2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3课件:2.2.2 事件的相互独立性

合集下载

人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.2 事件的相互独立性

人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.2 事件的相互独立性
第二章 随机变量及其分布
2.2.2 事件的相互独立性
知识回顾 1.什么叫互斥事件? 在一次试验中,不可能同时发生的事件. 2.什么叫对立事件? 若A∩Β为不可能事件,A∪Β为必然事件,那么称事件A与事件Β互为对立事件.
3.条件概率 一般地,设ΑΒ为两个事件,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率叫条件概 率. 4.条件概率的计算公式:
(2)甲、乙两地都不下雨的概率; 解:P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 (3)其中至少有一方下雨的概率. 解:P=1-0.56=0.44
2.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标
14 的概率为_______ 15
3.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到
(2) 其中恰有1人击中目标的概率? 解:根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概
率是
P( A B) P( A B) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
想一想 求相互独立事件概率的一般步骤是什么? (1)确定各事件是不是相互独立
(2)确定各事件是否会同时发生
(3)先求每个事件发生的概率,再求其积
巩固练习
1.在一段时间内,甲地下雨的概率是0.2,乙地下雨的概率是0.3,假定在这 段时间内两地是否下雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都下雨的概率; 解:P=0.2×0.3=0.06
(3)至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是:

下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件

下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件
此题你有其他方法吗?
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变,求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况, 故所求概率为 P=P(A- B-)+P(AB-)+P(A-B) =P(A-)·P(B-)+P(A)·P(B-)+P(A-)·P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2:分析下面的实验,它们有什么共同特征?所求随机事件的概率是多 少?
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次,出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C,33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ,求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2:分析下面的实验,它们有什么共同特征?
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次,出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次,每次命中的概率为0.6 ,求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况:
①甲射中、乙未射中(事件 A B-发生),

人教A版高中数学选修2-3课件2.2.2事件的相互独立性

人教A版高中数学选修2-3课件2.2.2事件的相互独立性
0.8 P ( D)
所以,合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
小结 (1)列表比较 互斥事件 不可能同时发 生的两个事件 相互独立事件 事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响
定义
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A B) P( A) P( B) (2)解决概率问题的一个关键:分解复杂问题为基
C A B A B P (C ) 1 P (C )
1 P ( A ) P ( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)]
1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
练习2
练习2 若甲以10发8中,乙以10发7中的命中率打靶, 两人各射击一次,则他们都中靶的概率是( D )
事件的相互独立性
引入
相互独立事件的定义: 设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的
概率没有影响(即
与事件B相互独立.
P ( AB) P ( A) P), ( B)则称事件A
显然:
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ① A 与 B ;② A 与 B ; ③ A 与 B.
练习5 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4, 且每个人必须独立解题,问三个臭皮匠中至少 有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较, 谁大? 略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P( A B C ) 1 0.5 0.55 0.6 0.835
A.
3 5
B.
3 4
C.
12 25

人教版A版高中数学选修2-3:2.2.2事件的相互独立性特色

人教版A版高中数学选修2-3:2.2.2事件的相互独立性特色
2.2.2事件的相互独立性
问题:甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里 有2个白球,2个黑球,从这两个坛子里分别摸出 1个球,它们都是白球的概率是多少?
(白,白) (白,白) (白,黑) (白,黑) (白,白) (白,白) (白,黑) (白,黑) (白,白) (白,白) (白,黑) (白,黑) (黑,白) (黑,白) (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) (黑,白) (黑,黑) (黑,黑)
P(A)(1 P(B)) P(A)P(B)
注意:
互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响。
判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
例1 某商场推出二次开奖活动。凡购买一定价值的 商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中 以下事件的概率:
(1)都抽到某一指定号码;
解:设第一次抽奖抽到某一指定号码为事件A,第 二次抽奖抽到某一指定号码为事件B,则两次抽奖都 抽到某一指定号码就是事件AB.由于两次抽奖结果 互不影响,因此A与B相互独立。
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.

