湖北省荆州市高三数学上学期第九次周考试题 文
湖北省荆州市沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024—2025学年度上学期2024级10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年10月10日一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{|18},(){1,3,5,7}U U A B x x A B =⋃=∈≤≤⋂=N ð，则集合B =（）A.{2,6,8}B.{4,6,8}C.{2,4,6,8}D.{1,2,4,6}【答案】C 【解析】【分析】利用Venn 图数形结合求解集合.【详解】由(){1357}U A B ⋂=,,,ð，如下图示，且{}{|18}1,2,3,4,5,6,7,8U A B x x =⋃=∈≤≤=N ，则(){}()2,4,6,8U UB A B =⋂=痧.故选：C.2.不等式()2102x x x -≤+的解集为（）A.{|20x x -<<或}01x <≤B.{}|21x x -≤≤C.{|20x x -≤<或}01x <≤ D.{}|21x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】先分0x =和0x ≠两种情况讨论，当0x =时不等式显然成立，当0x ≠时转化为102x x -≤+，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果.【详解】由()2102x x x -≤+，当0x =时，不等式显然成立；当0x ≠时，20x >，()()()211201002220x x x x x x x x -⎧-+≤-≤⇔≤⇔⎨+++≠⎩，解得：21x -<≤且0x ≠.综上，不等式()2102x x x -≤+的解集为{}|21x x -<≤.故选：D.3.由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素A.15B.16C.17D.18【答案】A 【解析】【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有36615++=种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素，故选：A.4.命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为（）A.0,x ∀≤不等式2111x x -<+恒成立B.0,x ∃≤不等式2111x x -<+成立C.0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-D.0,x ">不等式2111x x -<+恒成立【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论.【详解】命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-.故选：C.5.设,,a b c ∈R ，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】由推出关系即可判断充分不必要条件.【详解】若a b c ==，则22223a b c a ++=，23ab bc ac a ++=，则222a b c ab bc ca ++=++，所以222a b c ab bc ac ++≥++成立.即222a b c a b c ab bc ca ==⇒++≥++；若222a b c ab bc ca ++≥++，当1,2,3a b c ===时，22214914,26311a b c ab bc ca ++=++=++=++=，也满足222a b c ab bc ca ++≥++，但,,a b c 并不相等.故222a b c ab bc ca ++≥++推不出a b c ==.则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的充分不必要条件.故选：A.6.已知2(1)g x x =-，1[()]x f g x x -=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.15B.1C.3D.30【答案】C 【解析】【分析】令()12g x =，求x ，代入1[()]x f g x x -=可得结论.【详解】令()12g x =，可得1122x -=，所以14x =，故1142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将14x =，代入1[()]x f g x x -=，得11143144f g -⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.7.记不等式220x x +->､210(0)x ax a -+≤>解集分别为A 、B ，A B ⋂中有且只有两个正整数解，则a 的取值范围为（）A.1017,34⎛⎫⎪⎝⎭ B.1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.517,24⎛⎫⎪⎝⎭ D.517,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，由分析知B ≠∅，求出集合B ，进而得出A B ⋂中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.【详解】由220x x +->可得：1x >或2x <-，所以{|2A x x =<-或>1，因为A B ⋂中有且只有两个正整数解，所以A B ≠∅ ，对于方程210(0)x ax a -+=>，判别式24a ∆=-，所以方程的两根分别为：12a x -=，22a x +=，所以|22a a B x x ⎧+⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若A B ⋂中有且只有两个正整数解，则12342a a ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪≤<⎪⎩即268a a a ⎧-≤⎪⎨-≤<-⎪⎩，可得2103174a a a ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩，所以101734a ≤<，当112a x -=>时，解得02a <<，此时240a ∆=-<，B =∅不符合题意，综上所述：a 的取值范围为1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B.8.若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>，则m 的取值集合是（）A.{|9}m m >- B.{|1}m m ≤C.{|91}m m -<<D.{|9}m m ≤-【答案】A 【解析】【分析】先求出命题的否定为真时，m 的范围，再求其补集即可.【详解】命题存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>的否定为11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤，若11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤为真，则()()422310422310m m m m ⎧+-++≤⎪⎨--++≤⎪⎩，所以9m ≤-，故若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>则9m >-，所以m 的取值集合是{|9}m m >-.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知集合2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，若A B A = ，则a 的取值可以是（）A.1-B.0C.2D.2-【答案】BC 【解析】【分析】由A B A = 可得B A ⊆，结合条件列方程求a ，结合元素互异性检验所得结果.【详解】因为A B A = ，所以B A ⊆，又2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当0a =时，{1,2,0}A =，{1,2}B =，满足要求，当2a =时，{1,2,4}A =，{1,4}B =，满足要求，当1a =-时，212a a ==+，与元素互异性矛盾，故选：BC.10.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴0a <，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.11.已知a b >，且220ax x b -+≥恒成立，又存在实数x ，使220ax x b ++=，则22a ba b+-的取值可能为（）A.3B.2C. D.1【答案】AC 【解析】【分析】根据二次函数的性质、一元二次方程的判别式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】解：∵a b >，不等式220ax x b -+≥对于一切实数x 恒成立，∴>04−4a ≤0，即0a >，1≥ab ；①又存在R x ∈，使220ax x b ++=成立，则0∆≥，即440ab -≥，得1ab ≤，②由①②得1ab =，即1b a =；∵a b >，∴1a >，∴10a a->，∴222211211a a b a a a b a a a a a++⎛⎫==-+≥ ⎪-⎝⎭--，当且仅当212a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2a =时取等号．∴22a ba b+-的最小值为AC 正确，故选:AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{ |A x y ==，2{ |, }B y y x x A ==∈，则A B = _____【答案】{ |0 }x x ≥【解析】【分析】化简集合A ，B ，结合交集运算法则求结论.【详解】由y =有意义可得0x ≥，所以{ |0 }A x x =≥，当0x ≥时，20y x =≥，所以{ |0 }B y y =≥，所以{ |0 }x B x A =≥ .故答案为：{ |0 }x x ≥.13.已知关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则p 的取值集合为_____【答案】{}4,4-【解析】【分析】结合二次函数图象可知与直线1y =有且仅有一个交点，利用方程240x px ++=判别式等于0可求.【详解】设2()5f x x px =++，则()f x 的图象开口向上，如图，要使关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则函数2()5f x x px =++与直线1y =相切，即方程251x px ++=即240x px ++=有两个相等的实数根，则2160p ∆=-=，解得4p =±.则p 的取值集合为{}4,4-.故答案为：{}4,4-.14.已知,,R ,8a b c a b c +∈++=+的最小值为_______【答案】10【解析】的几何意义（代表直角三角形斜边），即可求解.可以理解为以,1a 为直角三角形的可以理解为以,2b 为直角三角形的斜边，可以理解为以,3c 为直角三角形的斜边，如图所示BD ≤,当三斜边与对角线BD 重合时，取到最小值.又,,R ,8a b c a b c +∈++=,所以10BD ==.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知01,01a b <<<<，4443a b ab +=+.（1）求ab 的取值范围；（2）求2+a b 的最大值.【答案】（1）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）3.【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到“和”与“积”的不等关系，求解关于“积”的不等式可得；（2）凑积为定值(1)(1)1a b --=的形式，将1,1a b --看成整体表示所求式，再利用基本不等式求最值可得；【小问1详解】因为01,01a b <<<<，所以4443a b ab +=+≥，当且仅当44a b =即12a b ==时等号成立.,01t t =<<，则24830t t -+≥，解得32t ≥（舍去）或12t ≤.所以102<≤，则104ab <≤.故ab 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】由4443a b ab +=+，得444410ab a b --+-=，所以4(1)1ab a b --+=，即()11(1)4a b --=，其中10,10a b ->->，则[]2(1)2(1)3(1)2(1)3a b a b a b +=----+=--+-+33≤-=-.当且仅当12(1)a b -=-，即1214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立.所以2+a b的最大值为3.16.根据气象部门的预报，在距离某码头O 处南偏东45︒方向60公里A 处的热带暴雨中心正以20公里每小时的速度向正北方向移动，若距暴雨中心45公里以内的地区都将受到影响，根据以上预报，从现在起多长时间后，该码头将会受到热带暴雨的影响？且影响的时间大约有多长？（精确到0.1）【答案】1.4h ，1.5h 【解析】【分析】设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,在AOB V 中，利用余弦定理得到t 的不等式，解不等式得到结果.【详解】如图，设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,则在AOB V 中，60OA =，20AB t =，45OAB ∠=︒，根据余弦定理，得()222602026020cos 4545t t +-⋅⋅⋅︒≤，整理得216630t -+≤，解得：3344t ≤≤，且()623 1.4h 4-≈，()623623 1.544h +-=.答：从现在起1.4h 后，该码头将会受到热带暴雨的影响.影响1.5h.17.已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.【答案】()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先分类讨论A 是否是空集，再当A 不是空集时，分-2≤a ＜0，0≤a≤2，a ＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a 的取值范围【详解】若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾；②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤；③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a=≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．18.已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，12x x D ∀≠∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -≤-，则称()f x 为D 上的“k -利普希茨”函数.（1）请写出一个“k -利普希茨”函数，并给出它的定义域D 和k 值（2）若()4)f x x =≤≤为“k -利普希茨”函数，试求常数k 的取值范围【答案】（1）()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“k -利普希兹条件函数”的定义求解；（2）根据“k -利普希兹条件函数”的定义，设12x x >，将问题转化为12k ≥=立求解；【小问1详解】()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）【小问2详解】若函数()(14)f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，则对于定义域[]1,4内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x >，则12k ≥=因为14x ≤≤，所以1142<<，所以12k ≥，所以k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；19.已知2(1)(1)y mx x nx =-+-（1）当0m =时，不等式0y ≥的解为122x -≤≤，试求n （2）若0m >，当0x >时，有0y ≥恒成立，试求2n m+的最小值（3）设m n =，当1132x ≤≤时，0y ≥恒成立，试求m 的取值范围【答案】（1）32n =（2）10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2，（3）[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由题设2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，列方程组求参数即可；（2）讨论1mx -与零的大小，结合不等式恒成立，分别得到R n ∈、1n x x ≥-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立、1n x x ≤-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，进而分别求出在对应情况下的最小值；（3）讨论m 与零的大小，问题转化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应的参数范围即可；【小问1详解】当0m =时，2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，所以()2421011110242y n y n ⎧-=-++=⎪⎨⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得32n =，【小问2详解】由0x >时，有0y ≥恒成立，且0m >，当10mx -=，则0y =恒成立，满足题意，此时R n ∈，2n m+无最小值；当10mx ->，即1x m>时，210x nx +-≥恒成立，即1n x x ≥-恒成立，又1y x x =-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =-<-，故1n m m ≥-，所以，只需212n m m m +≥+≥=，当且仅当1,0==m n 时等号成立，此时2n m+的最小值为2；当10mx -<，即10x m<<时，210x nx +-≤恒成立，即1n x x ≤-恒成立，又1y x x =-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =->-，故1n m m ≤-，所以，只需21n m m m +≤+，同上分析可知，[)12,m m +∈+∞，故2n m+无最小值，综上，10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2.【小问3详解】由题设，2(1)(1)y mx x mx =-+-，当0m =时，21y x =-，对任意1132x ≤≤，304y ≥≥恒成立；当0m <时，对任意1132x ≤≤，10mx -<，即210x mx +-≤恒成立，所以111042111093m m ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪+-≤⎪⎩，解得32m ≤，故0m <；当0m >时，若3m ≥，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎣⎦∀，10mx -≥，则210x mx +-≥，即max 1m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以83m ≥，又3m ≥，所以3m ≥；若02m <≤，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，10mx -≤，则210x mx +-≤，即min1m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以32m ≤，又02m <≤，所以302m <≤；若23m <<，则1x m =时，10mx -=，即1x m =时210x mx +-=，即210m=，无解；综上[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦.。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+84．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ） A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣37．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)210．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞） 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知x 12−x −12=2，则x 2+x﹣2的值为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 ．