拉格朗日松弛 PPT
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理论力学拉格朗日方程PPT课件
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n
[(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q j
q
j
]
k j 1
[
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
动力学
§7– 1 动力学普遍方程
第七 章
拉
格
§7–2 拉格郎日方程
郎
日
方
程
§7–3 拉格郎日方程的第一积分
目录
第1页/共73页
§7-1 动力学普遍方程
第2页/共73页
§7-1 动力学普遍方程 动力学普遍方程和拉格朗日方程是分析动力学的内容。分析动力学是把系 统作为一个整体来考察，并利用动能、势能这类标量函数来描述这个系统。
Qj
V q j
j (1, 2 , ..., k)
代入上式，注意到势能函数 V =V（ q1 ， q2 ，…， qk ）与广义速度q j 无关
即
V q
0
则有
j
d dt
理论力学-拉格朗日方程PPT
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特的优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除Fra Baidu bibliotek物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
拉格朗日方程和牛顿方程是等价的，可以通过拉格朗日乘子法将其相互转化，从而更好地理解和解决力 学问题。
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
第8章_松弛算法
zLR (, x*)
2 2 53 6 5 2 )T
T (7 , 2 2)T ( x1 (), x2 ())
单位化下降方向:
(
53 6 5 2
,
lim(
7 53 6 5 2
,
2 2 53 6 5 2
)T (
1 2 T , ) 5 5
例3. 代理松弛法:
当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束
( a
j 1 k 1
n
K
ik j
) x j bik
k 1
K
代替(7.1.1)中的K个约束 n
a
j 1
ik j
x j bik , k 1 K
m
极端情况可以用一个代替全部
( a
j 1 k 1
Chapter 8:拉格朗日松弛算法
主要内容:
8.1 基于规划论的松弛方法
8.2 拉格朗日松弛理论
8.3 拉格朗日松弛的进一步讨论
8.4 拉格朗日松弛算法
8.5 应用案例:能力约束单机排序问题
基于数学规划: 分支定界法、割平 面法、线性规划松弛再对目标函 数可行化等的目标值。 现代优化算法：禁忌搜索法、模 拟退火法、遗传算法、蚁群算法 等的目标值。 其它算法：分解法、组合算法等的 目标值。 下界算法：线性规划松弛、拉格朗 日松弛等的目标值。
2 2 53 6 5 2 )T
T (7 , 2 2)T ( x1 (), x2 ())
单位化下降方向:
(
53 6 5 2
,
lim(
7 53 6 5 2
,
2 2 53 6 5 2
)T (
1 2 T , ) 5 5
例3. 代理松弛法:
当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束
( a
j 1 k 1
n
K
ik j
) x j bik
k 1
K
代替(7.1.1)中的K个约束 n
a
j 1
ik j
x j bik , k 1 K
m
极端情况可以用一个代替全部
( a
j 1 k 1
Chapter 8:拉格朗日松弛算法
主要内容:
8.1 基于规划论的松弛方法
8.2 拉格朗日松弛理论
8.3 拉格朗日松弛的进一步讨论
8.4 拉格朗日松弛算法
8.5 应用案例:能力约束单机排序问题
基于数学规划: 分支定界法、割平 面法、线性规划松弛再对目标函 数可行化等的目标值。 现代优化算法：禁忌搜索法、模 拟退火法、遗传算法、蚁群算法 等的目标值。 其它算法：分解法、组合算法等的 目标值。 下界算法：线性规划松弛、拉格朗 日松弛等的目标值。
拉格朗日松弛
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 14
简单例子
Page 15
简单例子
Page 16
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X 1 = (0， 0， 0， 0)T
Z LB 1 = 11 + 21 + 31 = 0
（3）修改当前参数 X1=X0+d* y’
（4）计算该点当前梯度（导数） y’； ……重复
X0
X1 一元函数
Page 10
如何应用—次梯度法
次梯度法：在某一点，沿次梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
次梯度不唯一
为
的一个可行解
步骤：
STEP1:
STEP2: ， 否则，
步长：
Page 11
ห้องสมุดไป่ตู้
如何应用—步长
拉格朗日松弛的基本原理构造基于拉格朗日松弛的启发式 算法。
获得可行解（上界）/最优解（最优值）
Page
6
Outline
1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 7
如何应用
如何选取松弛的条件？ 原则：该条件去掉后使得问题容易求解。 如何选择最优的拉格朗日乘子？
