ch10_1第二类曲线积分

B
B
引例 力场 F {P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}
有向光滑曲线弧 Γ: AB (P, Q, R 在Γ上连续). 求质点沿Γ从点 A 移动到点 B, 力场所作的功W.
0 设 T ( M ) {cos , cos , cos }
0 有向弧元素 d s T ds ds { cos d s, cos d s, cos d s}
{ dx, dy , dz } d s 向坐标轴的有向投影


0, 0 , 变量x的增量或微分 2 x d x , 0 , 2 cos d s y d y z d z
AB

tB tA
AB
P [ x (t ), y (t )] x(t ) Q [ x (t ), y (t )] y(t )}dt
AB
AB
xB 特别 2 , P( x)d x P ( x) d x
定积分是第二类曲线积分的特例.
xA
3 2 2 x d x 3 y z d y x y dz 例1. 计算
0

0
1
87 87t dt 4
3
例2. 计算 x y d x d y, 其中L 为抛物线 y 2 x
L
上点A(1,1)到点B(1,－1)的一段弧. 解1: 取 x 为参数, 则 L : LAO LOB
LAO : y x , x : 1 0
LOB : y x , x : 0 1
例6. 计算 I ( z y ) dx ( x z ) d y ( x y )os t , y sin t , z 2 cos t sin t ( t : 2 0 ) z 2 I [ (2 cos t )( sin t )

其中Γ 为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线. 解:直线AB 的参数方程: x y z t 即 : x 3t, y 2t, z t, t A 1, t B 0 3 2 1
x 3 d x 3 y 2 z d y x 2 y dz

[(3t ) 3 3 3(2t ) 2 t 2 (3t ) 2 2t 1]dt 1
第二类曲线积分的计算
平面光滑曲线弧 AB: x x(t ), y y (t ), t A t B ( ) 2 A( x, y ) {P( x, y ), Q( x, y )} (P, Q在Γ上连续)
0 ( P cos Q cos ) d s A T d s AB A d s P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
第二类曲线积分的性质
0 ( P cos Q cos R cos ) d s A T d s A( M ) {P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}
( ), 另一方向曲线BA ( ), 1) 有向曲线正方向 AB 0 0 则 A T ds A T ds
2

2
0
例7. 求 y d x z d y x d z
其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 解: y d x z d y x d z


z
B o A x C y
利用x, y, z 轮换对称性
CA
3 y d x z d y xdz 3 y d x 3 (1 x) d x
CA

1
0
3 2
CA: y 1 x, z 0 ( x : 0 1)
例7. 质点在力场 F { y, x, x y z} 作用下, 沿
从点 A (a,0, 0)移动到点 B (a, 0, c). 求力场所作的功. (1) : 螺线 x a cos t , y a sin t , z c t ; (2) : 直线 AB . 2 解: (1) : t : 0 2
其中P, Q, R在Γ上连续.
P d x Q d y R dz t P [ x (t ), y (t ), z (t )] x(t ) Q [ x (t ), y (t ), z (t )] y(t ) t

B A
R [ x (t ), y (t ), z (t )] z (t )} dt
0
(2 cos t 2 sin t ) cos t
(cos t sin t )(sin t cos t ) ] d t
(2 sin t 2 cos t 1 4 cos 2 t ) d t
0 2

o x y
2 4 4 cos t dt 2
AB AB
分别称为函数P, Q, R沿曲线Γ从A到B关于弧长 有向投影dx, dy, dz的第二类曲线积分.
第二类曲线积分的计算
空间光滑曲线弧 AB: x x(t ), y y (t ), z z (t ), t A t B
d s {x(t ), y(t ), z (t )} dt A( x, y, z ) {P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}
0 0
C (0,0,1) y z 1
A(1,0,0) x 1 1 0 1 I (1 1) d y (1 1 z ) dz 0 dz dx
1 0
B(0,1,0) o y x y 1
2 2 1 1 1 2 2
x 2 y 2 1, : 从Oz 轴正向看为顺时针方向. ( P239.8） x yz 2
t:0

0
y
L
2
dx

B (a sin t ) (a sin t ) dt a
2
o
t
A a x
3 1 a (1 cos t ) d cos t a (cos t cos t ) 0 4 a 3 3 0 3
3 2
3
(2) L: y 0, x : a a
§1 第二类曲线积分
§1.1 第二类曲线积分的概念 §1.2 格林公式 §1.3 平面曲线积分与路径无关性 §3 空间曲线积分与路径无关性
§1.1 第二类曲线积分的概念
引例 力场沿曲线作功

设空间一质点在力场 A F F ( x, y, z ) {P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )} 的作用下, 沿光滑曲线弧 Γ从点 A 移动到点 B, 求力场所作的功W. F 分析: 常力沿直线所作的功 0 A W | F | AB cos ( F AB ) s s “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
2
1
1
0
0
(4) L : OA AB LBO . 原式＝0
例4. 计算 y d x , 其中L:
2
L
(1) 半径为a 圆心在原点的上半圆周, 逆时针方向; (2) 从点 A (a,0)沿 x 轴到点 B (– a, 0). y L : x a cos t , y a sin t , 解: (1)
y
L
2
dx
a a
0 dx 0
例5. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算
I d x d y yd z

z
解: AB : x 1 y, z 0 ( y : 0 1)
BC : y 1 z , x 0 ( z : 0 1) CO : x y 0, ( z : 1 0) OA : y z 0, ( x : 0 1)
0 ( P cos Q cos R cos ) d s A T d s 称为函数 A( M ) A( x, y, z ) 在Γ上的第二类曲线积分.
0 物理意义 力场沿曲线作功 W F T d s
A B
其中P, Q, R是Γ上的有界函数，则
max ( sk ) 1 k n F 0 T
Pk
M k 1
W lim
0 W F T ds


0
k 1
n
0 [ F T ]Pk sk
sk
Mk
B
F
A
Pk
( Pcos Q cos R cos ) ds
0 sk T
0, ,
2
第二类曲线积分的表示
0 A T d s ( Pcos Qcos R cos ) ds AB A d s P d x Q d y R dz
AB
AB
AB

AB
P( x, y, z )d x Q( x, y, z )d y R( x, y, z )dz


2) 若有向曲线 由有向曲线1与2首尾衔接而成, 则
0 0 0 A T ds A T ds A T ds
1 2
0 A T d s ( Pcos Qcos R cos ) ds A d s P d x Q d y R dz
1
2
2
2
xy
o
1 0
yx
A(1, 0 ) x