高校教育成本测算及其优化管理模型
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[ 6]
+
图 1 教学质量效用函 数图
引理 1 设 Z ( F ( x ) ) 为多目标规划问题 ( VP ) 的评价函 数 , 当Z ( F ( x ) ) 是F 的严格单调增函数时, 则单目标问题m ax Z ( F ( x ) ) 的最优解属于( VP ) 的 x ∈X 有效解集. 引理2[ 7] 设 f : R n→ ( - ∞, ∞ ) 为凸函数, 那么f ( x 0) = min { f ( x ) x ∈R n } , 当且仅当0∈ f ( x 0 ) , 其中 f ( x 0 ) 表示 f 在 x 0 点的次微分 . 引理 3 [ 7] 设 f j : Rn →R 为凸函数, j = 1, 2, … , n, 令 f ( x ) = 1max f j ( x ) , x ∈ Rn , 则 ≤j ≤n f ( x) = {
第 39 卷第 16 期 2009 年 8 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V o l. 39 No . 16 A ugust, 2009
教学园地
高校教育成本测算及其优化管理模型
侯丽英, 何 东
( 黑龙江八一农垦大学 数学系 , 黑龙江 大庆 163319)
假设 1 全校、 各专业学生人数 X , X j 都是随机变量, 分别具有连续的分布密度函数 p ( X ) , p j ( X j ) , 并且满足 p( X ) = P ( X ) X ∈[ X 0, X 1] 0 X [ X 0, X 1] p j ( X j ) = P j ( X j ) X j ∈[ X j , X j ] 0 Xj
i i ∈I ( x )
xi
* i i ∈I ( x ) *
= 1,
i
≥ 0, x i ∈ f i ( x ) }
*
其中 I ( x ) = { i 1 ≤i ≤n, f i ( x ) = f ( x ) } , x i 是次微分集合 f i ( x ) 中的元素, 当 f i ( x ) 可微时 , f i ( x ) 是 f i ( x ) 的梯度.
其中成本质量效用函数满足假设 2, 3. 由于 L , Q j 中的学生人数为随机变量 , 对其取期望为 EL , EQj , j = 1, 2, …, n, 并通过对质量最差情形进行优化, 以实现整体优化的方法建立优化 模型为 max ( EL , 1min EQ j ) CC ≤j ≤n
0 j
( 6)
这是一个非光滑多目标优化问题 , 其中分别对( 4) 、 ( 5) 取期望得
n n
EL =
∑F j
j= 1
EX j -
∑C
j= 0
j
C0 -0) ] + E [ aj ( C j - EQj = E [ a0 ( - c cj ) ] , j = 1, 2, … , n X Xj 并在假设 1, 2, 3 的前提下定义 h 0( C 0) = C0 d E [ a 0( - c0 ) ] = dC 0 X
1 [X0 j , Xj ] 0 1
其中 X 0> 0, X 0 j > 0. 假设 2 质量效用函数 a 0, a j 分别是关于 C 0 / X , C j / X j 的连 续上凸有界函数, 并且当实际成本投入 C 0 = C j = 0 时 , 质量效用 -0) = aj ( - c -j ) = 0, j = 1, 2, …, n . 为零, 即 , a0 ( - c 假设 3 质量效用函数关于成本投入的导函数 a0 ′ , aj ′ 是连 续可微的, 并且当实际成本投入 C 0 = C j = 0 时, 满足, a0 ′ (- c 0) j ) > 0, j = 1, 2, … , n . 见图 1. = aj+ ′ (- c
b
( 1)
若进一步测算j 专业中第 i 门课的生均成本 , 只要在( 1) 式的后面再加上第 i 门课的总成
( 2)
Cj =
k= 1
Ck Xk
( 3)
成本及其使用状况复杂的现象在成本测算的许多领域都普遍存在, 如海尔集团的家电 产品和通讯产品, 既有共享成本又有单独承担的 , 所以模型( 3) 具有广泛的应用价值. 3. 2 双目标优化模型 在利用模型( 1) 及历史数据计算 c, c j 的基础上 , 我们可以对学校总利润和教学质量加以 描述. 总利润表示为:
Q( C )
证明 文献[ 6] 证明了线性加权法构造的评价函数为严格单调增函数, 由引理 1 得证. 注 表示投资者对教学质量的关注程度 , 越大 , 表明投资者越关注教学质量 ; 相反 越小, 投资者越关注办学效益. 定理 1 在假设 1, 2 的前提下, 优化问题 ( 9) 的最优解存在.