高中数学人教A版选修2-3教学课件:2.2.2事件的相互独立性

高中数学人教A版选修2-3教学课件:2.2.2事件的相互独立性

• [点评] (1)求相互独立事件的概率一般采 用以下解题步骤:①确定各事件是相互独 立的;②确定各事件会同时发生;③先求 每个事件发生的概率,再求其积. • (2)在解此类题时,要明确事件中的“至少 有一个发生”、“至多有一个发生”、 “恰有一个发生”、“都发生”、“都不 发生”、“不都发生”等词语的含义,以 免混淆.
• [解析] 记“答对第一个问题”为事件A, “答对第二个问题”为事件B,“答对第三 个问题”为事件C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7, P(C)=0.6.又它们相互独立,所以
(1)事件“这名同学得 300 分”可表示为(A B C)∪( A BC),所以其概率为 P(A B C)+P( A BC)=P(A)· P( B )· P(C) + P( A )· P(B)· P(C) = 0.8×(1 - 0.7)×0.6 + (1 - 0.8)×0.7×0.6=0.228. (2)“这名同学至少得 300 分”可理解为这名同学得 300 分 或 400 分 , 所 以 该 事 件 可 表 示 为 (A B C)∪( A BC)∪(ABC).所以其概率为 P(A B C)+P( A BC)+P(ABC) =0.228+P(A)P(B)P(C)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
[解析]
只有 A 发生, 即ห้องสมุดไป่ตู้A B 发生; 只有 B 发生, 即A
B 发生.因为 A,B 相互独立,所以 A 与 B, B 与 A 也相互 1 独立. 所以 P(A B )=P(A)P( B )=P(A)[1-P(B)]=4, P( A B) 1 =P( A )P(B)=P(B)[1-P(A)]= , 4 1 P(A)-P(A)P(B)=4, 即 P(B)-P(A)P(B)=1. 4 1 P(A)=2, 解得 P(B)=1. 2

数学选修2-3人教新课标A版2-2-2事件的相互独立性课件(31张)

数学选修2-3人教新课标A版2-2-2事件的相互独立性课件(31张)
4 是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1 ,甲、丙两台机床加
12 工的零件都是一等品的概率为2 .
9 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
解析答案
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个 一等品的概率. 解 记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验, 其中至少有一个一等品的事件, 则 P(D)=1-P( D )=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-23×34×13=56. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,至少有一个一等品的 概率为5 .
解析答案
(3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 解 记A:出现偶数点,B:出现3点或6点, 则A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, ∴P(A)=36=12,P(B)=26=13,P(AB)=16, ∴P(AB)=P(A)·P(B), ∴事件A与B相互独立.
反思与感悟 解析答案
解 记“三个元件T1,T2,T3”正常工作“分别 为事件A1,A2,A3”,
则 P(A1)=12,P(A2)=34,P(A3)=34, 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1, P=P[(A2∪A3)A1]=P(A2∪A3)·P(A1) =[1-P( A 2)·P( A 3)]·P(A1)=1-14×41×12=3125.
结论
称事件A与事件B相互独立
答案
知识点二 相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
A与__B_ A与_A__ _A_与_B_
也相互独立
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 事件独立性的判断 例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件: (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中 各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”; 解 “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生, 对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响, 所以它们是相互独立事件.

