(2019-2020)【重点资料】高中数学-第三章-函数的应用章末检测试题-新人教A版必修1【必备资料】

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高中数学第三章函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学

第三章函数的应用章末整合提升A 级基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)，当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000，所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ，解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

高一数学必修一第三章测试题：函数的应用(含答案)-学习文档

2019届高一数学必修一第三章测试题：函数的应用(含答案)函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.函数的定义域是( )A.[1，+)B.45，+C.45，1D.45，1解析：要使函数有意义，只要得01，即45答案：D2.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x1)，则a，b，c的大小关系是()A.aC.c解析：∵a=20.321=2，且a=20.320=1，1∵x1，c=logx(x2+0.3)logxx2=2. cb.答案：B3.已知函数f(x)=ln(x+x2+1)，若实数a，b满足f(a)+f(b-1)=0，则a+b等于()A.-1B.0C.1D.不确定解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(-x)=ln(-x+x2+1)=ln1x+x2+1=-f(x)， f(x)是奇函数，则f(a)=-f(b-1)=f(1-b).a=1-b，即a+b=1.答案：C4.已知函数f(x)=-log2x (x0)，1-x2 (x0)，则不等式f(x)0的解集为()A.{x|0C.{x|-1-1}解析：当x0时，由-log2x0，得log2x0，即0当x0时，由1-x20，得-1答案：C5.同时满足两个条件：①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x3C.f(x)=sinxD.f(x)=lnxx解析：为奇函数的是A、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.答案：A6.函数f(x)=12x与函数g(x)= 在区间(-，0)上的单调性为()A.都是增函数B.都是减函数C.f(x)是增函数，g(x)是减函数D.f(x)是减函数，g(x)是增函数解析：f(x)=12x在x(-，0)上为减函数，g(x)= 在(-，0)上为增函数.答案：D7.若x(e-1,1)，a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则()A.aC.b解析：a=lnx，b=2lnx=lnx2，c=ln3x.∵x(e-1,1)，xx2.故ab，排除A、B.∵e-1lnx答案：C8.已知f(x)是定义在(-，+)上的偶函数，且在(-，0]上是增函数，若a=f(log47)，，c=f(0.2-0.6) ，则a、b、c的大小关系是()A.cC.c解析：函数f(x)为偶函数，b=f(log123)=f(log23)，c=f(0.2-0.6)=f(50.6).∵50.6log23=log49log47，f(x)在(0，+)上为减函数，f(50.6)答案：A9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和 L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.46.8万元D.46.806万元解析：设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30，当x=3.0620.15=10.2时，L最大.但由于x取整数，当x=10时，能获得最大利润，最大利润L=-0.15102+3.0610+30=45.6(万元).答案：B10.若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+3)=f(x)，f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：f(5)=f(2+3)=f(2)=0，又∵f(-2)=f(2)=0，f(4)=f(1)=f(-2)=0，在(0,6)内x=1,2,4,5是方程f(x)=0的根.答案：B11.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A.[0，18]B.[18，14]C.[14，12]D.[12，1]解析：因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项中，只有 f14f120，所以零点所在区间为14，12.答案：C12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，则当x[-4，-2]时，f(x)的最小值是() A.-19 B.-13C.19D.-1解析：f(x+2)=3f(x)，当x[0,2]时，f(x)=x2-2x，当x=1时，f(x)取得最小值. 所以当x[-4，-2]时，x+4[0,2]，所以当x+4=1时，f(x)有最小值，即f(-3)=13f(-3+2)=13f(-1)=19f(1)=-19.答案：A第Ⅱ卷 (非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为R，则函数g(x)=x2+ax+1的值域为__________.解析：要使f(x)的值域为R，必有a=0.于是g(x)=x2+1，值域为[1，+).答案：[1，+)14.若f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f12=__________.解析：设f(x)=x，则有42=3，解得2=3，=log23，答案：1315.若方程x2+(k-2)x+2 k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是__________. 解析：设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1，结合图像可知，f(0)0，f(1)0，f(2)0.即2k-10，1+(k-2)+2k-10，4+2(k-2)+2k-10，解得k12，k23，即1214，故实数k的取值范围是12，23.答案：12，2316.设函数f(x)=2x (-20)，g(x)-log5(x+5+x2) (0若f(x)为奇函数，则当0解析：由于f(x)为奇函数，当-20时，f(x)=2x有最小值为f(-2)=2-2=14，故当0答案：34小编为大家提供的高一数学必修一第三章测试题，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修

2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修复习指导考点一：几类不同增长的函数模型1．三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x.解题指导：三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．例题：1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝2x－1D．y＝11 000ln x解析：指数函数模型增长速度最快，故选C. 答案：C2.若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x>lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg x D ．lg x >x 12>2x解析：如图所示，由图可知当x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x .答案：A考点二：函数模型的应用实例 1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解题指导：1. 用已知函数模型解决问题；2. 建立函数模型解决实际问题. 例题：为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为 (a 为常数),如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.答案：（1）（2）0.62. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间(t)50110 250种植成本(Q) 150 108 150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系:Q=at+b,Q=at 2+bt+c,Q=a·b t ,Q=a·log b t;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.答案：（1）（2）当3215012200t -=-=⨯ (天)时,西红柿种植成本最低为21342515015010020022Q =⨯-⨯+= (元/102kg) 巩固练习一、选择题1．下面对函数，g (x )＝与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( ) A. f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢 B. f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快 C. f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢 D. f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快2．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（）A. B. C. D.3．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )A. y1，y2，y3B. y2，y1，y3C. y3，y2，y1D. y1，y3，y24．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A. f1(x)＝x2B. f2(x)＝4xC. f3(x)＝log2xD. f4(x)＝2x5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A. y＝2x－2B. y＝ (x2－1)C. y＝log2xD. y＝6．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司xx年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（）（参考数据：）A. 2022年B. 2023年C. 2024年D. 2025年二、解答题7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下5个模拟函数：①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x－3.02；③y ＝x 2－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ；⑤y ＝＋1.74 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．8．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．(1)写出x 年后，需要还款总数y (单位：万元)和x (单位：年)之间的函数关系式； (2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x 元，分5次还清，求每次还款的金额x (精确到元)． (参考数据：1.073＝1.225 0，1.074＝1.310 8，1.075＝1.402 551，1.076＝1.500 730)9．根据统计，某机械零件加工厂的一名工人组装第（）件产品所用的时间（单位：分钟）为()9 992cx x f x c x x <⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，，（为常数）.已知该工人组装第件产品用时小时.（1）求的值；（2）试问该工人组装第件产品比组装第件产品少用多少时间？10．在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡，放在75F 的房间内，如果咖啡降到105F 需要20分钟，问降温到95F 需要多少分钟？（F 为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据：，）11．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．问怎样分配这万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?参考答案与解析1．C【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。