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值； （2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}解：B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣1}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A ∩（∁R B ）＝{﹣2，﹣1，1}． 故选：D ．2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0， 当a ＝2时，x ＝1或2时，x 2﹣3x +2＝0，故p 为假命题． 故选：B ．3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+8解：原式=313×316×212212+(110)3×(−13)+2−√3=312+10+2−√3=12． 故选：C ． 4．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：由函数 y =|x|x 2−1，可得x ≠±1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）， 又 f(−x)=|−x|(−x)2−1=x x 2−1=f(x)，所以y =|x|x 2−1是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此 A ，D 错误； 当 0＜x ＜1时，x 2−1＜0，y =|x|x 2−1＜0，所以C 错误． 故选：B ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解：∵5√3＞50.3＞50=1，∴a ＞b ＞1， ∵0＜0.82＜0.80＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＞b ＞c ． 故选：D ．6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ）A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣3解：函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，F （a ）＝7，F （a ）+F （﹣a ）＝a 3+2a ﹣2﹣a +5+（﹣a ）3+2﹣a ﹣2a +5＝10，所以F （﹣a ）＝10﹣F （a ）＝10﹣7＝3． 故选：C ．7．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得f （x ）在R 上单调递减，故{ 13−a ＜00＜a ＜113−a +1≥a ，解得：13＜a ≤23，故“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的充分不必要条件． 故选：A ．8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞） 解：因为函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称， 所以f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数， 因为f （x ）在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0， 故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （﹣2）＝0， 由x •f （1﹣x ）＜0可得xf （x ﹣1）＞0， 即{x ＞0f(x −1)＞0或{x ＜0f(x −1)＜0，即{x ＞0x −1＞2或−2＜x −1＜0或{x ＜00＜x −1＜2或x −1＜−2，解得x ＞3或0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2解：对于A ，由1c＜0，a ＞b ，可得a c＜b c，故A 错误； 对于B ，若a ＞b ＞0，m ＞0，则ba −b+m a+m=m(b−a)a(a+m)＜0，可得b a＜b+m a+m，B 正确；对于C ，a 2+b 2﹣2|ab |＝（|a |﹣|b |）2≥0，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立，故a 2+b 2﹣2|ab |≥0，C 正确； 对于D ，二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2， 则f(x 1+x 22)=14(x 1+x 2)2+a 2(x 1+x 2)+b ，f(x 1)+f(x 2)2=12[(x 12+ax 1+b)+(x 22+ax 2+b)]， 可得f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=14(x 12+x 22)−12(x 12+x 22)=−14(x 1−x 2)2≤0， 由x 1≠x 2可知等号不能成立，故f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，D 正确． 故选：BCD ．10．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）解：根据题意，设t ＝x 2﹣4x +3，则y ＝2t ， 依次分析选项：对于A ，t ＝x 2﹣4x +3是对称轴为x ＝2的二次函数，开口向上，则t ＝x 2﹣4x +3在[2，+∞）上单调递增，y ＝2t 在R 上单调递增，故f （x ）在[2，+∞）上单调递增，A 正确；对于B ，t ＝x 2﹣4x +3≥﹣1，则y ＝2t ≥12，则f （x ）的值域为[12，+∞），B 错误；对于C ，不等式f （x ）＜256＝28，即x 2﹣4x +3＜8，解可得﹣1＜x ＜5，即不等式的解集为（﹣1，5），C 正确；对于D ，g （x ）＝2﹣ax•f （x ）=2x2−(4+a)x+3，设m ＝x 2﹣（4+a ）x +3，则y ＝2m ，若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则m ＝x 2﹣（4+a ）x +3在（﹣∞，1]上单调递减，必有12（4+a ）≥1，解可得a ≥﹣2，即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞），D 正确． 故选：ACD ．11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞）解：在同一坐标系作出 y ＝3|x |﹣1，y ＝|x ﹣3|和 y ＝|x +3|的图象，如图所示，则A （﹣1，2），B （1，2），所以f （x ）={|x +3|，x ≤−13|x|−1，−1≤x ≤1|x −3|，x ≥1，其图象是图中实线部分．则f （f （3））＝f （0）＝0，故A 错误；函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）的最小值为0，无最大值，B ，C 正确； 当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）max ＝2，所以a ≥2﹣1＝1，D 错误． 故选：BC ． 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2解：由题意x 2y−1+y 2x−1=[(x−1)+1]2y−1+[(y−1)+1]2x−1=(x−1)2y−1+1y−1+(y−1)2x−1+1x−1+2(x−1)y−1+2(y−1)x−1≥2√(x−1)2y−1⋅1y−1+2√(y−1)2x−1⋅1x−1+2√2(x−1)y−1⋅2(y−1)x−1=2(y−1x−1+x−1y−1)+4≥2×2√y−1x−1⋅x−1y−1+4=8，第一个等号成立当且仅当x ＝y ＝2＞1，第二个等号成立当且仅当x ＝y ＞1， 综上，(x 2y−1+y 2x−1)min =8，当且仅当x ＝y ＝2＞1时成立； 又不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，等价于3m 2﹣1≤8，解得−√3≤m ≤√3， 对比选项可知，m 的值可以是−√2或﹣1或√3． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x 12−x−12=2，则x 2+x﹣2的值为 34 ．解：∵x 12−x −12=2，∴(x 12−x−12)2=x +x ﹣1﹣2＝4，∴x +x ﹣1＝6，∴（x +x ﹣1）2＝x +x ﹣2+2＝36，∴x +x ﹣1＝34．故答案为：34．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 （﹣∞，4） ．解：由题意可知{m 2+4m +4=1m +2＜0，解得m ＝﹣3，∴不等式（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，可化为（2a ﹣1）3＜（a +3）3，又∵函数y ＝x 3在R 上单调递增， ∴2a ﹣1＜a +3，解得a ＜4． 故a 的取值范围为（﹣∞，4）． 故答案为：（﹣∞，4）．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 172．解：函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4开口向上，对称轴x ＝k ， 区间[1，3]的中点x ＝2，当k ≤2时，|3﹣k |≥|1﹣k |，所以x ＝3离对称轴较远，所以f （x ）max ＝f （3）＝9﹣6k +4＝﹣12，解得k =256＞2，不符合k ≤2； 当k ＞2时，|3﹣k |＜|1﹣k |，所以x ＝1离对称轴较远， 所以f （x ）max ＝f （1）＝1﹣2k +4＝﹣12，解得k =172＞2，符合条件． 所以k 的值为172．故答案为：172．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时， 总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 (−12，2] ．解：因为函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数， 若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，即x 1f （x 1）＞x 2f （x 2），令g （x ）＝xf （x ），则g （x ）在（0，4]上单调递减， 因为f （x ）为偶函数，即f （﹣x ）＝f （x ）， 故g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣g （x ）， 根据奇函数的对称性可知，g （x ）在R 上单调递减，由不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）可得g （a +2）＜g （1﹣a ）， 所以{−4≤a +2≤4−4≤1−a ≤4a +2＞1−a，解得−12＜a ≤2．故答案为：(−12，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）B ={x|{2x ≥41−13x ≥0}={x|{x ≥2x ≤3}={x|2≤x ≤3}， 当a ＝1时，A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤3}；（2）∵a ＞0，∴A ＝{x |a ＜x ＜3a }， 又A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴{a ＜23a ＞3，∴1＜a ＜2， ∴实数a 的取值范围为（1，2）．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值；（2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值．解：（1）因为不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}， 所以−32和1是方程2x 2+ax ﹣（a +2）＝0的两个根， 由根与系数的关系知，{−32+1=−a2−32×1=−a+22，解得a ＝1． （2）由（1）知，a ＝1，当x ＞a 时，x ﹣1＞0时，所以y =x 2−2x+5x−a =x 2−2x+5x−1=(x−1)2+4x−1=(x −1)+4x−1≥2√(x −1)4x−1=4， 当且仅当x ﹣1=4x−1，即x ＝3时取等号，所以y min ＝4．19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 解：∵f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8），且f （1）＝5，∴3（2k ﹣1）+k 2﹣8＝5，即k 2+6k ﹣16＝0，解得k ＝2或k ＝﹣8，又函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，∴2k ﹣1＞0，即k ＞12， ∴k ＝2，则f （x ）＝3×3x ﹣4．（1）由[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，得3a +b ＝3，∴a +b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴9a+1b=(9a+1b)(a +b)=10+9b a+a b≥10+2√9b a⋅a b=16，当且仅当a b=9b a，即a =34，b =14时取等号，故9a+1b的最小值为16；（2）∵f （x ）＝3×3x ﹣4为增函数，∴当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值为f （m ），最大值为f （n ）， 由{f(m)=−13m f(n)=−13n ，得{3×3m −4=−13m3×3n−4=−13n，即{3×(3m )2−4×3m +1=03×(3n )2−4×3n +1=0， 可得3m ，3n 是方程3x 2﹣4x +1＝0的两个根， ∵m ＜n ，∴3m =13，3n ＝1，解得m ＝﹣1，n ＝0， ∴存在m ＝﹣1，n ＝0 满足要求．20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）证明：函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)， 则{f(0)=1−b =0f(1)=a −b a =32，解得{b =1a =2，所以f(x)=2x −12x ， 函数定义域为R ，f(−x)=2−x −12−x =12x −2x =−(2x−12x )=−f(x)， 所以函数f （x ）是奇函数． 由函数y ＝2x 和y =−12x 都是R 上的增函数，所以f(x)=2x−12x 在R 上单调递增． （2）f （x ）是奇函数，且在R 上单调递增，不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0等价f （t 2﹣kt +10）＞﹣f （2）＝f （﹣2）， 可得t 2﹣kt +10＞﹣2，若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立， 等价于∀t ∈[13，3]，t 2−kt +12＞0恒成立，即t 2+12＞kt ，k ＜t 2+12t =t +12t 在[13，3]上恒成立，设g(t)=t +12t (t ∈[13，3])，∀t 1，t 2∈[13，3]，且t 1＜t 2， 有g(t 1)−g(t 2)=(t 1+12t 1)−(t 2+12t 2)=(t 1−t 2)(t 1t 2−12t 1t 2)，由13≤t 1＜t 2≤3，可得t 1−t 2＜0，19＜t 1t 2＜9＜12，t 1t 2−12＜0，则g （t 1）﹣g （t 2）＞0，所以g （t 1）＞g （t 2）， 所以g （t ）在[13，3]上单调递减， 所以g （t ）min ＝g （3）＝7，所以k ＜7， 所以实数k 的取值范围为（﹣∞，7）． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分）， 形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．解：（1）f(x)=−x 3+12x 2+4x 的导函数为f 1(x)=−3x 2+x +4， 由f 1（x ）＞0，得−1＜x ＜43，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞43，所以三次函数f （x ）在区间(−1，43)上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和(43，+∞)上单调递减． （2）①以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 设曲线AF 所在抛物线的方程为y ＝ax 2（a ＞0）， ∵抛物线过F （2，4），∴4＝a ×22，得a ＝1，∴AF 所在抛物线的方程为y ＝x 2，P （x ，x 2）（0＜x ＜2）， ∴又E （0，4），C （2，6），则EC 所在直线为y ＝x +4， 则OE ＝4﹣x 2，PR ＝4+x ﹣x 2，∴公园的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)⋅x =−x 3+12x 2+4x （0＜x ＜2）， ②由（1）知，S （x ）在(0，43)上单调递增，在(43，2)上单调递减， 当x =43时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427km 2．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a ＝x |x ﹣4|﹣4， 当x ＞4时，f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4；当x ≤4时，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣4， 即有f(x)={−x 2+4x −4，x ≤4x 2−4x −4，x ＞4，据二次函数的性质可知，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，2]和[4，+∞），单调递减区间为[2，4]． （2）f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，当a ＝0时，f(x)={−x 2，x ≤0x 2，x ＞0，不符合题意；当a ＞0时，方程有3个不相等的实数根，且f （x ）在（2a ，+∞）上递增，所以x ≥2a 时，x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0有1个根，且x ＜2a 时，﹣x 2+2ax +a 2﹣4a ＝0有2个根， 所以只需满足{Δ=4a 2+4(a 2−4a)＞0f(2a)=a 2−4a ＜0，解得2＜a ＜4；当a ＜0时，当x ＞2a 时，方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0的判别式Δ＝4a 2﹣4（a 2﹣4a ）＝16a ＜0， 由二次方程的解的分布可得方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0无解，所以此时不符合题意； 综上：a 的取值范围是（2，4）．不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−a 2+4a ，x 3=2a+√4a 2−4(a 2−4a)2=a +2√a ，所以1x 1+1x 2+1x 3=x 1+x 2x 1x 2+1x 3=2a −a 2+4a +a+2√a =2a a(4−a)+√a (a+2√a)(a−2√a)=2a a(4−a)−a−2√a a(4−a)=a+2√a (a+2√a)(a−2√a)=1a−2√a =−1(√a)2−2√a =−1(√a−1)2−1， 因为2＜a ＜4，则√2−1＜√a −1＜1，可得2−2√2＜(√a −1)2−1＜0， 所以1x 1+1x 2+1x 3=(√a−1)2−12√2−2=1+√22． 故1x 1+1x 2+1x 3的取值范围为(1+√22，+∞)．。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
FY2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是()A. B. C. D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k等于()A.4B.C.5D.3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为()A. B. C. D.4.已知公差小于0的等差数列的前n项和为，若，则当最大时的n值为()A.6或7B.7或8C.6或8D.8或95.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且，则()A. B.C. D.6.已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则()A. B. C. D.7.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合为()A. B. C. D.8.若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是()A.存在等差数列是“跳跃数列”B.存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”C.若等比数列是“跳跃数列”，则公比D.若数列满足，则为“跳跃数列”二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是()A.若有空间向量，，则存在唯一的实数，使得B.A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面C.，，与夹角为直角，则x的取值是0D.若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线10.已知圆，圆，则()A.圆与圆相切B.圆与圆公切线的长度为C.圆与圆公共弦所在直线的方程为D.圆与圆公共部分的面积为11.已知五个数1，p，m，q，16成等比数列，则曲线的离心率可以是A. B. C. D.12.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，与1，3，7，9均互质则()A. B.数列不是单调递增数列C.若p为质数，则数列为等比数列D.数列的前4项和等于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学高三第十二次周考数学(文)试题