n
X1
j
X
0 j
jຫໍສະໝຸດ Baidu
j
j
4 主要结果
命题 1 对于常数 ∈( 0, 1) , 设 Z ( C ) = ( 1- ) E L + Q ( C ) , 则优化问题( 6) 的有效解 等价于优化问题
[ 6]
16 期
侯丽英 , 等 : 高校教育成本测算及其优 化管理模型
263 ( 9)
( 1- ) EL + max C 的最优解, 其中 Q ( C ) = 1m in EQ j . ≤j ≤n
收稿日期 : 2008-12-01 基金项目 : 黑龙江省教育厅科学技术面上项目 ( 11511259) ( 11541259) ; 大庆市科学技术计划项目 ( SG G 2007-058) ; 黑 龙江省高等学校新世纪教学改革工程项目 ( 黑教高处函 [ 2009] 7 号 )
16 期
侯丽英 , 等 : 高校教育成本测算及其优 化管理模型
261
… , n, 为分摊到第 j 个专业学生上的投资成本 , C 为决策变量 . X , X j 分别为全校的学生数和第 j 个专业的学生数 , 并且满足 X =
j
Xj.
- c 0 , cj 由国家最低办学条件标准和各专业招生计划生成的生均基准成本元, c 0, cj > 0, 可由本文模型 ( 1) 及历史数据模拟生成, 在这里假设已知 . -0, c -j ) 为第 j 个专业的学费标准, 随着长期社会经济环境的变化 , 学费标准是基准成 Fj ( c 本元的递增函数. 但短期来看, 由于教育资金的运行方式是学费支付在前 , 培养学生在后, 所 以在招生规模随机 , 考虑成本投入与教学质量和利润关系时, 学费标准 F j ( c 0 , cj ) 为定量 . a0 , aj 为校、 专业各层成本质量效用函数 , j = 1, 2, …, n. 由于成本投入的多少影响着教 学质量 , 而且成本投入到不同层次机构, 产生的质量效用是不同的 . 于是定义每一层次的成 本投入产生的质量效用为实际生均成本投入和基准成本元之差的函数, 即 a0 = a 0( C0 Cj - c0) , aj = aj ( - cj ) , j = 1, 2, …, n X Xj
3 模型的建立
3. 1 生均成本测算模型 学生在校期间全部课程的教学服务及其所占用的包括教学设施在内的固定资产折旧价 值就是他所得到的主要成本投入 . 基于谁受益谁分担的成本分摊原则, 我们把学生涉及的各
262
数 学 的 实 践 与 认 识
39 卷
类成本按照校、 专业两层分类, 建立 j 专业的生均成本( unit cost s) 模型为 -j = C 0+ C j , j = 1, 2, … , n C X Xj 本 C j i 和该课学生数 X j i 的商 , 即 -j = C 0 + C j + C j i C X X j X ji 计算平均成本的层次分得越细, ( 2) 式相加项就越多 , 于是生均成本的一般模型为
摘要 : 在高校成本层次分类的基础上 , 建立了生均成本测算的一般模型 , 针对教育成本投入 过程中因学生
人数随机变化而存在的 风险 , 引进教学质量函数 , 提出了办学效益和教学 质量的双目标优化模型 . 利用 凸分 析和优化原理得到优化问题解的存在性 , 全部正解的 取值范围以及最优解满足的充要条件 , 对最优解的定 量计算给出了基于 M ont e Carlo 模拟的遗传算法设计 , 并进行了相应的经济意义分析 .