2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元质量测评(一)(含解析)新人教A版

第三章单元质量测评(一)对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x答案 C解析由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．2．函数f (x )＝x 3－4x 的零点为( ) A ．(0,0)，(2,0)B ．(－2,0)，(0,0)，(2,0)C ．－2,0,2D ．0,2 答案 C解析由f (x )＝0，得x (x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝0或x ＝±2，故选C. 3．方程ln x ＋x －4＝0的实根所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析设函数f (x )＝ln x ＋x －4(x >0)，故f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．因为f (2)×f (3)＝(ln 2－2)×(ln 3－1)<0，故函数f (x )在区间(2,3)上有零点，即方程ln x ＋x－4＝0在区间(2,3)上有实根，故选B.4．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图象：可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．5．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )答案 C解析观察选项A 中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D 中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程．6．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )答案 B解析 B 为同号零点，故不可以用二分法求解．答案为B.7．设f (x )＝2x＋2x －5的零点为x 1，g (x )＝2log 2(x －1)＋2x －5的零点为x 2，则x 1＋x 2＝( )A.52 B ．3 C.72 D ．4 答案 C解析由题意得2x 1＋2x 1－5＝0,2log 2(x 2－1)＋2x 2－5＝0，∴2x 1－1＝52－x 1,252－x 2＝x 2－1，令t ＝72－x 2，则有2t －1＝52－t .∵方程2x －1＝52－x 有且只有一个零点，∴t ＝x 1，即72－x 2＝x 1，∴x 1＋x 2＝72，故选C.8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S (元)关于x (件)的函数是( )A ．S ＝800＋x 8B ．S ＝800x ＋x8C ．S ＝800x ＋x 8D ．S ＝800x ＋x答案 C解析由题意知每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8，故选C.9．在下列区间中，函数f (x )＝3x－x －3的一个零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析因为f (1)＝31－1－3<0，f (2)＝32－2－3>0，故f (1)f (2)<0，所以在(1,2)内有一个零点，选C.10．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列区间的( ) A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0) 答案 C解析构造f (x )＝2x－x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．11．若关于x 的方程x 2－x －(m ＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤1 B．m ≥－54C ．m <1D ．－54≤m ≤1答案 D解析依题意m ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54，当x ＝12时，m 最小值为－54；当x ＝－1时，m最大值为1.所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.选D.12．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.＋p＋q －12 C.pq D.＋p＋q －1答案 D解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝＋p＋q －1.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －2)的零点是________．答案 1或3解析 f (x －2)＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1或x ＝3.14．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t 变化的6组数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________.答案 6 320·2－t6(t ≥0)解析从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为A 0＝320，则经过时间t的剩余质量为A (t )＝A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12tT 12＝320·2－t 6(t ≥0)．15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,0)解析函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增．由已知得f (0)·f (1)<0，则a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0.16．里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C.F.Richter)和古登保(B.Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度．里氏震级M 的计算公式是M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．日本东北部海域曾发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈，按照里氏震级M 的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍．答案 1000解析设里氏6级地震最大振幅为A 6，里氏9级地震最大振幅为A 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧9＝lg A 9－lg A 0，6＝lg A 6－lg A 0，解得lg A 9－lg A 6＝3，即lg A 9A 6＝3，所以A 9A 6＝103＝1000.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，求函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点．解函数f (x )＝ax －b 的一个零点是3. ∴f (3)＝0，即b ＝3a ，g (x )＝3ax 2＋3ax ，令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1， ∴g (x )的零点是x ＝0或x ＝－1.18．(本小题满分12分)在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少出租6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元．∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6750∴当x ＝5时，y max ＝6750，这时每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)， ∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1.(1)求函数f (x )的零点；(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围．解 (1)当x ≤1时，函数无零点．当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2， ∴函数的零点为x ＝2； (2)当x ≤1时，21－x≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1.当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥12.又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.20．(本小题满分12分)载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解 (1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2，解得k ＝8，所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8lnm ＋xm； (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x . 将y ＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln 479.8479.8－x ，解得x ≈303.3.所以应装载大约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．21．(本小题满分12分)甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如下图(1)所示，该商品日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系如下图(2)所示．(1)写出图(1)表示的销售价格与时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图(2)表示的日销售量与时间的函数关系式Q ＝g (t )，及日销售金额M (元)与时间的函数关系式M ＝h (t )；(2)乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系式为N ＝－2t 2－10t ＋2750，比较4月份每天两商店销售金额的大小．解 (1)设销售价格函数是y ＝kt ＋b ，由图(1)知该函数图象过点(0,15)，(30,30)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，30k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，k ＝12，所以P ＝f (t )＝12t ＋15(0<t ≤30，t ∈N *)．日销售量函数是y ＝at ＋m ，由图(2)知该函数图象过点(0,160)，(30,40)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，30a ＋m ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，a ＝－4.所以Q ＝g (t )＝－4t ＋160(0<t ≤30，t ∈N *)．故M ＝h (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋15(－4t ＋160)＝－2t 2＋20t ＋2400(0<t ≤30，t ∈N *)； (2)由N ＝－2t 2－10t ＋2750(t ∈N *)，可得M －N ＝30t －350(0<t ≤30，t ∈N *)．由30t －350<0，知0<t <1123，t ∈N *.即前11天甲商店销售金额比乙商店少，以后甲均比乙多．22．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x ，∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，62－0.02x ，100<x ≤600；(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，22x －0.02x 2，100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6050. 显然6050>2000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．。