荆州中学高三第十二次周考数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则A ．M N =B ．M N ⊆C ．M N =∅D ．N M ⊆2．在复平面内，复数12i+(其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设,R ∈θ则“1212ππθ<-”是“21sin <θ” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知(,)42ππα∈，cos (cos )a αα=，cos (sin )b αα=， sin (cos )c αα=，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 （参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305） A ．12 B ．20 C ．24 D ．486．已知实数,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4，则a =A ．2B ．23C ．3D ．47．已知数列*},{},{N n b a n n ∈都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈设),(*N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．1008．若圆5:221=+y x O 与圆20)(:222=++y m x O 相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 A ．3B ．4C ．32D ．89．若函数)2(-=x f y 的图象与函数2log 3+=x y 的图象关于直线x y =对称，则)(x f =A ．223-x B ．123-xC ．x23 D ．223+x10．已知函数()()0cos 3sin >-=ωωωx x x f ，若方程()1-=x f 在()π，0上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 A ．]27,613(B ．]625,27( C ．]211,625(D ．]637,211( 11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．则该巨响发生在接报中心的( )处．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）A ．西偏北45°方向，距离m 10680B ．东偏南45°方向，距离m 10680C ．西偏北45°方向，距离m 5680D ．东偏南45°方向，距离m 568012.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2eC ．21e +D ．331e e +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（ ）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（ ）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。
2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷含解析
2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－812．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 3．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．234．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1005．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．36．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．27．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19258．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．019．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．1210．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学高三数学上学期第一次双周考试题文
荆州中学2019届高三年级第一次双周练文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则()U MC N =（ ）A ．{2}x x <-B ．{2x x <-或3}x ≥C ．{3}x x ≥D ．{23}x x -≤< 2．若复数z 满足(12)5i z +=,i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ ） A.2i - B.2- C.2 D.2i 3．与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2y x =B ．2xy x= C ．()2y x =D ．log (01)x a y a a a =>≠且4．幂函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+在(0+)∞，上单调递增，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5．函数ln 1()1x f x x-=-的图象大致为（ ）6．下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题:,21000np n N ∃∈>，则:,21000np n N ⌝∀∈>； D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7．若方程111042x x a -⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<B ．30a -<<C ．03a <<D ．10a -<<8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时 ()21xf x =-，则（ ）A. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭ B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭ D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭9．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在其定义域上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()48，B. [)48， C. ()1+∞， D. ()18， 10．已知函数3log ,03,()4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. [)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a的取值范围为（ ）A ．(],2-∞B ．4,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．4,13⎛⎤- ⎥⎝⎦12.在函数()xf x e x =--的图象上任意一点处的切线为1l ，若总存在函数()2g x ax cosx =+的图象上一点，使得在该点处的切线2l 满足12l l ⊥，则a 的取值范围是A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()1,2-D. []1,2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数23(1)()4(1)xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩，则[])2(f f = ． 14．若函数()y f x ＝的定义域是1[,2]2，则函数()2log y f x ＝的定义域为________． 15．已知集合2{(,)2}A x y y x ==- , {(,)2}B x y y x m ==+.若A B 中仅有一个元素，则实数m 的取值范围是________.16．已知函数111+,0,22()12,22x x x f x x -⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则122()()x f x f x -的最小值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 12分)已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<。
湖北省荆州中学2018届高三上学期第九次周考数学(文)试题
荆州中学高三第九次周考数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x 2-x-12≤0},则M∩N= ( ) A.[-3,4] B.{-2,0,2,4} C.{0,1,2} D.{1,2,3}2.设z= i+1i-1 ,则z 2+z+1= ( )A.-iB.iC.-1-iD.-1+i3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.23B.2C. 43D.34. 在等比数列{}n a 中15,a a 是函数321()51613=-++f x x x x 的极值点，则23log a =（ ） A ．2 B ．4 C ．24或 D ．2或无意义5. 已知函数()2sin()(0,||)2πωϕωϕ=+><f x x 的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12π=x 对称 B ．关于直线512π=x 对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 6. 在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的面积公式为πab ）A ．12 B ．2 C ．12- D7.已知实数,x y 满足约束条件222441+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩x y x y x y ，若(),=r a x y ，()3,1=-r b ，设z 表示向量r a 在rb 方向上的投影，则z 的取值范围是（ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,6- C．⎡⎢⎣ D．⎡⎢⎣ 8.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，称线段AB 为双曲线的通径．若AB 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）A．(B．( C ．()1,+∞ D．)+∞9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的=a （ ）A ．20B ．14C ．10 D．710. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．34 B ．38 C ．312D ．31611. 已知偶函数()f x 满足(1)(1)-=+f x f x 且当[]20,1()=∈时x f x x ，则函数()()cos π=-g x f x x 在[],ππ∈-x 上的零点个为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．812.设()f x '是函数()()f x x R ∈的导数，且满足()3()0xf x f x '->，若△ABC 中，C 是钝角，则（ ）A.33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅>⋅ B. 33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅<⋅ C.33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅>⋅ D. 33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅<⋅第17题图第18题图1A 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+= ．14.已知数列{}n a 为等差数列，D 为ABC ∆的边BC 上任意一点，且满足14034AD a AB a AC =+uuu r uu u r uu u r，则20172018a a ⋅的最大值为 ．15. 抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p = ．16.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x ，则()f x 在R上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在如图四边形DCAB 中，,,a b c 为的∆ABC 内角,,A B C 的对边，且满足sin sin cos cos 20sin cos ++-+=B C B C A A.(Ⅰ)证明：,,b a c 成等差数列；(Ⅱ)已知3,5=b c 1cos ,2, 4.4∠===CDB DC DB 求四边形DCAB 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，12,====AB BC AC AC ,M N 分别是AC 和1BB 的中点. (Ⅰ)求证：11P 平面MN A B C ； (Ⅱ)若AB 上一点P 满足116-=N B PM V ，求1B P 与MN 所成角的余弦值.第19题图3.2.2.1.1.0.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）试估计平均获益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）5组x 与y 的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b x x x xnx20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN也相切.21.(本题满分12分)已知函数x a x a x x f ln 4)22(21)(2--+=. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设1=a ,若存在),2(,21+∞∈x x , ,且21x x ≠,使不等式2121ln ln )()(x x k x f x f -≤-成立,求实数k的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知∃∈x R ，不等式12---≥x x t 成立. （Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数,m n 满足1,1>>m n 且不等式33log log ≥g m n t 恒成立，求+m n 的最小值.数学（文科）试题参考答案13. 1 14.415. 4 16. (),1(2,)-∞-⋃+∞ 17. 解析：(Ⅰ)由题设有sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin +=--B A C A A B A C A 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin +++=B A B A C A C A Asin()sin()2sin ∴+++=A B A C A由三角形内角和定理有sin sin 2sin +=B C A 由正弦定理有2+=b c a,,∴b a c 成等差数列(Ⅱ) 在∆BDC 中，由余弦定理有222=2cos 16+-∠=g gBC CD BD CD BD CDB 即4=BC 32,5+==Q b c a b c ,445∴==a c 即5=c 则3=b ∴∆ABC 为∆Rt .6∆∴=ABC S由于sin ∠==CDB 1sin 2∆∴=∠=g g CDB S CD BD CBD6∆∴=+=DCAB CDB ABC S S S18. 解析：（Ⅰ）证明：Q 直三棱柱111-ABC A B C 中，2,===AB BC AC222∴+=AB BC AC ∴⊥AB BC ,又=AC 12==A A ， 取1AC 的中点D ，连接1,MD B D ,,Q M D 为中点，1∴P MD AA 且112=MD AA 。
湖北省荆州市公安县高三数学9月月考试题文
）
A. （ 1，+∞）
B. （ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）
C. （ - ∞， 0）∪（ 0，+∞）
D. （ - ∞， 1）
10. 已知函数 f （ x）的定义域为 [-2 ，+∞），
部分对应值如下表， 函数 y=f ′（ x）的大致图象如下图所示，则函数
2， 4] 上的零点个数为（
）
x
-2 0
4
-7-/7
18. 解：（ 1）若命题 p 为真，即 f （x）的定义域是 R，
则（
a2-1
）
x
2
+（
a+1）
x+1＞
0
恒成立，…（
2 分）
则 a=-1 或…（ 3 分）
解得 a≤-1 或．
∴实数 a 的取值范围为（ - ∞，， +∞）．…（ 5 分）
（ 2）若命题 q 为真，即 f （ x）的值域是 R， 设 u=（a2-1 ） x2+（ a+1） x+1 的值域为 A
13. 若 a， b∈Ｒ+， 4a+b=1，则
的最小值为 ______ ．
14. 函数
的递增区间是 ______ ．
15. 计算
= ______ ．
16. 已知 f （ x） =， F（ x）=2f （ x）- x 有 2 个零点， 则实数 a 的取值范围是 ______ ．
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17. 已知函数 f （x） =的定义域为集合 A，函数 g（ x） =的定义域为集合 B． （ 1）求集合 A、B； （ 2）若 A∩B=A，求实数 a 的取值范围．
湖北省荆州市高三数学上学期第九次周考试题 理