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简单例子
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简单例子
Page 16
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X 1 = (0， 0， 0， 0)T
Z LB 1 = 11 + 21 + 31 = 0
（3）修改当前参数 X1=X0+d* y’
（4）计算该点当前梯度（导数） y’； ……重复
X0
X1 一元函数
Page 10
如何应用—次梯度法
次梯度法：在某一点，沿次梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
次梯度不唯一
为
的一个可行解
步骤：
STEP1:
STEP2: ， 否则，
步长：
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ห้องสมุดไป่ตู้
如何应用—步长
拉格朗日松弛的基本原理构造基于拉格朗日松弛的启发式 算法。
获得可行解（上界）/最优解（最优值）
Page
6
Outline
1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 7
如何应用
如何选取松弛的条件？ 原则：该条件去掉后使得问题容易求解。 如何选择最优的拉格朗日乘子？
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛（Lagrangian Relaxation，简称LR）和分支定界法（Branch and Bound）都是求解优化问题的重要算法。
拉格朗日松弛法的主要思想是将原问题中涉及多对象之间复杂关系的约束松弛至目标函数，通过将原问题分解为子问题来降低求解难度。这种方法通过增加拉格朗日乘子与复杂约束的乘积项，将原问题转化为无约束优化问题，从而在合理时间内求得问题的最优解。拉格朗日松弛法具有计算速度快、计算量随变量增加呈线性增长而非指数增长等优点，特别适用于解决大规模混合整数规划问题。
分支定界法则是一种枚举方法，通过反复将问题的解空间分割为越来越小的子集，并确定每个子集的目标下界，来寻找问题的最优解。这种方法通过搜索与迭代，不断缩小解空间范围，直到找到最优解。然而，对于大规模问题，分支定界法的运算时间可能会变得很长，因为需要存储大量的子集界限并执行繁杂的分支运算。
综上，拉格朗日松弛和分支定界法各有其优点和适用场景。拉格朗日松弛法适用于解决大规模混合整数规划问题，而分支定界法则在解决某些特定类型的问题时可能更有效。选择哪种方法取决于问题的具体性质和要求。
《拉格朗日松弛算法》课件
Support Vector Machines[J]. Cornell University.
对拉格朗日函数进行松弛
通过对拉格朗日函数的约束条件进行松
求解松弛问题
4
弛，将原问题转化为无约束优化问题。
Βιβλιοθήκη Baidu接下来，我们使用适当的方法求解松弛
问题，得到近似解。
5
判断解的精度是否满足要求
然后，我们需要判断所得解的精度是否
满足要求则输出解
6
满足要求。
如果解的精度满足要求，我们将输出所
得解。
7
不满足要求则增大松弛参数
《拉格朗日松弛算法》 PPT课件
本PPT课件介绍了拉格朗日松弛算法的原理、应用领域以及算法步骤。通过丰 富的实例演示和图像插图，帮助大家更好地理解和掌握这一算法。
算法介绍
1 什么是拉格朗日松弛算法？
拉格朗日松弛算法是一种用于求解约束优化问题的优化算法，通过将原问题的约束条件 进行松弛，将复杂的原问题转化为简单的无约束问题。
费用流问题
通过费用流问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在网 络流问题中的应用和效果。
最小割问题
通过最小割问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在图 论问题中的应用和效果。
总结
1 拉格朗日松弛算法的优点和缺点
拉格朗日松弛算法具有求解复杂问题的能力，但在某些情况下可能存在求解不稳定或收 敛速度慢的问题。
对拉格朗日函数进行松弛
通过对拉格朗日函数的约束条件进行松
求解松弛问题
4
弛，将原问题转化为无约束优化问题。
Βιβλιοθήκη Baidu接下来，我们使用适当的方法求解松弛
问题，得到近似解。
5
判断解的精度是否满足要求
然后，我们需要判断所得解的精度是否
满足要求则输出解
6
满足要求。
如果解的精度满足要求，我们将输出所
得解。
7
不满足要求则增大松弛参数
《拉格朗日松弛算法》 PPT课件
本PPT课件介绍了拉格朗日松弛算法的原理、应用领域以及算法步骤。通过丰 富的实例演示和图像插图，帮助大家更好地理解和掌握这一算法。
算法介绍
1 什么是拉格朗日松弛算法？
拉格朗日松弛算法是一种用于求解约束优化问题的优化算法，通过将原问题的约束条件 进行松弛，将复杂的原问题转化为简单的无约束问题。
费用流问题
通过费用流问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在网 络流问题中的应用和效果。
最小割问题
通过最小割问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在图 论问题中的应用和效果。
总结
1 拉格朗日松弛算法的优点和缺点
拉格朗日松弛算法具有求解复杂问题的能力，但在某些情况下可能存在求解不稳定或收 敛速度慢的问题。
拉格朗日松弛算法(LR)
1
0.5
