nn (tt 1+ττ,⋯,tt nn +ττ;xx 1,⋯,xx nn )则称随机过程为严平稳过程或强平稳过程或狭义平稳过程。
ff nn (tt 1,⋯,tt nn ;xx 1,⋯,xx nn )=ff nn (tt 1+ττ,⋯,tt nn +ττ;xx 1,⋯,xx nn ) φφnn (tt 1,⋯,tt nn ;xx 1,⋯,xx nn )=φφnn (tt 1+ττ,⋯,tt nn +ττ;xx 1,⋯,xx nn ) 定义2：如果随机过程{XX (tt ),tt ∈TT }是二阶矩过程，EE [XX 2(tt )]<+∞，且满足1. EE [XX (tt )]=mm （常数）2. RR (tt ,tt +ττ)=EE [XX (tt )XX (tt +ττ)]=RR (ττ)则称随机过程为宽平稳过程或弱平稳过程或广义平稳过程，简称平稳过程。
定义3：如果随机序列{XX (nn ),nn =0,1,⋯}满足 EE [XX 2(nn )]<+∞且EE [XX (tt )]=mm （常数），RR (mm ,nn )=RR (nn −mm )=RR (ττ)，则称其为宽平稳序列，简称平稳序列。
定理1： 严平稳过程{XX (tt ),tt ∈TT }是宽平稳过程的充要条件是二阶矩存在且EE [XX 2(tt )]<+∞。
定理2： 正态过程是严平稳过程的充要条件是它为宽平稳过程，即两者对正态过程等价。
定义4：设{ZZ (tt ),tt ∈TT }为复随机过程，若二阶矩存在，EE [XX 2(tt )]<+∞且 1. EE [ZZ (tt )]=mm （复常数）2. RR (tt ,tt +ττ)=EE�ZZ (tt )ZZ (tt +ττ)������������=RR (ττ) 则成其为复平稳过程，CC (ττ)=RR (ττ)−|mm |2定义5：设随机过程{XX (tt ),tt ∈TT }和{YY (tt ),tt ∈TT }都是平稳过程，如果其互相关函数满足RR XXXX (tt ,tt +ττ)=EE [XX (tt )YY (tt +ττ)]=RR XXXX (ττ)则称{XX (tt ),tt ∈TT }和{YY (tt ),tt ∈TT }为联合平稳过程。
定义6：若{XX (tt ),tt ∈TT }是平稳过程，且满足XX (tt +LL )=XX (tt ),LL >0则称其为周期平稳过程，LL 为周期。
定义7：设有随机过程{XX (tt ),tt ∈TT }，对∀ℎ∈TT ,tt +ℎ∈TT ，YY (tt )=XX (tt +ℎ)−XX (tt )如果{YY (tt ),tt ∈TT }是平稳过程，则称{XX (tt ),tt ∈TT }为平稳增量过程。
平稳过程例举1. 离散参数白噪声序列{XX (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}是平稳序列EE [XX (nn )]=0RR (ττ)=EE [XX (mm )XX (nn )]=σσ2δδmm ,nn=�σσ2,mm =nn0,mm ≠nn若XX (nn )~NN (0,σσ2)，则称为高斯白噪声序列，是相互独立的正态平稳序列。
2. 连续参数白噪声{XX (tt ),tt ∈TT }是平稳过程EE [XX (tt )]=0RR (ττ)=EE [XX (tt )XX (tt +ττ)]=σσ2δδ(ττ)=�∞,ττ=00,ττ≠03. 离散白噪声{XX (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}的滑动和YY (nn )=�aa kk XX (nn −kk )NNkk=0EE [YY (nn )]=0RR XX (nn ,nn +mm )=�aa kk aa mm+kk NNkk=00≤mm+kk≤NNσσ2,EE [YY 2(nn )]=�aa kk2NN kk=0σσ2<+∞ {YY (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}为平稳序列。
4. 离散白噪声{XX (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}的无限滑动和ZZ (nn )=�aa kk XX (nn −kk )+∞kk=−∞ EE [ZZ (nn )]=0RR ZZ (nn ,nn +mm )=�aa kk aa mm+kk σσ2+∞kk=−∞,EE [ZZ 2(nn )]=�aa kk2σσ2+∞kk=−∞<+∞ {ZZ (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}为平稳序列。
5. 复随机序列{ZZ (nn ),nn =0,±1,±2,⋯}，记XX (tt )=�ZZ nn ee −iiωωnn tt +∞nn=−∞,ωωnn 为常数EE [XX (nn )]=0RR (ττ)=EE [XX (tt )XX (tt +ττ)]=�σσnn 2ee −iiωωnn ττ+∞nn=−∞,EE |XX (tt)|2=�σσnn 2+∞nn=−∞<+∞{XX (tt ),−∞<tt <+∞}为复平稳过程。