湖北省荆州市2018届高三数学上学期第九次周考试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．212 6．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12 C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 ABC．1 D．212．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1x f x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．EDBCAP19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni ini ini iiy yx x y yx x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点261,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；x y （百斤）54386542（千克）O（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r ，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．第九周理科数学试题参考答案一．选择题 ACBBAA DDBACC二．填空题 13．10 14．4 15．4 16．11π 三、解答题 17．（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，………………………………1分即sin()2sin cos A B C A +=．………………………………………………………………2分因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，……………………………………………………3分所以sin 2sin cos C C A =．…………………………………………………………………4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．……………………………………………………………5分因为0A <<π，所以3A π=．………………………………………………………………6分（2）因为2sin sin sin a b cR A B C===，且2a =，3A π=，所以3b B =，3c C =．………………………………………………………8分所以()2sin sin 3a b c B C ++=++22sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦ (9)分24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6． (12)分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =．………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………4分因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ……………………………………6分（2）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=o，所以2==AC PA ．……………………………………………………7分因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(1,1),(1,0)=-=-=-u u u r u u u r u u u rCP CE CD ． (9)分设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ，则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．…………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D的余弦值为4-．………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………3分==．…………………………………………4分z OyxPACBDE所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．………………………………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．……………………………………………7分②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的分布列为所以20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元． (9)分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元． (11)分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，即2a c=．……………………………1分又222+a b c =，得22=3b c ，即2234b a =，所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=．把点⎛ ⎝⎭代人C 中，解得24a =．………………………………………………………2分所以椭圆C的方程为22143y x +=．………………………………………………………………3分 （2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭ (6)分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上， 所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………7分设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k =-，即111H k x k =---． (8)分所以1H x k k=-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………………………………………9分又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ． 因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，…………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………11分所以直线l的方程为23y x =±+．………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………5分所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，()1,1H F H x =-u u u u r．…………………………………………6分因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．……………7分因为MO MA =u u u u r u u u r ，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………8分所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．……………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩解得()22920121M k y k +=+．……………………………………10分由()229201121M k y k+==+，解得283k =．…………………………………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．……………………………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．…………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增， (2)分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (3)分（或：因为00x <<且01ex <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．） 因为()11f =，所以()()010f x f <g ，此时函数()f x 有一个零点．………………………4分②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则02a f a ==即2e a =-． (5)综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．……………………………6分（2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．………………………………………………………7分因为0a b +=，则a b =-．所以()ln bf x b x x =-+，所以()()11bb b x bf x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分因为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． (9)分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．……………………………………………………………10分所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．……………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=． (5)分（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…8分 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2．……9分当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………5分（2）因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-， (7)分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．……………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分。
湖北省荆州中学高三上学期第九次周考数学(文)试题
荆州中学高三第九次周考数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x 2-x-12≤0},则M∩N= ( ) A.[-3,4] B.{-2,0,2,4} C.{0,1,2} D.{1,2,3}2.设z= i+1i-1 ,则z 2+z+1= ( )A.-iB.iC.-1-iD.-1+i3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.23B.2C. 43D.34. 在等比数列{}n a 中15,a a 是函数321()51613=-++f x x x x 的极值点，则23log a =（ ）A ．2B ．4C ．24或D ．2或无意义5. 已知函数()2sin()(0,||)2πωϕωϕ=+><f x x 的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12π=x 对称 B ．关于直线512π=x 对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 6. 在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的面积公式为πab ）A ．12 B ．2 C ．12- D7.已知实数,x y 满足约束条件222441+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩x y x y x y ，若(),=r a x y ，()3,1=-r b ，设z 表示向量r a 在rb 方向上的投影，则z 的取值范围是（ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6- C．⎡⎢⎣ D．⎡⎢⎣8.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，称线段AB 为双曲线的通径．若AB 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）A．(B．( C ．()1,+∞ D．)+∞9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的=a （ ）A ．20B ．14C ．10D ．710. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．34 B ．38 C ．312D ．31611. 已知偶函数()f x 满足(1)(1)-=+f x f x 且当[]20,1()=∈时x f x x ，则函数()()cos π=-g x f x x 在[],ππ∈-x 上的零点个为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．812.设()f x '是函数()()f x x R ∈的导数，且满足()3()0xf x f x '->，若△ABC 中，C 是钝角，则（ ）A.33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅>⋅ B. 33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅<⋅ C.33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅>⋅ D. 33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅<⋅第17题图第18题图1A 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+= ．14.已知数列{}n a 为等差数列，D 为ABC ∆的边BC 上任意一点，且满足14034AD a AB a AC =+uuu r uu u r uu u r，则20172018a a ⋅的最大值为 ．15. 抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p = ．16.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x ，则()f x 在R上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在如图四边形DCAB 中，,,a b c 为的∆ABC 内角,,A B C 的对边，且满足sin sin cos cos 20sin cos ++-+=B C B C A A.(Ⅰ)证明：,,b a c 成等差数列；(Ⅱ)已知3,5=b c 1cos ,2, 4.4∠===CDB DC DB 求四边形DCAB 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，12,====AB BC AC AC ,M N 分别是AC 和1BB 的中点. (Ⅰ)求证：11P 平面MN A B C ； (Ⅱ)若AB 上一点P 满足116-=N B PM V ，求1B P 与MN 所成角的余弦值.第19题图3.2.2.1.1.0.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）试估计平均获益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）5组x 与y 的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b x x x xnx20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN也相切.21.(本题满分12分)已知函数x a x a x x f ln 4)22(21)(2--+=. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设1=a ,若存在),2(,21+∞∈x x , ,且21x x ≠,使不等式2121ln ln )()(x x k x f x f -≤-成立,求实数k的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知∃∈x R ，不等式12---≥x x t 成立. （Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数,m n 满足1,1>>m n 且不等式33log log ≥g m n t 恒成立，求+m n 的最小值.数学（文科）试题参考答案13. 1 14.415. 4 16. (),1(2,)-∞-⋃+∞ 17. 解析：(Ⅰ)由题设有sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin +=--B A C A A B A C A 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin +++=B A B A C A C A Asin()sin()2sin ∴+++=A B A C A由三角形内角和定理有sin sin 2sin +=B C A 由正弦定理有2+=b c a,,∴b a c 成等差数列(Ⅱ) 在∆BDC 中，由余弦定理有222=2cos 16+-∠=g gBC CD BD CD BD CDB 即4=BC 32,5+==Q b c a b c ,445∴==a c 即5=c 则3=b ∴∆ABC 为∆Rt .6∆∴=ABC S由于sin ∠==CDB 1sin 2∆∴=∠=g g CDB S CD BD CBD6∆∴=+=DCAB CDB ABC S S S18. 解析：（Ⅰ）证明：Q 直三棱柱111-ABC A B C 中，2,===AB BC AC222∴+=AB BC AC ∴⊥AB BC ,又=AC 12==A A ， 取1A C 的中点D ，连接1,MD B D ,,Q M D 为中点，1∴P MD AA 且112=MD AA 。
高三数学2022届湖北省荆州中学高三上学期期末考试数学试题 Word版
荆州中学2019级高三上学期期末考试数学卷一、单选题（本题共8小题，40分）1.已知M ，N 是任意两个非空集合，定义集合M -N ={x |x ∈M ，且x ∉N }，则（M ∪N ）-M =（ ）A. NB. N -MC. M -ND. M ∩N2.已知z 1，z 2为复数．若命题p ：z 1-z 2＞0，命题q ：z 1＞z 2，则p 是q 成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4=a 3+5，则S 9=（ ）A. 35B. 40C. 45D. 504.某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ）A. 80种B. 120种C. 130种D. 140种5.已知向量(2,23)a =，若(3)a b a +⊥，则b 在a 上的投影是（ ）A.34B. 34-C. 43D.43-6.已知函数f （x ）=x 2⋅log 2|x |，其图象可能是（ ）A. B. C. D.7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为m （t ）（每立方米河水所含的污染物）满足0()()kt v r r m t m e k k-=+-（m 0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（ ）（参考数据：ln10≈2.30）A. 1个月B. 3个月C. 半年D. 1年8.苏格兰数学家科林麦克劳林（Colin Maclaurin ）研究出了著名的Maclaurin 级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.414=0.881，ln3.414=1.23）A. 2.788B. 2.881C. 2.886D. 2.902二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（ ）A. AH ⊥FCB. AC ∥BGC. BD 与FC 所成的角为60°D. AC ∥平面BEG10.已知0＜a ＜b ＜1＜c ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. a c ＜b cB. c a ＜c bC. log a c ＞log b cD. sin c ＞sin a 11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm ）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ）A. 该地水稻的平均株高为100cmB. 该地水稻株高的方差为10C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D. 随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm ）的概率一样大12.已知圆M ：，直线l ：下列命题中，正确的命题是A. 对任意实数k 和，直线l 和圆M 有公共点B. 对任意实数，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切C. 对任意实数k ，必存在实数，使得直线l 与圆M 相切D. 存在实数k 与，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3三、填空题:每小题5分,共20分.13.已如直线l 的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______．14.若463(1)()a x x x++的展开式中x 2的系数为224，则正实数a 的值为______ . 15.已知双曲线的左、右焦点分别是F 1、F 2，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |=______．16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数，在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1=1，且a n =，则解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为______.（用含n的式子表示）四、解答题,本题共6小题17.在①，②2b sin A=a tan B，③（a-c）sin A+c sin（A+B）=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_______.（1）求角B；（2）若a+c=4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.18.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（a n-1），n∈N．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=a n•sin，求数列{b n}的前100项的和T100．19.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；20.某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令u i=ln x i，v i=ln y i，得到相关数据如表所示：u i v i v i30.5 15 15 46.5（1）从①y=bx+a；②y=m•x k（m＞0，k＞0）；③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为年广告费用x 和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：≈49.787.