步长的曲线
0
0
500
1000
1500 counter
2000
2500
3000
3500
upper
40 35 蓝线的期望值高于紫线 30 期望值不同对迭代造成的影响 期望值接近最优解，造成迭代次数增加 25 好处？
value
20
15
10
5
0
0
500
1000
1500 counter
2000
2500
yes
end
Simulation results
eg1: 12 jobs and 2 identical machines ; Eg2:25 jobs and 4 identical machines ; Result: Eg1 bound=31.82 with best heuristic result 34; Eg2 bound=37.74 with best heuristic result 38;
{ Bi } i k i
k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
Ci Bi 1 ti
k 0
i 1, 2,…，N
(2)
decomposition
Min ω T + π δ i i k ik {B } i k i
2.3欧拉方法及拉格朗日方法(共28张PPT)
第十三页，共二十八页。
4.1.2欧拉法
➢ 某时刻位于一个空间点上的流体(liútǐ)质点的密度、压力、温度就是流场 对应点、对应时刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。
➢在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场性质是相同的。
第十四页，共二十八页。
4.1.2随体导数(dǎo shù)
通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数.
第二十八页，共二十八页。
温度 T T (x, y, z,t)
(x, y, z,t)称为欧拉变数
第十一页，共二十八页。
4.1.2欧拉法
➢欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格朗日法最大的区别
(qūbié)是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数，可以广泛的利用场 论的知识
第十二页，共二十八页。
4.1.2欧拉法
➢在气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（相当于空间点）设立 星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测 到的气象要素迅速报到规定(guīdìng)的通讯中心，然后发至世界 各地，绘制成同一时刻的气象图，据此做出天气预报。
4.1欧拉方法和拉格朗日方法。4.1欧拉方法和拉格朗日方法。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。拉格朗日方法虽然很自 然,也很直观,但实现起来却非常困难:无法对成千上万的流体质点进行跟踪.。欧拉法着眼于空 间点，设在空间中的每一个点上描述出流体运动随时间(shíjiān)的变化状况。如果每一点流体 运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了
4.1.2欧拉法
➢ 某时刻位于一个空间点上的流体(liútǐ)质点的密度、压力、温度就是流场 对应点、对应时刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。
➢在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场性质是相同的。
第十四页，共二十八页。
4.1.2随体导数(dǎo shù)
通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数.
第二十八页，共二十八页。
温度 T T (x, y, z,t)
(x, y, z,t)称为欧拉变数
第十一页，共二十八页。
4.1.2欧拉法
➢欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，与拉格朗日法最大的区别
(qūbié)是欧拉法中的定义得到的的函数都是场函数，可以广泛的利用场 论的知识
第十二页，共二十八页。
4.1.2欧拉法
➢在气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（相当于空间点）设立 星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测 到的气象要素迅速报到规定(guīdìng)的通讯中心，然后发至世界 各地，绘制成同一时刻的气象图，据此做出天气预报。
4.1欧拉方法和拉格朗日方法。4.1欧拉方法和拉格朗日方法。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。拉格朗日方法虽然很自 然,也很直观,但实现起来却非常困难:无法对成千上万的流体质点进行跟踪.。欧拉法着眼于空 间点，设在空间中的每一个点上描述出流体运动随时间(shíjiān)的变化状况。如果每一点流体 运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了
拉格朗日松弛1
Hale Waihona Puke Baidu
23
拉格朗日松弛和不等式约束
引理：
拉格朗日乘子问题：最小化 假设L*表示最优目标值，假设x对于 和 那么 是可行的.
