面面平行的判定定理最新版

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面面平行的判定与性质

面面平行的断定与性质

假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。

面面平行的断定定理1、假如两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2、假如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、假如一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

面面平行的性质定理定理1

两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

证明：设α∥β，a?α，那么a∥β

∵α∥β

∴α与β无交点

又∵a?α

∴a与β无交点

即a∥β

定理2

两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

假如交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。所以交线必定平行。

面面平行的判定及性质定理

2021/3/27
CHENLI
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完
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CHENLI
4
生活中有没有平面与平面平行的例子呢?
教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。
(1)三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？
(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时, 这个三角板所在平面与桌面平行。
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CHENLI
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例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
已知：如图 ,AB∥CD， A∈α ，C∈α，
C
αA
B∈β ,D∈β，
D
求证:AB=CD
βB
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CHENLI
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线面平行
面面平行
线线平行
小结本节课重点：理解并掌握两平面平行的判定定理和性质定理，会用这个定理证明两个平面的平行。
与平行； ×
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则
与平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平

面面平行定理和判定定理

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本文主要介绍的是关于面面平行定理和判定定理的文章，文章是由本店

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定定理能真实确切的帮助各位。本店铺将会继续努力、改进、创新，给大家

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面面平行定理和判定定理

一、面面平行定理

面面平行定理的定义：

面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之

间的平行关系。具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行

平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。

面面平行定理的表述：

面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且

平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们

的交线m也与直线l平行。

面面平行定理的证明方法：

面面平行定理的证明通常采用反证法。首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。同理，可以证明

平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。这样，面面平行定理得证。

二、判定定理

面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线

面面平行的判定定理

如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

面面平行的性质定理

定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

定理2：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

定理3：两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）

推论：两个平行平面的垂线平行或重合。

定理4：三个平行平面截两条直线，形成的对应线段成比例。

推论：经过三角形一边作一个平面（与三角形所在平面不重合），与此平面平行的平面截三角形另外两边（或延长线）所得的线段对应成比例。

定理5：平行平面间的距离处处相等。

定理6：经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

面面平行的判定定理

a
b
α
β
小试：
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行； ×
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；×
（3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
总结归纳：
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
图形表示：
bP
符号表示：
a
线不在多重在相交
ａä，ｂä，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
线面平行
面面平行
思考:由直线与平面平行的判定定
理，“a∥β,b∥β” ，又可用什么条
件替代？由此可得什么推论？
推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD中直线AD平行平面BCC’B’ ，但平面 ABCD与平面BCC’B’ 不平行。
（２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？
（2）分两种情况讨论：
Q
P
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥平面BCC’B’，但平面 ABCD与平面BCC’B’不平行。

面面平行的判定和性质定理

面面平行的判定与性质定理

一. 面面平行的判定定理：

面面平行的判定定理的符号表示：

1．正方体中1111D C B A ABCD 中，M ，N ，E ，F 分别是棱11B A ，11D A ，11C B ，11D C 的中点。求证：平面AMN ∥平面EFDB 。

2. (文)如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，E 、F 、

G 分别为VA 、VB 、BC 的中点．求证：平面EFG ∥平面VCD .

(理)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是

CC 1上的点，当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?

例2(文) 例2(理)

二. 面面平行的性质定理：

面面平行的判定定理的符号表示：

三.面面垂直的判定定理：

面面垂直的判定定理的符号表示：

3. 【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（满分13

分）

如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为

AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．

(1)求证：DM ∥平面APC ；

(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；

17.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (本题满分14分) 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，045=∠VDC 。

（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；

（II ）求异面直线VD 和BC 所成角的余弦．

面面平行的判定及性质定理

当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时, 这个三角板所在平面与桌面平行。
（１）平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？（２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？
（1）中的平面α，β不一定平行。如图，借助长方体模型，平面ABCD 中直线AD平行平面 BCC'B'，但平面ABCD与
平面BCC'B'不平行。
已知：如图 ,AB∥CD， A∈α ，C∈α，
C
αA
B∈β ,D∈β，
D
求证:AB=CD
βB
线面平行
面面平行
线线平行
小结本节课重点：理解并掌握两平面平行的判定定理和性质定理，会用这个定理证明两个平面的平行。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
已知平面α，β，γ
满足α∥β，αγ a,
βγ b，求证a∥ b.
证明： a , b
a ,b
// a b
a ,b
a // b
面面平行线线平行
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
线面平行面面平行
D C
线线平行
A
B
如果两个平面平行，那么一个平
面内的直线与另一个平面的直线具有

面面平行的判定与性质

A
已知: ∥ , AA∥BB, A,
A , B , B .
B′
求证: AA BB
A′
证明: 连结AB, AB.因为AA∥ BB,
所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
I AB
I AB AB∥ AB
∥
AA∥ BB
AABB是平行四边形 AA BB.
谢谢观看！ 2020
所以平面DEF//平面ABD
P
F E
C B
化归思想
化归思想
面面平行线面平行线线平行
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
例1、已知:三棱锥P-ABC中D,E,F分别
是棱PA,PB,PC的中点
求证:平面DEF//平面ABC
证明：在△PAB中，
条直线不一定平行。
b
b
结论：1、如果两个平面平行，那么一个平面内
的直线一定平行于另一个平面。
化归思想
化归思想
面面平行线面平行线线平行
两个平面平行的性质定理 :
结论：2、如果两个平行平面同时和
第三个平面相交，那么它们的交线平
行．
已知: ∥ , I a, I b.
求证: a∥ b
结那论么：它们2、的线如交果线线两平平个行行平．行平面同时和第三个平面相交，