第三章函数概念与性质(章末测试)(原卷版附答案).docx

第三章函数概念与性质章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将参考答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确参考答案,5分/题,共40分）1．（2020·浙江高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭,则()f 8的值为( )A B C ．D ．2．（2020·浙江高一单元测试）设函数2()2(4)2f x x a x =+-+在区间(,3]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是（） A ．7a ≥-B ．7a ≥C ．3a ≥D ．7a ≤-3．（2020·全国高一）函数()f x =的定义域为( ) A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞ D ．()[),12,-∞-+∞4．（2020·上海高一开学考试）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减,且为奇函数．若()11f =-,则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,35.（2020·宁夏兴庆.银川一中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数,则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<-⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭6．（2020·开封市立洋外国语学校）设函数331()f x x x=-,则()f x （） A ．是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数,且在(0,+∞)单调递减7．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()21010x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，,若()()423f x f x >--,则实数x 的取值范围是（）A ．()1，-+∞B ．()1-∞-，C ．()14-， D ．()1-∞，8．（2020·福建省南平市高级中学高二期中）若函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a a --上的偶函数,则该函数的最大值为 A ．5 B ．4 C ．3D ．2二、多选题(每题至少一个为正确参考答案,5分/题,共20分）9．（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）给出下列命题,其中是错误命题的是（） A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()2f x 的定义域为[]0,4； B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞；C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数,在区间()0,∞+上也是单调增函数,则()f x 在R 上是单调增函数；D ．1x ,2x 是()f x 定义域内的任意的两个值,且12x x <,若()()12f x f x >,则()f x 是减函数. 10．（2020·浙江高一单元测试）函数()f x 是定义在R 上的奇函数,下列说法正确的是（） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-,则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数,则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时,()22f x x x =-,则0x <时,()22f x x x =--11．（2019·全国高一单元测试）下列各组函数表示的是同一个函数的是（）A ．()f x =()g x x =B ．()||f x x =与()g x =C ．()1f x x =+与0()g x x x =+D ．()x f x x=与0()g x x =E.()f x =()g x =12．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2),则下列命题正确的有（） A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >,则()1f x >D ．若120x x <<,则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.第II 卷（非选择题）三、填空题(5分/题,共20分）13．（2020·浙江高一单元测试）已知函数2()(1)mf x m m x =--是幂函数,且()f x 在(0,)+∞上单调递增,则实数m =________.14．（2020·迁西县第一中学高二期中）已知a R ∈,函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3,+∞）,f (x )≤x 恒成立,则a 的取值范围是__________．15．（2020·四川双流）设奇函数f (x )在(0,＋∞)上为增函数,且f (1)＝0,则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.16．（2019·湖北武汉。

