拉格朗日松弛 PPT
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理论力学拉格朗日方程PPT课件
Q* ]q
j
j
0
j 1
广义惯性力 记为Q*j
第22页/共73页
§7-2 拉格朗日方程
广义惯性力
Q*j
n i 1
(Fi*
ri q j
)
n
i 1
[(
m i
a i
)
r i
q
]
j
n
[(mi
i 1
dvi ) ri dt q j
]
因为
d dt
(mi vi
ri q j
)
(mi
dvi ) ri dt q j
对于这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运 动方程，所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的 普遍而有效的方法。
第3页/共73页
§7-1 动力学普遍方程
一、概述
动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的， 可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。
Q*j
n i 1
[
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)]
利用前面的二个拉格朗日变换式
v i
q
r i
q
j
j
vi d ( ri ) q j dt q j
有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
vi q j
) mivi
( vi q j
)]
d dt
n i 1
Qj
V q j
j (1, 2 , ..., k)
代入上式，注意到势能函数 V =V（ q1 ， q2 ，…， qk ）与广义速度q j 无关
第8章_松弛算法
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
对于离散点集 Q {P | i 1, 2,},其凸包 i 定义为:
S1 Con(Q {x R | x1 2 x2 4})
n n S 2 Con(Q) {x R | x1 2 x2 4}
x1 2x2 4
4 3 2 1 1
B
C
S1
2
3
D
4
x1 2x2 4
4
3 2 1 1
B
C
S2 2 3 4
D
由推论7.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关: 第一个因素是目标函数中的C,推论7.2.1要求对所 有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 zIP zLD 第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI 和S2不同,所以存在一个C,使得 zIP zLD不为零,如 8 z LD 28 ,在 1 达到拉格朗日对偶问 在例7.2.1中, 9 9 题的最优值,其最优解为(4,0); zIP 28 ,其一个最优 解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛 在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们 也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
拉格朗日松弛
Z LB = -6 - 1 - 4 - 3 + 12 = -2
T S2 = （- 1， - 1， - 2）
2
6（ - - 2） 8 2 = ×2 = 6 3
8 4 4 T T = max{( 4， 4， 4) + × （- 1， - 1， - 2）， 0} = （ , ,0） 3 3 3
3 T
在实际计算中，由于பைடு நூலகம்题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果 难达到，常常用
（3）
题的最优解。最优值为 （4 ）
可变时，这种情况表示已得到原问
。 在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
Page 13
Outline
1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 14
简单例子
Page 15
简单例子
Page 16
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X 1 = (0， 0， 0， 0)T
Z LB 1 = 11 + 21 + 31 = 0
4
Page 19
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1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
Page 20
实际问题中的应用—原问题
船舶必须在到港之后靠泊 复杂约束：
Page 21
实际问题中的应用—松弛后的问题
Page 22
实际问题中的应用—松弛后的问题
T S2 = （- 1， - 1， - 2）
2
6（ - - 2） 8 2 = ×2 = 6 3
8 4 4 T T = max{( 4， 4， 4) + × （- 1， - 1， - 2）， 0} = （ , ,0） 3 3 3
3 T
在实际计算中，由于பைடு நூலகம்题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果 难达到，常常用
（3）
题的最优解。最优值为 （4 ）
可变时，这种情况表示已得到原问
。 在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
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1. 基本原理及用途
2. 如何应用
3. 简单例子
4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
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简单例子
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简单例子
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简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X 1 = (0， 0， 0， 0)T
Z LB 1 = 11 + 21 + 31 = 0
4
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2. 如何应用
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4. 在实际问题中的应用 5. 难点探讨
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实际问题中的应用—原问题
船舶必须在到港之后靠泊 复杂约束：
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实际问题中的应用—松弛后的问题
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实际问题中的应用—松弛后的问题
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛和分支定界
拉格朗日松弛（Lagrangian Relaxation，简称LR）和分支定界法（Branch and Bound）都是求解优化问题的重要算法。
拉格朗日松弛法的主要思想是将原问题中涉及多对象之间复杂关系的约束松弛至目标函数，通过将原问题分解为子问题来降低求解难度。