2018学年高中数学选修2-3课件:2.2.2 精品

2018学年高中数学选修2-3课件:2.2.2 精品

(2) 事 件 A 与 B 是 否 具 备 独 立 性 , 一 般 都 由 题 设 条 件 给 出.但实际问题的场合里往往要根据实际问题的性质来判定两 个事件或一组事件是否相互独立.通常,诸如射击问题,若干 电子元件或机器是否正常工作,有放回地抽样等场合下对应的 事件(组)认为是相互独立的.
1.若 A 与 B 是相互独立事件,则下面不是相互独立事件
[规律方法] 常见事件与概率间的关系 已知两个事件 A,B,它们的概率为 P(A),P(B),将 A,B 中至少有一个发生记为事件 A∪B,都发生记为事件 A·B,都不 发生记为事件 A ·B ,恰有一个发生记为事件 A·B ∪ A ·B,至多 有一个发生记为事件 A ·B ∪ A ·B∪A·B ,为方便同学们记忆, 我们用表格的形式将其展示出来.
彼此互斥,所以 P(A5)=P(A·B ·C )+P( A ·B·C )+P( A ·B ·C)14
+18+112=2114.
10 分
(6)记事件 A6=“事件 A,B,C 恰有两个发生”,则有三 种情况:
第一种,事件 A,B 发生,事件 C 不发生,即 A·B·C ; 第二种,事件 A,C 发生,事件 B 不发生,即 A·B ·C; 第三种,事件 B,C 发生,事件 A 不发生,即 A ·B·C; 而这三种情况不可能同时发生,
(1)两种股票都获利的概率; (2)两种股票都不获利的概率; (3)恰有一种股票获利的概率; (4)至少有一种股票获利的概率.
解析: 记“甲种股票获利”为事件 A,“乙种股票获利” 为事件 B,A,B 为相互独立事件,且 P(A)=23,P(B)=12.
(1)两种股票都获利的概率为: P(AB)=P(A)P(B)=23×12=13. (2)两种股票都不获利的概率为: P( A B )=P( A )P( B )=[1-P(A)]×[1-P(B)] =1-23×1-12=16.

2018版高中数学人教A版选修2-3课件:2-2-2 事件的相互独立性

2018版高中数学人教A版选修2-3课件:2-2-2 事件的相互独立性
1 1
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
相互独立事件和互斥事件的概率问题 【例2】 已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的3个白球和2个 红球,乙袋中装有1个白球和4个红球.现从甲、乙两袋中各摸一个 球,试求: (1)两球都是红球的概率; (2)恰有一个是红球的概率; (3)至少有一个是红球的概率. 分析:判断基本事件的构成,及各事件间的关系,选择合适的公式 计算.
4 1 = , 52 13 26 1 抽到红牌的概率为 P(B)= 52 = 2, 1 1 1 则 P(A)P(B)= 13 × 2 = 26,
抽到 K 的概率为 P(A)=
事件 AB 为“既抽到 K 又抽到红牌”,即“抽到红桃 K 或方块 K”, 故 P(AB)= 52 = 26 , 从而有P(A)P(B)=P(AB),因此 A 与 B 相互独立.
2 2 4
所以两球都是红球的概率为P(AB)=P(A)P(B)= 5 × 5 = 25 = 0.32.
3 , ������(������) 5
4
8
(2)由已知 C=������������ ∪ ������������, 且������������与������������为互斥事件,而 P(������) = = 5 , 则P(C)=P(������������ ∪ ������������) = ������(������������) + ������(������������) =
由题意,可求得 P(A)= , ������(������) = , 所以 P(AB)=P(A)P(B)= ×
3 5 3 5 3 5
=
3 5 9 25
= 0.36.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四

人教A版高中数学选修2-3课件2.2.2事件的相互独立性()

人教A版高中数学选修2-3课件2.2.2事件的相互独立性()

A与B是相互独立事件.
[填思空考:2]:甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙

坛事子件里A是有指2个__从白_甲_球_坛_,_子2_个_里_黑摸__出球__1,_个设_球_从_,_得甲_到_坛_黑;子球里
摸事出件一B是个指球_,_从得_乙_出_坛_白_子_球_里_叫摸__出做__1事_个_件球__A,_得,_从到__黑乙; 球坛子
等于每个事件发生的概率的积。
2.推广:如果事件A1,A2,…An相互独立,那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即: P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提: 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例 例1、某商场推出两次开奖活动,凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为0.05,求两次抽奖中 以下事件的概率:
思考与探究
思考1:三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次有放回地抽取,问:最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗?
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B 表 示 事 件 “ 最 后 一 名 同 学 中 奖 ” .
答:事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P(B | A) P(B)
(1)“都抽到中奖号码”;
(2)“恰有一次抽到中奖号码”;
(3)“至少有一次抽到中奖号码”。 解:记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件A, “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件B,
(1)0.0025(2)0.095(3)0.0975பைடு நூலகம்
练一练:已知A、B、C相互独立,试用数 学符号语言表示下列关系