参考公式：回归方程=t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =-.21.如图所示，已知椭圆C ： =1与直线l ：=1．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，O 是坐标原点．（1）若点P 为直线l 与y 轴的交点，求△PAB 的面积S ；（2）若OD ⊥AB ，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.22.已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（2）当x ＞1时，求证：12x x e e x x ---+＞sin sin(ln )x x -.高三数学期末答案BBCD DACB ACD ABC AC ACx -6y +6=0或x -6y -6=0 14.2 15.4 16. 2n -1（1≤n ≤9，n 为奇数）17.答案：解：若选①：（1）因为，由正弦定理可得：sin B sin A =sin A cos B +sin A ，因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，sin B =cos B +1，可得：2sin （B -）=1，即sin （B -）=，因为B ∈（0，π），可得B -∈（-，），可得B -=，所以可得B =．（2）因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B =（a +c ）2-3ac =16-3ac ，即3ac =16-b 2，所以16-b 2=3ac ≤3（）2=12，解得b ≥2，当且仅当a =c =2时，取等号，所以b min =2，△ABC 周长的最小值为6，此时，△ABC 的面积S =ac sin B =．若选②：（1）因为2b sin A =a tan B ，所以2b sin A =，由正弦定理可得2sin B sin A =sin A •， 因为A ,B 为三角形内角，所以sin A ≠0，sin B ≠0，所以cos B =，又B ∈（0，π），所以B =．（2）因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B =（a +c ）2-3ac =16-3ac ，即3ac =16-b 2，所以16-b 2=3ac ≤3（）2=12，解得b ≥2，当且仅当a =c =2时，取等号，所以b min =2，△ABC 周长的最小值为6，此时，△ABC 的面积S =ac sin B =．若选③：（1）因为（a -c ）sin A +c sin （A +B ）=b sin B ，所以（a -c ）sin A +c sin C =b sin B ，由正弦定理可得：（a -c ）a +c 2=b 2，整理可得：a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得cos B ===，因为B ∈（0，π），所以B =．（2）因为b 2=a 2+c 2-2ac cos B =（a +c ）2-3ac =16-3ac ，即3ac =16-b 2，所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，所以b min=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=ac sin B=．18.答案：解：（1）由S n=（a n-1），得S n+1=（a n+1-1），n∈N+，两式相减得a n+1=a n+1-a n，即a n+1=-a n，又当n=1时，a1=S1=（a1-1），解得a1=-，所以{a n}是以-为首项，-为公比的等比数列，所以a n=（-）n；（2）由（1）可知b n=a n sin=，n∈N+，所以a1，a3，a5，a7，…，a97，a99是首项为a1，公比为-的等比数列，共有50项，所以T=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×．10019.答案：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC；（Ⅱ）解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），又=（2，1，），=（2，2，），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=2，则m=（），∴cos，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；20.答案：解：（1）由散点图知，选择回归类型y=m⋅x k更好．（2）对y=m⋅x k两边取对数，得ln y=ln m+k ln x，即v=ln m+ku，由表中数据得，，所以，所以=e，所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为．（3）由（2），知，令，得，得，所以x＞3.67883≈49.787，故下一年应至少投入498万元广告费用．21.答案：解：（1）由题意知P（0，3），过点P与圆相切的直线斜率存在，设切线方程为y=kx+3，联立，得（1+2k2）x2+12kx+12=0，由△=（12k）2-4（1+2k2）×12=0，解得k=±1，即切线方程为y=±x+3，此时切点坐标为A（-2，1），B（2，1），△PAB为直角三角形，|PA|=|PB|=2，所以S△PAB=|PA||PB|=4．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA为+=1，切线PB为+=1，设P（x0，y0），则+=1，+=1，所以直线AB的方程为+=1①，又点P（x0，y0）在直线l： +=1上，所以+=1，即=1-，代入①，得+（1-）y=1，即x0（x-y）+6（y-1）=0，所以直线过定点T（1，1），又因为OD⊥AB，所以点D在以OT为直径，Q（，）为圆心的定圆上，所以|DQ|为定值，且|DQ|=．22.答案：解：（1）由题意可知f'（x）=e x+e-x-a cos x，①当0＜a≤2时，由-1≤cos x≤1可知-2≤-a≤a cos x≤a≤2，又因为e x+e-x≥2恒成立，所以f'（x）=e x+e-x-a cos x≥0恒成立，所以y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．又f（0）=0，所以f（x）＞0对x＞0恒成立；②当a＞2时，，且可知y=e x+e-x与y=a cos x必有一个交点，不妨设为x0，所以y=f（x）在[0，x0）上为减函数，在[x0，+∞）为增函数，又f（0）=0，所以f（x0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证e x-e-x-2sin x＞e ln x-e-ln x-2sin（ln x），即证f（x）＞f（ln x）（此时a=2），由（1）问可知当0＜a≤2时y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x＞ln x，不妨令g（x）=x-ln x，则所以y=g（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g（x）min=g（1）=1＞0所以g（x）=x-ln x＞0恒成立，即x＞ln x，所以原结论得证．。
湖北省荆州市2021-2022学年高三上学期质检考试数学试题
2021-2022学年度高三上学期质检考试数学试题（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{}3,,{3,4}A x x x U B =≥∈=，则()UA B =（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5} 2．已知复数z 满足(2i)1z +=，则z =（ ） A ．2i - B ．21i 55- C ．21i 33+ D ．21i 55+ 3．已知等比数列{}n a 中，若244,16a a ==，则3a =（ ） A ．8 B ．8- C ．8± D ．10± 4．若23m =，则3log 12=（ ） A ．122m m + B ．212m m + C ．2m m + D ．2mm+ 5．函数sin 2cos23y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．已知函数32()(0)f x x x f x '=+-，则(1)f 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．37．已知函数()ln(22)ln(33)f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,1)上单调递增B ．是奇函数，且在(0,1)上单调递减C ．是偶函数，且在(0,1)上单调递增D ．是偶函数，且在(0,1)上单调递减8．如图，在正四面体A BCD -中，13AF AD =，E 为AB 中点，P 是棱CD 上的动点，则当异面直线BP 与EF 所成角的正弦值最小时，CPCD=（ ）A ．56 B ．67 C ．78 D ．89二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量(3,1),||1a b =-=，且(3)2||a b b a +⋅=，则（ ） A ．||a b a ⋅= B ．向量a 与b 的夹角为3πC ．(2)a b b -∥D ．(4)a b a -⊥10．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时，()f x =）A ．()f x 偶函数B ．()f x 为周期函数C ．(2023)1f =-D ．当[3,4)x ∈时，()f x =11．已知函数()cos()0,0,||,02f x A x h A h πωϕωϕ⎛⎫=++>><> ⎪⎝⎭，若函数|()|y f x =的部分图象如图所示，则下列关于函数()f x 的结论中，正确的是（ ）A ．2A =B ．3πϕ=C ．图象的对称中心为2,1,3k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D ．在区间7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 12．如图，在三棱锥A BCD -中，1AB BC CD BD AC =====，E 为BC 的中点，点P 满足AP AD λ=，其中[0,1]λ∈，则（ ）A ．[0,1],BC PE λ∀∈⊥B ．三棱锥A BCD -体积的最大值为18C ．当二面角A BCD --为60︒时，ADD ．若三棱锥形状不变，当12λ=时，EP =14λ=时，EP =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{}n a 中，已知527380,64a a a +==，则数列{}n a 的前5项和为________．14．如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所用的几何图形，先以AB 为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点，再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成的图形称为月牙形．若已知该月牙形的面积为S ，2AB r =，则S 与r 的关系式是________．15．如图，一个几何体的上半部分是一个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为1m 4，圆锥体的高为1m 2，公共的底面是半径为1m 4的圆形，那么这个几何体的体积为_______3m ，表面积为_______2m ．16．如图，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，若P 为折线段DEC 上的动点，则AP BP⋅的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，且35358,21a a S S +=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若,nn n S b T n=为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 18．（木小题满分12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C -+=（1）求角C ；（2）若4sin (12cos )2cos sin b A C A C =⋅-=，求ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，平面ABD ⊥平面,BCD ABD 是边长为4的正三角形，90,30BDC CBD ∠=︒∠=︒，E ，F 分别为,BD BC 的中点．（1）求证：AE BC ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 的夹角的大小． 20．（本小题满分12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，且AB AD =．ABC 是底面O 的内接正三角形，P 为线段DO 上一点，,PO DO PA λ=⊥平面PBC ．（1）求λ的值；（2）求PB 与平面PEC 所成角的正弦值． 21．（本小题满分12分） 设函数23()ln 24f x a x a x a x=++-，其中0a >． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分） 已知函数()1xf x xe x =--，（1）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最值； （2）讨论方程()ln 2f x x m =+-的实根个数．2021-2022学年度高三上学期质检考试数学试题参考答案1．【答案】A 【解析】∵{0,1,2}UA =，∴(){0,1,2,3,4}UA B =，故选A ．2．【答案】D 【解析】12i 2i 5z -==+，∴2i5z +=，故选D ． 3．【答案】C【解析】由等比中项的性质，得2243a a a =，即23416a ⨯=，解得38a =±．故选C ．4．【答案】C 【解析】由32m =得2log 3m =．∴33322log 1212log 21log 3mm+=+=+=，故选C ． 5．【答案】B【解析】1sin 2cos2sin 2cos232y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211sin 2cos22sin 4cos4)24x x x x x =+=++111sin 4cos4sin 42224234x x x π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其最小正周期是242T ππ==，故选B ． 6．【答案】A【解析】对22()(0)f x x x f x '=+-求导，得2()32(0)1f x x xf =+'-'，代入0x =，得(0)1f '=-，∴32()f x x x x =--，∴(1)1f =-，故选A ．7．【答案】D【解析】对于函数()ln(22)ln(33)f x x x =++-，有220,330,x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<，函数()f x 的定义域为(1,1)-，关于原点对称．∵()ln(22)ln(33)ln 2(1)ln3(1)ln 2ln(1)ln3ln(1)ln(22)ln(33)f x x x x x x x x x -=-++=-++=+-+++=++-=，∴函数()f x 为偶函数．∵()2()ln 1ln6f x x =-+，内层函数21u x =-在(0,1)上为减函数，外层函数ln y u =为增函数，∴函数()f x 在(0,1)上为减函数．故选D ．8．【答案】C【解析】如图．作13DG DA =，则AF FG =． ∵E 为AB 中点，∴EF 是ABG 的中位线，则EF BG ∥，则PBG ∠是异面直线BP 与EF 所成的角，∴当BP 与BG 在平面BCD 里的投影重合时，PBG ∠最小．设AO ⊥平面BCD ，易知O 为等边BCD 的重心，连接DO 并延长，交BC 于点M ．作GH AO ∥交DO 于点H ． 解法一： ∵13DG DA =，∴13DH DO =．设正四面体A BCD -的棱长为，则BM MC ==，9MD =． 在BCD 中，∵O 为重心，∴3MO =，6OD =． 又13DH DO =，∴2,4DH OH ==，则7,MH BH ===． 在BPC 中，设CP x =．∵,sin 3PCB PBC PBC π∠=∠=∠=， ∴sin sin sin sin()CP CP PBC PBCCD CB BPC BCP PBC π∠∠===∠-∠-∠ sin sin 3PBCPBC π∠=⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭．∴78CP CD==．故选C ． 解法二：∵13DG DA =，∴1239DH DO DM ==． 取PC 的中点N ，则MN BP ∥， ∴29DP DH DN DM ==，∴27DP PN =，∴17DP PC =， ∴87DC PC =，即78CP CD =．9．【答案】BD【解析】由(3,1)a =-，得||2a =，由(3)2||a b b a +⋅=得23||4a b b ⋅+=，∴1a b ⋅=，∴||a b a ⋅≠，选项A 错误． ∴1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==，∵,[0,]a b π〈〉∈，∴向量a 与b 的夹角为3π，选项B 正确；∵2(2)2||1a b b a b b -⋅=⋅-=-，而22|2|||41||2,||1a b a a b b b -=-⋅+==，∴(2)|2|||a b b a b b -⋅≠±-⋅，选项C 错误；2(4)||4440a b a a a b -⋅=-⋅=-=，∴(4)a b a -⊥，选项D 正确．故选BD ．10．【答案】ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知．函数()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，选项A 正确；由(1)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，∴()f x 是周期8T =的偶函数．∴(2023)(25381)(1)(1)1f f f f =⨯-=-==．选项B 正确，选项C 错误；设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1]x x -∈--∈，∵()f x 为偶函数，∴(4)(1)f x f x -=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4)f x f x -=-=，又(4)()f x f x +=-，∴()(4)f x f x =--=，选项D 正确．故选ABD ． 11．【答案】AC【解析】根据图形，可知231A =+，1h =，∴72,266T A ππ==-，∴22,1T Tππω===． ∴()2cos()1f x x ϕ=++．根据图形，∵||2πϕ<，∴点,36π⎛⎫⎪⎝⎭为五点作图法的第一个点，∴06πϕ+=，∴6πϕ=-．∴()2cos 16f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴图象的对称中心为2,1,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，在区间7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．故选AC ．12．【答案】ABC【解析】连接DE ，∵,AB AC CD BD ==，E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥，DE BC ⊥，AE DE E =，∴BC ⊥平面AED ，∵PE ⊂平面AED ，∴BC PE ⊥，选项A 正确；当平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积取最大值，其最大值为21111338ABC S AE ⨯=⨯=，选项B 正确； 显然，AED ∠为二面角A BC D --的平面角，当二面角A BC D --为60︒时，AED 为等边三角形，此时2AD AE ==，选项C 正确；当12λ=时，P 为AD 的中点，∵2AE DE ==，则AD EP ⊥，∴依题意，2EP =，∴12AP ==，∴1AD =．当14λ=时，1144AP AD ==，∴此时34EP ==，选项D 错误，故选ABC ．13．【答案】3316【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由5380a a +=，得2518a a =-，∴318q =-，则12q =-． 由7364a =得6413264a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴13a =．∴数列{}n a 的前5项和为()551133116a q S q -==-． 14．【答案】212S r =【解析】记曲线AFC 与弦AC 围成的弓形面积为S '，∵2AB r =，∴AO OC r ==，AC =，则222211111222422AOCAOCAC S S r S S r r r πππ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-==⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'．15．