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 ） A ．()8,9B ．()9,10C ．()12,13D ．()14,152．若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，()02a b f a f +⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭．则（）A ．f (x )在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 B ．f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点C ．f (x )在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 D ．f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点3．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x A ．y 1，y 2，y 3B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 24．下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是（）5．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2014)<0，f(2015)<0，f(2016)>0，则下列叙述正确的是（）A ．函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点B ．函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点C ．函数f (x )在(2015,2016)内存在零点，并且仅有一个D ．函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 6．已知x 0是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则（）A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞07．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)8．某研究小组在一项实验中获得一组关系y 、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系（）A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t9．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则（） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．无法判断10．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，()1f k+与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是（）A．该二次函数的零点都小于kB．该二次函数的零点都大于kC．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内11．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x3A．1．2 B．1．3125 C．1．4375 D．1．2512．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是________．14．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________．15．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0．01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．16．某工程由A 、B 、C 、D 四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x 、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A 、B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设函数()[)()222,1,2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，求函数()()14g x f x =-的零点．18．(12分) 已知二次函数()()2,f x x bx c b c =++∈R ，若()()12f f -=，且函数()y f x x =-的值域为[)0,+∞．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2x g x k =-，当[]1,2x ∈时，记()()f x g x ，的值域分别为A B A B A =U ，，，求实数k 的值．19．(12分)已知函数()()3lg ,23lg 3,2x x f x x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若方程f (x )＝k 无实数解，求k 的取值范围．20．(12分)某公司从1999年的年产值100万元，增加到10年后2009年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x )≈x ，lg2＝0．3，ln10＝2．30)21．(12分)关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时：（1）方程一根大于1，一根小于1；（2）方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；（3）方程的两个根都大于零？22．(12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14．（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】当9x =时，lg91y =-；当10x =时，9111010y =-=，即()1lg91010-⋅<，得函数在区间()9,10内存在零点．故选B ． 2．【答案】B【解析】由已知，易得()02a b f b f +⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，因此f (x )在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．故选B ． 3．【答案】C【解析】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C ． 4．【答案】C【解析】∵C 中零点左右两侧的函数值的符号相反．故选C ． 5．【答案】D【解析】在区间(2015,2016)内零点的个数不确定，故B ，C 错误，在区间(2014,2015)内可能有零点，故选D ． 6．【答案】B【解析】由于函数()1111g x x x ==---在()1,+∞上单调递增，函数h (x )＝2x 在()1,+∞上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在()1,+∞上单调递增，所以函数f (x )在()1,+∞上只有唯一的零点x 0，且f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0，∴f (－3)·f (－1)＜0．∵f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，∴f (2)·f (4)＜0．∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．故选A ． 8．【答案】D【解析】由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵()()1110%110%1100b a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，∴99100b a =⨯，∴b ＜a ，故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意得f (k －1)·f (k )＜0，f (k )·f (k ＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D 正确． 11．【答案】B【解析】由于f (1．375)＞0，f (1．3125)＜0，且1．375－1．3125＜0．1，故选B ． 12．【答案】B 【解析】因为()1111022f -=-=-<，f (0)＝1＞0，所以f (x )的零点a ∈(－1,0)；因为g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2；因为11110222h ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，h (1)＝1＞0，所以h (x )的零点1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此a ＜c ＜b ．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】1m<8-【解析】当m ＝0时，函数有零点，所以应有0180m m ∆≠⎧⎨=+<⎩，解得1m<8-．14．【答案】1【解析】设函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝a ．∵121x x -=，又f (m )<0，∴f (m ＋1)>0．∴f (x )在(m ，m ＋1)上零点的个数是1． 15．【答案】①⑤【解析】f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0．01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(),1-∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,12⎛⎫⎪⎝⎭内，故只有①⑤正确． 16．【答案】3 【解析】如图，设工程所用总天数为f (x )，则由题意得：当x ≤3时，f (x )＝5＋4＝9，当x >3时，f (x )＝2＋x ＋4＝6＋x ， ∴()9,36,3x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，∵工程所用总天数f (x )＝9，∴x ≤3，∴x 最大值为3．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】9825-．【解析】求函数()()14g x f x =-的零点，即求方程()104f x -=的根．当x ≥1时，由12204x --=得98x =；当x <1时，由21204x x --=得25x + (舍去)或25x -． ∴函数()()14g x f x =-的零点是9825-．18．【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）1k =．【解析】（1）因为()()12f f -=，所以1b =-，因为函数()()22211y f x x x x c x c =-=-+=-+-的值域为[)0,+∞，所以故101c c -=⇒=．所以()21f x x x =-+．（2）当[]1,2x ∈时，()21f x x x =-+递增，可得最小值为1，最大值为3， []1,3A ∴=，()2x g x k =-，当[]1,2x ∈时，()g x 递增，可得最小值为2k -，最大值为4k -，[]2,4B k k =--，由A B A =U ，有B A ⊆，所以21143k k k -≥⇒=-≤⎧⎨⎩． 19．【答案】3,lg 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【解析】当32x ≥时，函数f (x )＝lg x 是增函数，∴()3lg ,2f x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦；当32x <时，函数f (x )＝lg(3－x )是减函数，∴()3lg ,2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故()3lg ,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．要使方程无实数解，则3lg 2k <．故k 的取值范围是3,lg 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．20．【答案】16．1%．【解析】设每年年增长率为x ，则100(1＋x )10＝500，即(1＋x )10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋x )＝lg5， ∴()()lg510.7lg 1lg10lg2101010x +==-=．又∵()()ln 1lg 1ln10x x ++=，∴ln(1＋x )＝lg(1＋x )·ln10．∴()0.70.7ln 1ln10 2.300.16116.1%1010x +=⨯=⨯==．又由已知条件：ln(1＋x )≈x 得x ≈16．1%．故每年的平均增长率约为16．1%．21．【答案】（1）a ＜1；（2）－3＜a ＜0；（3）0＜a ＜1．【解析】（1）设f (x )＝x 2－2x ＋a ，(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)＜0，得1－2＋a ＜0，所以a ＜1．（2）由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得()()()()10102030ff f f ⎧->⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即30120440960a a a a +>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得－3＜a ＜0．（3）由方程的两个根都大于零，得()44000a f ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得0＜a ＜1．22．【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年；（3）15年．【解析】（1）设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则()10112a x a -=，即()10112x -=．解得110112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）设经过m年剩余面积为原来的2，则()1ma x -=，即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m =，解得m ＝5．