这种方法通过增加拉格朗日乘子与复杂约束的乘积项，将原问题转化为无约束优化问题，从而在合理时间内求得问题的最优解。
拉格朗日松弛法具有计算速度快、计算量随变量增加呈线性增长而非指数增长等优点，特别适用于解决大规模混合整数规划问题。
分支定界法则是一种枚举方法，通过反复将问题的解空间分割为越来越小的子集，并确定每个子集的目标下界，来寻找问题的最优解。
这种方法通过搜索与迭代，不断缩小解空间范围，直到找到最优解。
然而，对于大规模问题，分支定界法的运算时间可能会变得很长，因为需要存储大量的子集界限并执行繁杂的分支运算。
综上，拉格朗日松弛和分支定界法各有其优点和适用场景。
拉格朗日松弛法适用于解决大规模混合整数规划问题，而分支定界法则在解决某些特定类型的问题时可能更有效。
选择哪种方法取决于问题的具体性质和要求。
动力学普遍方程和拉格朗日方程PPT
i 1 i i
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
i 1
n
动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理
若质点系所受的全部的主动力为有势力 Q j
V q
j
系统的势能只是系统广义坐标的函数 q 可得
d (T V ) (T V） [ ] 0 dt q q
j j
V
0
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为
d L L 0 dt q q
j
引入系统动能
q j , q j求偏导数 对q r T m r v v q q
n i 1 i i
T mi r v i v & i 1 i q j &
n
n 1 1 T mi v 2 mi vi vi i i 1 2 i 1 2
n
r
（6） 由拉氏方程
d L L 0 x dt x d L L 0 dt
j j
应用动力学普遍方程解题时的注意事项： （1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。
（2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。 拉格朗日方程得解题步骤 （1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标
j 1 i 1 j
0
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
i 1
n
动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理
若质点系所受的全部的主动力为有势力 Q j
V q
j
系统的势能只是系统广义坐标的函数 q 可得
d (T V ) (T V） [ ] 0 dt q q
j j
V
0
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为
d L L 0 dt q q
j
引入系统动能
q j , q j求偏导数 对q r T m r v v q q
n i 1 i i
T mi r v i v & i 1 i q j &
n
n 1 1 T mi v 2 mi vi vi i i 1 2 i 1 2
n
r
（6） 由拉氏方程
d L L 0 x dt x d L L 0 dt
j j
应用动力学普遍方程解题时的注意事项： （1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。
（2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。 拉格朗日方程得解题步骤 （1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标
j 1 i 1 j
0
拉格朗日松弛算法.ppt
x1 2x2 4
5x1 x2 20
s.t.
2x1 2x2 7 x1 2
x2 4
x Z2
5.2.2
第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的 模型LR为:
zLR () min{(7 )x1 (2 2)x2 4}
最优解 (3,4) (4,0) (4,0)
zLR ()
-29 -32 -32
(7 , 2 2)T (x1(), x2 ())T zLR (, x*)
单位化下降方向: ( 7 , 2 2 )T
53 6 5 2 53 6 5 2
lim(
7
, 2 2 )T ( 1 , 2 )T
解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛
在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们
也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
定理5.2.3 若线性规划松弛问题LP存在可行解,则
zLP zLD zIP
注:此定理说明,拉格朗日松弛对偶后的目标值 zLD
是IP 问题的一个下界,且不比 zLP差.
定理5.2.3 zIP zLD 的充要条件是存在* 0
和
x*{x
Z
n
|
Ax
b,
Bx
d}
使得:
*T (b Ax) 1(1 0) z(*, x*) cT x * *T (b Ax*) zLR (*) 2 (2 0) 1 2
s.t.
5x1 x2 20 2x1 2x2 7 x1 2
理论力学—拉格朗日方程PPT
m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
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§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
松弛迭代法
松弛迭代法
拉格朗日松弛迭代法(Rayleigh-Ritz Relaxation Method，简称 RRR 法)也称为牛顿松弛迭代法，它结合了牛顿法和松弛迭代法的理论思想，是一种求解常微分方程组的迭代法。
该法引入拉格朗日函数作为迭代的手段，是一种改进的迭代法。
拉格朗日松弛迭代法的基本思想是：针对解决系统方程中的迭代过程，可以将周期性求解出的解表达成一个拉格朗日函数，然后计算最优解以期达到更快的收敛。
具体工作步骤如下：
第一步：初始化变量和精度参数；
第二步：将各变量表示成Fourier级数；
第三步：任意给定初始值，用此为步进量，将目标函数拆分为拉格朗日函数，使得精度参数达到最优值；
第四步：将此值作为步长，依次求解各个变量；
第五步：在迭代过程中，改变步长，即可更新函数值，达到最优解。
拉格朗日松弛迭代法基于牛顿法可以求解出一个准确的解，并以此作为步长，松弛系数以较小的步长，任意的改变步长，不断的拉格朗日函数更新，然后求解最优解，使得整个迭代过程逐渐收敛，同时也充分考虑了步长的变化，可以研究出解析解。
本方法既可以用于求解定常面上的静解又可以用于求解一定频率的动解，甚至于一般情况下的复杂系统，该法有着广泛的应用。
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程PPT文档59页
理论力学(Ⅱ要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
拉格朗日松弛算法
7.1 基于规划论的松弛算法
173
使得减少一些约束后的问题在多项式时间内求得最优解。由此，将这些减少的约束称为难约
束。对于线性整数规划问题，将难约束吸收到目标函数后，问题又变的容易求解。这时解的
质量完全依赖于吸收到目标函数时所选取的参数。
例 7.1.1 集合覆盖问题(The set covering problem)
j =1
i =1
j =1
s.t. x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n,
λ ≥ 0.