6. 随机相位正弦波设随机过程XX (tt )=aa cos (ωωtt +Θ)，其中aa ,ωω为常数，Θ在[0,2ππ]上均匀分布 EE [XX (tt )]=0,RR (ττ)=aa 22cos ωωττ,EE |XX (tt )|2=aa 227. 随机过程XX (tt )=AA cos ωωtt +BB sin ωωtt ,−∞<tt <+∞，ωω为常数，AA ,BB 是相互独立的随机变量且EE (AA )=EE (BB )=0,DD (AA )=DD (BB )=σσ2>0EE [XX (tt )]=0,RR (ττ)=σσ2cos ωωττ,EE |XX (tt )|2=σσ2<+∞ 8. 随机电报信号XX (tt )=AA (−1)NN (tt ),tt ≥0，正负号变化随机，在 [0,tt )内变号次数{NN (tt ),tt ≥0}是参数为λλ的泊松过程 EE [XX (tt )]=0,RR (ττ)=II 2ee −2λλ|ττ|9. 半随机二元波{XX (tt ),−∞<tt <+∞}在[(nn −1)TT ,nnTT ],nn =0,±1,⋯取值+1或−1,PP {XX (tt )=1}=PP {XX (tt )=−1}=0.5且在不同区间的取值相互独立。
EE [XX (tt )]=0,EE [XX 2(tt )]=1,RR (ττ)=�1, (nn −1)TT <ss ,tt <nnTT ,nn =0,±1,⋯0, 其他AA −II +II PP 0.5 0.510. 随机二元波（双向噪声）XX (tt )是半随机二元波，YY (tt )=XX (tt −Φ)，Φ在[0,TT ]上均匀分布且与XX (tt )独立EE [YY (tt )]=0,RR XX (ττ)=�1−|ττ|TT ,|ττ|≤TT0,其他二、平稳过程及其相关函数性质自相关函数性质： 性质1： RR (0)≥0性质2：|RR (ττ)|≤RR (0),|CC (ττ)|≤CC (0)性质3：实平稳过程的相关函数是偶函数，即RR (−ττ)=RR (ττ) 性质4：RR (ττ)是非负定的，即∑∑RR�ττii −ττjj �xx ii xx jj NNjj=1NN ii=1≥0性质5： RR (ττ)在(−∞,+∞)连续的充要条件是RR (ττ)在ττ=0处连续 性质6： 周期平稳过程XX (tt )的周期为LL ，则RR (ττ)也是周期为LL 的周期函数 性质7： {XX (tt ),tt ∈TT }是不含周期分量的平稳过程，且ττ→∞时XX (tt )与XX (tt +ττ)相互独立，则 lim |ττ|→∞RR XX (ττ)=mm XX 2,DD (tt )=RR (0)−RR (∞)互相关函数性质：RR XXXX (ττ)=EE [XX (tt )YY (tt +ττ)], CC XXXX (ττ)=RR XXXX (ττ)−mm XX mm XX性质1：RR XXXX (ττ)=RR XXXX (−ττ)性质2：RR XXXX (ττ)≤�RR XX (0)�RR XX (0),CC XXXX (ττ)≤�CC XX (0)�CC XX (0)性质3：ZZ (tt )=XX (tt )+YY (tt )，{XX (tt ),tt ∈TT }和{YY (tt ),tt ∈TT }为联合平稳过程，则{ZZ (tt ),tt ∈TT }为平稳过程复平稳过程的自相关函数性质：RR ZZ (ττ)=�ZZ (tt )ZZ (tt +ττ)������������,CC ZZ (ττ)=RR ZZ (ττ)−|mm ZZ |2 性质1：RR ZZ (0)=EE |ZZ (tt )|2≥0 性质2： RR ZZ (−ττ)=RR ZZ (ττ)�������� 性质3： |RR ZZ (ττ)|≤RR ZZ (0),|CC ZZ (ττ)|≤CC ZZ (0)性质4：RR ZZ (ττ)非负定平稳过程的性质： 性质1：平稳过程{XX (tt ),tt ∈TT }均方连续⇔ RR (ττ)在ττ=0处连续。
此时RR (ττ)在TT 上连续。
性质2：平稳过程{XX (tt ),tt ∈TT }均方可导⇔RR (ττ)在ττ=0处二阶导数RR ′′(0)存在，此时RR ′′(ττ)处处存在。
性质3：若{XX (tt ),tt ∈TT }是均方可导的平稳过程，则其导过程{XX ′(tt ),tt ∈TT }也是平稳过程且mm XX ′=0,RR XX ′(ττ)=−RR XX ′′(ττ),RR XXXX ′(ττ)=RR XX ′(ττ),RR XX ′XX (ττ)=−RR XX ′(ττ)推论：DD [XX ′(tt )]=−RR XX ′′(0),RR XXXX ′(0)=0,RR XX ′XX (0)=0性质4：平稳过程{XX (tt ),tt ∈TT }均方连续，则�XX (tt )ddtt bbaa存在，且EE ��XX (tt )ddtt bbaa�=mm XX (bb −aa ),EE ��XX (tt )ddtt bbaa�2=��RR (tt −ss )ddssddtt bbaabb aa=2�[(bb −aa )−|ττ|]ddττbb−aa三、平稳过程的均方遍历性定义1：1. 如果下列均方极限存在：〈XX (tt )〉=l.i.m.TT→∞12TT �XX (tt )ddtt TT−TT则称〈XX (tt )〉为随机过程{XX (tt ),−∞<tt <+∞}的时间均值； 2. 如果下列均方极限存在：〈XX (tt )XX (tt +ττ)〉=l.i.m.TT→∞12TT �XX (tt )XX (tt +ττ)ddtt TT−TT则称〈XX (tt )〉为随机过程{XX (tt ),−∞<tt <+∞}的时间自相关函数。