【答案】5192π【解析】由圆柱的体积公式可得这个几何体上半部分的体积21114461V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，表面积211113244416S πππ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭； 由圆锥的体积公式可得这个几何体下半部分的体2211134296V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，表面积214S π=⨯=； 则这个几何体的体积1256496192V V V πππ=+=+=，表面积12316S S π+=+=． 16．【答案】1-【解析】如图，以点D 为坐标系原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平而直角坐标系．根据对称性，只需求解点P 在线段DE 上运动时的最小值即可，依题意，设(,)(01)P a a a ≤≤．则()(0,1)(1),(,)(2,1)(2,1)AP a a a a BP a a a a =⋅-=⋅-=-=--，∴22(2)(1)2412(1)1z AP BP a a a a a a ⋅=-+-=-+=--．∵01a ≤≤，∴1AP BP ⋅≥-． 17．【解析】（1）由53538,21,a a S S +=⎧⎨+=⎩得111268,32543521,22a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯⨯+++=⎪⎩ 2分 解得11,1.a d =⎧⎨=⎩ 4分∴{}n a 的通项公式1(1)n a a n d n =+-=． 5分 （2）由（1）得(1)2n n n S +=， 6分 则12n n S n b n +==， 8分 ∴21132244n n n n T n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+． 10分 18．【解析】（1）由2)sin sin sin sin sin sin sin sin A BA B C A B C-+=--，得(sin sin sin )(sin sin sin )2)sin sin A B C A B C A B -+--=，得22(sin sin )sin 2)sin sin A B C A B --=，得222sin sin sin sin A B C A B +-=， 2分由正弦定理．得222a b c +-=，由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=== 5分 ∵(0,)C π∈，∴4C π=， 6分（2）由sin (12cos )2cos sin A C A C -=，得sin 2sin cos 2cos sin A A C A C =+，得sin 2sin()A A C =+，得sin 2sin A B =， 8分由正弦定理，得2a b =． 9分又∵4b =，∴8a =， 10分∴ABC 的面积11sin 8422ABC S ab C ==⨯⨯= 12分 19．【解析】（1）证明：∵ABD 是边长为4的正三角形，E 为BD 的中点，∴AE BD ⊥． 1分又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AE ⊂平面ABD ，∴AE ⊥平面BCD ，∴AE BC ⊥， 4分（2）解：∵AE ⊥平面BCD ，∴AE EF ⊥， 5分∵E ，F 分别为,BD BC 的中点，∴EF CD ∥，又∵90BDC ∠=︒，∴BD EF ⊥， 6分∴,,EB EF EA 两两相互垂直，∴以E 为坐标原点，,,EB EF EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示．∵90,30,4BDC CBD BD ∠=︒∠=︒=，∴CD =，BC = 7分则(0,0,0),0,,(2,0,0),2,33E A F D C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2,0,23),0,3DA DC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，易知面AEF 的一个法向量为(2,0,0)ED =-． 8分设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x y ⎧+==得,0.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =，得平面ACD 的一个法向量为(3,0,1)n =-，10分设平面AEF与平面ADC 所成锐二面角为θ，则(2,0,0)(cos |cos ,|222ED n θ-⋅=〈〉==⨯11分又(0,)θπ∈，∴6πθ=．∴平面AEF 与平面ADC 的夹角的大小为6π． 12分 20．【解析】（1）由题设，ABC 为等边三角形，设1AB =，则2323AO BO CO ===⨯=，2AE AO==∴DOPO DO λ====，∴PA PC PB ====，∵PA ⊥平面PBC ，则PA PC ⊥，且PA PB ⊥，由222PA PB AB +=，得22212113333λλ+++=，解得12λ=． 6分（2）过O 作ON BC ∥交AB 于点N ，∵PO ⊥平面ABC ，∴以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴，OP 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则11,,0,,0,0,0,362626E B C P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1,626PC ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1,626PB ⎛=-- ⎝⎭，36PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 8分 设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =．由0,0,m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,20,x y z x z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令1x =，得z =y =∴1,3m ⎛= ⎝． 10分 设PB 与平面PEC所成角为θ，则||6sin |cos ,|5||||2PB m PB m PB m θ++⋅=〈〉===⋅． 故PB 与平面PEC 所成角的正弦值为5， 12分 21．【解析】（1）2222323(23)(1)()2,0a a x ax ax ax f x a x x x x x+-+-=-+==>'． 3分 ∵0a >，∴3102a a -<<， ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0fx '<，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增． 5分综上所述，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 6分 （2）由（1）可知，min?111()ln 324ln (1ln )f x f a a a a a a a a a a a⎛⎫==++-=+=- ⎪⎝⎭． 9分 ∵()y f x =的图像与x 轴设有公共点，∴1ln 0a ->，∴0a e <<， 11分∴a 的取值范围为(0,)e ． 12分22．【解析】（1）函数()1x f x xe x =--的定义域是R ，()(1)1x f x x e +'=-，1分 令()()(1)1x g x f x x e ==+-'，则()(2)0x g x x e +'=>．∴()f x '在[]1,1-上单调递增．又0x =时，()0f x '=，∴当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0,()f x f x >'单调递增，故函数()f x 在[)1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增． 2分 又1(1)f e -=-，(1)2f e =-，(0)1f =-， 且显然12e e ->-， 3分∴函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值为1-，最大值为2e -． 4分（2）解法一：()ln 2f x x m =+-即为1ln 2x xe x x m --=+-，得ln 1x xe x x m --+=， 构造函数()ln 1(0)x h x xe x x x =--+>， 则()(1)11()(1)1x x x xe h x x e x x +-'=+--= 5分令()1,()(1)0x x m x xe m x x e =-=+>'，则()m x 在(0,)+∞上单调递增，且110,(1)102m m e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭． ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00m x =，即001x e x =，从而00ln x x =-， 7分 ∴当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，则()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时．()0m x >，即()0h x '>，则()h x 单调递增． 8分∴()0min 000000001()ln 112xh x h x x e x x x x x x ==--+=⋅-++=，9分 又易知，当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞， 故()h x 的大致图象如下图所示：∴当2m <时，方程()ln 2f x x m =+-没有实根；当2m =时，方程()ln 2f x x m =+-有1个实根；当2m >时，方程()ln 2f x x m =+-有2个实根． 12分 解法二：()ln 2f x x m =+-即为1ln 2x xe x x m --=+-，得ln 1x xe x x m --+=， ∴()ln 1x x xe xe m -+=，令,0x t xe x =>，∵(1)0x t x e ='+>，∴原式等价于ln 1t t m -+=，令()ln 1,0g t t t t =-+>，∴11()1t g t t t-=-='， ∴当01t <<时，()g t 为减函数，当1t >时，()g t 为增函数， ∴min ()(1)2g t g ==，又易知，当0t +→时，()g t →+∞；当t →+∞时，()g t →+∞， ∴2m <时．方程()g t m =无实数根t ：2m =时，方程()g t m =有1个实数根0t ；当2m >时，方程()g t m =有2个实数根12,t t ，又x t xe =单调，∴2m <时，方程()ln 2f x x m =+-无实数根； 2m =时，方程()ln 2f x x m =+-有1个实数根；当2m >时，方程()ln 2f x x m =+-有2个实数根．。
湖北省荆州中学高三数学上学期第三次双周考试题 文
2019届高三第三次双周练文科数学卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,20A B x x x =-=-> ，则AB =（ ）A. {}3B.{}2,3C.{}1,3-D.{}1,2,3 2.下列说法错误的是（ ）A. “若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题B.“2a =”是“函数()log a f x x =在()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件C.命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” 3.已知ABC ∆中，0||2,||4,60AB AC BAC ==∠=，则AB CA ⋅=（ ）A.-4D. 4-4.函数()sin cos (02)f x x x x π=-≤<的零点的个数是（ ）A.1B.2C. 3D.45.函数()21e x y x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.6.已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，已知31211(log ),(cos),(sin )66a fb fc f ππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b >> B.c b a >> C.b a c >> D.a b c >>7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且,(2)()x R f x f x ∀∈+=，当[0,1],()x f x ∈=2x ，若直线y x a =+与()f x 的图象在[0,2]内恰有两个不同的交点，则实数a =（ ）A.0B.0或12-C.1142--或D.104-或8.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A.向左平移6π个长度单位 B.向右平移6π个长度单位 C.向左平移3π个长度单位 D.向右平移3π个长度单位 9.若双曲线2222mx y +=的虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（ ）A B ．．10.若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间(,2)ππ内没有最值，则实数ω的取值范围是（ ） A.112(0,][,]1243 B.12[,]43 C.112(0,][,]633 D.12[,]3311.已知若函数()f x =的定义域是R,则实数a 的取值范围是（ ） A. [2,2]- B.(,2][2,)-∞-+∞ C. (,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,2)-12.已知函数()24,0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有3个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A.(]1,2 B.{}31,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C.331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.23311,,222e ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知角θ的终边经过()2,3-，则3cos 2πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. 14.0cos 20cos 40cos60cos80= .15.已知(0,1),(3,2)A B ，(4,3)AC =--，则AB 在AC 方向上的投影是 . 16. 已知()()y f x x R =∈的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时，()23,f x x '>则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （满分12分）已知函数2()cos 222x x x f x =-.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间[,0]π-上的最小值.18.(满分12分）如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求到平面的距离.19.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．⑴当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？⑵设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；⑶当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)．20. (满分12分)已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>.(1)若椭圆的离心率为12e =，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3,求椭圆C 的标准方程； (2)过椭圆长轴上的一个动点(,0)P m ，作斜率为ab的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试判断22||||PA PB +是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由. 21.(满分12分）已知函数()ln ,(0)f x x x ax a =->. (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)已知1a =，函数()(),xg x x k e k =-+其中e 为自然对数的底数，若2(0,)x ∀∈+∞，1(0,)x ∃∈+∞,使不等式0>)(5)(12x f x g -成立，求整数k 的最大值.【选考题】(满分10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答. 22.【选修4一4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.己知直线l 的直角坐标方程为01=-+y x ，曲线C 的极坐标方程为)0>(sin 2)2cos 1(a a θθρ=+.(1)设t 为参数，若t x 221-=，求直线l 的参数方程及曲线C 的普通方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于,A B ，点(1,0)P ,且,,PA AB PB 依次成等比数列，求实数a 的值.23.【选修4一5:不等式选讲】已知函数R x x x x f ∈--+=|,2||1|)(.(1)求1)(≤x f 的解集；(2)若a x x f +=)(有两个不同的解，求a 的取值范围.2019届高三第三次双周练文科数学卷参考答案1-5.CADDA 6-10.BDABC 11-12.AB13.13，14.116，15.3-， 16.1(,)2+∞17.解：（1）()21cos cos 222222x x x x f x x -==-sin 22242x x x π⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭， 由()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 则()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤，当42x ππ+=-，即34x π=-时，()min 12f x =--.18.（Ⅰ）由余弦定理得，∴，∴， ∴.又平面底面，平面底面，底面，∴平面， 又平面，∴.（Ⅱ）设到平面的距离为 取中点，连结,∵△是等边三角形，∴.又平面底面，平面底面，平面，∴底面，且， 由（Ⅰ）知平面，又平面，∴. ∴，即××2××1××.解得.19.解：⑴设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购两为x 0个，则x 0= 100＋02.05160-= 550．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰降为51元． ⑵当0＜x ≤100时，P = 60；当100＜x ＜550时，P = 60－0.2(x －100) = 62－50x；当x ≥550时，P = 51．所以P =)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.550,51)(,550100,5062,1000,60x N x x x x⑶设销售商的一次订购量为x 个时，服装厂获得的利润为L 元，则L = (P－40)x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.550,11)(,550100,5022,100,202xxNxxxxxx当x = 500时，L = 6000；当x = 1000时，L = 11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．。
湖北省荆州市高三数学9月阶段性考试试卷