24
旅行的售货员问题(TSP)
输入：n 城市， 表示成 1,…,n cij = 从城市i 到城市j的旅行距离
输出： 一个最小的距离周游
25
表示TSP 问题
弧的集合是周游，如果 有两条弧和每个结点关联 红色的弧(不和结点1关联)形成在G\1中的生成树.
9
从1到6的新的最短路径是什么？
1-2-5-6的修改的代价 是20. 通过时间是 15. 代价是5. 1-2-4-6仍然不可行.
我们增加收费到$2
10
从1到6的新的最短路径是什么？
路径1-2-5-6仍 然是最优路 径.
11
存在可选择的最短路径
1-2-5-6修改的代价 是35. 1-3-2-5-6 也是最优 的. 它对原问题来说也 是最优的！
6
带有通过时间限制的最短路径问题
步骤1 (松弛方法) 解决没有复杂约束的问题. 如果解满足 复杂约束，那么它对于原问题来说是最优的.
7
从结点1到结点6的最短路径是什么？
8
最短路径是1-2-4-6
1-2-4-6的通过时 间是18. 为了减少最短路径 的通过时间，我 们把惩罚比例放 到通过时间处. 假设对每单位的通 过时间收取$1 的费用.
23
拉格朗日松弛和不等式约束
引理：
拉格朗日乘子问题：最小化 假设L*表示最优目标值，假设x对于 和 那么 是可行的.
24
旅行的售货员问题(TSP)
输入：n 城市， 表示成 1,…,n cij = 从城市i 到城市j的旅行距离
输出： 一个最小的距离周游
25
表示TSP 问题
弧的集合是周游，如果 有两条弧和每个结点关联 红色的弧(不和结点1关联)形成在G\1中的生成树.
9
从1到6的新的最短路径是什么？
1-2-5-6的修改的代价 是20. 通过时间是 15. 代价是5. 1-2-4-6仍然不可行.
我们增加收费到$2
10
从1到6的新的最短路径是什么？
路径1-2-5-6仍 然是最优路 径.
11
存在可选择的最短路径
1-2-5-6修改的代价 是35. 1-3-2-5-6 也是最优 的. 它对原问题来说也 是最优的！
6
带有通过时间限制的最短路径问题
步骤1 (松弛方法) 解决没有复杂约束的问题. 如果解满足 复杂约束，那么它对于原问题来说是最优的.
7
从结点1到结点6的最短路径是什么？
8
最短路径是1-2-4-6
1-2-4-6的通过时 间是18. 为了减少最短路径 的通过时间，我 们把惩罚比例放 到通过时间处. 假设对每单位的通 过时间收取$1 的费用.
理论力学第十八章 拉格朗日方程 教学PPT
mi vi
vi
]
系统的 动能T
系统的 动能T
拉格朗日方程的推导
广义惯性力
Q*j
d [ dt qj
n i 1
( 12mivi
vi )]
q j
n i 1
[
1 2
mi vi
vi
]
系统的 动能T
故广义惯性力的最后变形形式为
系统的 动能T
Q*j
d dt
T ()
对质点系全部质点的上述表达式求和，得
n
n
n
(Fi δ ri ) (FNi δ ri ) (Fi* δ ri ) 0
i 1
i 1
i 1
n
设该质点系所受的约束为理想约束，则
(FNi δ ri ) 0
i 1
代入上式可得
n
(Fi Fi*) δ ri 0
i 1
动力学普遍方程
n
(Fi Fi*) δ ri 0
i 1
(i 1, 2, , n )
式 Fi* miai 称为惯性力。
上式表明：在理想约束下，质点系在任一瞬时，作用的主动力和假想的惯
性力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
取固定直角坐标系，将上式投影得：
n
[(Fix Fi*x ) δ xi (Fiy Fi*y ) δ yi (Fiz Fi*z ) δ zi ] 0
拉格朗日松弛算法.ppt
S1 Con(Q {x Rn | x1 2x2 4}) S 2 Con(Q) {x Rn | x1 2x2 4}
4 3 2 1 1
4 3 2 1 1
x1 2x2 4
B
C
S1
23
B
4
D
x1 2x2 4
C
S2
23 4 D
由推论5.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关:
Con(Q {x Rn | Ax b}) Con(Q) {x Rn | Ax b}
证: 显然有 Q {x Rn | Ax b} Con(Q) {x Rn | Ax b} 从而有:
Con(Q {x Rn | Ax b}) Con(Con(Q) {x Rn | Ax b})
5.1 基于规划论的松弛方法
整数规划模型:
Z IP
min cT x Ax b,
s.t.
x
Z
n
.