记
则松弛后的模型为
m
∑ d j = c j − λ i aij , i =1
n
m
∑ ∑ zLRSC (λ) = min d j x j + λ i
j =1
i =1
s.t. x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n,
定理 7.1.1 zLP ≤ z1 。
定理 7.1.1 说明线性规划松弛得到整数规划的一个下界。可以通过单纯形算法或多项式
时间的内点算法[1]，求得(7.1.2)的线性规划的最优解。
当 S 中的一个解 x0 满足 cT x0 = z LP 时，推出 x0 为(7.1.1)的最优解。作为求解整数规划
问题启发式算法的一部分，线性规划松弛适用于整数规划问题中决策变量是比较大的整数。
由定理 7.1.2 得到 ∀λ ≥ 0 ⇒ zLR (λ) ≤ zIP 。□ 定理 7.2.1 说明拉格朗日松弛是 IP 的下界，我们的目的是求与 zIP 最接近的下界。于是
需要求解
(LD)
z LD
=
max λ≥0
z
LR
(λ
)
。
问题 LD 称为 IP 的拉格朗日对偶。用下例来理解拉格朗日松弛和对偶等概念。先定义
拉格朗日松弛法
拉格朗日松弛法
拉格朗日松弛法是一种优化算法，它帮助我们在求解特定问题的同时，减少了问题的限制条件，这使得问题更加容易求解，也更加灵活。
该方法最初是由意大利数学家Lagrange提出的，它是一个最优化问题的求解方法。
拉格朗日松弛法通过将原问题的限制条件转换成目标函数中的额外约束条件，使得问题得以解决。
拉格朗日松弛法的主要思想是：当限制条件过于复杂，使得问题难以求解时，可以将限制条件通过Lagrange乘数法来将问题转化为一个新的目标函数，使得问题更容易求解。
在拉格朗日松弛法中，每个约束条件都有对应的拉格朗日乘数。
这些乘数是为了确保约束条件在求解过程中得以满足。
通过引入Lagrange乘数，我们可以将问题转化为更简单的目标函数。
拉格朗日松弛法的另一个优点是它可以用来分析一些难以求解的实际问题。
例如，许多实际问题需要满足一些复杂的约束条件。
通过使用拉格朗日松弛法，我们可以将这些问题转化为一个更容易求解的目标函数。
此外，在实际应用中，拉格朗日松弛法也可以用于解决一些NP难题，如图像分割、序列对齐等问题，因为它可以将原问题变成一个带
有约束的优化问题，进而通过解决原问题的拉格朗日松弛问题得到最优解。
总的来说，拉格朗日松弛法是一种重要的优化算法，它可以帮助我们求解各种实际问题。
如果我们能够熟练运用该算法，就能够在不同领域中获取更好的解决方案，提高我们的应用能力和竞争力。
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C
（1）设定一个步长d；
（2）计算该点当前梯度（导数） y’；
B （3）修改当前参数 X1=X0+d* y’
（4）计算该点当前梯度（导数） y’；
A
……重复
X0 X1 一元函数
如何应用—次梯度法
次梯度法：在某一点，沿次梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
次梯度不唯一
为
步骤：
STEP1:
STEP2:
，
拉格朗日松弛
Outline
引入拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛应用于求解 约束规划问题
目标函数值增大
上界 gap
最值
下界
拉格朗日松弛是求解下界的一种方法
为什么拉格朗日松弛可以求得下界？
基本原理
原问题：
将造成问题难的约束吸收到目标函数中， 并使得目标函数仍保持线性， 使得问题容易求解。
拉格朗日松弛后变换为：
IP的最优解是LR的一个可行 解，所以，
拉格朗日乘子（非负）
基本原理
g(x): 原问题 Def g(x):原问题的可行域
f(x): 松弛后的问题 Def f(x): 松弛问题的可行域
为为什么么拉拉格格朗朗日日松弛松p弛oppuolapr u？lar ?