证明 由于C j ≥ 0, j = 1, 2, … , n. 若设存在某个j , 使C j →+ ∞, 则 为连续上凸有界函数, 所以 C lim Z ( C ) = - ∞ , 于是存在 M > 0, 使得 →+ ∞
j
∑C <
j j= 0
0, 1m in EQ j ≤j ≤n
m ax{ Z ( C) : C j ≥0, j = 0, 1, 2, …, n } = max { Z ( C ) : 0≤ Cj ≤ M , j = 0, 1, 2, …, n} 又因为 Z ( C ) 在有界闭集 0≤ C j ≤M , j = 1, 2, … , n 上连续 , 由有界闭集上连续函数的最值存 在性定理, 所以优化问题的最优解存在. 注 优化问题 ( 9) 的最优解不是唯一的 , 这是由有界闭集上连续函数最值存在的不唯一 性所决定的. 定理 2 在假设 1, 2, 3 的前提条件下 , 取 1 = max , 1+ h 0( 0) 1+ min [ 0max hi ( 0) i ] ≤i ≤m
n n
L=
∑F j X j - ( C 0 +
j= 1
∑C )
j j= 1
( 4)
另外, 在忽略其他因素的情况下 , 定义 j 专业的总体教学质量是各层次质量效用的和: C0 Cj 0) + aj ( - j ) , j = 1, 2, … , n Q j = a0 ( X - c Xj c ( 5)
[ 5]
2 预 备
定义 1 教育成本指以学校作为计量主体 , 用于培养学生所消耗的教育资源的价值. 问题的提出 : 当学费标准一定, 各专业实际招生人数随机变化时 , 怎样进行各层次的成 本投入 , 使学校的总利润和各专业的教学质量都最大 ? 首先给出记号如下: C = ( C 0 C 1 … C n) 为一成本投资组合 , C 0 为分摊到全校学生上的总投资成本 , C j , j = 1, 2,
j
( 7)
Cj d hj ( Cj ) = d C j E [ aj ( X j 且 h0 ( 0) > 0, h j ( 0) > 0.
( ∫X a ′ X C 1 c ) ] = ∫X a ′ (X X
0
X1
1
C0
j
0
c 0 ) p ( X ) dX cj ) p j ( X j ) dX j ( 8)
关键词 : 教育成本 ; 多目标规划 ; 凸函数 ; 次微分
1 引 言
高等教育资金运行方式与一般企业的产品生产在前 , 销售在后的运行机制正好相反, 它 表现为消费者学费 ( 购买 ) 支付在前 , 学生培养 ( 产品生产) 在后. 另外学费标准在招生前一 旦确定后, 无论招生规模如何, 它都不能改变 , 这时学校的经营利润大小将反过来取决于成 本的缩减程度 , 而成本的节约又大多同教学质量的下降紧密联系在一起 , 所以在高等教育逐 渐市场化的今天, 如何进行教育成本测算与投入, 以达到办学效益和教学质量的双目标优 化 , 这对于政府进行学费定价、 财政拨款, 以及学校教学管理, 提高教育资源使用效率都具有 重要的意义. 文献 [ 1-2] 中指出成本核算系统是教育管理的有效工具, 它能降低教育成本, 提 高效益 . 文献[ 3] 在计量教育投资的收益率时, 运用统计数据或抽样调查数据估算了教育成 本 . 文献 [ 4] 总结了教育成本的概念, 决定因素 , 分析方法以及建立成本信息数据库的必要 性 . 国内对教育成本管理主要集中在政策机制和宏观调控层面 , 教育成本计量也大多用会计 或统计方法进行处理 . 本文在生均成本的测算基础上, 建立了办学效益和教学质量的双目 标优化模型, 得到优化模型解的存在性、 全部正解 的取值范围以及最优解满足的充要条 件 , 并进行了相应的算法设计与经济意义分析, 为相关问题的研究提供了理论与方法支持.