人教A版高中数学选修2-3第二章:2.2.2事件的相互独立性课件

人教A版高中数学选修2-3第二章:2.2.2事件的相互独立性课件
由于 甲,乙同时射击,甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性,所以 A与B独立,进而 A 与 B独立.
C A B AB
P(C ) 1 P(C ) 1 [1 P( A)][1 P(B)]
1 P( A)P( B ) 1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
( 互独事件)
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
巩固练习:甲, 乙两人同时向敌人炮击,已
知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的
概率为0.5, 求敌机被击中的概率.
解: 设 A={ 甲击中敌机 }, B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }, 则 C A B.
依题设, P( A) 0.6, P(B) 0.5
2.2.2事件的相互独立性
复习回顾
条件概率:
设事件A和事件B,且P(A)>0,在已知 事件A发生的条件下事件B发生的概率, 叫做条件概率。记作P(B |A).
条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件:必须 P(A)>0
事件的关系及其运算
事件A与B关系
(1)“都抽到某一指定号码”; 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码” 为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号 码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一 指定号码”就是事件AB。
由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A 和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖 都抽到某一指定号码的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025
(2)“恰有一次抽到某一指定号码”;
解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”
可以用(AB)(AB)表示。由于事件 AB 与 AB

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3教学案:2.2.2 事件的相互独立性-含

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3教学案:2.2.2 事件的相互独立性-含

2.2.2 事件的相互独立性预习课本P54~55,思考并完成以下问题1.事件的相互独立性的定义是什么?性质是什么?2.相互独立事件与互斥事件的区别?[新知初探] 事件的相互独立性(1)定义:设A ,B 为两个事件,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立.(2)性质:A 与B 是相互独立事件,则⎩⎪⎨⎪⎧A 与B A 与BA 与B 也相互独立.[点睛] 相互独立事件与互斥事件的区别[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立.( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立.( )(3)如果事件A 与事件B 相互独立,则P (B |A )=P (B ).( )(4)“P (AB )=P (A )·P (B )”是“事件A ,B 相互独立”的充要条件.( )答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么,在一次预报中,甲、乙两站预报都准确的概率为________.答案:0.563.一件产品要经过两道独立的工序, 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________.答案:(1-a )(1-b )4.已知A ,B 是相互独立事件,且P (A )=12,P (B )=23,则P (A B )=________,P (AB )=________.答案:16 16事件独立性的判断[典例] 判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生, 2名女生; 乙组2名男生, 3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛, “从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件A ,B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积,则事件A ,B 为相互独立事件.(3)条件概率法:当P (A )>0时,可用P (B |A )=P (B )判断. [活学活用]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否是独立事件? (1)A ={掷出偶数点},B ={掷出奇数点}; (2)A ={掷出偶数点},B ={掷出3的倍数点}; (3)A ={掷出偶数点},B ={掷出的点数小于4}. 解:(1)∵P (A )=12,P (B )=12,P (AB )=0,∴A 与B 不是相互独立事件. (2)∵P (A )=12,P (B )=13,P (AB )=16,∴P (AB )=P (A )·P (B ), ∴A 与B 是相互独立事件.(3)∵P (A )=12,P (B )=12,P (AB )=16,∴P (AB )≠P (A )·P (B ), ∴A 与B 不是相互独立事件.相互独立事件概率的计算为0.6, 购买甲、乙保险相互独立, 各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.[解] 记A 表示事件“购买甲种保险”,B 表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A 与B ,A 与B ,A 与B ,B 与A 都是相互独立事件,且P (A )=0.5,P (B )=0.6.(1)记C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C =AB ,所以P (C )=P (AB )=P (A )·P (B )=0.5×0.6=0.3. (2)记D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D =A B ,所以P (D )=P (A B )=P (A )·P (B )=(1-0.5)×0.6=0.3.[一题多变]1.