理论力学第5章分析力学

ri ri (q1 , q2 ,qs , t ) (i 1,2,, n, s 3n)
式中 q1 , q2 ,qs 叫拉格朗日广义坐标。
▪ 广义坐标不一定是长度，可以是其它物理
量。如角度、面积、体积、电磁场强度等。
▪ 在几何约束的情况下，广义坐标的数目和
自由度的数目相等。 s 个广义坐标就足以确
§5.1 约束与广义坐标
1 约束的概念和分类
▪在一个力学体系中，常存在着一些限制各质
点自由运动的条件，这些条件就叫约束。这
样有着 3n 个坐标的力学体系，只要有约束，
这些坐标之间就不互相独立。
▪ 约束对各质点位臵限制的条件通常可以表 为力学体系中质点的坐标、速度和时间的 方程。 ▪ 如果 n 个质点所形成的力学体系中受有 k 个 限制其位臵的约束，那就有 那么 面 个坐标中就只有 3n 个约束方程， k 个是独立的。 3n k
▪ 当一质点被一柔软绳连在一个定点 O 上而 作任意运动时，所受的约束是可解约束。 若取定点 O 为原点，则约束方程为
x y z l
2 2 2
2
▪ 但如果质点是用刚性杆和定点 O 相连，则 质点所受的约束是不可解约束，约束方程 将是
x y z l
2 2 2
2
几何约束和运动约束
▪ 几何约束或称完整约束，只限制质点在空
2 2 2
2
可解约束和不可解约束
▪ 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约
束。如质点被约束在
f ( x, y, z ) 0
曲面上。
▪ 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在
某一方向可以脱离，这种就叫可解约束。
如 f ( x, y, z) c 质点可以在曲面上，也可以
在 f ( x, y, z) c 方向离开这一曲面。因此不可 解约束用等号表式，而可解约束同时用等 号和不等号表示。
定力学体系的位臵。
▪ 如一质点被约束在圆周 x 2 y 2 R 2上运动，可
令 x R cos , y R sin ，式中 是位矢与 x 轴 的夹角， 就是这一问题的广义坐标。质 点在一平面上运动，原应有两个坐 x, y ， 但因圆周是一个约束，所以只有一个独立 坐标，这是一个自由度的问题。
间的位臵，因而表现为是质点坐标的函数
f ( x, y, z ) 0 或 f ( x, y, z, t ) 0
▪ 运动约束除了限制质点的坐标外，还要限
制质点速度的投影，运动约束也叫微分约
束，如
, y , z , t ) 0 f ( x, y, z, x
▪ 微分约束有时经过积分后可以变成几何约 束，但若不能积分，则称为不完整约束。 不能用等式表示的可解约束也是一种不完 整约束，除了这两种不完整约束外，其它 约束都是完整约束。
▪ 凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。 否则叫不完整系。
▪ 当圆柱体沿斜面滚下时，约束方程是
xC a 0
这是不含有微分和速度投影的方程，所以 这是几何约束或完整约束。今后主要研究 完整系的力学问题。
2 广义坐标
▪对于有 n 个质点所组成的力学体系，如果有 k 个几何约束 f ( x, y, z, t ) 0
▪ 例如当一质点和长为 l 的刚性杆相连时， 如刚性杆的上端固定不动，如取此点为坐 标原点，则约束方程 x 2 y 2 z 2 l 2 是稳 定约束。如杆的上端沿水平直线以匀速 c 运
动，并取该直线上某定点为坐标原点，则
约束方程将是不稳定约束：
( x ct) y z l
里面的一个。但对不稳定约束来讲，实位 移与虚位移往往并不一致。如质点被约束 在运动着的曲面
dr
P
f ( x, y, z, t ) 0
r
2 理想约束
▪作用在质点上的力在任意虚位移中所作的功， 叫做虚功。 ▪如果作用在一力学体系上诸约束反力在任意
虚位移中所作的虚功之和为零，即
Ri ri 0
▪ 一般来讲，在任一时刻，在约束所许可的
情况要不离开此
曲面，质点可以在各个方向发生虚位移。
而实位移则不然，它除受到约束的限制外，
还要受到运动规律的限制。当时间改变 dt
后，实位移一般只能有一个，因为质点的
坐标通常都是时间的单值函数。
▪ 在稳定约束下，实位移 dr 是许多虚位移r
如一个质点原有3个独立坐标，如果受有曲
f ( x, y, z ) 的约束，那独立坐标的数 0
目就会减少至两个。
▪ 如果约束不是时间的函数，即约束方程中 不显含时间 t ，即形如 f ( x, y, z ) 0
则这种约束叫稳定约束。
反之，则叫不稳定约束，如 f ( x, y, z, t ) 0
n ▪ 对上式求和： Fi ri Ri ri 0 n i 1 i 1
n i 1
那么这种约束叫做理想约束。如光滑面、光滑 铰链、刚性杆、不可伸长的绳等。
3 虚功原理
▪当系统处于平衡时，系统每一质点都是处于 平衡. 这样, 作用于第 i 个质点的主动力和约 束力的合力应为零, 即
Fi Ri 0
▪于是作用于第 i质点所有各力的虚功之和为零
Fi ri Ri ri 0
§5.2 虚功原理
1 实位移与虚位移
▪由于运动实际上所发生的位移，叫实位移，
用 dr 表示。dr r dt ，若 dt 0 则 dr 0
一时刻质点发生了一个无限小的位移，它不
是由时间改变所引起的，只决定于质点的位
▪如果在约束所许可的情况下，我们想象在某
臵和约束，这种位移叫虚位移，用 r 表示。 由于时间没改变，故 dt 0 。
( 1,2,...,k )
那么独立坐标就减少为 3n k 个。在只受有 几何约束的情况下，这些独立坐标的数目叫 做力学体系的自由度。但对微分约束来讲，
自由度的数目则可能小于独立坐标的数目。
因为微分约束不但对位臵有约束而且对速度分
量也有约束。
▪ 如果令 3n k s ，3n 个不独立的坐标可用 s 个独立参数 q1 , q2 ,qs 及 t 表示出，即