湖北省荆州市高三数学9月阶段性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二下·临泽期末) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2016·天津模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y﹣1的最大值为（）A . 5B . 4C .D . ﹣33. （2分）设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（）A . 1种B . 2种C . 3种D . 4种4. （2分）(2017·长沙模拟) 已知函数的两条相邻对称轴间的距离为，把f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（）A .B .C .D .5. （2分）已知F1、F2是两定点，，动点M满足,则动点M的轨迹是（）A . 椭圆B . 直线C . 圆D . 线段6. （2分）现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（）A . 7B . 64C . 12D . 817. （2分） (2018高二上·石嘴山月考) 数列，，，，…的一个通项公式为（）A .B .C .D .8. （2分）已知f（x）=|2﹣x2|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（）A . （0，2）B . （0，2]C . （0，4]D . (0,)二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________10. （1分）已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 :x-y+3=0,当直线被C截得弦长为时,则a=________11. （1分） (2017高一上·蓟县期末) 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，则 =________．12. （1分） (2016高二下·洛阳期末) （ax+ ）•（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________（用数字作答）13. （1分） (2019高三上·德州期中) 已知函数其中表示，中较小的数．（1）若有且只有一个实根，则实数的取值范围是________；（2）若关于的方程有且只有三个不同的实根，则实数的取值范围是________．14. （1分） (2016高一下·无锡期末) 在数列{an}中，若a1=1，an•an+1=（）n﹣2 ，则满足不等式+ + +…+ + ＜2016的正整数n的最大值为________．15. （1分） (2019高三上·丽水月考) 三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分）(2018·门头沟模拟) 已知函数。
湖北省荆州市高三数学上学期第二次双周考试题文
高三第二次双周练数学文科卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A． B． C． D．2．若是函数图象的一个对称中心，则的一个取值是（）A．2 B．4 C．6 D．83.函数的最小正周期为（）A． B． C． D．4.定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C.D．5. 的内角所对的边分别是，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C. 充要条件D．既不充分也不必要6. 已知命题,命题，使，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C. D．7.若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A． B． C. D．8.函数的单调递增区间是（）A． B． C. D．9.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②“若，则”的否命题是“若，则”；③是真命题，则命题一真一假；④“函数有零点”是“函数在上为减函数”的充要条件. 其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C. 3 D．410. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）A．4 B．6 C. 8 D．1011.已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是（）A．B．C. D．12.已知定义在R上的函数满足，当时，，当时，的最小值为3，则的值等于（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则．14.函数取得最大值时的值是．15.已知函数，若有三个不同的实数，使，则的取值范围是．16.在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.18. 已知函数（为常数）（1）求的单调递增区间；（2）若在上有最小值1，求的值.19. 如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. 中国“一带一路”战略构想提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式：（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大.21. 设为坐标原点，动点在椭圆（，）上，过的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点.（1）若三角形的面积的最大值为1，求的值；（2）若直线的斜率乘积等于，求椭圆的离心率.22.设函数（…是自然对数的底数）.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围.荆州中学高三第二次双周练数学文科卷参考答案一、选择题1-5:CCCCB 6-10: ABDBD 11、12：BA二、填空题13.-8 14. 15. 16.三、解答题17. （1）设的公差为，的公比为，则，. 由，得①由，得②联立①和②解得（舍去），或，因此的通项公式.（2）∵，∴，或，∴或8. ∴或.18.（1），∴，∴单调增区间为，（1）时，∴当时，最小值为∴19.（1）证明：连接，∵为矩形且，所以，即，又平面，平面平面∴平面（2）取中点，连接，∵，，∴且，所以共面，若平面，则.∴为平行四边形，所以.20.(Ⅰ)当时，当时，（Ⅱ）当时，此时，当时，取最大值1300（万元）当时，当且仅当，即时，取最大值1500（万元）所以当产量为90台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大，最大值为1500万元.21.（1），所以（2）由题意可设，，，则，，所以，所以所以离心率22.（1）当或时，，当时，所以在，单调递减，在单调递增；（2）设，，当时，设，，所以即成立，所以成立；当时，，而函数的图象在连续不断且逐渐趋近负无穷，必存在正实数使得且在上，此时，不满足题意.综上，的取值范围。
湖北省荆州中学近年届高三数学上学期第二次双周考试题文(2021年整理)
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荆州中学2019届高三年级第二次双周练文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1。
设全集R U =,{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<,则集合B A C U )(=A. []1,2-B. ()0,2C. [)1,-+∞ D 。
[)1,1-错误!错误!错误!A.错误! B ．－错误!C 。
错误! D ．－错误!5.化简2115113366221(3)()3a b a b a b -÷的结果为（） A ．9a B ．9a - C ．9b D ．9b -6.若实数a ，b 满足0a >，0b >,则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件7。
若101a b c >><<，，则（）A 。
c c a b <B ．c c ab ba < C.log log b a a c b c < D ．log log a b c c <8。
函数1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为( ) A ．（－2，4） B ．（－4，－2)∪(－1，2）C ．(1，2）∪(错误!，＋∞)D ．(错误!，＋∞）9。
高三试卷数学-湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期9月联考数学试卷及参考答案
2022年湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考高三数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。
2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答案卡对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、选择题:本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220,{1}A x x x B x y x =--==-∣∣,则A B ⋃=A.[1,2] B.[1,)-+∞ C.[1,1]- D.[1,)+∞2.已知角θ的终边经过点31,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,则θ可以为A.56πB.23πC.53πD.116π3.已知,A B 为两个随机事件,(),()0P A P B >,则“,A B 相互独立”是“()()P A B P A B =∣∣”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若()f x '是()f x 的导函数,()f x ''是()f x '的导函数,则曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()322()1()f x K f x '''=⎡⎤+⎣⎦.已知()ln cos(1)f x x x =--,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的曲率为A.0B.24 C.22 D.25.已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图,()()1232f x f x ==-,则()21cos 6x x π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A.34-B.74-C.34 D.746.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大,设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++ ,若18a =,则23n a a a +++=A.63B.64C.247D.2557.已知tan ,tan αβ是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,有以下四个命题:甲:1tan()2αβ+=-;乙:7tan tan 3αβ=;丙:sin()5cos()4αβαβ+=-;丁:5tan tan tan()tan()3αβαβαβ+-+=.如果其中只有一个假命题,则该命题是A.甲B.乙C.丙D.丁8.已知函数2()ln (3)1()f x ax x x a x a =-+-+∈R ,若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <,当21x x 取得最小值时,实数a 的值为A.0B.1C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某地为响应“扶贫必扶智,扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召,建立农业科技图书馆,供农民免费借阅,收集了近5年的借阅数据如下表:年份20162017201820192020年份代码x 12345年借阅量y (万册) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据上表,可得y 关于x 的经验回归方程为ˆˆ0.24yx a =+,则A. 4.68a =B.借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的上四分位数为5.7C.y 与x 的线性相关系数0r >D.2021年的借阅量一定不少于6.12万册10.下列结论正确的有A.若22ln ln a b >,则||||22a b >B.若22||||a b a b>,则22a b<C.若e b a >>,则b a a b <D.若2023a b a <<<-,则sin sin2ba <11.已知函数()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若将函数()f x 的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的14,再向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则A.函数()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的周期为4πC.函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象的一条对称轴是直线3x π=-12.已知奇函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且(1)(1)20f x f x x --++=恒成立,若()f x 在[0,1]上单调递增,则A.()f x 在[1,2]上单调递减B.(0)0f =C.(2022)2022f =D.(2023)1f '=三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设0a >,若6(9)a a a a =,则log (3)a a =_____.14.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测,有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务,6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授,每个检测点至少需要1名“熟手”,且2名“生手”不能分配到同一个检测点,则不同的分配方案种数是_____.15.若函数()ln f x x =和2()()g x x ax a =+∈R 的图象有且仅有一个公共点P ,则函数()y g x =的图象在点P 处的切线方程是_____.16.如图,在扇形AOB 中,90,1AOB OA ︒∠==,点C 为AB 上的动点且不与点,A B 重合,OD BC ⊥于,D OE AC ⊥于点E ,则四边形ODCE 面积的最大值为_____.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知24,2,3a c A C π==-=.(1)求tan C 的值;(2)求ABC 的面积.18.(12分)目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本,整理得到如下频数分布表:笔试成绩X [40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ,其中,μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替).（1）若12σ≈,据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数(结果四舍五入精确到个位);(2)按照比例分配的分层随机抽样方法,从笔试成绩为[80,90)和[90,100]的考生中随机抽取了6人,再从这6人中随机抽取2人,记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和均值.参考数据:若()2~,X N μσ,则()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈,(33)0.9973P X μσμσ-+≈.19.(12分)已知数列{}n a 中,()*111132,3n n n n n na a a a a n a a +++-==∈-N .(1)求证:数列1n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列;(2)设221n n nb a a =+,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,求使得2n S ∈Z 的正整数n 的最小值.20.(12分)在斜三棱柱111ABC A B C -中, 为等腰直角三角形,AB AC =,侧面11BB C C 为菱形,且160B BC ︒∠=,点E 为棱1A A 的中点,1EB EC =,平面1B CE ⊥平面11BB C C .(1)证明:平面11BB C C ⊥平面ABC ;(2)求平面1AB C 与平面1B CE的夹角的余弦值.21.(12分)设椭圆221222:1(0),,x y a b F F a b Γ+=>>是椭圆Γ的左、右焦点,点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆Γ上,点(4,0)P 在椭圆Γ外,且24PF =-.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若31,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点,过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线,PA PB 交于,M N 两点,O 为坐标原点,记,OMN PMN 的面积分别为12,S S ,求221122S S S S -+的最小值.22.(12分)已知函数()ln(1)e 1x f x x x x =++-+.(1)讨论函数()f x 的零点个数;(2)记()f x 较大的零点为0x ,求证:()0002204ln 1e 12e x x x x ++<<.2022年湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考高三数学答案一、选择题二、选择题三、填空题13．712 14．216 15．10x y −−= 16四、解答题17．【解析】（1）由正弦定理知sin 2sin A a C c ==, 1分又2π3A C −=, 所以2π12sin sin sin()sin cos 322C A C C C ==+=−+，所以5sin 22C C =，所以tan 5C =． 4分（2）由tan C =知222222cos sin 1tan 11cos 2cos sin 1tan 14c c C C c c C −−===++，2222sin cos 2tan sin 2cos sin 1tan c c C C c c C ⋅===++，6分 记ABC △的面积为S ．因为ππ23B A C C =−−=−,所以1sin 4sin 2S a c B B =⋅⋅=π114sin(2)22sin 22314C C C =−=−=−=．故ABC △10分 18．【解析】（1）由题意，4555510652575308520951073100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， 2分 此时85μσ=+，故()0.158651(85.9)2P X X P μσμσ=−−+>=≤≤， 4分所以该市全体考生中笔试成绩高于85的人数约为100000.158651587⨯≈人．5分 （2）进入面试的考生中笔试成绩位于[80,90)、[90,100]的人数之比为2:1，则抽取的6人中成绩不低于90分的人数为2，所以随机变量ξ的取值为0，1，2． 6分 2426C 2(0)5C P ξ===，114226C C 8(1)15C P ξ===，2226C 1(2)15C P ξ===，9分 所以ξ的分布列为所以2812()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=．12分19．【解析】（1）由11133n n n n n n a a a a a a +++−=−得11113313n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−==−，1分 所以11113()n n n na a a a +++=+，3分 因为115021a a =+≠，则1{}n na a +是公比为3的等比数列．4分 （2）由（1）得11532n n n a a −+=⋅．所以22211125()2924n n n n n n a a b a a −+=+=⋅=−−，6分 所以25252(91)24121993nn n n n S −=⋅−=−−−．8分 所以25(91)264nn n S −=−，因为25与64互素，所以64|()912n nS ∈−⇔Z ．因为01223391(18)1C C 8C 8C 8C 81n n n n n n n n n −=+−=+⋅+⋅+⋅++−122328C 8C 8C )8C (n n n n n n −=++++，所以正整数n 的最小值为8．12分20．【解析】（1）证明：分别取BC ，1B C 的中点O 和F ，连接OA ，OF ，EF ，1B O ．因为O ，F 分别是BC ，1B C 的中点，所以1FO//BB ，且112FO BB =，因为点E 为棱1A A 的中点，所以1AE//BB ，且112AE BB =，所以FO//AE ，且FO AE =，所以四边形AOFE 是平行四边形，所以EF //AO ． 2分因为1EB EC =，F 是1B C 的中点，所以1EF B C ⊥，又平面1B CE ⊥平面11BB C C ，且平面1B CE 平面111BB C C B C =，所以EF ⊥平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ， 4分因为AO ⊂平面ABC ，所以平面11BB C C ⊥平面ABC ． 5分（2）因为侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，所以1BB C △为正三角形，所以1B O BC ⊥，由（1）知平面11BB C C ⊥平面ABC ，所以OA ，OC ，1OB 两两垂直．