5.1.1
松弛的定义（5.1.1）: 问题 RP : ZR min zR (x) xSR
满足下列性质时,称为5.1.1的一个松弛(relaxation).
(1)可行解区域兼容: S SR
0, other
5.2 拉格朗日松弛理论
IP :
ZIP min cT x Ax b, (难约束)
4 3 2 1 1
4 3 2 1 1
x1 2x2 4
B
C
S1
23
B
4
D
x1 2x2 4
C
S2
23 4 D
由推论5.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关:
Con(Q {x Rn | Ax b}) Con(Q) {x Rn | Ax b}
证: 显然有 Q {x Rn | Ax b} Con(Q) {x Rn | Ax b} 从而有:
Con(Q {x Rn | Ax b}) Con(Con(Q) {x Rn | Ax b})
5.1 基于规划论的松弛方法
整数规划模型:
Z IP
min cT x Ax b,
s.t.
x
Z
n
.
5.1.1
松弛的定义（5.1.1）: 问题 RP : ZR min zR (x) xSR
满足下列性质时,称为5.1.1的一个松弛(relaxation).
(1)可行解区域兼容: S SR
0, other
5.2 拉格朗日松弛理论
IP :
ZIP min cT x Ax b, (难约束)
拉格朗日松弛算法
多项式时间求到最优解，即假定
min cT x
s.t. Bx ≥ d (简单约束)
(7.2.1)
x
∈
Z
n +
,
可在多项式时间内求得最优解。
对给定的 λ = (λ 1 , λ 2 ,L, λ m )T ≥ 0 ，IP 对λ的拉格朗日松弛(在不对λ的取值产生混淆
时，简称为 LR)定义为：
zLR (λ) = min cT x + λT (b − Ax)
最优值
评价算法好坏的一个标准是考察它所计算的目标值同最优目标值的差别。由于组合优化 问题的难度，求解最优值有时是非常困难的。解决这个难点的一个有效方法是通过计算下界， 用上界和下界的差来评价算法。拉格朗日(Lagrange)松弛算法就是求解下界的一种方法。由 于拉格朗日松弛算法的实现比较简单和有比较好的性质，它不仅可以用来评价算法的效果， 同时可以用在其他算法中，以提高算法的效率。拉格朗日松弛算法包含两部分内容：一方面 是提供下界，另一方面则演变为拉格朗日松弛启发式算法。
( ) 设 A = aij m×n ，所有元素 aij ∈{0,1} ，且每一列对应一个费用 c j ( j = 1,2,L, n) 。
aij = 1表示第 j 列覆盖第 i 行。集合覆盖问题是以最小的费用选择一些列使得这些列覆盖所
有的行。它的数学模型为
n
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如何选择最优的拉格朗日乘子？
原问题的拉格朗日松弛为：
如何应用
最好的下界
原问题的拉格朗日对偶为：
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
如何应用—凹函数
光滑的（可微）
凹函数（向上凸的）
梯度法
非光滑（不可微） 次梯度法
如何应用—梯度法
梯度法：在某一点，沿梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
步骤：任给一个初始出发点，设为X0，
IP的最优解是LR的一个可行 解，所以，
拉格朗日乘子（非负）
基本原理
g(x): 原问题 Def g(x):原问题的可行域
f(x): 松弛后的问题 Def f(x): 松弛问题的可行域
为为什么么拉拉格格朗朗日日松弛松p弛oppuolapr u？lar ?