线面平行的性质定理和判定定理

面面平行的性质定理：

一、线线平行

1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果

内错角成正比，那么这两条直线平行。

2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁

内角互补，那么这两条直线平行。

3、同旁内角优势互补两直线平行。

二、线面平行

1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；

2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。

平行平面间的距离处处相等。已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、

c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd

构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）

∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。

面面平行的判定与性质定理

平行吗？面面平行线线平行
于另一个平面，那么这两个平面平行
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
（２）平面内有两条直线与平面平行，，教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的。
观察平面AC内的那些直线与直线B1D1平行？
平行吗？线面平行面面平行
(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？面面平行线线平行
面面平行线线平行
（2）分两种情况讨论：
如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。
如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平
Q
面会不会一定平行？
P
直线的条数不是关键直线相交才是关键
又D1A 平面C1BD,
CB 平面C1BD.
由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD，
同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1,
所以，平面AB1D1∥平面C1BD。
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
a//
a
a
a//b
b
b

面面平行的判定定理

D’ C’ B’
面面平行的判小结：定方法共有两种： ①运用定义 ②运用判定定理
A’
D A B
C
二、平面和平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行线线平行
// DC // D ' C ' 证明： AB ABC ' D ' 是平行四边形
D' C' B'
BC '// AD '
A'
又
BC ' 平面 AB ' D ' AD ' 平面 AB ' D '
BC '// 平面 AB ' D '
A
D B
C
同理： C ' D // 平面 AB ' D '
线面平行 EF // 平面PAB 面面平行同理可证Baidu NhomakorabeaG // 平面PAB 又 EF 平面EFG，EG 平面EFG 且EF EG E 平面PAB // 平面EFG
变式1：如图，在长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 中， ' 求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D .

面面平行的判定定理全

思考：怎样判定直线与平面平行呢？
线面平行的判定定理：平面外的一条直线与
此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：l ⊄α，m ⊂α，l∥m⇒ l∥α
定理的本质：
线面平行的概念
例1：如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题: (1)在图 1中，哪些线段所在的直线与平面 ADD1A1 平行？
M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点，
求证平面 MNH // 平面 DBF D
A
E
M C H N F
B
课堂小结
简述为：线面平行面面平行
如何正确理解两个平面平行的判定定理:
1.两个平面平行需要多少个条件? 5个条件 2.两个平面平行时为什么只需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,而不是一条或更多条直线?
(公理3的推论2:两条相交直线确定一个平面)
3.两个平面平行时为什么不用其中一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行?
(2)在图 1中，哪些平面与 AB 所在的直线平行？
解：(1)在图 2 中，线段 BB1、BC、CC1、 C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行． (2)在图 2 中，平面 A1B1C1D1、CC1D1D 与 AB 所在的直线平行. 图1
已知 P 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 上除 D1、D DC、D1C1、A1B1 外任意一点，则在正方体的 12 条棱中，与平面 ABP 平行的是________________.

2.2.2面面平行的判定定理

造三角形的中位线、构造梯形的中位线、构造平行四边形、比例线段等来完成。
3.空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？
α
β α β
a
α∥β
α∩β＝a
问题提出
*.两个平面平行的基本特征是什么？
怎样判定平面与平面平行呢？
知识探究(一):平面与平面平行的判定
问题1：根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？
a b
α
β
复习回顾
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
a与平面没有公共点 a // 平面
（2）判定定理：（线线平行
a （三个条件缺一不可） b a // a // b

线面平行）；
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过构
a β α
（不能）
(2)若平面α内有两条直线a、b都平行于平面β，能保证α∥β吗？
a α b a
b
α （不能）
当两直线平行时，这两个平面平行或相交。
β
β
（能）
当两直线相交时，这两个平面平行。
知识探究(二):平面与平面平行的判定定理
通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理：
平面与平面平行的判定定理：一个平面内
C1 B1
证明：

面面平行的判定

基础知识：

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β

b β

a ∩

b = P β∥α

a ∥α

b ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

典型例题：

例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（）．

A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m

B ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //

C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //

D ．α//l ，β//m ，且m l //

分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．

答案：C

说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．

本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．

变式题：

1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．

分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．

解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．

(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．

(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；

面面平行的判定定理最新版

面面平行的判定与性质

面面平行的判定及性质定理

面面平行定理和判定定理

面面平行的判定定理

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面面平行的判定与性质

线面平行的性质定理和判定定理

面面平行的判定与性质定理

面面平行的判定定理

面面平行的判定定理 全

2.2.2面面平行的判定定理

面面平行的判定

面面平行的判定定理全