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图 1 教学质量效用函 数图
引理 1 设 Z ( F ( x ) ) 为多目标规划问题 ( VP ) 的评价函 数 , 当Z ( F ( x ) ) 是F 的严格单调增函数时, 则单目标问题m ax Z ( F ( x ) ) 的最优解属于( VP ) 的 x ∈X 有效解集. 引理2[ 7] 设 f : R n→ ( - ∞, ∞ ) 为凸函数, 那么f ( x 0) = min { f ( x ) x ∈R n } , 当且仅当0∈ f ( x 0 ) , 其中 f ( x 0 ) 表示 f 在 x 0 点的次微分 . 引理 3 [ 7] 设 f j : Rn →R 为凸函数, j = 1, 2, … , n, 令 f ( x ) = 1max f j ( x ) , x ∈ Rn , 则 ≤j ≤n f ( x) = {
第 39 卷第 16 期 2009 年 8 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V o l. 39 No . 16 A ugust, 2009
教学园地
高校教育成本测算及其优化管理模型
侯丽英, 何 东
( 黑龙江八一农垦大学 数学系 , 黑龙江 大庆 163319)
假设 1 全校、 各专业学生人数 X , X j 都是随机变量, 分别具有连续的分布密度函数 p ( X ) , p j ( X j ) , 并且满足 p( X ) = P ( X ) X ∈[ X 0, X 1] 0 X [ X 0, X 1] p j ( X j ) = P j ( X j ) X j ∈[ X j , X j ] 0 Xj
i i ∈I ( x )
xi
* i i ∈I ( x ) *
= 1,
i
≥ 0, x i ∈ f i ( x ) }
*
其中 I ( x ) = { i 1 ≤i ≤n, f i ( x ) = f ( x ) } , x i 是次微分集合 f i ( x ) 中的元素, 当 f i ( x ) 可微时 , f i ( x ) 是 f i ( x ) 的梯度.
其中成本质量效用函数满足假设 2, 3. 由于 L , Q j 中的学生人数为随机变量 , 对其取期望为 EL , EQj , j = 1, 2, …, n, 并通过对质量最差情形进行优化, 以实现整体优化的方法建立优化 模型为 max ( EL , 1min EQ j ) CC ≤j ≤n
0 j
( 6)
这是一个非光滑多目标优化问题 , 其中分别对( 4) 、 ( 5) 取期望得
n n
EL =
∑F j
j= 1
EX j -
∑C
j= 0
j
C0 -0) ] + E [ aj ( C j - EQj = E [ a0 ( - c cj ) ] , j = 1, 2, … , n X Xj 并在假设 1, 2, 3 的前提下定义 h 0( C 0) = C0 d E [ a 0( - c0 ) ] = dC 0 X
1 [X0 j , Xj ] 0 1
其中 X 0> 0, X 0 j > 0. 假设 2 质量效用函数 a 0, a j 分别是关于 C 0 / X , C j / X j 的连 续上凸有界函数, 并且当实际成本投入 C 0 = C j = 0 时 , 质量效用 -0) = aj ( - c -j ) = 0, j = 1, 2, …, n . 为零, 即 , a0 ( - c 假设 3 质量效用函数关于成本投入的导函数 a0 ′ , aj ′ 是连 续可微的, 并且当实际成本投入 C 0 = C j = 0 时, 满足, a0 ′ (- c 0) j ) > 0, j = 1, 2, … , n . 见图 1. = aj+ ′ (- c
b
( 1)
若进一步测算j 专业中第 i 门课的生均成本 , 只要在( 1) 式的后面再加上第 i 门课的总成
( 2)
Cj =
k= 1
Ck Xk
( 3)
成本及其使用状况复杂的现象在成本测算的许多领域都普遍存在, 如海尔集团的家电 产品和通讯产品, 既有共享成本又有单独承担的 , 所以模型( 3) 具有广泛的应用价值. 3. 2 双目标优化模型 在利用模型( 1) 及历史数据计算 c, c j 的基础上 , 我们可以对学校总利润和教学质量加以 描述. 总利润表示为:
Q( C )
证明 文献[ 6] 证明了线性加权法构造的评价函数为严格单调增函数, 由引理 1 得证. 注 表示投资者对教学质量的关注程度 , 越大 , 表明投资者越关注教学质量 ; 相反 越小, 投资者越关注办学效益. 定理 1 在假设 1, 2 的前提下, 优化问题 ( 9) 的最优解存在.