用途
✓ 第一，对于线性整数规划问题，将难约束吸收到目标函数
2= m0 a ， 0 ， 0 x )T+ { 4 × （ (1 ， 1 ， 1 ） T ， 0 } = （ 4 ， 4 ， 4 ） T
简单例子
M2= i-n 6x1-x2-4x3-3x4+ 12
X2 =(1， 1， 1， 1)T
Z L2 B =-6-1-4-3+ 1= 2-2
S2=（-1， -1， -2） T
2 =6（ -6-2）×2=38
3= m4 a ， 4 ， 4 x )T+ { 3 8 × （ (-1 ， -1 ， -2 ） T ， 0 } = （ 3 4 ,3 4 ,0 ） T
简单例子
2
8 11 8
M3= i-n 3x1+3x2+3x3+3x4+3
X3 =(1， 0， 0， 0)T
ZLB3 =-23+38=2
否则，
的一个可行解
步长：
为原问题的一个上界，可以 由一个可行解的目标值确定， 也可以通过估计的方法得到。
可随t 的变化逐步修正。
如何应用—步长
原问题的下界，
在给定的若干步 没有变化时，则取其一半。
如何应用—停止原则
停止原则： （1）迭代次数不超过 T。这是一种最为简单的原则，但解的质量无法保证。
（2） 。这是最为理想的状态，此时， 达到拉格朗日对偶的最优解。
在实际计算中，由于问题的复杂性和计算机本身的计算误差，这样的结果
难达到，常常用
来代替。
（3） 题的最优解。最优值为
可变时，这种情况表示已得到原问 。
（4）
在规定的步数内变化不超过一个给定的值。这时
认为目标值不可能再变化，因此，停止运算。
后，问题变得容易求解。
不一定是可行解， 但是可以求得下界
✓ 第二，实际的计算结果证实拉格朗日松弛方法所给的下界
相当不错，且计算时间可以接受。同时，可以进一步利用
拉格朗日松弛的基本原理构造基于拉格朗日松弛的启发式
算法。
获得可行解（上界）/最优解（最优值）
Outline
如何选取松弛的条件？ 原则：该条件去掉后使得问题容易求解。
下界
Outline
难点探讨
（1）松弛条件的选取。将复杂的约束条件松弛，复杂指的是该约束导致 模型在多项式时间内不能求解。
一个问题的计算时间 m(n) 不大于问题大小 n 的多项式倍数。
（2）拉格朗日松弛启发式算法的设计。 松弛后获得的解不可行，需要修改，不同问题的修改方法不同。
Thanks
冯媛君 2011.11.14
Outline
简单例子
简单例子
简单例子
Starting with ZUP=6,β=2 and i=0 for i=1,2,3, 迭代三次。 求出每次迭代的下界和拉格朗日乘子。 原约束：
X1 =(0， 0， 0， 0)T
ZL1 B =11+21+31=0
1 =63-0×2=4
S1 =（1， 1， 1）T
S3 =（0， 0， 1） T
3 = 61-2×2=8
4= ma 3 4 ， 3 4 x ， 0 )T {+ 8 (× （ 0 ， 0 ， 1 ） T ， 0 }= （ 3 4,3 4,0 ） T
Outline
实际问题中的应用—原问题
复杂约束：
船舶必须在到港之后靠泊
实际问题中的应用—松弛后的问题
如何选择最优的拉格朗日乘子？
原问题的拉格朗日松弛为：
如何应用
最好的下界
原问题的拉格朗日对偶为：
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
如何应用—凹函数
光滑的（可微）
凹函数（向上凸的）
梯度法
非光滑（不可微） 次梯度法
如何应用—梯度法
梯度法：在某一点，沿梯度方向搜索，能找到函数的极值点。
步骤：任给一个初始出发点，设为X0，
实际问题中的应用—松弛后的问题
三维指派问题 二维指派问题
匈牙利法
实际问题中的应用
获得可行解的启发式算法 停止准则1 停止准则2
实际问题中的应用
将次梯度法扩展为拉格朗日松弛启发式算法。 每更改一次拉格朗日乘子，求出一个下界，构造启发式算法 修改不可行解，得到一个上界。
目标函数值增大
上界 gap
最优值