故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n年后剩余面积为()12nx -．()114nx a -≥，即()1n x -≥，31021122n⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3102n ≤，解得n ≤15．故今后最多还能砍伐15年单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数()1ln ,034,0x x f x x x -+>⎧=⎨+<⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．下列给出的四个函数()f x 的图象中能使函数()1y f x =-没有零点的是（）3．若函数y＝f(x)在区间(－2，2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在()-上仅2,2有一个实数根，则()()-⋅的值（）11f fA．大于0 B．小于0 C．无法判断D．等于零4．方程1lg-=必有一个根的区间是（）x xA．()0.3,0.4D．()0.4,0.50.2,0.3C．()0.1,0.2B．()5．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)6．如下图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是下面四个图形中的（）图17．某人2011年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2014年7月1日可取款（） A ．a (1＋x )2元 B ．a (1＋x )4元 C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元8．已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在x 0，使()00f x =，则实数m 的取值范围是（） A ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(][),21,-∞-+∞UC ．[]1,2-D ．[]2,1-9．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（） A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0．25，则f (x )可以是（） A ．f (x )＝4x －1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x －1D ．()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．如图2，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为（）图212．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|－k 只有两个零点，则（） A ．0k = B ．1k >C ．01k ≤<D ．1k >，或0k =二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．14．方程e x －x ＝2在实数范围内的解有________个．15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0．3010，lg3＝0．4771)16．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下六个项目可供选择：号)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1，（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．18．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2．（1）求f(x)；（2）当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．19．(12分)设函数f(x)＝e x－m－x，其中m R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．20．(12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；（2）设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试用销售单价x表示利润S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？图421．(12分)星期天，刘老师到电信局打算上网开户，经询问，记录了可能需要的三种方式所花费的费用资料，现将资料整理如下：①163普通：上网资费2元/小时；②163A：每月50元(可上网50小时)，超过50小时的部分资费2元/小时；③ADSLD：每月70元，时长不限(其他因素均忽略不计)．请你用所学的函数知识对上网方式与费用问题作出研究：（1）分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式；（2）在同一坐标系内分别画出三种方式所需资费与时间的函数图象；（3）根据你的研究，请给刘老师一个合理化的建议．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：（1）画出2000～（2）建立一个能基本反映(误差小于0．1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．（3）2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】当0x >时，令1ln 0x -+=，故e x =，符合；当0x <时，令340x +=，故符合，所以()y f x =的零点有2个，故选B ．2．【答案】C【解析】把()y f x =的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．故选C ． 3．【答案】C【解析】由题意不能断定零点在区间(－1，1)内部还是外部．故选C ． 4．【答案】A【解析】设()lg 1f x x x -+=，则()0.10.10.110.10f lg =-+=-<， f (0．2)＝lg0．2－0．2＋1≈0．1>0，f (0．1)f (0．2)<0，故选A ． 5．【答案】C【解析】令f (x )＝2x －1＋x －5，则f (2)＝2＋2－5＝－1<0，f (3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2，3)内有解．故选C ． 6．【答案】C 【解析】当2Hh =时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A 、B 、D ，选择C ． 7．【答案】D【解析】由题意知，2012年7月1日可取款a (1＋x )元， 2013年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元，2014年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．故选D ． 8．【答案】B【解析】由题意，知m ≠0，故f (x )是单调函数．又在[]2,1-上存在x 0，使f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0．所以(－4m ＋4)·(2m ＋4)≤0，即(m －1)(m ＋2)≥0，得1020m m -≥⎧⎨+≥⎩或1020m m -≤⎧⎨+≤⎩，可解得m ≤－2，或m ≥1．故选B ．9．【答案】C【解析】本题实际上是一个分段函数的问题，购物付款432元，实际商品价值为104324809⨯=(元)；则一次购买标价为176＋480＝656(元)的商品应付款5000.91560.85582.6⨯+⨯＝ (元)，故选C ． 10．【答案】A【解析】f (x )＝4x －1的零点为14x =，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =，估算g (x )＝4x ＋2x －2的零点，因为g (0)＝－1，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以g (x )的零点10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．又函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0．25，只有f (x )＝4x －1的零点适合．故选A ． 11．【答案】C【解析】由题图可得函数的解析式为()2,0121,12t t S f t t t ⎧≤≤⎪==⎨-<≤⎪⎩．故选C ．12．【答案】D【解析】令y 1＝|x 2－6x ＋8|，y 2＝k ，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(2，3)【解析】设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2，3)． 14．【答案】2【解析】可转化为判断函数y ＝e x 与函数y ＝x ＋2的图象的交点个数．图315．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则12%10.1%3n⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即20.132n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴2lg 1lg23n ≤--．∴n ≥7．39，∴n ＝8．16．【答案】ABE (或BDEF )【解析】本题适用于估算来解决．首先确定出各个项目的利润与投资比：A ：0．11；B ：0．2；C ：0．1；D ：0．125；E ：0．15；F ：0．1，大小顺序是：B ，E ，D ，A ，C ，F ；而B ，E ，D 三项的利润和超过1．6千万元；但投资不到13亿元，只有12亿元，所以可以再加上F ，即B ，D ，E ，F ；或者去掉D 选A ，即A ，B ，E 也符合题意．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）当m <1，且m ≠－1时，函数的图象与x 轴有两个交点；（2）12m =．【解析】（1）∵函数的图象与x 轴有两个交点，∴100m ∆+≠⎧⎨>⎩，即()()()214421210m m m m ≠-⎧⎪⎨-⨯+⋅->⎪⎩，整理得11m m ≠-⎧⎨<⎩．即当m <1，且m ≠－1时，函数的图象与x 轴有两个交点．（2）∵函数的一个零点在原点，即点(0，0)在函数f (x )的图象上， ∴f (0)＝0，即2(m ＋1)·02＋4m ·0＋2m －1＝0．∴12m =． 18．【答案】（1）f (x )＝－3x 2－3x ＋18；（2）[]12,18．【解析】（1）∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)． ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0， ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0． ② ①－②，得b ＝a ＋8．③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0．∵a ≠0，a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5．∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18．（2）由（1）得()22133********f x x x x ⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎝⎭，图象的对称轴方程是12x =-，且0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18． ∴函数f (x )的值域是[]12,18． 19．【答案】存在零点．【解析】f (x )＝e x －m －x ，所以f (0)＝e －m －0＝e －m >0，f (m )＝e 0－m ＝1－m ．又m >1，所以f (m )<0，所以f (0)·f (m )<0．又函数f (x )的图象在区间[0，m ]上是一条连续曲线，故函数f (x )＝e x－m－x (m >1)在区间(0，m )内存在零点．20．【答案】（1）y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)；（2）见解析．【解析】（1）由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300．代入y ＝kx ＋b 中，得400600300700k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11000k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)（2）销售总价＝销量单价×销售量＝xy ，成本总价＝成本单价×销售量＝500y ，代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1 000)－500(－x ＋1 000)＝－x 2＋1 500x －500 000 ＝－(x －750)2＋62 500(500≤x ≤800)∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62 500元，此时销售量为250件． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）上网费用y (元)与上网时间t (小时)的函数关系： ①163普通：y ＝2t (t ≥0)；②163A ：()50,05050250,50t y t t ≤≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩，③ADSLD ：y ＝70(t ≥0)；（2）如图5所示：图5（3）163普通：适合不常上网，偶尔上网的，当每月上网时间t ≤25小时时，这种方式划算． 163A ：适合每月上网25～60小时的情况．ADSLD ：每月上网时间t ≥60小时的情况，用此方式比较合算．22．【答案】（1）见解析；（2）()3522f x x =+；（3）9.1万件．【解析】（1）散点图如图6：图6（2）设f (x )＝ax ＋b ．由已知得437a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a =，52b =，∴()3522f x x =+．检验：f (2)＝5．5，|5．58－5．5|＝0．08<0．1； f (4)＝8．5，|8．44－8．5|＝0．06<0．1． ∴模型()3522f x x =+能基本反映产量变化．（3）()35771322f =⨯+=，由题意知，2006年的年产量约为1370%9.1⨯=(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件。