n
X1
j
X
0 j
jຫໍສະໝຸດ Baidu
j
j
4 主要结果
命题 1 对于常数 ∈( 0, 1) , 设 Z ( C ) = ( 1- ) E L + Q ( C ) , 则优化问题( 6) 的有效解 等价于优化问题
[ 6]
16 期
侯丽英 , 等 : 高校教育成本测算及其优 化管理模型
263 ( 9)
( 1- ) EL + max C 的最优解, 其中 Q ( C ) = 1m in EQ j . ≤j ≤n
收稿日期 : 2008-12-01 基金项目 : 黑龙江省教育厅科学技术面上项目 ( 11511259) ( 11541259) ; 大庆市科学技术计划项目 ( SG G 2007-058) ; 黑 龙江省高等学校新世纪教学改革工程项目 ( 黑教高处函 [ 2009] 7 号 )
16 期
侯丽英 , 等 : 高校教育成本测算及其优 化管理模型
261
… , n, 为分摊到第 j 个专业学生上的投资成本 , C 为决策变量 . X , X j 分别为全校的学生数和第 j 个专业的学生数 , 并且满足 X =
j
Xj.
- c 0 , cj 由国家最低办学条件标准和各专业招生计划生成的生均基准成本元, c 0, cj > 0, 可由本文模型 ( 1) 及历史数据模拟生成, 在这里假设已知 . -0, c -j ) 为第 j 个专业的学费标准, 随着长期社会经济环境的变化 , 学费标准是基准成 Fj ( c 本元的递增函数. 但短期来看, 由于教育资金的运行方式是学费支付在前 , 培养学生在后, 所 以在招生规模随机 , 考虑成本投入与教学质量和利润关系时, 学费标准 F j ( c 0 , cj ) 为定量 . a0 , aj 为校、 专业各层成本质量效用函数 , j = 1, 2, …, n. 由于成本投入的多少影响着教 学质量 , 而且成本投入到不同层次机构, 产生的质量效用是不同的 . 于是定义每一层次的成 本投入产生的质量效用为实际生均成本投入和基准成本元之差的函数, 即 a0 = a 0( C0 Cj - c0) , aj = aj ( - cj ) , j = 1, 2, …, n X Xj
3 模型的建立
3. 1 生均成本测算模型 学生在校期间全部课程的教学服务及其所占用的包括教学设施在内的固定资产折旧价 值就是他所得到的主要成本投入 . 基于谁受益谁分担的成本分摊原则, 我们把学生涉及的各
262
数 学 的 实 践 与 认 识
39 卷
类成本按照校、 专业两层分类, 建立 j 专业的生均成本( unit cost s) 模型为 -j = C 0+ C j , j = 1, 2, … , n C X Xj 本 C j i 和该课学生数 X j i 的商 , 即 -j = C 0 + C j + C j i C X X j X ji 计算平均成本的层次分得越细, ( 2) 式相加项就越多 , 于是生均成本的一般模型为
摘要 : 在高校成本层次分类的基础上 , 建立了生均成本测算的一般模型 , 针对教育成本投入 过程中因学生
人数随机变化而存在的 风险 , 引进教学质量函数 , 提出了办学效益和教学 质量的双目标优化模型 . 利用 凸分 析和优化原理得到优化问题解的存在性 , 全部正解的 取值范围以及最优解满足的充要条件 , 对最优解的定 量计算给出了基于 M ont e Carlo 模拟的遗传算法设计 , 并进行了相应的经济意义分析 .