[变设问]本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少?解:法一:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件E包括A B,A B,AB,且它们彼此为互斥事件.所以P(E)=P(A B+A B+AB)=P(A B)+P(A B)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.所以P(E)=1-P(AB)=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.2.[变条件,变设问]某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学至少得300分的概率.解:记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.(1)这名同学得300分的概率P1=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是:①首先确定各事件之间是相互独立的;②确定这些事件可以同时发生;③求出每个事件的概率,再求积.(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.[典例] 三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,如图所示,求电路不发生故障的概率.[解] 记“三个元件T 1,T 2,T 3正常工作”分别为事件A 1,A 2,A 3,则P (A 1)=12,P (A 2)=34,P (A 3)=34. 不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1, ∴不发生故障的概率为 P =P [(A 2∪A 3)A 1] =P (A 2∪A 3)·P (A 1)=[1-P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) =⎝⎛⎭⎫1-14×14×12=1532.求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示;(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立.或者是相互独立),列出关系式; (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算;(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.[活学活用]某校田径队有三名短跑运动员,根据平时的训练情况统计,甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25,34,13,如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测.(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少? (2)出现恰有几人合格的概率最大?解:设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ,B ,C ,显然A ,B ,C 相互独立,P (A )=25,P (B )=34,P (C )=13,所以P (A )=1-25=35,P (B )=1-34=14,P (C )=1-13=23.设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3). (1)三人都合格的概率为P 3=P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=25×34×13=110.三人都不合格的概率为P 0=P (A -B -C -)=P (A )P (B )P (C )=35×14×23=110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为AB C ,A B C ,A BC 两两互斥,所以恰有两人合格的概率为:P 2=P (AB C +A B C +A BC )=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C ) =25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率为P 1=1-P 0-P 2-P 3=1-110-2360-110=2560=512.由(1)(2)知P 0,P 1,P 2,P 3中P 1最大,所以出现恰有一人合格的概率最大.层级一 学业水平达标1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A 与B 是( )A .互斥事件B .相互独立事件C .对立事件D .不相互独立事件解析:选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A 与B 不是相互独立事件.故选D .2.若P (AB )=19,P (A )=23,P (B )=13,则事件A 与B 的关系是( )A .事件A 与B 互斥 B .事件A 与B 对立C .事件A 与B 相互独立D .事件A 与B 既互斥又独立解析:选C 因为P (A )=23,所以P (A )=13,又P (B )=13,P (AB )=19,所以有P (AB )=P (A )P (B ),所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥.3.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是( )A .1425B .1225C .34D .35解析:选A 由题意知P 甲=810=45,P 乙=710,所以P =P 甲·P 乙=1425.4.有两名射手射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若各射击一次,则目标被击中的概率是( )A .0.56B .0.92C .0.94D .0.96解析:选C 设事件A 表示:“甲击中”,事件B 表示:“乙击中”.由题意知A ,B 互相独立.故目标被击中的概率为P =1-P (A ·B )=1-P (A )P (B )=1-0.2×0.3=0.94.5.从甲袋内摸出1个红球的概率是13,从乙袋内摸出1个红球的概率是12,从两袋内各摸出1个球,则23等于( )A .2个球不都是红球的概率B .2个球都是红球的概率C .至少有1个红球的概率D .2个球中恰好有1个红球的概率解析:选C 至少有1个红球的概率是13×⎝⎛⎭⎫1-12+12×⎝⎛⎭⎫1-13+12×13=23. 6.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是________.解析:所求概率P =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. 答案:0.267.