2019-2020学年高一数学必修一第3章3.3函数的应用

2019-2020学年高一数学必修一第3章3.3函数的应用教师版常见的几类函数模型1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20[答案]A2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是()A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域A[由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．60[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]【例1】y ＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2 000套 B ．3 000套C．4 000套D．5 000套D[因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]1．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像．根据图像填空：(1)通话2分钟，需要付电话费________元；(2)通话5分钟，需要付电话费________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．(1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3)[(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．(3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．]【例2】低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[思路点拨]本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解](1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.2．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．[解](1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.∵λ＝0.25，∴y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，则当x＝1003时，y最小．故当核电站建在距A城1003km时，才能使供电总费用最小．【例3】100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t －12t 2(万元)．(1)若该公司的年产量为x (单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解] (1)当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )(0<x ≤5)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－12×52－(0.5＋0.25x )(x >5)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋4.75x －0.5(0<x ≤5)，12－0.25x (x >5).(2)当0<x ≤5时，f (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5，所以当x ＝4.75(百件)时，f (x )有最大值，f (x )max ＝10.781 25(万元)．当x >5时，f (x )<12－0.25×5＝10.75(万元)．故当年产量为475件时，当年所得利润最大．1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，。

《第三章函数的应用》章末检测题及答案

第三章　章末检测题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x2－2x－3的零点是( )A．1，－3 B．3，－1C．1,2 D．不存在答案　B解析　方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1，所以函数y＝x2－2x－3的零点是－1,3，故选B.2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的( )答案　C解析　C中图像中的零点两侧的函数值为同号．3．方程x－1＝lg x必有一个根的区间是( )A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)答案　A解析　设f(x)＝lg x－x＋1，则f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，f (0.1)f (0.2)<0，选A.4．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a >1C ．a ≤1D ．a ≥1答案　B解析　f (x )没有零点，即x 2＋2x ＋a ＝0无实数解．∴Δ<0即4－4a <0，∴a >1.5．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 答案　A解析　Error!⇔－5<m <－4.6．对于定义在实数集R 上的函数，如果存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个不动点，已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A ．(－，)B ．(－，) 12323212C ．(－1,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　A解析　因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，即x 2＋2ax ＋1＝x 无实数解．∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0无实数解．从而Δ<0即(2a －1)2－4<0，∴－2<2a －1<2，∴－<a <. 12327．如下图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图像是下面四个图形中的( )答案　C解析　当h ＝时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，H 2且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D ，选择C.8．某人2011年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2014年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )2元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元答案　D解析　由题意知，2012年7月1日可取款a (1＋x )元，2013年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元，2014年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．9．三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0在下列哪些连续整数之间没有根( )A ．－2与－1之间B ．－1与0之间C ．0与1之间D ．1与2之间答案　C解析　∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，∴A ，B ，D 都不符合题意．10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C ．11吨D ．9吨答案　D11．某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元答案　D解析　设每件商品定价为x 元，则月利润为[500－10(x －50)](x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.所以当x ＝70时，利润最大．12．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－)·f ()<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( ) 1212A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一的实根D ．没有实根答案　C解析　因为f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－)·f ()<0，所以f (x )1212在[－，]内有唯一实根，所以f (x )在[－1,1]内有唯一实根． 1212二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上)13．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a ，b )的中点x 1＝＝3，2＋42计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案　(2,3)解析　∵f (2)f (4)<0，f (2)f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0，故x 0∈(2,3)．14．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是4和6，则函数g (x )＝bx 2＋ax －1的零点是________．答案　， 1416解析　∵4和6是函数f (x )的两个零点，∴Error!即Error!∴Error!∴g (x )＝－24x 2＋10x －1.令g (x )＝0，得x ＝或x ＝. 141615．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为______．答案　216．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．答案　2ln2　1 024解析　将(，2)代入y ＝e kt ，得2＝e k . 1212∴k ＝ln2，k ＝2ln2. 12这时函数解析式为y ＝e 2t ln2＝eln22t ＝22t ，令t ＝5，则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024个．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．解析　(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图像过点(－3,0)，(2,0)．∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0，①4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②①－②，得b ＝a ＋8.③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋)2＋＋18， 1234图像的对称轴方程是x ＝－，且0≤x ≤1， 12∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18.∴函数f (x )的值域是[12,18]．18．(12分)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该34企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)当140<a ≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解析　(1)y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－x 2＋(－)x ＋a ， 1100a 100140100∵a －x ≥a ，∴x ≤，故x 的取值范围是0≤x ≤且x ∈N . 34a 4a 4(2)y ＝－x 2＋(－)x ＋a ＝－[x －(－70)]2＋(－70)21100a 1001401001100a 21100a 2＋a ，当140<a ≤280时，0<－70≤， a 2a 4∴当a 为偶数时，x ＝－70，y 取最大值； a 2当a 为奇数时，x ＝－70或x ＝－70，y 取最大值． a ＋12a －12∵尽可能少裁员，∴x ＝－70. a －12综上所述：当a 为偶数时，应裁员－70；当a 为奇数时，应裁员a 2－70. a －1219．(12分)某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供应量y 2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析　(1)由y1＝y2，得Error!∴平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件．(2)Error!∴Error!∴要使平衡需求量增加4万件，每件需补贴6元．20．(12分)“水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．解析　设本季度他应交水费为y元，当0<x≤5时，y＝1.2x；当5<x≤6时，应把x分成两部分：5与x－5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)(1＋200%)，所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；同理可得，当6<x≤7时，y＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x－6)(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得y ＝Error!21．(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析　设矩形的长为x ，宽为y ，则2x ＋2π()＝400，∴y ＝(200－x )(0<x <200)． y 22π∴S ＝xy ＝x (200－x )．∴对称轴为x ＝100. 2π∴x ＝100时，S 最大，此时y ＝. 200π答案　把矩形的长和宽分别设计为100 m 和 m 时，矩形区域200π面积最大22．(12分)某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？解析　(1)依题意得f(x)＝5x(15≤x≤40)，g(x)＝Error!(2)f(x)－g(x)＝Error!易知，当15≤x<18时，f(x)－g(x)<0，∴f(x)<g(x)，即选甲家；当x＝18时，f(x)－g(x)＝0.∴f(x)＝g(x)，即选甲家和乙家都一样；当18<x≤30时，f(x)－g(x)>0，∴f(x)>g(x)，即选乙家；当30<x≤40时，f(x)－g(x)>0，∴f(x)>g(x)，即选乙家．。

(优选)2019年高中数学第三章函数的应用章末检测新人教A版必修1

第三章函数的应用章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝3x－5的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：依次将区间端点代入函数，可知f (1)<0，f (2)>0，根据函数零点存在性定理可知该函数的零点所在区间为(1,2)．答案：C2．某大型水库的蓄水量每年比上一年平均增长10.4%，那么经过x 年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：设水库的原有蓄水量为1，由题意，f (x )＝(1＋10.4%)x ；即f (x )＝1.104x，故选D. 答案：D3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：不求a 、b 、c A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：由表中数据可知，二次函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．∴一根在(－∞，12)内，另一根在(12，＋∞)内．而f (－3)·f (－1)＝6×(－4)<0，f (2)·f (4)＝－4×6<0.∴两根所在区间为(－3，－1)和(2,4)．答案：A4．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤15D ．a ≥15或a ≤－1解析：特殊值验证法：取a ＝1，－1两个值验证，可得D. 答案：D5．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知：有两个交点．答案：A6．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45，那么经过3年，这种物质的剩留物质约是原来的( ) A.64125 B.1625 C.256625D.16125解析：由(45)3＝64125.答案：A7．已知函数f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则函数f (x －1)的所有零点之和为( ) A ．0 B ．8 C ．4D 无法确定解析：函数f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以四个零点之和为0，而f (x －1)是f (x )图象向右平移了一个单位，所以零点之和为4. 答案：C8．某企业2014年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2014年度产值的月平均增长率为( )A.PP －1 B.11P －1C.11P D.P －111解析：设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11， ∴x ＝11P －1，故选B.答案：B9．已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( ) A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －ax D ．y ＝b －cc －ax 解析：根据配制前后溶液不变，则有a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )， ∴ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx . 答案：B10．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)( ) A ．0.25 B ．0.375 C ．0.635D ．0.825解析：令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似根．故选C. 答案：C11．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是( ) A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x ＝1,2,3时，选项A 、B 、C 、D 中得到的y 值做比较，y ＝2x10的y 值比较接近．答案：C12．若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k ＝( ) A ．－2 B ．1 C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x.在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，如图所示．由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或1. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：设函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点．由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点．不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是{a |a >1}．答案：(1，＋∞)14．若函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2 009，则x 1＋x 2＋…＋x 2 009＝________. 解析：定义在R 上的奇函数f (x )必有f (0)＝0，则x 1，x 2…x 2 009中必有一个是零，其余的2 008个零点分别在x 轴上，关于坐标原点两两对称．答案：015．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的收购价格为函数y ＝(a －71)2＋(a －72)2＋(a －70)2取得最小值时的a ，则a ＝71＋72＋703＝71.从而7月份的收购价格为71元/担．答案：71元/担16. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤bb 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－x －x －，2x －1≤x －1x －2－x －x －，2x －1>x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －142－18，x ≤0－x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知，当直线y ＝m 在x 轴之上与直线y ＝14之间时，方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根，所以0<m <14.答案：0<m <14三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分为12分)若函数f (x )＝mx 2－x －2只有一个零点，试求m 的取值范围．解析：①当m ＝0，则f (x )＝－x －2，f (x )仅有一个零点－2.②当m ≠0，则f (x )＝mx 2－x －2是二次函数，若是只有一个零点，即方程mx 2－x －2＝0仅有一个实数根，故Δ＝1＋8m ＝0 解得m ＝－18.综上，当m ＝0或m ＝－18时函数只有一个零点．18．(本小题满分为12分)试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y ＝x －13x ＋2至少有一个零点．解析：函数f (x )＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]，∵f (12)＝12－132＋2＝－17<0，f (32)＝32－192＋2＝113>0，∴在区间[12，32]内函数f (x )至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间． 19．(本小题满分为12分)渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)． (1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值．解析：(1)根据题意知空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm，0<x <m . (2)∵y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m (x －m 2)2＋mk4， ∴当x ＝m2时，y max ＝mk4. 20．(本小题满分为12分)为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：(1)请你确定y 与x (2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？解析：(1)依题意，由于课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设y ＝ax ＋b ，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，b ＝11.所以y与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11.(2)将x ＝42代入(1)中的函数解析式得y ＝1.6×42＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的．21．(本小题满分为13分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)若函数f (x )在(－1,3)上有一个零点，则只需有f (－1)·f (3)＜0，即(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)＜0， ∴a ＜－15或a ＞1.(2)若f (－1)＝0，则a ＝1，此时f (x )＝x 2＋x ，令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (3)若f (3)＝0，则a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－15)∪(1，＋∞)．22．(本小题满分为 13分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分．通过市场调查发现：①销售量r (x )与衬衣标价(x 元/件)在销售旺季近似符合函数关系：r (x )＝kx ＋b 1，在销售淡季近似符合函数关系：r (x )＝kx ＋b 2，其中k <0，b 1，b 2>0，且k ，b 1，b 2为常数； ②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大利润；③若称①中r (x )＝0的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下列问题： (1)填出表格中空格的内容.解析：(1)如下表：在销售旺季，当x ＝100k －b 12k ＝50－b 12k 时，利润y 取得最大值；在销售淡季，当x ＝100k －b 22k ＝50－b 22k 时，利润y 取得最大值．下面分销售旺季和销售淡季进行讨论：由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价x ＝50－b 12k＝140时，利润y 取得最大值．此时b1＝－180k，销售量为r(x)＝kx－180k.由kx－180k＝0知，在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍，∴销售淡季的“临界价格”为120元/件，∴120k＋b2＝0，∴在销售淡季，当标价x＝50－b22k＝110元/件时，利润y取得最大值．故在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．。