证明 由于C j ≥ 0, j = 1, 2, … , n. 若设存在某个j , 使C j →+ ∞, 则 为连续上凸有界函数, 所以 C lim Z ( C ) = - ∞ , 于是存在 M > 0, 使得 →+ ∞
j
∑C <
j j= 0
0, 1m in EQ j ≤j ≤n
m ax{ Z ( C) : C j ≥0, j = 0, 1, 2, …, n } = max { Z ( C ) : 0≤ Cj ≤ M , j = 0, 1, 2, …, n} 又因为 Z ( C ) 在有界闭集 0≤ C j ≤M , j = 1, 2, … , n 上连续 , 由有界闭集上连续函数的最值存 在性定理, 所以优化问题的最优解存在. 注 优化问题 ( 9) 的最优解不是唯一的 , 这是由有界闭集上连续函数最值存在的不唯一 性所决定的. 定理 2 在假设 1, 2, 3 的前提条件下 , 取 1 = max , 1+ h 0( 0) 1+ min [ 0max hi ( 0) i ] ≤i ≤m
n n
L=
∑F j X j - ( C 0 +
j= 1
∑C )
j j= 1
( 4)
另外, 在忽略其他因素的情况下 , 定义 j 专业的总体教学质量是各层次质量效用的和: C0 Cj 0) + aj ( - j ) , j = 1, 2, … , n Q j = a0 ( X - c Xj c ( 5)
[ 5]
2 预 备
定义 1 教育成本指以学校作为计量主体 , 用于培养学生所消耗的教育资源的价值. 问题的提出 : 当学费标准一定, 各专业实际招生人数随机变化时 , 怎样进行各层次的成 本投入 , 使学校的总利润和各专业的教学质量都最大 ? 首先给出记号如下: C = ( C 0 C 1 … C n) 为一成本投资组合 , C 0 为分摊到全校学生上的总投资成本 , C j , j = 1, 2,
j
( 7)
Cj d hj ( Cj ) = d C j E [ aj ( X j 且 h0 ( 0) > 0, h j ( 0) > 0.
( ∫X a ′ X C 1 c ) ] = ∫X a ′ (X X
0
X1
1
C0
j
0
c 0 ) p ( X ) dX cj ) p j ( X j ) dX j ( 8)
关键词 : 教育成本 ; 多目标规划 ; 凸函数 ; 次微分
1 引 言
高等教育资金运行方式与一般企业的产品生产在前 , 销售在后的运行机制正好相反, 它 表现为消费者学费 ( 购买 ) 支付在前 , 学生培养 ( 产品生产) 在后. 另外学费标准在招生前一 旦确定后, 无论招生规模如何, 它都不能改变 , 这时学校的经营利润大小将反过来取决于成 本的缩减程度 , 而成本的节约又大多同教学质量的下降紧密联系在一起 , 所以在高等教育逐 渐市场化的今天, 如何进行教育成本测算与投入, 以达到办学效益和教学质量的双目标优 化 , 这对于政府进行学费定价、 财政拨款, 以及学校教学管理, 提高教育资源使用效率都具有 重要的意义. 文献 [ 1-2] 中指出成本核算系统是教育管理的有效工具, 它能降低教育成本, 提 高效益 . 文献[ 3] 在计量教育投资的收益率时, 运用统计数据或抽样调查数据估算了教育成 本 . 文献 [ 4] 总结了教育成本的概念, 决定因素 , 分析方法以及建立成本信息数据库的必要 性 . 国内对教育成本管理主要集中在政策机制和宏观调控层面 , 教育成本计量也大多用会计 或统计方法进行处理 . 本文在生均成本的测算基础上, 建立了办学效益和教学质量的双目 标优化模型, 得到优化模型解的存在性、 全部正解 的取值范围以及最优解满足的充要条 件 , 并进行了相应的算法设计与经济意义分析, 为相关问题的研究提供了理论与方法支持.