已知P (A )=0.3,P (B )=0.5,当事件A ,B 相互独立时,P (A ∪B )=________,P (A |B )=________.解析:∵A ,B 相互独立,∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (A )·P (B )=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65. P (A |B )=P (A )=0.3.答案:0.65 0.38.设两个相互独立的事件A ,B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率等于B发生A 不发生的概率,则事件A 发生的概率P (A )=________.解析:由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧(1-P (A ))(1-P (B ))=19,P (A )(1-P (B ))=P (B )(1-P (A )),解得P (A )=P (B )=23.答案:239.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.求:(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率. (2)至少有一个气象台预报准确的概率.解:记“甲气象台预报天气准确”为事件A ,“乙气象台预报天气准确”为事件B .显然事件A ,B 相互独立且P (A )=45,P (B )=34.(1)P (AB )=P (A )P (B )=45×34=35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P =1-P (AB )=1-P (A )P (B )=1-15×14=1920.10.已知A ,B ,C 为三个独立事件,若事件A 发生的概率是12,事件B 发生的概率是23,事件C 发生的概率是34,求下列事件的概率:(1)事件A ,B ,C 只发生两个; (2)事件A ,B ,C 至多发生两个.解:(1)记“事件A ,B ,C 只发生两个”为A 1,则事件A 1包括三种彼此互斥的情况,A ·B ·C ;A ·B ·C ;A ·B ·C ,由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,得P (A 1)=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )=112+18+14=1124,∴事件A ,B ,C 只发生两个的概率为1124.(2)记“事件A ,B ,C 至多发生两个”为A 2,则包括彼此互斥的三种情况:事件A ,B ,C 一个也不发生,记为A 3,事件A ,B ,C 只发生一个,记为A 4,事件A ,B ,C 只发生两个,记为A 5,故P (A 2)=P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=124+624+1124=34.∴事件A ,B ,C 至多发生两个的概率为34.层级二 应试能力达标1.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为( )A .0.12B .0.88C .0.28D .0.42解析:选D P =(1-0.3)(1-0.4)=0.42.2.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A .49B .29C .23D .13解析:选A 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P (A )=23,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P (B )=23.故P (AB )=P (A )·P (B )=23×23=49. 3.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A 荷叶上,则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A .13B . 29C . 49D .827解析:选A 按A →B →C →A 的顺序的概率为13×13×13=127,按A →C →B →A 的顺序的概率为23×23×23=827,故跳三次之后停在A 叶上的概率为P =127+827=13.4.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是互相独立的,则灯亮的概率为( )A .316B .34C .1316D .14解析:选C 记“A ,B ,C ,D 四个开关闭合”分别为事件A ,B ,C ,D ,可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为:P (C )P (D )[1-P (AB )]=12×12×⎝⎛⎭⎫1-12×12=316.∴灯亮的概率为1-316=1316. 5.加工某零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为170,169,168,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.解析:加工出来的零件的正品率为⎝⎛⎭⎫1-170×⎝⎛⎭⎫1-169×⎝⎛⎭⎫1-168=6770,所以次品率为1-6770=370. 答案:3706.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.解析:此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.答案:0.1287.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率;(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.解:记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.(1)法一:该选手被淘汰的概率:P=P(A1∪A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)=P(A1)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.法二:P=1-P(A1A2A3A4)=1-P(A1)P(A2)·P(A3)·P(A4)=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0.024=0.976.(2)法一:P=P(A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.法二:P=1-P(A1)-P(A1A2A3A4)=1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576.8.(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