设2AB =，则1AA BC == 以O 为坐标原点，OA ，OC ，1OB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A，C，1B，2E ，所以1(0,B C =，(2,2CE =−，(AC =−， 7分 设平面1B CE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则11111120,20,22BC y CE x y z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩m m 令11z =，得=m ． 设平面1ABC 的法向量为222(,,)x y z =n ，则1222220,20,B C y AC⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 令2y ==n ， 10分则cos,||||⋅===⋅m nm nm n，所以平面1AB C与平面1B CE．12分21．【解析】（1）因为点A在椭圆Γ上，所以221314a b+=，①因为点(4,0)P在椭圆Γ外，且2||4PF=，所以c=，即223a b−=，②由①②解得24a=，21b=，所以椭圆Γ的方程为2214xy+=．4分（2）解法一：设点11(,)M x y，22(,)N x y，并设直线MN：:(2)MNl x my t t=+>．将直线MN代入方程2214xy+=得22()440my t y++−=，即222(4)240m y mty t+++−=，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以222244(4)(4)0m t m t∆=−+−=，即224t m=+．6分直线AP的方程为:4APl x=−；直线BP的方程为:4,BPxl=+联立方程,4,x my tx=+⎧⎪⎨=−⎪⎩得1y=，同理得2y=所以122(4)(412ty ytm−−−==+−．8分所以121212))11(,(4)(22S t y y S t y y=−=−−，所以1222222211212221211(((444))))()44(S S S S t y y ytyty y t−−+=−−−+−−2122221(4)8)1(64y y t t t t t=−−++−+2221484898)(31216)364(4)816tt tt t t+=⨯−+=−+++（，10分令98(26)tλλ+=>，则2211222488193672856S S S Sλλ⨯−+=−++，当且仅当28λ=，即209t=时取等号．故当209t=时，221122S S S S−+取得最小值97．12分解法二：当直线l斜率存在时，设直线l的方桯为y kx m=+，联立221,4,y xxk my=+⎧⎪⎨⎪=⎩+得222(14)8440k x kmx m+++−=，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以2222644(14)(44)0k m k m∆=−+−=，即2241m k=+．6分由题意得直线PA，PB的直线方程分别为4x−=−，4x−=，设()()1122,,,M x y N x y．由4y kx m x =+⎧⎪⎨−=−⎪⎩得1x，同理得2x =，所以22122212161216412134m m x x k m −−===−−， 又当直线l 斜率不存在时也满足124x x =．8分所以112211212121211||24()|2()|22|S x y x y x x x x x x x x =−=−+=−+ 同理可得()()()21221121|44|5|2S x y x y x x =−−−=−+， 又因为124x x =，由对称性不妨设1(1,2]x ∈，则12114[4,5)x x x x +=+∈， 设122[2,3)x x t +−=∈，则12,)S S t =−，所以222222121214217159(3)(3)(73036)()3333377S S S S t t t t t t t +−=+−−−=−+=−+， 当且仅当157t =时，221122S S S S −+取得最小值97． 12分解法三：设点π(2cos ,sin ),03C θθθ<≤，则直线cos :sin 12l x y θθ+=，l 与x 轴的交点为2(,0)cos Q θ，由于直线:4AP x −=−，:4BP x −=，联立方程cos sin 124x x y θθ⎧++==⎪⎨⎪⎩得M ，联立方程cos sin 124x x y θθ⎧+−==⎪⎨⎪⎩得N ，则1112||||22cos MON M N S S OQ y y θ∆==⋅⋅−=⋅⋅2cos 1cos θθ−===，同理：2112||||(4)22cos MPN M N S S PQ y y θ∆==⋅⋅−=⋅−⋅2(2cos 1)cos 3cos sin 3cos sin θθ−===−−由此1S =，2S，所以122S S +=1S ∈．所以2222112211112)2)S S S S S S S S −+=−−+21147123009712477S ⨯⨯−=−+=⨯≥．（注意：解法二用到了面积公式112211|2|S x y x y =−，解法三都用切线方程cos :sin 12l x y θθ+=，在使用前需要证明）22．【解析】（1）()f x 的定义域为(1,)−+∞，(0)0f =． 1()ln(1)1e ln(1)2e 11x x x f x x x x x '=+++−=+−+−++， 1分令()()F x f x '=，则211()e 1(1)x F x x x '=+−++，所以()y F x ='单调递减． 因为(0)10F '=>，3(1)e 04F '=−<，由此可得存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10F x '=． 2分所以()f x '在()11,x −单调递增，在()1,x +∞单调递减，所以()1(0)0f x f '>'=， 又3(1)ln 2e 02f =+−<，所以存在()21,1x x ∈，使得()20f x '=． 3分所以()f x 在(1,0)−单调递减，在()20,x 单调递增，在()2,x +∞单调递减．因为(0)0f =，所以()20f x >，而(1)ln 220f e =+−<，所以()f x 在()2,1x 之间存在唯一零点． 综上所述：()f x 有两个零点．5分（2）由（1）可得函数()f x 较大的零点为0(0,1)x ∈，则0000ln(1)e 10x x x x ++−+=，则000200ln(1)e 1x x x x x +−−=．故只需证明00022204(e 1)e 12e x x x x x −−+<<， 等价于证明0002200220(e 1)e 12e 44x x x x x x +<−−<⋅⋅．6分不妨设02x t =，1(0,)2t ∈，则等价于证明()222e 1e 212e t t t t t t +<−−<．设222()e e 21x x g x x x x =−−−−，1(0,)2x ∈，则222()2e (2)e 222e e 2(1)2()xxxxx g x x x x x x '=−+−−=−−−+，因为2e 102xx x −−−，[0,)x ∈+∞，e 1x x +，所以()()2e 2(1)2e 10x x g x x x '−+=−−，所以()g x 在1(0,)2单调递增，因此()(0)0g x g >=．所以()22e 1e 21t t t t +<−−，1(0,)2t ∈．8分设22()2e e 21x x h x x x =−++，1(0,)2x ∈，注意到(0)0h =，则2222()(24)e 2e 22[(2)e e 1]x x x x h x x x x x '=+−+=+−+， 令()22()2e e 1x x m x x x =+−+，注意到(0)0m =， 则222()(42)e 2e )2(2e 21e xxxx x m x x x x '=++−=++−，令2()21e 2x x k x x =++−，注意到(0)0k =，则()2e x k x x '=+−，()1e 0x k x ''=−<，所以()k x '在1(0,)2单调递减，所以15()()022k x k '>'=−>，则()0k x '>在1(0,)2恒成立．因此()k x 在1(0,)2单调递增，所以()0k x >在1(0,)2恒成立．所以()m x 在1(0,)2单调递增，则()0m x >在1(0,)2恒成立.所以()h x 在1(0,)2单调递增，则()0h x >在1(0,)2恒成立.故22e 212e t t t t −−<，1(0,)2t ∈.综上所述：()000224ln 1e 12e x x x x ++<<.12分。
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湖北省荆州市2018届高三数学上学期第九次周考试题 文第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x 2-x-12≤0},则M ∩N= ( ) A.[-3,4] B.{-2,0,2,4} C.{0,1,2} D.{1,2,3} 2.设z= i+1i-1 ,则z 2+z+1= ( )A.-iB.iC.-1-iD.-1+i3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.23B.2C. 43D.34. 在等比数列{}n a 中15,a a 是函数321()51613=-++f x x x x 的极值点，则23log a =（ ）A ．2B ．4C ．24或D ．2或无意义 5. 已知函数()2sin()(0,||)2πωϕωϕ=+><f x x 的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12π=x 对称 B ．关于直线512π=x 对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 6. 在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的面积公式为πab ）A ．12 BC．1- D7.已知实数,x y 满足约束条件222441+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩x y x y x y ，若(),=r a x y ，()3,1=-r b ，设z 表示向量r a 在rb 方向上的投影，则z 的取值范围是（ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6-C ．⎡⎢⎣D ．⎡⎢⎣8.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，称线段AB 为双曲线的通径．若AB 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）A ．(B ．(C ．()1,+∞D ．)+∞9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的=a （ ）A ．20B ．14C ．10D ．710. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．34B ．38C ．312D ．31611. 已知偶函数()f x 满足(1)(1)-=+f x f x 且当[]20,1()=∈时x f x x ，则函数()()cos π=-g x f x x 在[],ππ∈-x 上的零点个为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．812.设()f x '是函数()()f x x R ∈的导数，且满足()3()0xf x f x '->，若△ABC 中，C 是钝角，则（ ）A.33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅>⋅ B. 33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅<⋅ C.33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅>⋅ D. 33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅<⋅第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第17题图第18题图1A 13. 已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+= ．14.已知数列{}n a 为等差数列，D 为ABC ∆的边BC 上任意一点，且满足14034AD a AB a AC =+uuu r uu u r uu u r，则20172018a a ⋅的最大值为 ．15. 抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p = ．16.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x ，则()f x 在R上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在如图四边形DCAB 中，,,a b c 为的∆ABC 内角,,A B C 的对边，且满足sin sin cos cos 20sin cos ++-+=B C B C A A.(Ⅰ)证明：,,b a c 成等差数列；(Ⅱ)已知3,5=b c 1cos ,2, 4.4∠===CDB DC DB 求四边形DCAB 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，12,====AB BC AC AC ,M N 分别是AC 和1BB 的中点. (Ⅰ)求证：11P 平面MN A B C ； (Ⅱ)若AB 上一点P 满足116-=N B PM V ，求1B P 与MN 所成角的余弦值.第19题图3.2.2.1.1.0.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）试估计平均获益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）5组x 与y 的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b x x x xnx20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN也相切.21.(本题满分12分)已知函数x a x a x x f ln 4)22(21)(2--+=. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设1=a ,若存在),2(,21+∞∈x x , ,且21x x ≠,使不等式2121ln ln )()(x x k x f x f -≤-成立,求实数k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知∃∈x R ，不等式12---≥x x t 成立. （Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数,m n 满足1,1>>m n 且不等式33log log ≥g m n t 恒成立，求+m n 的最小值.数学（文科）试题参考答案13. 1 14.415. 4 16. (),1(2,)-∞-⋃+∞ 17. 解析：(Ⅰ)由题设有sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin +=--B A C A A B A C A 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin +++=B A B A C A C A Asin()sin()2sin ∴+++=A B A C A由三角形内角和定理有sin sin 2sin +=B C A 由正弦定理有2+=b c a,,∴b a c 成等差数列(Ⅱ) 在∆BDC 中，由余弦定理有222=2cos 16+-∠=g gBC CD BD CD BD CDB 即4=BC 32,5+==Q b c a b c ,445∴==a c 即5=c 则3=b ∴∆ABC 为∆Rt .6∆∴=ABC S由于sin ∠==CDB 1sin 2∆∴=∠=g g CDB S CD BD CBD6∆∴=+=DCAB CDB ABC S S S18. 解析：（Ⅰ）证明：Q 直三棱柱111-ABC A B C 中，2,===AB BC AC222∴+=AB BC AC ∴⊥AB BC ,又=AC 12==A A ， 取1A C 的中点D ，连接1,MD B D ,,Q M D 为中点，1∴P MD AA 且112=MD AA 。
又N 为1B B 中点，11∴P B N AA 且1112=B N AA 1∴P DM B N 且1∴=DM B N ，故四边形1DMNB 为平行四边形，1∴P MN B D ，11111,⊄⊂Q 平面平面MN A B C B D A B C ，11∴P 平面MN A B C(Ⅱ)由等体积法1111111326--==⨯⨯⨯=N B PM M B NP V V PB 有1=PB ,则P 为AB 中点。
取PB 中点Q ,连,NQ MQ ,则1P NQ B P ,故1B P 与MN 所成角为∠QNM （或其补角）在∆QNM中，112======QN B P QM MN由余弦定理有222cos 25+-∠==g QN MN QM QNM QN MN 即为所求角的余弦值19. 解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05， 平均获益率为0.050.100.150.200.250.250.350.300.450.100.550.050.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）（i ）1221500.10,0500∧∧∧==--∴===-=-=-∑∑ni ii nii x y nx yb a y b x xnx则 6.00.10(40)-=--y x 即0.1010.0=-+y x（ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为0.1010.0=-+y x ，则保费获益为()(20)(0.1010.0)=+-+f x x x 万元， 22()0.182000.1(40)360=-++=--+f x x x x当40=x 元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获益为3600.275=99⨯万元.20. 解析：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，依题意，222221,1,2,194c a a b c a b +=⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪⎩解得2,a b ==，c=1，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，M ，N 两点关于x 轴对称，点P （4,0）在x 轴上，所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称，所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+， 1111(1)44PM y k x k x x -==--，2222(1)44PN y k x k x x -==--， 1212121212(1)(1)[25()8]44(4)(4)PM PN k x k x k x x x x k k x x x x --⋅-+++=+=----22221282440(8)34340(4)(4)k k k k k x x --+++==--，所以，MPO NPO ∠=∠，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.解:(1)∵f ′(x)=x+(2a-2)- 4a x = x 2+(2a-2)x-4a x = (x+2a)(x-2)x (x ＞0).令f ′(x)=0得x=2或x=-2a.∴①当-2a=2,即a=-1时, f ′(x)≥0在x ＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.……(2分)②当-2a ＞2,即a ＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.………(3分)③当0＜-2a ＜2,即-1＜a ＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减.…(4分)④当-2a ≤0,即a ≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. ………(5分) (2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x 2＞x 1＞2,则不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤k|lnx 1-lnx 2|可化为f(x 2)-f(x 1)≤klnx 2-klnx 1.…………(7分) f(x 1)-klnx 1≥f(x 2)-klnx 2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间. ……(9分)∴g ′(x)= f ′(x) - k x ＜0 在区间(2,+∞)有解,即(x+2)(x-2)x - kx ＜0在x ∈(2,+∞)上有解,…(10分)∴k ＞x 2-4, x ∈(2,+∞),故k ＞0. ……………(12分)22.解析：（Ⅰ）由题设有曲线2C 的直角坐标方程为2220+-=x y y ，曲线3C的直角坐标方程为220+-=x y，联立222220⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩x y y x y 解得00=⎧⎨=⎩x y或32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ， 即2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0),θαρρ=∈≠R 其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin )αα，，B的极坐标为)αα，。