2019_2020学年高中数学第三章函数的应用章末复习课件新人教A版必修1

3学科思想培优
一、函数零点与方程的根根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x) ＝0 的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．
[典例 2] 我国加入 WTO 时，根据达成的协议，某产品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x)＝2(1－ kt)(x－b)2(其中 t 为关税的税率，且 t∈0，12，x 为市场价格，b， k 为正常数)，当 t＝18时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求 b，k 的值； (2)记市场需求量为 Q，它近似满足 Q(x)＝211－2x，当 P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于 9 元，求税率的最小值．
个零点，即方程 mx2－x－2＝0 有两个相等的实数根，所以 Δ＝1＋8m＝0，解得 m＝－18.
综上，可知当 m＝0 或 m＝－18时，函数 f(x)只有一个零点．
3．转化与化归思想转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数型、对数型函数的零点问题转化为二次函数等熟悉的函数的零点问题，从而达到化难为易的目的．
第三章函数的应用
章末复习
1知识系统整合
2规律方法收藏
1．方程的根与函数的零点方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2．零点判断法如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a， b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．

20192020学年高中数学第三章函数的应用测评含解析新人教A版必修1

第三章函数的应用测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.已知以下四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是( )剖析由二分法的定义易知选A.答案A2.已知函数f(x)=2x-b的零点为x0,且x0∈(-1,1),则b的取值范围是( )A.(-2,2)B.(-1,1)C. D.(-1,0)剖析解方程f(x)=2x-b=0,得x0=,所以∈(-1,1),即b∈(-2,2).答案A3.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)剖析由于f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-3<0且f(2)=16-8-3=5>0.由于f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).答案C4.以下给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是( )剖析把y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x)-1与x轴无交点. 答案C5.已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:小时)的函数关系用图象表示为( )剖析本题结合函数图象观察一次函数模型.由题意得h=20-5t(0≤t≤4),应选B.答案B6.国家接踵出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税以下:年收入在280万元及以下的税率为p%;高出280万元的部分按(p+2)%收税.现有一家企业的实质缴税比率为(p+0.25)%,则该企业的年收入是( )A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元剖析设该企业的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%.解得a==320.答案D7.已知某市生产总值连续两年连续增加,若第一年的增加率为p,第二年的增加率为q,则该市这两年生产总值的年平均增加率为( )A. B.C. D.-1剖析设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增加率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=-1,应选D.答案D8.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB订交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大体为四个选项中的( )剖析设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,张口向下,极点在y轴上方.应选C. 答案C9.已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为( )A.2B.3C.4D.与a的值有关剖析设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象以下列图.由图可知,两个图象有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个根.应选A.答案A10.(2018全国1高考,理9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在两个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)剖析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必定使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.应选C.答案C11.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0剖析设y1=2x,y2=,在同一平面直角坐标系中作出它们图象.如图,在区间(1,x0)内,y2=的图象在y1=2x图象的上方,即,所以<0,即f(x1)<0,同理f(x2)>0.答案B12.如图1是某条公共汽车线路出入差额y与乘客量x的图象.由于目前本条线路损失,企业有人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2、3所示.依照图象判断以下说法错误的选项是( )①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价A.①④B.②④C.①③D.②③剖析依照题意和题图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说了然此建议是降低成本而保持票价不变;由题图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说了然此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得①④正确,②③错误.答案D二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.函数f(x)=的零点是.?剖析由f(x)=0,即=0,得x=1,即函数f(x)的零点为1.答案114.已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a=0恰有4个互异的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .?剖析在同一个直角坐标系内分别作出y=f(x)=|x2+3x|与y=a的图象,以下列图.不如设x1<x2<x3<x4,由图象y=f(x)的对称性可知,x1+x4=-3,x2+x3=-3,所以x1+x2+x3+x4=-6.答案-615.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍(假设二者相应的标准地震的振幅相同).?剖析第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,所以A1=109A0,A2=105A0,=10 000.答案6 10 00016.某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似数(精准到0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为x≈1.8,那么他所取的4个值中的第2个值为.?剖析先判断零点所在的区间为(1,2),故用“二分法”取的第1个值为1.5,由于方程的近似解为x≈1.8,故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2),故取的第2个值为(1.5+2)÷2=1.75.答案1.75三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,求n的值.解∵a>2,∴f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b, ∵2<a<3<b<4,∴0<loga2<1,-2<2-b<-1.∴-2<loga2+2-b<0.又1<loga3<2,-1<3-b<0,∴0<loga3+3-b<2,∴f(2)<0,f(3)>0.又f(x)在(0,+∞)上是单调函数,∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.∴n=2.18.(本小题满分12分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN ⊥AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.解①当点N在BC上时,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);②当点N在AB上时,y=x2(0<x≤a).综上,有y=19.(本小题满分12分)已知f(x)=其中a>0,a≠1.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;(2)当a=2时,函数f(x)在(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.解(1)由题易知f(x)在(-∞,0)上单调递加,∴f(x)在(-∞,+∞)上应是单调递加的,∴a>1,且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.综上,a,b的取值范围分别是a>1,b≥-2.(2)∵x<0时,f(x)<-1,∴f(x)在(-∞,0)上无零点,∴x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,∵f(x)在[0,+∞)上单调递加,且f(x)∈[1+b,+∞),∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.∴实数b的取值范围是b∈(-∞,-1].20.(本小题满分12分)经过市场检查,某种商品在销售中有以下关系:第x(1≤x≤30,x∈N*)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量).(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.解(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,解得a=50.从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),即第15天该商品的销售收入为1 575元.(2)由题意可知y=即y=当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000.故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.21.(本小题满分12分)近来几年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”供应了极大的方便,某共享单车企业“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,依照行业规定,每个城市最少要投资40万元,由先期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时企业的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,依题意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 22.(本小题满分12分)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资本,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资本比上一年增加10%.(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资本数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资本数将高出200万元?(参照数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)解(1)第一年投入的资本数为100(1+10%)万元,第二年投入的资本数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2018年为第一年)该企业投入的资本数y(万元)与x的函数关系式y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}.(2)由100(1+10%)x>200可得1.1x>2,即x>≈7.3,即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资本数将高出200万元.。