种保险”,则由题意得 A 与 B,A 与 B , A 与 B, B 与 A 都是相互 独立事件,且 P(A)=0.5,P(B)=0.6. (1)记 C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”, 则 C=AB,所以 P(C)=P(AB)=P(A)· P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)记 D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”, 则 D= A B,所以 P(D)=P( A B)=P( A )· P(B)=(1-0.5)×0.6 =0.3.
[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (2)必然事件与任何一个事件相互独立. (√ )
(√ ) (3)如果事件 A 与事件 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B). ( √ ) (4)“P(AB)=P(A)· P(B)”是“事件 A,B 相互独立”的充要 条件. ( √ )
也相互独立.
[点睛]
相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 事件 A(或 B)是否发 互斥事件 不可能同时发生的两个 事件
条件
生对事件 B(或 A)发 生的概率没有影响
符号 计算公式
相互独立事件 A , B 互斥事件 A, B 中有一个发 同时发生,记作:AB 生,记作:A∪B(或 A+B) P(AB)=P(A)P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B)
2.2.2 事件的相互独立性
预习课本 P54~55,思考并完成以下问题
1.事件的相互独立性的定义是什么?性质是什么?
2.相互独立事件与互斥事件的区别?
[新知初探] 事件的相互独立性 (1)定义:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)= P(A)P(B) ,则 称事件 A 与事件 B 相互独立. A与 B (2)性质:A 与 B 是相互独立事件,则 A 与B A与 B
[活学活用] 把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否是 独立事件? (1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点}; (2)A={掷出偶数点},B={掷出 3 的倍数点}; (3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于 4}.
1 1 解:(1)∵P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=0, 2 2 ∴A 与 B 不是相互独立事件. 1 1 1 (2)∵P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= , 2 3 6 ∴P(AB)=P(A)· P(B), ∴A 与 B 是相互独立事件. 1 1 1 (3)∵P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= , 2 2 6 ∴P(AB)≠P(A)· P(B), ∴A 与 B 不是相互独立事件.
两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法: 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相 互影响. (2)定义法:如果事件 A,B 同时发生的概率等于事件 A 发生 的概率与事件 B 发生的概率的积, 则事件 A, B 为相互独立事件. (3)条件概率法:当 P(A)>0 时,可用 P(B|A)=P(B)是相互独立事件,且 P(A)= ,P(B)= ,则 2 3 P(A B )=________,P( A B )=________.
1 1 答案: 6 6
事件独立性的判断
[典例] 判断下列事件是否为相互独立事件.
(1)甲组 3 名男生, 2 名女生; 乙组 2 名男生, 3 名女生, 现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛, “从甲组中 选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”. (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球, “从 8 个球 中任意取出 1 个,取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个,取出的还是白球”.
相互独立事件概率的计算
[典例] 根据资料统计, 某地车主购买甲种保险的概率
为 0.5,购买乙种保险的概率为 0.6, 购买甲、乙保险相互 独立, 各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
[ 解]
记 A 表示事件“购买甲种保险”,B 表示事件“购买乙
[一题多变] 1.[变设问]本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的 概率是多少? 解:法一:记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一
种”,则事件 E 包括 A B,A B ,AB,且它们彼此为互斥事件. 所以 P(E)=P( A B+A B +AB)=P( A B)+P(A B )+P(AB) =0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8. 法二: 事件“至少购买甲、 乙两种保险中的一种”与事件“甲、 乙两种保险都不购买”为对立事件. 所以 P(E)=1-P(AB)=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
[ 解]
(1)“ 从甲组中选出 1 名男生 ”这一事件是否发生,对
“从乙组中选出 1 名女生”这一事件是否发生没有影响,所以它们 是相互独立事件. 5 (2)“从 8 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”的概率为 , 8 若这一事件发生了,则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个,取出的 4 仍是白球”的概率为 ;若前一事件没有发生,则后一事件发生的 7 5 概率为 ,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影 7 响,所以二者不是相互独立事件.
2.甲、乙两水文站同时作水文预报,如果甲站、乙站各自预 报的准确率为 0.8 和 0.7.那么,在一次预报中,甲、 乙两站预报都准确的概率为________.
答案:0.56
3.一件产品要经过两道独立的工序, 第一道工序的次品率 为 a, 第二道工序的次品率为 b, 则该产品的正品率为 ________.
2.[变条件,变设问]某同学参加科普知识竞赛,需回答三个 问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答 对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6,且 各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.
相关文档
最新文档