用途
✓ 第一，对于线性整数规划问题，将难约束吸收到目标函数
实际问题中的应用—松弛后的问题
三维指派问题 二维指派问题
匈牙利法
实际问题中的应用
获得可行解的启发式算法 源自文库止准则1 停止准则2
实际问题中的应用
将次梯度法扩展为拉格朗日松弛启发式算法。 每更改一次拉格朗日乘子，求出一个下界，构造启发式算法 修改不可行解，得到一个上界。
目标函数值增大
上界 gap
最优值
下界
Outline
难点探讨
（1）松弛条件的选取。将复杂的约束条件松弛，复杂指的是该约束导致 模型在多项式时间内不能求解。
一个问题的计算时间 m(n) 不大于问题大小 n 的多项式倍数。
（2）拉格朗日松弛启发式算法的设计。 松弛后获得的解不可行，需要修改，不同问题的修改方法不同。
Thanks
冯媛君 2011.11.14
Outline
简单例子
简单例子
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X1 =(0， 0， 0， 0)T
ZL1 B =11+21+31=0
1 =63-0×2=4
S1 =（1， 1， 1）T
后，问题变得容易求解。
不一定是可行解， 但是可以求得下界
✓ 第二，实际的计算结果证实拉格朗日松弛方法所给的下界
相当不错，且计算时间可以接受。同时，可以进一步利用
拉格朗日松弛的基本原理构造基于拉格朗日松弛的启发式
算法。
获得可行解（上界）/最优解（最优值）
Outline
如何选取松弛的条件？ 原则：该条件去掉后使得问题容易求解。
2 =6（ -6-2）×2=38
3= m4 a ， 4 ， 4 x )T+ { 3 8 × （ (-1 ， -1 ， -2 ） T ， 0 } = （ 3 4 ,3 4 ,0 ） T
简单例子
2
8 11 8
M3= i-n 3x1+3x2+3x3+3x4+3
X3 =(1， 0， 0， 0)T
ZLB3 =-23+38=2
C
（1）设定一个步长d；
（2）计算该点当前梯度（导数） y’；
B （3）修改当前参数 X1=X0+d* y’
（4）计算该点当前梯度（导数） y’；
A
……重复
X0 X1 一元函数
如何应用—次梯度法
次梯度法：在某一点，沿次梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
次梯度不唯一
为
步骤：
STEP1:
STEP2:
，
（2） 。这是最为理想的状态，此时， 达到拉格朗日对偶的最优解。
在实际计算中，由于问题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果
难达到，常常用
来代替。
（3） 题的最优解。最优值为
可变时，这种情况表示已得到原问 。
（4）
在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
拉格朗日松弛
Outline
引入拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛应用于求解 约束规划问题
目标函数值增大
上界 gap
最优值
下界
拉格朗日松弛是求解下界的一种方法
为什么拉格朗日松弛可以求得下界？
基本原理
原问题：
将造成问题难的约束吸收到目标函数中， 并使得目标函数仍保持线性， 使得问题容易求解。
拉格朗日松弛后变换为：
否则，
的一个可行解
步长：
为原问题的一个上界，可以 由一个可行解的目标值确定， 也可以通过估计的方法得到。
可随t 的变化逐步修正。
如何应用—步长
原问题的下界，
在给定的若干步 没有变化时，则取其一半。
如何应用—停止原则
停止原则： （1）迭代次数不超过 T。这是一种最为简单的原则，但解的质量无法保证。
S3 =（0， 0， 1） T
3 = 61-2×2=8
4= ma 3 4 ， 3 4 x ， 0 )T {+ 8 (× （ 0 ， 0 ， 1 ） T ， 0 }= （ 3 4,3 4,0 ） T
Outline
实际问题中的应用—原问题
复杂约束：
船舶必须在到港之后靠泊
实际问题中的应用—松弛后的问题
2= m0 a ， 0 ， 0 x )T+ { 4 × （ (1 ， 1 ， 1 ） T ， 0 } = （ 4 ， 4 ， 4 ） T
简单例子
M2= i-n 6x1-x2-4x3-3x4+ 12
X2 =(1， 1， 1， 1)T
Z L2 B =-6-1-4-3+ 1= 2-2
S2=（-1， -1， -2） T
原问题的拉格朗日松弛为：
如何应用
最好的下界
原问题的拉格朗日对偶为：
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
如何应用—凹函数
光滑的（可微）
凹函数（向上凸的）
梯度法
非光滑（不可微） 次梯度法
如何应用—梯度法
梯度法：在某一点，沿梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
步骤：任给一个初始出发点，设为X0，
IP的最优解是LR的一个可行 解，所以，
拉格朗日乘子（非负）
基本原理
g(x): 原问题 Def g(x):原问题的可行域
f(x): 松弛后的问题 Def f(x): 松弛问题的可行域
为为什么么拉拉格格朗朗日日松弛松p弛oppuolapr u？lar ?