2019_2020学年高中数学第三章函数的应用章检测试题新人教A版必修1

第三章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．函数f(x)＝lg|x|的零点是( D )A．(1,0) B．(1,0)和(－1,0)C．1 D．1和－1解析：由f(x)＝0，得lg|x|＝0，∴|x|＝1，∴x＝±1，故选D.2．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点有( D ) A．2个B．奇数个C．1个D．至少2个解析：由题意易知f(x)在(a，b)内有零点，在(b，c)内有零点，故f(x)在(a，c)内至少有2个零点．3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的( C )解析：C中图象中的零点两侧的函数值为同号．4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：由表格可得二次函数f (x )的对称轴为x ＝0＋12＝12，a >0.再根据f (－3)f (－1)<0，f (2)f (4)<0可得f (x )的零点所在的区间是(－3，－1)和(2,4)，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．5．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是( A )A ．144小时B ．90小时C ．60小时D ．40小时解析：由t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100，令N ＝90，得－144lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－90100 ＝－144lg 110＝144(小时)．即所需学习时间是144小时．6．已知函数f (x )＝e x－x 2，则下列区间上，函数必有零点的是( B ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：∵f (－2)＝1e 2－4<0，f (－1)＝1e －1<0, f (0)＝e 0＝1>0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e2－4>0，f (－1)·f (0)<0，∴f (x )在(－1,0)上必有零点．7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( C )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x ，0<x <240，x ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋50x －30 000≥0，0<x <240，x ∈N .解得150≤x <240且x ∈N .故生产者不亏本时的最低产量为150台．8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.9．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( A ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出这两个函数的图象，如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个实根，应选A.10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( A )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0.又∵0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.11．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( A )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 解析：f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0， f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32，估算g (x )＝4x＋2x －2的零点，因为g (0)＝－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，所以g (x )的零点x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 又函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f (x )＝4x －1的零点适合．12．用二分法求函数f (x )＝ln(x ＋1)＋x －1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( C )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n .∵精确度为0.01，∴12n <0.01，又n ∈N *，∴n ≥7，且n ∈N *，故所需二分区间的次数最少为7，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是(1，＋∞)．解析：分a >1与0<a <1两种情况，画出函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象，如图所示．由图象知，当a >1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 14．我国GDP 计划从2010年至2020年翻一番，平均每年的增长率为7.18%.(102≈1.0718)解析：设平均每年增长率为p ，则2＝(1＋p )10. ∴1＋p ＝2 110≈1.071 8，∴p ≈0.071 8.15．若关于x 的方程log 12 x ＝m1－m 在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是0<m <1.解析：要使方程有解，只需m1－m在函数y ＝log 12 x (0<x <1)的值域内．∵x ∈(0,1)，∴log 12x >0，∴m1－m>0，∴0<m <1.16．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是[－2,1)．解析：∵x 2－2x －(x ＋3)－1＝x 2－3x －4 ＝(x －4)(x ＋1)， ∴f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1或x ≥4，x 2－2x ，－1<x <4，作函数y ＝f (x )的图象如图．结合图象可知，当－1<－k ≤2，即－2≤k <1时，函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个公共点．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(8分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合．解：∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0. ∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14 x ≤0，即x ≥1时，log 14 x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log 14x >0时，12≤x <1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 18．(10分)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点．解：(1)∵函数y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，∴函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A (－1，－1)．(2)证明：F (x )＝log a (x ＋2)－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.∵函数F (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. ∴F (2)＝12，即log a 4－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12.∴a ＝2，∴F (x )＝log 2(x ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1－1.∴函数F (x )在(1,2)上是增函数．又∵F (1)＝log 23－2<0，F (2)＝12>0，F (1)·F (2)<0，∴F (x )在(1,2)上有零点．综上知，函数F (x )在(1,2)上有唯一零点．19．(10分)通过市场调查，得到某种纪念章每1枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x .(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．(3)设你选取的函数为f (x )，若对任意实数k ，方程f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的实根，求m 的取值范围．解：(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减少后增加，而在所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 最合适．(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a ×42＋4b ＋c ＝90，a ×102＋10b ＋c ＝51，a ×362＋36b ＋c ＝90，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126.∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26.∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元．(3)由(2)知f (x )＝14x 2－10x ＋126，∵f (x )＝kx ＋2m ＋120恒有两个相异的实根，则14x 2－(k ＋10)x ＋6－2m ＝0恒有两个相异的实根， ∴Δ＝[－(k ＋10)]2－4×14(6－2m )>0恒成立，即2m >－(k ＋10)2＋6对任意k ∈R 恒成立，而－(k ＋10)2＋6≤6，∴只需2m >6，即m >3.故m 的取值范围为(3，＋∞)．20．(12分)已知函数f (x )＝|x |＋m x－1(x ≠0)．(1)若对任意的x ∈R ＋，不等式f (x )>0恒成立，求m 的取值范围； (2)试讨论函数f (x )零点的个数．解：(1)当x >0时，f (x )＝x ＋m x －1，不等式f (x )>0恒成立等价于x ＋m x－1>0恒成立，则有m >x －x 2对x >0恒成立，而x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14(x >0)，故m >14.(2)令f (x )＝|x |＋mx －1＝0，得m ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，x >0，x ＋x 2，x <0，函数f (x )的零点个数即y ＝h (x )＝m 和y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，x >0，x ＋x 2，x <0图象的交点个数，在同一坐标系中作出函数y ＝h (x )，y ＝g (x )的图象(如图)．结合图象可知，①m >14或m <－14时，有一个零点；②m ＝±14或m ＝0时，有两个零点；③－14<m <14且m ≠0时，有三个零点．。