用途
✓ 第一，对于线性整数规划问题，将难约束吸收到目标函数
实际问题中的应用—松弛后的问题
三维指派问题 二维指派问题
匈牙利法
实际问题中的应用
获得可行解的启发式算法 源自文库止准则1 停止准则2
实际问题中的应用
将次梯度法扩展为拉格朗日松弛启发式算法。 每更改一次拉格朗日乘子，求出一个下界，构造启发式算法 修改不可行解，得到一个上界。
目标函数值增大
上界 gap
最优值
下界
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难点探讨
（1）松弛条件的选取。将复杂的约束条件松弛，复杂指的是该约束导致 模型在多项式时间内不能求解。
一个问题的计算时间 m(n) 不大于问题大小 n 的多项式倍数。
（2）拉格朗日松弛启发式算法的设计。 松弛后获得的解不可行，需要修改，不同问题的修改方法不同。
Thanks
冯媛君 2011.11.14
Outline
简单例子
简单例子
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X1 =(0， 0， 0， 0)T
ZL1 B =11+21+31=0
1 =63-0×2=4
S1 =（1， 1， 1）T
后，问题变得容易求解。
不一定是可行解， 但是可以求得下界
✓ 第二，实际的计算结果证实拉格朗日松弛方法所给的下界
相当不错，且计算时间可以接受。同时，可以进一步利用
拉格朗日松弛的基本原理构造基于拉格朗日松弛的启发式
算法。
获得可行解（上界）/最优解（最优值）
Outline
如何选取松弛的条件？ 原则：该条件去掉后使得问题容易求解。
2 =6（ -6-2）×2=38
3= m4 a ， 4 ， 4 x )T+ { 3 8 × （ (-1 ， -1 ， -2 ） T ， 0 } = （ 3 4 ,3 4 ,0 ） T
简单例子
2
8 11 8
M3= i-n 3x1+3x2+3x3+3x4+3
X3 =(1， 0， 0， 0)T
ZLB3 =-23+38=2
C
（1）设定一个步长d；
（2）计算该点当前梯度（导数） y’；
B （3）修改当前参数 X1=X0+d* y’
（4）计算该点当前梯度（导数） y’；
A
……重复
X0 X1 一元函数
如何应用—次梯度法
次梯度法：在某一点，沿次梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
次梯度不唯一
为
步骤：
STEP1:
STEP2:
，
（2） 。这是最为理想的状态，此时， 达到拉格朗日对偶的最优解。
在实际计算中，由于问题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果
难达到，常常用
来代替。
（3） 题的最优解。最优值为
可变时，这种情况表示已得到原问 。
（4）
在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
拉格朗日松弛
Outline
引入拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛应用于求解 约束规划问题
目标函数值增大
上界 gap
最优值
下界
拉格朗日松弛是求解下界的一种方法
为什么拉格朗日松弛可以求得下界？
基本原理
原问题：
将造成问题难的约束吸收到目标函数中， 并使得目标函数仍保持线性， 使得问题容易求解。
拉格朗日松弛后变换为：
否则，
的一个可行解
步长：
为原问题的一个上界，可以 由一个可行解的目标值确定， 也可以通过估计的方法得到。
可随t 的变化逐步修正。
如何应用—步长
原问题的下界，
在给定的若干步 没有变化时，则取其一半。
如何应用—停止原则
停止原则： （1）迭代次数不超过 T。这是一种最为简单的原则，但解的质量无法保证。
S3 =（0， 0， 1） T
3 = 61-2×2=8
4= ma 3 4 ， 3 4 x ， 0 )T {+ 8 (× （ 0 ， 0 ， 1 ） T ， 0 }= （ 3 4,3 4,0 ） T
Outline
实际问题中的应用—原问题
复杂约束：
船舶必须在到港之后靠泊
实际问题中的应用—松弛后的问题
2= m0 a ， 0 ， 0 x )T+ { 4 × （ (1 ， 1 ， 1 ） T ， 0 } = （ 4 ， 4 ， 4 ） T
简单例子
M2= i-n 6x1-x2-4x3-3x4+ 12
X2 =(1， 1， 1， 1)T
Z L2 B =-6-1-4-3+ 1= 2-2
S2=（-1， -1， -2） T